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专题 24.6 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 判断直线与圆的的位置关系】..................................................................................................................2
【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】.................................................................................3
【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】.............................................................................3
【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】.................................................................................................4
【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】..............................................................................................................5
【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】..............................................................................................................6
【题型7 切线性质的应用】......................................................................................................................................7
【题型8 切线的判定和性质的综合应用】..............................................................................................................8
【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】.......................................................................................10
【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】................................................................................................11
知识点 1 直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
d与r关系 d＜r d＝r d＞r
公共点名称 割点 切点
直线名称 割线 切线
知识点 2 切线的判定定理和性质定理
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2. 切线的判定定理的推论
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3. 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．
4. 证明直线是圆的切线的方法
一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点
二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径
三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径
【题型1 判断直线与圆的的位置关系】
【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若⊙O的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线
是（ ）
A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【变式1-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出
美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
【变式1-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，2.4为半径作⊙C，则⊙C和
AB的位置关系是 ．
【变式1-3】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中
正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切
【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】
【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的范围是 ．
【变式2-1】已知⊙O和直线L相交，圆心到直线L的距离为10cm，则⊙O的半径可能为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【变式2-2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一
点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
13 13 14 14
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC≤ D．4≤OC≤
3 3 3 3
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知∠BAC=45°，点O在AC上，且AO=4❑√2，
以点O为圆心，r为半径画⊙O．若⊙O与射线AB有1个公共点，则r的取值范围是 ．
【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】
【例3】如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．
若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（ ）
A．0≤x≤3❑√2 B．x＞3❑√2 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3❑√2≤x≤3❑√2，且x≠0
【变式3-1】圆O的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O到该直线的距离可能是（ ）
A．2.5 B．❑√5 C．5 D．6
3
【变式3-2】如图，已知直线y= x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C (0，2) 为圆心，半径为
4
1的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是 ．【变式3-3】在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，点M
的坐标为(−1,0)，若⊙M的半径为2，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2❑√2，则b的值为
．
【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】
【例4】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，
连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A．OC∥AE B．∠OAC=∠CAE C．∠OCA=∠CAE D．OA=AC
【变式4-1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的
度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【变式4-2】在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）
【变式4-3】如图，点C在以AB为直径的半圆上AB=6，∠ABC=30°，点D在线段AB上运动，点E与
点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，当AD长度为 时，
EF与半圆相切．
【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】
【例5】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图：等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于
P，PE⊥AC，垂足为E．求证：PE是⊙O的切线．
【变式5-1】（2025·山东临沂·一模）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD=AC．E是⊙O
外一点，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠ACB，连接BE．
(1)若CD=2，DE=6，求BD的长；(2)求证：EB是⊙O的切线．
【变式5-2】（2025·辽宁朝阳·三模）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，点D为OB上一点，过点
D作DE⊥AB于点D，交AC的延长线于点E，点F为线段DE上一点，且CF=EF．求证：CF是⊙O的
切线；
【变式5-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD
，延长AD交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．
【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】
【例6】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
【变式6-1】如图，AO是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，以点O为圆心，OC为半径画圆，过点
B作AO的垂线，交AO的延长线于点D．求证：AB是⊙O的切线
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式6-3】如图1，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与□O相切于点D，底BC交
⊙O于点E，F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AF，DF，AF交⊙O于点G，点D是弧EG的中点，若AD=2，AF=4，求⊙O的
半径．
【题型7 切线性质的应用】
【例7】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B． 将
△OAB绕点 B 按顺时针方向旋转得到△O′ A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若
∠A′=25°，则∠OCB= °．
【变式7-1】（2025·湖南·中考真题）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，
∠ACB=120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．(1)求∠ACO的度数；
(2)求证：AC=BC．
【变式7-2】（2025·重庆·二模）如图，在△ABC中，AC=BC，⊙O经过点C且与AB相切于点B，交
AC于点D，连接BD，OC，OD．若∠ABD=40°，则∠COD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【变式7-3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分
别交于点D，E，AF与过E点的切线EF垂直，垂足为F．
(1)求证：AC平分∠BAF；
(2)当BC=AC时，求证：CD=CE．
【题型8 切线的判定和性质的综合应用】
【例8】（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，过点B作BC∥OA交
⊙O于点C，连接OC，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图1中作∠C的平分线CD；
(2)在图2中作⊙O的切线AE（切点E不与B重合）．
【变式8-1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作
DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
【变式8-2】已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A,B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的
1
交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+ ∠BOF=90°．
2
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)如果正方形边长为8，求⊙O的半径．
【变式8-3】如图，已知D是⊙O上一点，AB是直径，∠BAD的平分线交⊙O于点E，⊙O的切线BC
交OE的延长线于点C，连接OD，CD．(1)求证：CD为⊙O的切线．
(2)若AB=2，
①若AE∥CD，则BC=________．
②作△AEO关于直线OE对称的△FEO，连接BF，BE，当四边形BEOF是菱形时，求CE的长．
【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例9】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始
时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右运动，那么当⊙P的运动时间t(s)满足条件
时，⊙P与直线CD相交．
【变式9-1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心
P的坐标为(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
【变式9-2】如图，RtΔACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当
⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-3】如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，∠BAD=60°，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以
1cm/s的速度运动，运动的时间为t，PA=1cm． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形
ABCD的边没有交点．
【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例10】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm．
把直线l向上平移 cm，才能使l与⊙O相切?
【变式10-1】如图，⊙O的半径为4 cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移 cm时与
⊙O相切．
【变式10-2】如图，⊙O半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，
AB=16cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（ ）A．2cm B．4cm C．6cm D．16cm
【变式10-3】如图，直线l ∥l ，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l 和l 上的动
1 2 1 2 1 2
点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2
4❑√3
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=❑√3
3
C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l 和l 的距离为2
1 2
