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专题 24.6 直线与圆的位置关系
1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。
教学目标 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性
质进行应用。
1. 重点
（1）直线与圆的位置关系；
（2）切线的判定；
教学重难点
（3）切线的性质。
2. 难点
（1）切线的判定与性质的综合应用。知识点01 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r 直线与圆 ，有 个交点，直线叫圆的 。
（2）d r 直线与圆相切，与圆只有 个交点，此时直线叫做圆的 ，交点
叫做直线与圆的 。
（3）d＞r 直线与圆 ，与圆 公共点。
【即学即练1】
1．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【即学即练2】
2．已知圆心A到直线m的距离为d， A的半径为r，若d、r是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则直线m和
A的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相离
⊙
C．相交 D．相离或相交
【即学即练3】
3．若直线l与半径为6的 O相交，则圆心O到直线l的距离d为（ ）
A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6
⊙
【即学即练4】
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线AB相离，则r的
取值范围为（ ）
A．0＜r＜4.4 B．0＜r≤4.4 C．0＜r＜4.8 D．0＜r≤4.8
知识点02 切线的判定
1. 切线的判定定理：经过半径的 且与这条半径 的直线叫做圆的切线。
2. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
5．如图，AB是 O的直径，点C是弧BD的中点，过点C作CE⊥AD于点E，连接CD．判断EC与 O的
位置关系，并证明．
⊙ ⊙
【即学即练2】
6．如图，四边形 ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作
DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
⊙ ⊙
（1）求证：∠AOD＝2∠BAD．
（2）求证：DF是 O的切线．
⊙
知识点03 切线的性质
1. 切线的性质：
（1）圆的切线 经过 的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 。
【即学即练1】
如图， O中，CD是切线，切点是D，直线CO交 O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．45° B．65° C．60° D．70°
【即学即练2】
8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在 O上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的直
径为4，则BD的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 B．4 C．2❑√2 D．2❑√3
【即学即练3】
9．如图，P是 O外一点，PA是 O的切线，A是切点，B是 O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与
O、切线PA相交于C、Q两点．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
⊙
（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．
⊙
题型01 判断直线与圆的位置关系
【典例1】如果 O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么 O和直线l的位置关系
是（ ）
⊙ ⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【变式1】已知 O的半径为2，直线l上有一点M．若OM＝2，则直线l与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙A．相交 B．相离或相交
C．相离或相切 D．相交或相切
【变式2】已知 O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l
与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
⊙
【变式3】如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P为圆心，5cm为半径的圆与直
线OB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
题型02 根据直线与圆的位置关系求值
【典例1】已知 O与直线l无公共点，若 O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
⊙ ⊙
【变式1】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为 ．
【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，a为半径画圆．若 C与斜边
AB只有一个公共点，则a的取值范围是 ．
⊙
题型03 利用切线的性质进行计算
【典例1】如图，△ABC是 O的内接三角形，过点C作 O的切线交BO的延长线于点P，若∠BAC＝
116°，那么∠P的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．26° B．32° C．34° D．38°
【变式 1】如图，AB，CD为 O的直径，BE与 O相切于点 B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为
（ ）
⊙ ⊙
A．32° B．58° C．64° D．68°
【变式2】如图，AB为 O的直径，PB，PC分别与 O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为
⊙ ⊙E，交 O于点D．若CD＝PB＝2❑√3，则BE长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的 O的切线交BC于点
E，若CD＝5，CE＝4，则 O的半径是（ ）
⊙
⊙
5 25
A．3 B．4 C． D．
6 8
题型04 切线的判定与性质综合
【典例1】已知BC是 O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是 O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是 O的切线；
⊙ ⊙
（2）若AE⊥BC，垂足为M， O的半径为10，求AE的长．
⊙
⊙
【变式1】如图，CD是 O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，交过点C的
直线于点G，连接DA并延长，交直线CG于点N，且AN＝AG．
⊙
（1）求证：GC是 O的切线；
（2）若AE=❑√7，OF=2，求 O的半径和AM的长．
⊙
⊙【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点
E，延长CA交 O于点F，连接BF．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）连接OE，若BF=2❑√5，FC＝10，求OE的长．
⊙
1．如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，
则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
2．如图，若 O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
⊙A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
3 kx−1
3．已知 O的半径是关于x的方程 − =1的增根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与 O
x−2 x−2
的位置⊙关系是（ ） ⊙
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
4．已知 O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与 O
的交点个数为（ ）
⊙ ⊙
A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作 C，则正确的是（ ）
A．当r＝2时，直线AB与 C相交
⊙
B．当r＝3时，直线AB与 C相离
⊙
C．当r＝2.4时，直线AB与 C相切
⊙
D．当r＝4时，直线AB与 C相切
⊙
6．如图，AB，CD为 O的直径，BE与 O相切于点B．若∠ABC＝32°，则∠E的度数为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A．32° B．58° C．64° D．68°
7．如图，以△ABC的边AB为直径作 O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E．若要使DE是 O的切
线，则下列补充的条件不正确的是（ ）
⊙ ⊙
A．AD＝CD B．OD∥BC C．∠A＝∠C D．OD＝DE
8．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的 P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将 P沿x轴正方向平移，
使 P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
⊙ ⊙
⊙A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1
9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10）， P与x轴相切，点A，B在 P上，它们的横
坐标分别是0，18．若 P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐
⊙ ⊙
标是（ ）
⊙
A．（14+4 ，18） B．（14+4 ，16）
C．（14+5 ，18） D．（14+5 ，16）
π π
10． O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交 O于点D，过D点作 O的切线DE交AC
π π
的延长线于点E．有下面四个结论：①∠EDA＝∠ABD；②DE∥BC；③OD⊥BC；④OD＝DE．其中
⊙ ⊙ ⊙
正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，
则r的取值范围为 ．
12．如图，AB是 O的直径，BC切 O于点B，AC交 O于点D，连接OD．若∠BOD＝70°，则∠C的
度数为 ．
⊙ ⊙ ⊙13．如图，AB是 O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB延长线上一动点，要使直线PC与 O
相切，则BP的长等于 ．
⊙ ⊙
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的 P的圆心在直线AB上，且位于点O
左侧10cm处．若 P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 3 或 7 s后， P与直线CD相切．
⊙
⊙ ⊙
15．如图，在 O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将
正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与 O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平
⊙
移 厘米时，正方形其中一条边与 O相切．
⊙
⊙
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画 C，请根据下列条件，
求半径r的值或取值范围．
⊙
（1） C与斜边AB有1个公共交点；
（2） C与斜边AB有2个公共交点；
⊙
（3） C与斜边AB没有公共交点．
⊙
⊙17．如图，AB为 O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交 O于点D，D在AB的上方，连接
AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE．
⊙ ⊙
（1）求∠E的度数；
（2）试判断ED与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
18．如图，AB是 O的直径，点D在BA的延长线上，DC与 O相切于点C，连接AC，BC，过点B作
BE⊥DC于点E．
⊙ ⊙
（1）求证：∠ACD＝∠CBE；
（2）若AD＝2，CD＝4，求 O半径的长．
⊙19．如图，四边形ABCD内接于 O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长．
⊙
20．【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面
直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作 P．若 P交x轴于点M（m，
0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．
⊙ ⊙【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，
AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2．
化简得：m2+bm+c＝0．同理可得： ．
所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作 C．判断 C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
⊙ ⊙
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（﹣b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交
点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
