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专题 24.6 直线与圆的位置关系
1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。
教学目标 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性
质进行应用。
1. 重点
（1）直线与圆的位置关系；
（2）切线的判定；
教学重难点
（3）切线的性质。
2. 难点
（1）切线的判定与性质的综合应用。知识点01 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r 直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。
（2）d ＝ r 直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，交点叫
做直线与圆的 切点 。
（3）d＞r 直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。
【即学即练1】
1．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是：相交，
故选：A．
【即学即练2】
2．已知圆心A到直线m的距离为d， A的半径为r，若d、r是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则直线m和
A的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相离
⊙
C．相交 D．相离或相交
【答案】D
【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0
∴x ＝3，x ＝4，
1 2
当d＝3，r＝4时，直线和圆相交，
当d＝4，r＝3时，直线和圆相离．
故选：D．【即学即练3】
3．若直线l与半径为6的 O相交，则圆心O到直线l的距离d为（ ）
A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6
⊙
【答案】A
【解答】解：∵ O的半径为6，直线L与 O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
⊙ ⊙
即0≤d＜6．
故选：A．
【即学即练4】
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线AB相离，则r的
取值范围为（ ）
A．0＜r＜4.4 B．0＜r≤4.4 C．0＜r＜4.8 D．0＜r≤4.8
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
∵以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线AB相离，
∴r＜CD，
1 1 1 1
∵ AC•BC= AB•CD，即 ×6×8= ×10CD，
2 2 2 2
解得CD＝4.8，
∴0＜r＜4.8
故选：C．
知识点02 切线的判定
1. 切线的判定定理：
经过半径的 外端点 且与这条半径 垂直 的直线叫做圆的切线。
2. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
5．如图，AB是 O的直径，点C是弧BD的中点，过点C作CE⊥AD于点E，连接CD．判断EC与 O的
位置关系，并证明．
⊙ ⊙
【答案】见解答
【解答】解：EC与 O相切，理由如下：
连接OC，
⊙
∵点C是弧BD的中点，
∴C^D=^BC，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC为 O的半径，
∴EC与 O相切．
⊙
【即学即练2】
⊙
6．如图，四边形 ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作
⊙ ⊙DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：∠AOD＝2∠BAD．
（2）求证：DF是 O的切线．
⊙
【答案】（1）见详解；
（2）见详解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
⊙
∵∠ACD+∠BCD＝180°，
∴∠ACD＝∠BAD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠AOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ACD，
∴∠AOD＝2∠BAD；
（2）∵∠BAD+DCB＝180°，∠DCF+∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCF，
由（1）可知∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵∠ACD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠DCF，
∴OD∥BF，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
∵OD为半径，
∴DF是 O的切线．
知识点03 切线的性质
⊙
1. 切线的性质：
（1）圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。
【即学即练1】如图， O中，CD是切线，切点是D，直线CO交 O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．45° B．65° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝15°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°．
故选：C．
【即学即练2】
8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在 O上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的直
径为4，则BD的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 B．4 C．2❑√2 D．2❑√3
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵BD是 O的切线，
∴∠OBD＝90°，
⊙
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
∵BD2＝OD2﹣OB2，
∴BD=❑√OD2−OB2=2❑√3，
故选：D．
【即学即练3】
9．如图，P是 O外一点，PA是 O的切线，A是切点，B是 O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与
O、切线PA相交于C、Q两点．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
⊙
（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OA，
在△OBP和△OAP中，
{PA=PB
)
OB=OA ，
OP=OP
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA是 O的切线，A是切点，
∴∠OAP＝90°，
⊙
∴∠OBP＝90°，
∵OB是半径，∴PB是 O的切线；
（2）连接OC
⊙
∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，
设OA＝r，
则r2+42＝（r+2）2，
解得，r＝3，
则OA＝3，BC＝6，
设BP＝x，则 AP＝x，
∵PB是圆O的切线，
∴∠PBQ＝90°，
∴x2+（6+2）2＝（x+4）2，
解得，x＝6，
∴BP＝6，
∴BD＝3，
∴QD=❑√(6+2) 2+32=❑√73，
即QD的值是❑√73．
题型01 判断直线与圆的位置关系
【典例1】如果 O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么 O和直线l的位置关系
是（ ）
⊙ ⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解答】解：∵ O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，
∴5＜7，
⊙
∴直线l与 O的位置关系是相交，
故选：A．
⊙
【变式1】已知 O的半径为2，直线l上有一点M．若OM＝2，则直线l与 O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离或相交
⊙ ⊙C．相离或相切 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2．
此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
【变式2】已知 O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l
与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
⊙
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣1（不符合题意，舍去），
1 2
∴ O的半径等于3，
∵圆心O到直线l的距离d＝2， O的半径等于3，且2＜3，
⊙
∴直线l与 O相交，
⊙
故选：B．
⊙
【变式3】如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直
线OB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝30°，OP＝10cm，
1
∴PD= OP＝5cm，
2
∴以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB相切．
故选：C．
题型02 根据直线与圆的位置关系求值【典例1】已知 O与直线l无公共点，若 O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵ O与直线l无公共点，
∴ O与直线l相离．
⊙
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
⊙
∵ O直径为10cm，
∴ O半径为5cm，
⊙
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
⊙
故选：A．
【变式1】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为 2 或 ❑√5 ．
【答案】2或❑√5．
【解答】解：以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，如图，作PA⊥x轴，
连结OP，
∵点P的坐标为（1，2），
∴OA＝1，PA＝2，
在直角三角形AOP中，由勾股定理得：OP=❑√AP2+OA2=❑√12+22=❑√5，
∵以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴恰好有三个公共点，
∴ P过点O或者 P与x轴相切，
∴r=❑√5或r＝2．
⊙ ⊙
故答案为：2或❑√5．
【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，a为半径画圆．若 C与斜边
12
AB只有一个公共点，则a的取值范围是 a= 或 3 ＜ a ≤ 4 ． ⊙
5
12
【答案】a= 或3＜a≤4．
5
【解答】解：当圆与AB相切时，圆与斜边AB只有一个公共点，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴ C的半径R＝CD，
∵∠BCA＝90°，
⊙∴AB=❑√BC2+AC2=❑√42+32=5，
1 1
∵ AB•CD= BC•AC，
2 2
∴5CD＝3×4，
12
∴CD=
5
12
∴a=
5
当A在圆内部，B在圆外或圆上时，圆与斜边只有一个公共点，
∴3＜a≤4，
12
∴R的取值范围是a= 或3＜a≤4．
5
12
故答案为：a= 或3＜a≤4．
5
题型03 利用切线的性质进行计算
【典例1】如图，△ABC是 O的内接三角形，过点C作 O的切线交BO的延长线于点P，若∠BAC＝
116°，那么∠P的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．26° B．32° C．34° D．38°
【答案】D
【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是 O的切线，
∴PC⊥OC，
⊙
∴∠OCP＝90°，
设∠P＝ ，
∴∠DOC＝90°﹣ ，
α
∵OC＝OD，
α1 1
∴∠OCD＝∠ODC= （180°﹣∠DOC）= （180°﹣90°+ ），
2 2
1 α
∴∠A＝180°﹣∠ODC＝180°− （180°﹣90°+ ）＝116°，
2
∴ ＝38°， α
故选：D．
α
【变式 1】如图，AB，CD为 O的直径，BE与 O相切于点 B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为
（ ）
⊙ ⊙
A．32° B．58° C．64° D．68°
【答案】B
【解答】解：连接DB，
由题可知AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，
∵AB，CD为 O的直径，
∴∠CBD＝∠ADB＝90°，
⊙
∵∠ABC＝32°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝58°
又∵∠ABD+∠A＝∠E+∠A，
∴∠E＝∠ABD＝58°，
故选：B．
【变式2】如图，AB为 O的直径，PB，PC分别与 O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为
⊙ ⊙E，交 O于点D．若CD＝PB＝2❑√3，则BE长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：作CH⊥PB于H，
∵直径AB⊥CD于H，
1
∴CE＝DE= CD=❑√3，
2
∵PC，PB分别切 O于C，B，
∴PB＝PC＝CD＝
⊙
2❑√3，直径AB⊥PB，
∴四边形ECHB是矩形，
∴BH＝CE=❑√3，BE＝CH，
∴PH＝PB﹣BH＝2❑√3−❑√3=❑√3，
∴CH=❑√PC2−PH2=❑√(2❑√3) 2−(❑√3) 2=3，
∴BE＝CH＝3．
故选：C．
【变式3】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的 O的切线交BC于点
E，若CD＝5，CE＝4，则 O的半径是（ ）
⊙
⊙
5 25
A．3 B．4 C． D．
6 8
【答案】D【解答】解：如图，连接OD、BD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是 O的切线，
∴DE⊥OD，
⊙
∴DE⊥BC，
∵CD＝5，CE＝4，
∴DE=❑√CD2−CE2=❑√52−42=3，
1 1
∵S = BD•CD= BC•DE，
△BCD 2 2
3
∴BD= BC，
5
3 2
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，即( BC) +52=BC2，
5
25
解得：BC= ，
4
∵AB＝BC，
25
∴AB= ，
4
25
∴ O的半径是 ，
8
故⊙选：D．
题型04 切线的判定与性质综合
【典例1】已知BC是 O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是 O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是 O的切线；
⊙ ⊙
（2）若AE⊥BC，垂足为M， O的半径为10，求AE的长．
⊙
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是 O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是 O的切线．
⊙
（2）解：如图，∵BC是 O的直径，且AE⊥BC于点M，
⊙
∴AM＝EM，
⊙
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
1 1
∴OM= OA= ×10＝5，
2 2
∴AM=❑√OA2−OM2=❑√102−52=5❑√3，
∴AE＝2AM＝2×5❑√3=10❑√3．
【变式1】如图，CD是 O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，交过点C的
直线于点G，连接DA并延长，交直线CG于点N，且AN＝AG．
⊙
（1）求证：GC是 O的切线；
（2）若AE=❑√7，OF=2，求 O的半径和AM的长．
⊙
⊙【答案】（1）见解答
8 3❑√7
（2） O的半径为 ，AM= ．
3 2
⊙
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AED＝∠AEF＝∠AMC＝90°，
∵∠AFE＝∠CFM，
∴∠EAF＝∠FCM，
∵^BD=^BD，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＝∠BAF，
∵AN＝AG，
∴∠N＝∠G，
∴∠DAG＝∠BAD+∠BAF＝∠N+∠G，
∴∠BAD＝∠BAF＝∠N＝∠G，
∴AB∥GN，
∴CG⊥CD，
∵OC是 O的半径，
∴GC是 O的切线；
⊙
（2）解：连接OA，AC，
⊙
在△AED和△AEF中，
{∠BAD=∠BAF
)
AE=AE ，
∠AED=∠AEF
∴△AED≌△AEF（ASA），
∴DE＝EF，
设OE＝x，则DE＝EF＝x+2，
∴AO＝OD＝2x+2，
在Rt△AOE中有：AO2＝AE2+OE2，即：(2x+2) 2=x2+(❑√7) 2 ，
1
∴x = ，x =−3（舍去），
1 3 21
∴OE= ，
3
8
∴OC=AO= ，
3
8
∴ O的半径为 ，
3
⊙ 8 1
∴EC= + =3，
3 3
∵AB⊥CD，AM⊥BC，
∴AE=BE=❑√7，
∴AB=2❑√7，
∵BC=❑√BE2+EC2=❑√32+(❑√7) 2=4，
1 1
∵S = AB⋅CE= BC⋅AM，
△ABC 2 2
AB⋅EC 2❑√7×3 3❑√7
∴AM= = = ．
BC 4 2
【变式2】
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长
CA交 O于点F，连接BF．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）连接OE，若BF=2❑√5，FC＝10，求OE的长．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是 O的切线．
⊙
⊙（2）解：连接OE，延长DO交BF于点H，
∵AB是 O的直径，
∴∠F＝90°，
⊙
∵∠HDE＝∠DEF＝90°，
∴四边形DEFH是矩形，
∴∠DHF＝90°，
∵AB＝AC，BF＝2❑√5，FC＝10，OH⊥BF，
1
∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH= BF=❑√5，
2
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2❑√5）2+（10﹣AB）2＝AB2，
解得AB＝6，
1
∴OD= AB＝3，
2
∴OE=❑√OD2+DE2=❑√32+(❑√5) 2=❑√14，
∴OE的长为❑√14．
1．如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，
则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
【答案】C
【解答】解：由诗句“日头欲出未出时”可知，直线与圆相交，
故选：C．
2．如图，若 O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
⊙A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【答案】B
【解答】解：∵ O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，
∴直线l与 O相交．
⊙
故选：B．
⊙
3 kx−1
3．已知 O的半径是关于x的方程 − =1的增根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与 O
x−2 x−2
的位置⊙关系是（ ） ⊙
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】A
3 kx−1
【解答】解：∵关于x的方程 − =1的增根x＝2，
x−2 x−2
∴ O的半径是2，
∵圆心O到直线l的距离d＝2，
⊙
∴直线l与 O的位置关系是相切，
故选：A．
⊙
4．已知 O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与 O
的交点个数为（ ）
⊙ ⊙
A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：已知 O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
⊙
解得x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∴ O的半径是3，
∵圆心O到直线l的距离d＝2，3＞2，
⊙
∴直线l与 O的位置关系是相交，
∴直线l与 O有2个交点，
⊙
故选：B．
⊙
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作 C，则正确的是（ ）
A．当r＝2时，直线AB与 C相交
⊙
B．当r＝3时，直线AB与 C相离
⊙
C．当r＝2.4时，直线AB与 C相切
⊙
⊙D．当r＝4时，直线AB与 C相切
【答案】C
⊙
【解答】
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=❑√32+42=5，
1 1
由三角形面积公式得： ×3×4 = ×5×CD，
2 2
CD＝2.4，
即C到AB的距离等于 C的半径长，
∴ C和AB的位置关系是相切，
⊙
故选：C．
⊙
6．如图，AB，CD为 O的直径，BE与 O相切于点B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．32° B．58° C．64° D．68°
【答案】B
【解答】解：连接DB，
∵BE与 O相切于点B，AB是直径，
∴AB⊥BE，
⊙
∴∠ABE＝90°，
∵AB，CD为 O的直径，
∴∠CBD＝∠ADB＝90°，
⊙
∵∠ABC＝32°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣32°＝58°，
∵∠ABD+∠A＝90°，∠E+∠A＝90°，∴∠E＝∠ABD＝58°，
故选：B．
7．如图，以△ABC的边AB为直径作 O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是 O的切
线，则下列补充的条件不正确的是（ ）
⊙ ⊙
A．AD＝CD B．OD∥BC C．∠A＝∠C D．OD＝DE
【答案】D
【解答】解：A、∵AD＝CD，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是 O的切线，故本选项不符合题意；
B、由A选项可知：DE是 O的切线，故本选项不符合题意；
⊙
C、∵OA＝OD，
⊙
∴∠A＝∠ODA，
∵∠A＝∠C，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是 O的切线，故本选项不符合题意；
D、当OD＝DE时，不能证明DE是 O的切线，故本选项符合题意；
⊙
故选：D．
⊙
8．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的 P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将 P沿x轴正方向平移，
使 P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1
【答案】A【解答】解：设平移的距离为m，
∵半径为2的 P的圆心P在x轴上，且与y轴相切，
∴圆心的坐标为（﹣2，0）或（2，0），
⊙
∴﹣3+m＝﹣2 或﹣3+m＝2，
解得m＝1或m＝5，
∴平移的距离为1或5，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10）， P与x轴相切，点A，B在 P上，它们的横
坐标分别是0，18．若 P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐
⊙ ⊙
标是（ ）
⊙
A．（14+4 ，18） B．（14+4 ，16）
C．（14+5 ，18） D．（14+5 ，16）
π π
【答案】C
π π
【解答】解：如图1，设 P与x轴的交点为D，过点P作PC⊥y轴，交y轴于点C，连接PA，PD，
⊙
∵PD⊥x轴，PC⊥y轴，点P的坐标是（8，10），
∴PC＝8，PD＝10，
即 P的半径为10，
∴PA＝PD＝10，
⊙
∴AC=❑√PA2−PC2=6，
延长CP与 P相交，此时交点到点C的距离为18，而点B的横坐标为18，
故交点为点B，
⊙
∴∠DPB＝90°，
如图2，当点B第一次落在x轴上时， P滚动了90°，
⊙1
∴点B滚动的距离为： ×2π×10=5π，
4
点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，点B的对应点为B′，点P的对应点为P′，
此时A′C′＝AC＝6，P'C'＝PC＝8，点A′的纵坐标为P'C'+10＝18，
点A′的横坐标为PC+A'C'+5 ＝14+5 ，
∴点A′的坐标为（14+5 ，18），
π π
故选：C．
π
10． O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交 O于点D，过D点作 O的切线DE交AC
的延长线于点E．有下面四个结论：①∠EDA＝∠ABD；②DE∥BC；③OD⊥BC；④OD＝DE．其中
⊙ ⊙ ⊙
正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：连接BD，∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故③符合题意；∵DE切圆于D，
∴OD⊥DE，
∴BC∥DE，
故②符合题意；
∵AC⊥BC，BC∥DE，OD⊥DE，
∴四边形DECM是矩形，
∴∠CED＝90°，DE＝MC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠ABD，
故①符合题意；
∵OD⊥BC，
∴MC＝BM，
∵OB＞MB，
∴OD＞MB＝ED，
故④不符合题意．
∴其中正确结论的个数为3个．
故选：B．
11．已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，
则r的取值范围为 r ＝ 4. 8 或 6 ＜ r ≤ 8 ．
【答案】r＝4.8或6＜r≤8．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
1 1
∵△ABC的面积= AB•CH= AC•BC，
2 2
∴10×CH＝6×8，
∴CH＝4.8，
当 C与AB相切时，圆与线段AB只有一个交点，
∴r＝CD＝4.8；
⊙当 C的半径大于AC长且小于或等于BC长时，圆与线段AB只有一个交点，
∴6＜r≤8，
⊙
∴r＝4.8或6＜r≤8．
故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．
12．如图，AB是 O的直径，BC切 O于点B，AC交 O于点D，连接OD．若∠BOD＝70°，则∠C的
度数为 55 ° ．
⊙ ⊙ ⊙
【答案】55°．
【解答】解：∵∠BOD＝70°，
1 1
∴∠BAD= ∠BOD= ×70°＝35°，
2 2
∵AB是 O的直径，BC切 O于点B，
∴AB⊥BC，
⊙ ⊙
∴∠C＝90°﹣∠BAD＝55°，
故答案为：55°．
13．如图，AB是 O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB延长线上一动点，要使直线PC与 O
相切，则BP的长等于 2. 5 ．
⊙ ⊙
【答案】2.5．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB是 O的直径，AB＝5，∠A＝30°，
⊙1
∴OA＝OC＝OB= AB＝2.5，
2
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠COP＝∠OCA+∠A＝60°，
∵PC与 O相切，
∴∠OCP＝90°，
⊙
在Rt△OCP中，∠OPC＝90°﹣∠COP＝30°，
∴OP＝2OC＝5，
∴BP＝OP﹣OB＝2.5．
故答案为：2.5．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的 P的圆心在直线AB上，且位于点O
左侧10cm处．若 P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 3 或 7 s后， P与直线CD相切．
⊙
⊙ ⊙
【答案】3或7．
【解答】解：当 P
1
在直线CD左侧时，过点P
1
作P
1
E⊥CD交CD于点E，如图，
⊙
∴P E＝2cm，∠P EO＝90°，
1 1
∵∠AOD＝30°，
∴P O＝2P E＝4cm，
1 1
∴PP ＝OP﹣OP ＝10﹣4＝6cm，
1 1
6
则 P向右移动了6cm，所用时间 =3秒；
2
⊙
当 P 在直线CD右侧时，如图，
2
⊙过点P
2
作P
2
F⊥CD交CD于点F，则P
2
F＝2cm，∠P
2
FO＝90°，
∵∠COB＝∠AOD＝30°，
∴P O＝4cm，
2
∴PP ＝OP+OP ＝14cm，
2 2
14
则 P向右移动了14cm，所用时间 =7秒．
2
故⊙答案为：3或7．
15．如图，在 O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将
正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与 O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平
⊙
移 （❑√5− 1 ）或（ ❑√5+ 3 ） 厘米时，正方形其中一条边与 O相切．
⊙
⊙
【答案】（❑√5−1）或（❑√5+3）．
【解答】解：过O作OH⊥AD于H，OE⊥CD于E交 O于F，
∵四边形ABCD是正方形，
⊙
∴∠ADE＝∠DHO＝∠DEO＝90°，
∴四边形OHDE是矩形，
1 1
∴OE＝HD= AD= ×4=2（厘米），
2 2
∵将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与 O相切，
∴EF＝1厘米，
⊙
∴OF＝3厘米，
延长HO交BC于G，交 O于M，
∴OM＝OF＝OD＝3厘米，
⊙
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴四边形ABGH是矩形，
∴HG＝AB＝4厘米，
∵OH=❑√OD2−DH2=❑√32−22=❑√5，∴OG＝4−❑√5，
∴GM＝OM﹣OG＝3﹣（4−❑√5）＝（❑√5−1）厘米，HM＝HG+GM＝4+❑√5−1＝（❑√5+3）厘米，
∴将正方形ABCD沿射线AB方向平移（❑√5−1）厘米时，BC边与 O相切，将正方形ABCD沿射线
AB方向平移（❑√5+3）厘米时，AD边与 O相切．
⊙
故答案为：（❑√5−1）或（❑√5+3）．
⊙
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画 C，请根据下列条件，
求半径r的值或取值范围．
⊙
（1） C与斜边AB有1个公共交点；
（2） C与斜边AB有2个公共交点；
⊙
（3） C与斜边AB没有公共交点．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=❑√32+42=5，
3×4
∴CD= =2.4．
5
当圆与AB相切时，即r＝CD＝2.4；
当点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4；
（2）∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
∴r的取值范围是2.4＜R≤3；
（3）∵ C与斜边AB没有公共交点，
∴r＜CD或点B在 C的内部，
⊙
∴0＜r＜2.4或r＞4．
⊙17．如图，AB为 O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交 O于点D，D在AB的上方，连接
AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE．
⊙ ⊙
（1）求∠E的度数；
（2）试判断ED与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
【答案】（1）∠E＝30°；
（2）见解答
【解答】解：（1）∵AB为 O的直径，点D在圆上，
∴OA＝OD，
⊙
∵点C为OA的中点，CD⊥AB，
∴AD＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵AD＝AE，
1
∴∠E=∠ADE= ∠OAD=30°；
2
（2）ED与 O的位置关系是相切；理由如下：
由（1）知∠ADE＝30°，∠ADO＝60°，
⊙
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆O的半径，
∴ED是 O的切线．
18．如图，AB是 O的直径，点D在BA的延长线上，DC与 O相切于点C，连接AC，BC，过点B作
⊙
BE⊥DC于点E．
⊙ ⊙
（1）求证：∠ACD＝∠CBE；
（2）若AD＝2，CD＝4，求 O半径的长．
⊙【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：连接CO，如图所示．
∵DC与 O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
⊙
又∵BE⊥DC，
∴BE∥OC，
∴∠CBE＝∠BCO．
∵∠BCO+∠ACO＝90°，∠ACD+∠ACO＝90°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CBE．
（2）解：设半径AO＝CO＝x，
则在Rt△DCO中，由勾股定理有：
DC2+CO2＝DO2，
即x2+42＝（2+x）2，解得：x＝3．
故 O半径的长为3．
19．如图，四边形ABCD内接于 O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长．
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠DAB＝90°，
∴BD是 O的直径，
∴∠BCD＝90°，
⊙
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠CED＝∠CAB，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
即：BD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）解：设BD与AC交于点F，
⊙
由（1）知：BD⊥DE，
∵DE∥AC，
∴BD⊥AC，
1
∴CB＝AB＝4，AF=CF= AC，
2
在Rt△BCD中，BD=❑√BC2+CD2=2❑√5，
1 1
∵S = BC⋅CD= BD⋅CF，
△BCD 2 2
BC⋅CD 2×4 4❑√5
∴CF= = = ，
BD 2❑√5 5
8❑√5
∴AC=2CF= ．
5
20．【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面
直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作 P．若 P交x轴于点M（m，
⊙ ⊙0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．
【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，
AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2．
化简得：m2+bm+c＝0．同理可得： n 2 + b n + c ＝ 0 ．
所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作 C．判断 C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
⊙ ⊙
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（﹣b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交
点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 x 2 + b x + a c ＝ 0 ．
【答案】（1）n2+bn+c＝0；
（2）图象见解答；
（3） C与x轴相切；
（4）x2+bx+ac＝0．
⊙
【解答】解：（1）AN2＝12+n2，BN2＝c2+（﹣b﹣n）2，AB2＝（1﹣c）2+b2，
在Rt△ABM中，AN2+BN2＝AB2，
∴12+n2+c2+（﹣b﹣n）2＝（1﹣c）2+b2，
化简得：n2+bn+c＝0，
故答案为：n2+bn+c＝0；
（2）先在坐标系内找到A（0，1），B（3，﹣2），连接AB，
1
分别A，B为圆心，以大于 AB为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P，
2
以P为圆心，以AB为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．
如图所示：（3）由题意得：x2﹣6x+9＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，
∴方程x2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，
∴ C与x轴只有一个交点，即 C与x轴相切；
（4）由题意得，以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次
⊙ ⊙
方程是x2+bx+ac＝0．
故答案为：x2+bx+ac＝0．
