文档内容
专题 21.3 根与系数的关系
◆ 思想方法
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、一元二次方程的根与系数的关系
b c
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的两个实数根是 x 1 ，x 2，那么
x
1
x
2
a ，
x
1
x
2
a .
注意：它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
◆ 典例分析
【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x ，x ．
1 2
（1）若|x )+|x )=2❑√2，求k的值；
1 2
（2）当k取哪些整数时，x ，x 均为整数；
1 2
（3）当k取哪些有理数时，x ，x 均为整数．
1 2
【思路点拨】
（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；
2
（2）根据根与系数的关系可得若x +x =− 为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程
1 2 k
分别验证即可；1
（3）显然，当k=−1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k= ，则方程可变形
m
为x2+2mx+m−2=0，即为(x+m) 2=m2−m+2，再结合整数的意义即可解答．
【解题过程】
解：（1）∵Δ=22−4k(1−2k)=4−4k+8k2=8 ( k2− 1 k+ 1) =8 ( k− 1) 2 + 7 >0，
2 2 4 2
∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x ，x ，
1 2
∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x ，x ，
1 2
2 1−2k
∴x +x =− ,x x = ，
1 2 k 1 2 k
分两种情况：①若两根同号，由|x )+|x )=2❑√2可得：x +x =2❑√2，或x +x =−2❑√2，
1 2 1 2 1 2
2 ❑√2
当x +x =2❑√2时，则− =2❑√2，解得k=− ；
1 2 k 2
2 ❑√2
当x +x =−2❑√2时，则− =−2❑√2，解得k= ；
1 2 k 2
②若两根异号，由|x )+|x )=2❑√2可得：(x −x ) 2=8，
1 2 1 2
即(x +x ) 2−4x x =8，
1 2 1 2
( 2) 2 1−2k
∴ − −4× =8，
k k
解得：k=1，
❑√2
综上，k的值为1或 ± ；
2
（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x ，x ，
1 2
2 1−2k
∴x +x =− ,x x = ，
1 2 k 1 2 k
若x ，x 均为整数，
1 2
2
则x +x =− 为整数，
1 2 k
∴整数k=±1,±2，
1−2k
当k=±2时，x x = 不是整数，故应该舍去；
1 2 k当k=1时，此时方程为x2+2x−1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；
当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0，方程的两个根为x =−1,x =3，都是整数，符合题意；
1 2
综上，当k取−1时，x ，x 均为整数；
1 2
（3）显然，当k=−1时，符合题意；
1−2k 1
当k为有理数时，由于x x = = −2为整数，
1 2 k k
1
∴k应该是整数的倒数，不妨设k= (m≠0)，m为整数，
m
则方程kx2+2x+1−2k=0即为x2+2mx+m−2=0，
配方得：(x+m) 2=m2−m+2，
即x=−m±❑√m2−m+2，
1
当m=2即k= 时，方程的两根为x =0,x =−4，都是整数，符合题意；
2 1 2
1 2 7
当m≠2时，m2−m+2=(m− ) + 不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；
2 4
1
综上，k=−1或 ．
2
◆ 学霸必刷
1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x 和x ，且
1 2
10，
∴p2+3p+2>0，
∴(p+1)(p+3)>0，
∴p=−1不符合题意，
3
∴p +p =−
1 3 4
∴符合题意，
故选B．
3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+a2+b2+ab=0的两个根为x =m，
1
x =n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（ ）
2
①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程(x+1) 2+a2−a=0的两个根为x =m−2，
1
x =n−2．
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据根与系数的关系得x x =mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0，
1 2 2 4
从而即可对①进行判断；由于x +x =m+n=2>0，x x =mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；
1 2 1 2
根据根的判别式的意义得到Δ=4−4(a2+b2+ab)≥0，即4−4(a2−a+1)≥0，则可对③进行判断；利用
a2+b2+ab=a2−a+1把方程x2−2x+a2+b2+ab=0化为(x−1) 2+a2−a+1=0，由于方程
(x−1) 2+a2−a=0可变形为[(x+2)−1) 2 +a2−a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．
【解题过程】
解：根据根与系数的关系得x x =mn=a2+b2+ab，
1 2∵a+b=1，
∴b=1−a，
∴mn=a2+(1−a) 2+a(1−a)=a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0，所以①正确；
2 4
∵x +x =m+n=2>0，x x =mn>0，
1 2 1 2
∴m>0，n>0，所以②正确；
∵Δ≥0，
∴4−4(a2+b2+ab)≥0，
即4−4(a2−a+1)≥0，
∴a≥a2，所以③错误；
∵a2+b2+ab=a2−a+1，
∴方程x2−2x+a2+b2+ab=0化为(x−1) 2+a2−a+1=0，
即(x−1) 2+a2−a=0，
∵方程(x+1) 2+a2−a=0可变形为[(x+2)−1) 2 +a2−a=0，
∴x+2=m或x+2=n，
解得x =m−2，x =n−2，所以④正确．
1 2
故选：C．
4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程
x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．
【思路点拨】
由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得
a2−8ac−9d=0，代入可得a2−72a+9c−8ac=0，同理可得c2−72c+9a−8ac=0，两式相减即可得
a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．
【解题过程】
解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．
因为a是方程x2−8cx−9d=0的根，所以a2−8ac−9d=0，又d=8a−c，
所以a2−72a+9c−8ac=0①
同理可得c2−72c+9a−8ac=0②①-②得(a−c)(a+c−81)=0．
因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．
故答案为648．
5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a)+|b)+|c)的
最小值
【思路点拨】
用分类讨论的思想，解决问题即可．
【解题过程】
解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，
4
且b+c=2−a，bc= ，
a
4
于是b，c是一元二次方程x2−(2−a)x+ =0的两实根，
a
4
∴Δ=(2−a) 2−4× ≥0，即(a2+4)(a−4)≥0，
a
所以a≥4．
又当a=4，b=c=−1时，满足题意．
故a，b，c中最大者的最小值为4．
因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．
②若a，b，c为或一正二负，
不妨设a>0，b<0，c<0，则|a)+|b)+|c)=a−b−c=a−(2−a)=2a−2，
∵a≥4，
故2a−2≥6，
当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．
故|a)+|b)+|c)的最小值为6．
故答案为：6．
6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ ℎ) 2+k＝0（a≠0，a、
h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方
程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1) 2−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，则b－2c＝ ，ax +x x +ax 的最大值是
1 2 1 1 2 2
．
【思路点拨】
利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1) 2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出
a−2
b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x +x =−2，x x = ，进而得出
1 2 1 2 a
( 1) 1
ax +x x +ax =−2 a+ +1，设a+ =t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正
1 1 2 2 a a
数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax +x x +ax 的最大值．
1 1 2 2
【解题过程】
解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1) 2−2=0，
∴a(x+1) 2−2=ax2+bx+c，
展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，
可得b=2a，c=a−2，
∴b−2c=2a−2(a−2)=4；
a−2
∵x +x =−2，x x = ，
1 2 1 2 a
a−2 ( 1)
∴ax +x x +ax =a(x +x )+x x =−2a+ =−2 a+ +1，
1 1 2 2 1 2 1 2 a a
∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，
1 2
∴Δ=b2−4ac=(2a) 2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，
∴a>0，
1
设a+ =t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，
a
∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，
∴Δ=t2−4≥0，
1
解得t≥2，即a+ ≥2，
a
( 1)
∴ax +x x +ax =−2 a+ +1≤−3．
1 1 2 2 a故答案为：4，-3．
7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+ y=44，x2y+x y2=484，求x3+ y3．
【思路点拨】
本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学
知识成为解题的关键．
设xy=m，x+ y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn， 则m、n为t2−44t+484=0的根，可解得
m=n=22，然后再对x3+ y3变形后将m=n=22代入计算即可．
【解题过程】
解：设xy=m，x+ y=n，
∴44=xy+x+ y=m+n，484=x2y+x y2=xy(x+ y)=mn，
∴m、n为t2−44t+484=0的根，
∴m=n=22，
∴x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)
=(x+ y)[(x+ y) 2−3xy)
=n[n2−3m)
=n3−3mn
=9196．
8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x−5=0的两根分别为x 、x ．
1 2
1 1
（1）求 + 的值；
x −1 x −1
1 2
（2）求3x2+6x +x2的值．
1 1 2
【思路点拨】
c
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x ⋅x = ，
1 2 a
b
x +x =− 时，需要弄清楚a、b、c的意义．
1 2 a
1 1
（1）利用根与系数的关系求得求 + 的值的值；
x −1 x −1
1 2（2）由一元二次方程的解可得x2+3x −5=0,再利用根与系数的关系求解即可．
1 1
【解题过程】
（1）∵x +x =−3,x x =−5，
1 2 1 2
1 1
∴ +
x −1 x −1
1 2
x −1+x −1
= 2 1
(x −1)(x −1)
1 2
x +x −2
= 1 2
x x −(x +x )+1
1 2 1 2
−3−2
=
−5−(−3)+1
=5；
（2）∵ x 是一元二次方程x2+3x−5=0的根，
1
∴x2+3x −5=0,
1 1
∴x2+3x =5，
1 1
又∵x +x =−3,x x =−5，
1 2 1 2
∴3x2+6x +x2=2(x2+3x )+(x +x ) 2−2x x =29．
1 1 2 1 1 1 2 1 2
9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．
【思路点拨】
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别
式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方
b c
程的两个实数根为x 、x ，则x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
（1）根据方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；
（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】
（1）解：∵关于x的方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2m) 2−4(m2−n)>0，
解得：n>0．
（2）设方程的两个实数根为x 、x ，且x >x ，
1 2 1 2
∴x +x =2m，x ⋅x =m2−n，
1 2 1 2
由（1）可知：n>0，
∵n为符合条件的最小整数，
∴n=1，
∵该方程的较大根是较小根的3倍，
∴x =3x ，
1 2
∴4x =2m，3x 2=m2−1，
2 2
m2
∴3× =m2−1，
4
解得：m =−2，m =2．
1 2
当m=2时，x =1，则x =3x =3，符合题意，
2 1 2
当m=−2时，x =−1，则x =3x =−3x 不符，舍去，
2 1 2 2 1 2
∴m=2．
10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0．
（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；
（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α 、β ，α 、β ，⋅⋅⋅，
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
α 、β ，求 + + + +⋯+ + 的值．
2024 2024 α β α β α β
1 1 2 2 2024 2024
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；
b c 1 1 x +x 2
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x +x =− ,x ⋅x = 可得： + = 1 2= ，进一
1 2 a 1 2 a x x x ⋅x m2+m
1 2 1 2
1 1
+
步可寻找 的规律，即可求解．
α β
2024 2024【解题过程】
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0，α和β分别是该方程的两个根，
∴αβ=−m2−m
∵αβ=−2，
∴−2=−m2−m
∴m=1或m=−2；
（2）解：设方程x2+2x−m2−m=0的两个根为：x ,x
1 2
b c
则x +x =− =−2,x ⋅x = =−m2−m，
1 2 a 1 2 a
1 1 x +x 2 2
∴ + = 1 2= =
x x x ·x m2+m m(m+1)
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2
+ = + = + =
∴ ， ，
α β 1×2 α β 2×3 α β 3×4
1 1 2 2 3 3
…．．
1 1 2
+ =
α β 2024×2025
2024 2024
1 1 1 1 1 1 ( 1 1 1 )
∴ + + + +⋯+ + =2× + +...+
α β α β α β 1×2 2×3 2024×2025
1 1 2 2 2024 2024
( 1 1 1 1 1 )
=2× 1− + − +...+ −
2 2 3 2024 2025
( 1 )
=2× 1−
2025
4048
=
2025
11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不
相等的实数根
（1）直接写出m的取值范围
1 1
（2）若满足 + =−1，求m的值．
α β
（3）若α>2，求证：β>2；
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；1 1
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=−(2m+3)和αβ=m2，因为 + =−1，所以
α β
2m+3 3
=1，解得m =3，m =−1，结合m>− ，即可作答；
m2 1 2 4
（3）因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，结合α+β=−(2m+3)和αβ=m2，得
m2+2(2m+3)+4=(m+2) 2+6，则(α−2)(β−2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．
【解题过程】
（1）解：∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根
∴Δ=b2−4ac=(2m+3) 2−4×1×m2=4m2+12m+9−4m2=12m+9>0，
3
即m>− ；
4
1 1 β α α+β b c
（2）解：∵ + = + = =−1，且α+β=− =−(2m+3)，αβ= =m2
α β αβ αβ αβ a a
2m+3
∴
=1
m2
整理得m2−2m−3=0，
解得：m =3，m =−1
1 2
3
∵由（1）知m>− ，
4
∴m=3
检验：当m=3时，m2≠0，即m=3；
（3）证明：因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，
把α+β=−(2m+3)和αβ=m2代入上式，
得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2) 2+6，
∵(m+2) 2≥0，
∴(m+2) 2+6≥6
∴(α−2)(β−2)≥6>0
∵α>2，
∴α−2>0，∴β−2>0，
即β>2．
12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．
（1）求|α−β|的值；
√α √β
（2）求❑ +❑ 的值；
β α
（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：
x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)．
【思路点拨】
（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β) 2的值，进而求得|α−β|
的值．
√α √β ❑√α ❑√β α+β
（2）先根据二次根式的性质将❑ +❑ 化为 + ，然后通分化简可得 ，最后将
β α ❑√β ❑√α ❑√αβ
α+β=−4,αβ=1代入计算即可；
(1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3
（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为 和 ，然后求得 + 和 的值，然
α β α β α β
后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β
∴α+β=−4,αβ=1
∴(α−β) 2=(α+β) 2−4αβ=12
∴|α−β|=2❑√3；
（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，
2
(√α √β)
∵ ❑ +❑
β α
α β
= + +2
β α
α2+β2
= +2
αβ(α+β) 2−2αβ
= +2
αβ
=16，
√α √β
∴❑ +❑ =4（负值舍去）；
β α
(1) 3 (1) 3
（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为 和
α β
(1) 3 (1) 3
则 +
α β
1 1 [ (1) 2 (1) 2 1 )
=( + ) + −
α β α β αβ
α+β[α2+β2 1 )
= −
αβ α2β2 αβ
α+β[(α+β) 2−2αβ 1 )
= −
αβ α2β2 αβ
−4[16−2 )
= −1
1 12
=−52
(1) 3 (1) 3 ( 1 ) 3
= =1
α β αβ
所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．
13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．
（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；
（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．
【思路点拨】
（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式
m−1
确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x +x = ，若方程的两根之和为整
1 2 m
m−1
数，即 为整数，即可确定m的值；
m
（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0(m−1)±❑√m2−10m+1
时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x= ，若方程的根为有理根，且
2m
m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．
【解题过程】
（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，
∴m≠0，且Δ=[−(m−1)] 2−4m×2=m2−10m+1≥0，
−(m−1) m−1
根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x +x =− = ，
1 2 m m
m−1
若方程的两根之和为整数，即 为整数，
m
m−1 1
∵ =1− ，
m m
1
∴ 是整数，
m
∴m=±1，
当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；
m−1 −1−1
当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0， = =2，为整数，符合题意；
m −1
∴m的值为−1；
（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；
(m−1)±❑√m2−10m+1
当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x= ，
2m
若方程的根为有理根，且m为整数，
则Δ=m2−10m+1为完全平方数，
设m2−10m+1=k2（k为正整数），
10±❑√100−4+4k2
则：m= =5±❑√24+k2，
2
∵m为整数，
设24+k2=n2（n为正整数），
∴(k+n)(n−k)=24，
{k+n=12) {k+n=6) {k+n=8) {k+n=24)
∴ 或 或 或 ，
n−k=2 n−k=4 n−k=3 n−k=15 23
{ k= ) { k= )
{k=5) {k=1) 2 2
解得： 或 或 （不合题意，舍去）或 （不合题意，舍去）
n=7 n=5 11 25
n= n=
2 2
∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；
当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；
当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，
综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．
14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程(m2+m−2)x2−(7m+2)x+12=0有两
个整数实根．
（1）求m的值．
（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=4❑√2,m2+a2m−12a=0,m2+b2m−12b=0．求△ABC的面积．
【思路点拨】
7m+2 12
（1）设原方程的两个解分别为x ,x ，根据两个整数实根，则x +x = ,x x = 都是
1 2 1 2 m2+m−2 1 2 m2+m−2
整数，进而分类讨论，即可求解；
（2）由（1）得出的m的值，然后代入将m2+a2m−12a=0，m2+b2m−12b=0进行化简，得出a，b的
值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．
【解题过程】
（1）解：∵m2+m−2≠0，
∴m≠−2或m=1，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=[−(7m+2)) 2 −4×12×(m2+m−12)
=m2−20m+580=(m−10) 2+480>0
设原方程的两个解分别为x ,x
1 2
7m+2 12
∴x +x = ,x x = 都是整数，
1 2 m2+m−2 1 2 m2+m−2
∴m2+m−2=1,2,3,4,6,12
−1±❑√13
m2+m−2=1，解得：m= （舍去）
2−1±❑√17
m2+m−2=2，解得：m= （舍去）
2
−1±❑√21
m2+m−2=3，解得：m= （舍去）
2
m2+m−2=4，解得：m=−3或m=2
−1±❑√33
m2+m−2=6，解得：m= （舍去）
2
−1±❑√129
m2+m−2=12，解得：m= （舍去）
2
7m+2 −21+2 19
当m=−3时， = =− 不是整数，舍去
m2+m−2 4 4
7m+2 14+2
当m=2时， = =4符合题意，
m2+m−2 4
综上所述，m=2；
（2）把m=2代入两等式，化简得a2−6a+2=0，b2−6b+2=0，
当a=b时，a=b=3±❑√7，
当a≠b时，a、b是方程x2−6x+2=0的两根，而Δ>0，
根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，
①a≠b，c=4❑√2时，由于a2+b2=(a+b) 2−2ab=36−4=32=c2，
1
故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S = ab=1；
ΔABC 2
②a=b=3−❑√7，c=4❑√2时，因2(3−❑√7)<4❑√2，
故不能构成三角形，不合题意，舍去；；
③a=b=3+❑√7，c=4❑√2时，因2(3+❑√7)>4❑√2，故能构成三角形，
1
S = ×4❑√2×❑√(3+❑√7) 2 −(2❑√2) 2=4❑√4+3❑√7；
ΔABC 2
综上，△ABC的面积为1或4❑√4+3❑√7．
15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x ，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x ，x ，则x +x =___________，x x =
1 2 1 2 1 2
___________．
n m
（2）类比应用：已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，且s≠t，求 − 的值．
s t
【思路点拨】
（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
b c
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=− =3，mn= =−1，再根据
a a
n m m2+n2 (m+n) 2−2mn
+ = = ，最后代入求值即可；
m n mn mn
b c
（3）由题意可将s、t可以看作方程x2−3x−1=0的两个根，即得出s+t=− =3，s⋅t= =−1，从而
a a
可求出(t−s) 2=(t+s) 2−4st=13，即t−s=❑√13或t−s=−❑√13，最后分类讨论分别代入求值即可．
【解题过程】
（1）解：∵一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x ，x ，
1 2
b −3 c 1
∴x +x =− =− =3，x ⋅x = =− =−1．
1 2 a 1 1 2 a 1
故答案为：3，−1；
（2）∵一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，
b c
∴m+n=− =3，mn= =−1，
a a
n m m2+n2
∴ + =
m n mn
(m+n) 2−2mn
=
mn
32−2×(−1)
=
−1
=−11；
（3）∵实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，
∴s、t可以看作方程x2−3x−1=0的两个根，b c
∴s+t=− =3，st= =−1，
a a
∵(t−s) 2=(t+s) 2−4st
=32−4×(−1)
=13
∴t−s=❑√13或t−s=−❑√13，
当t−s=❑√13时，
1 1 t−s ❑√13
− = = =−❑√13，
s t st −1
当t−s=−❑√13时，
1 1 t−s −❑√13
− = = =❑√13，
s t st −1
1 1
综上分析可知， − 的值为❑√13或−❑√13．
s t
16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或
px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A
的零点．
（1）已知多项式(3x+1)(x−2)，则此多项式的零点为__________；
a
（2）已知多项式B=(x−1)(bx+c)=ax2−(a−1)x−
有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；
2
( 5)( 3)
（3）小聪继续研究(x−3)(x−1)，x(x−4)及 x− x− 等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两
2 2
个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式
M=(2ax+b)(cx−5c)=bx2−4cx−2a−4是“2系多项式”，求a与c的值．
【思路点拨】
（1）根据多项式的零点的定义即可求解；
a
（2）根据多项式的零点的定义将x=1代入ax2−(a−1)x− =0，求得a=2，再解一元二次方程即可求
2
解；
（3）令cx−5c=0，求得M的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx2−4cx−2a−4=0
的两个根为x =−1，x =5，再利用根与系数的关系即可求解．
1 2
【解题过程】（1）解：令(3x+1)(x−2)=0，
∴3x+1=0或x−2=0，
1
∴x=− 或x=2，
3
1
则此多项式的零点为− 或2；
3
1
故答案为：− 或2；
3
a
（2）解：∵多项式B=(x−1)(bx+c)=ax2−(a−1)x−
有一个零点为1，
2
a a
∴将x=1代入ax2−(a−1)x− =0，得a−(a−1)− =0，
2 2
解得a=2，
∴B=2x2−x−1=(x−1)(2x+1)，
1
令2x+1=0，解得x=− ，
2
1
∴多项式B的另一个零点为− ；
2
（3）解：∵M=(2ax+b)(cx−5c)=bx2−4cx−2a−4是“2系多项式”，
令cx−5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，
y+5
∴设M的另一个零点为y，则 =2，解得y=−1，
2
即2ax+b=0时，x=−1，则−2a+b=0①，
令M=bx2−4cx−2a−4=0，
根据题意，方程bx2−4cx−2a−4=0的两个根为x =−1，x =5，
1 2
−4c −2a−4
∴x +x =− =5+(−1)=4，x ⋅x = =5×(−1)=−5，
1 2 b 1 2 b
∴c=b②，5b−2a−4=0③，
1
解①②③得c=b=1，a= ，
2
1
∴a= ，c=1．
2
17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x ，x 是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的
1 2两实根，且(x +1)⋅(x +1)=8，求k的值．
1 2
（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s =α+β，s =α2+β2，…，
1 2
s =αn+βn ．根据根的定义，有α2−α−1=0，β2−β−1=0，将两式相加，得(α2+β2)−(α+β)−2=0，
n
于是，得s −s −2=0．
2 1
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出s ，s 的值．
1 2
②经计算可得：s =4，s =7，s =11，当n≥3时，请猜想s ，s ，s 之间满足的数量关系，并给出证
3 4 5 n n−1 n−2
明．
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x +x =2(k+1)，x x =k2+2．由(x +1)(x +1)=8，可
1 2 1 2 1 2
得x x +(x +x )+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验
1 2 1 2
证，舍去不合题意的值即可；
b c
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=− =1，αβ= =−1，进而可求出s =α+β=1，
a a 1
s =α2+β2=(α+β) 2−2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2−α−1=0，两边都乘以αn−2，
2
得：αn−αn−1−αn−2=0①，同理可得：βn−βn−1−βn−2=0②，再由①+②，得：
(αn+βn)−(αn−1+βn−1)−(αn−2+βn−2)=0．最后结合题意即可得出
s −s −s =(αn+βn)−(αn−1+βn−1)−(αn−2+βn−2)=0，即s =s +s ．
n n−1 n−2 n n−1 n−2
【解题过程】
解：（1）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的两实根，
1 2
b −2(k+1) c k2+2
∴x +x =− =− =2(k+1)，x x = = =k2+2，
1 2 a 1 1 2 a 1
∴(x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1=k2+2+2(k+1)+1=8，
1 2 1 2 1 2整理，得：k2+2k−3=0，
解得：k =−3，k =1．
1 2
当k=−3时，Δ=b2−4ac=[−2(k+1)) 2 −4(k2+2)=[−2(−3+1)) 2 −4[(−32)+2)=−28<0，
∴此时原方程没有实数根，
∴k=−3不符合题意；
当k=1时，Δ=b2−4ac=[−2(k+1)) 2 −4(k2+2)=[−2×(1+1)) 2 −4(12+2)=4>0，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴k=1符合题意，
∴k的值为1；
（2）①∵x2−x−1=0，
∴a=1，b=−1，c=−1．
∵α，β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
b c
∴α+β=− =1，αβ= =−1，
a a
∴s =α+β=1，s =α2+β2=(α+β) 2−2αβ=12−2×(−1)=3；
1 2
②猜想：s =s +s ．
n n−1 n−2
证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2−α−1=0，两边都乘以αn−2，得：αn−αn−1−αn−2=0①，
同理可得：βn−βn−1−βn−2=0②，
由①+②，得：(αn+βn)−(αn−1+βn−1)−(αn−2+βn−2)=0，
∵s =α +β ，s =α +β ，s =α +β ，
n n n n−1 n−1 n−1 n−2 n−2 n−2
∴s −s −s =(αn+βn)−(αn−1+βn−1)−(αn−2+βn−2)=0，即s =s +s ．
n n−1 n−2 n n−1 n−2
18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2−(m+2)x+4m=0有两个实数根x ,x ，其中
1 2
x m−k−6，然后分三种情况取值即可解答；
【解题过程】
（1）当m=−1时，方程为x2−x−4=0，
Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−4)=17>0，
b c
∴x +x =− =1，x ⋅x = =−4，
1 2 a 1 2 a
即x2+x2=(x +x ) 2−2x x =12−2×(−4)=9；
1 2 1 2 1 2
（2）将A(x ,y ),B(x ,y )代入y=3x+1可得A(x ，3x +1)，B(x ，3x +1)，
1 1 2 2 1 1 2 2
又Δ=(m+2) 2−4×4m>0，
故x +x =m+2,x ⋅x =4m，
1 2 1 2
AB2=(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2
=10(x −x ) 2 ，
1 2
即10(x −x ) 2=10，(x −x ) 2=1，
1 2 1 2
(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =1，
1 2 1 2 1 2(m+2) 2−4×4m=1，
(m−6) 2=33，
m =6+❑√33,m =6−❑√33；
1 2
（3）∵直角三角形两直角边x ,x 为整数，
1 2
∴Δ=b2−4ac=(m+2) 2−4×4m=m2−12m+4为平方数，
不妨令m2−12m+4=k2(k为正整数)，
(m−6) 2−32=k2，
(m+k−6)(m−k−6)=32，
m+k−6>m−k−6，
当①∴m+k−6=32,m−k−6=1，
45
解得m= （不合题意舍去）；
2
当②m+k−6=16,m−k−6=2，
解得m=15，
∴方程x2−17x+60=0，
x =12,x =5，则斜边为13，
1 2
x ⋅x
即S= 1 2=30；
2
当③m+k−6=8,m−k−6=4，
解得m=12，
∴方程x2−14x+48=0，
x =6,x =8，则斜边为10，
1 2
x ⋅x
即S= 1 2=24，
2
综上所述：该直角三角形的面积为30或24．
19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x ，x ，那么x +x =−p，
1 2 1 2
x x =q，请根据以上结论，解决下列问题：
1 2
a b
（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则 + =?
b a（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
{x=x
)
{x=x
)
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 1 和 2 是关于x，y的方程组
y= y y= y
1 2
{x2−y+k=0)
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y y −
x
1−
x
2=2？若存在，求出的k
x−y=1 1 2 x x
2 1
值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
a b
（1）根据a，b是方程x2+15x+5=0的二根，求出a+b，ab的值，即可求出 + 的值；
b a
16 16
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=−c，ab= ，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根据
c c
16
c2−4× ≥0，即可求出c的最小值；
c
x x
（3）运用根与系数的关系求出x +x =1，x x =k+1，再解y y − 1− 2=2，即可求出k的值．
1 2 1 2 1 2 x x
2 1
【解题过程】
（1）解：∵a，b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=−15，ab=5，
a b (a+b) 2−2ab (−15) 2−2×5
∴ + = = =43，
b a ab 5
a b
∴ + =43；
b a
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
16
∴a+b=−c，ab= ，
c
16
∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，
c
16
∴c2−4× ≥0，
c
43
∴c2− ≥0，
c∵c是正数，
∴c3−43≥0，
∴c3≥43，
∴c≥4，
∴正数c的最小值是4；
x x
（3）存在，当k=−2时，y y − 1− 2=2．理由如下：
1 2 x x
2 1
{x2−y+k=0①)
∵ ，
x−y=1②
由①得：y=x2+k，
由②得：y=x−1，
∴x2+k=x−1，即x2−x+k+1=0，
由题意思可知，x ，x 是方程x2−x+k+1=0的两个不相等的实数根，
1 2
{(−1) 2−4(k+1)>0)
∴ x +x =1 ，
1 2
x x =k+1
1 2
3
则k<− ，
4
∵
{x=x
1
)
和
{x=x
2
)
是关于x，y的方程组
{x2−y+k=0)
的两个不相等的实数解，
y= y y= y x−y=1
1 2
∴y y =(x −1)(x −1)，
1 2 1 2
x x (x +x ) 2−2x x
∴y y − 1− 2=(x −1)(x −1)− 1 2 1 2=2，
1 2 x x 1 2 x x
2 1 1 2
(x +x ) 2−2x x
∴x x −(x +x )+1− 1 2 1 2=2，
1 2 1 2 x x
1 2
1−2(k+1)
∴k+1−1+1− =2，
k+1
整理得：k2+2k=0，
解得：k =−2，k =0（舍去），
1 2∴k的值为−2．
20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
1 2
x
的两个实数根，若x 0，m<0且m≠−1，可求出
m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【解题过程】
（1）解：x2+9x+14=0，
(x+2)(x+7)=0，
∴x+2=0或x+7=0，
∴x =−7，x =−2．
1 2
−7 7
∵−7<−2，3< = <4，
−2 2
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x 、x ，
1 2
k+7 k2+3
∴x +x =− ，x x = ．
1 2 2 1 2 2∵x +x +x x =−1，
1 2 1 2
k+7 k2+3
∴− + =−1，
2 2
解得：k =2，k =−1．
1 2
分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，
7
∴x =− ，x =−1，
1 2 2
x 7
∴x 0，m<0且m≠−1，
∴(1−m) 2+4m>0，即(1+m) 2>0，
∴m<0且m≠−1．
分类讨论：①当−1
