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专题 24.8 正多边形与圆
1. 掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各部分。
教学目标 2. 掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟练的应用。
3. 掌握正多边形的画法，能够熟练的画出正多边形。
1. 重点
（1）正多边形及其相关概念；
（2）正多边形的有关计算；
教学重难点 （3）正多边形的画法。
2. 难点
（1）利用正多边形计算相关计算；
（2）正多边形在计算时对隐藏条件的应用。知识点01 正多边形及相关概念
1. 正多边形的概念：
各条边 ，各个角也 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 所得的多边形是这个圆
的 ，这个圆叫做这个正多边形的 。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的 的圆心叫做正多边形的中心。
即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的
中心角。正多边形的中心角度数为 。
（4）边心距： 到正多边形的 的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的
垂线即为边心距。
知识点02 正多边形的有关计算
1. 正多边形的内角计算：
正n边形的每个内角计算公式为 。
2. 正多边形的中心角：
正n边形的中心角度数为 。
3. 正多边形的外角：
正n边形的外角度数为 。
4. 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为 。
5. 正多边形的周长和面积：
边长为a的正n边形的周长为 ；面积为 。
【即学即练1】
1．完成下列有关正多边形的计算：
形状 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
正三角形 6
正方形 6正六边形 ❑√3
【即学即练2】
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧^BC上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（
）
A．45° B．36° C．35° D．30°
【即学即练3】
3．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则
∠APN的度数为（ ）
A．60° B．120° C．72° D．108°
知识点03 正多边形的画法
6. 正多边形的画法：
利用等分圆的方法画正多边形。算出正多边形的中心角，用量角器等分圆周，然后依次连接圆上的等
分点即可。
【即学即练1】
4．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
题型01 利用这多边形与圆球角度【典例 1】如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，P为^AB上一点，连接 PA，PE，则∠APE的度数为
（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【变式1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，
则∠MFN的度数为（ ）
A．25° B．36° C．35° D．40°
【变式2】我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形 OABCD的边AB固定，
向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O
的切线EF，则∠BCF的度数为（ ）
A．18° B．30° C．36° D．54°
【变式3】如图，已知等腰△AEN中，AE＝AN，分别以AE，AN为边，作正五边形ABCDE与正方形
ABMN有公共边AB，则∠AEN的度数为（ ）
A．9° B．10° C．15° D．20°
题型02 与正多边形有关的线段
【典例1】正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A．1：2：3 B．1：❑√2：3 C．1：❑√2：❑√3 D．1：2：❑√3【变式1】如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，点P是对角线BE上一个动点，则PA+PF的最小值
是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为4π，则边心距OM的长为（ ）
❑√3 1
A．❑√3 B． C． D．2❑√3
2 2
【变式3】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆⊙O 和⊙O ，若正三角形的周长为m，正方形的周长
1 2
为n，则m与n的关系为（ ）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能确定
【变式4】如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC
上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A．❑√3+2 B．❑√3+1 C．3 D．2
题型03 求周长或面积
【典例1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（ ）A．❑√3 B．3 C．6 D．2❑√3
【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（ ）
27
A．27❑√3 B．18❑√3 C． ❑√3 D．18
2
【变式2】正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
3
A．9❑√3 B． ❑√3 C．-❑√3 D．3❑√3
2
3
【变式3】已知正六边形的面积为 ❑√3，则它的周长为（ ）
2
A．6 B．12 C．18 D．24
【变式4】如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边
形，中心为点O，AB所在的圆的圆心C恰好是△ABO的内心．若AB=4❑√3，则花窗的周长（图中实
线部分的长度）为（ ）
A．16π B．18π C．20π D．24π
【变式5】如图所示，学校的花坛是由一个正六边形和圆心分别在正六边形的顶点、半径为 1米的六个等
圆组成．现要在正六边形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮，则草皮种植面积为（ ）平方米．
5
A．2π B． π C．3π D．4π
21．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（ ）
3❑√3
A．3 B． C．2❑√3 D．3❑√3
2
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为
（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
4．如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，点M在^AB上，则∠HME的度数是（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
5．如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若AB＝2，则
中心P的坐标为（ ）A．(2，❑√3) B．（1，❑√3） C．（2，2） D．（3，2）
6．如图，若干个全等的正五边形围绕⊙O紧密排列一周．图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边
形与⊙O的交点分别记作A ，A ，⋯A ，顺次连接A A ，A A ，⋯A A ，所得图形是（ ）
1 2 n 1 2 2 3 1 n
A．正五边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发
展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．
若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．4❑√2 B．8❑√2 C．4❑√2π D．8❑√2π
8．如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延
长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（ ）
A．16° B．17° C．18° D．19°
9．如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O O ，连接O O ，则O O
1 2 1 2 1 2
的长为（ ）A．6❑√3 B．6❑√2 C．4❑√3 D．4❑√2
10．如图，AB，AC，AD分别是直径为AE的⊙O的内接正六边形、正方形、正三角形的一边．若 AB＝
2，给出下面四个结论：①⊙O的直径为4；②AC=2❑√2；③^BC=C^D；④连接BC，则△ABC的面积
是❑√3-1．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
11．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为 ．
12．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G，则∠G的度数为
．
13．已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是
°．
14．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点 O出发，前进10米后向右转
30°，再前进10米后又向右转30°…，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多
边形的周长为 米．15．如图，边长为6的正六边形ABCDEF，连接CE，点O为线段CE上的点（不与C，E重合），过点O
作OP⊥DE于点P，以O为圆心，OP长为半径画圆，当⊙O和正六边形的两条边所在直线相切时，OE
的长为 ．
16．已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：△MBC是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求点M到BC的距离．18．如图，⊙O的半径为r，六边形ABCDEF是圆的内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
（1）求正六边形ABCDEF与正方形EFGH的面积比；
（2）连接OF，OG，求∠OGF度数．
19．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数n 3 4 5 6
∠α的度数
（2）观察上面表格中α的变化规律，∠α与边数n的关系为： ．
（3）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝18°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说
明理由．20．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n
的值．
