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重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球
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知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点
的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
3、球内接圆台，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
例1．（2023·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
例2．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，则球的表面积
为 ．
例3．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱
长分别为2，3，4则球 的表面积是
变式1．（2023·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体 的外接球的表面积为 ，
， ，则长方体 的体积为 .
变式2．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体 中， ， ， ，
则长方体外接球的表面积为 ．
题型二：外接球之正四面体模型
例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为 ，且A，B，
C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
例5．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面
体的棱长是 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）棱长为 的正四面体的外接球体积为 .
变式3．（2023·全国·高一假期作业）正四面体 和边长为1的正方体 有公共顶点
， ，则该正四面体 的外接球的体积为 .变式4．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体 中，其侧面积与底面积之差为
，则该正四面体外接球的体积为 .
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
例7．（2023·高一单元测试）在四面体 中，若 ， ， ，则四
面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ， ，
，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这
个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．例11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱 的所
有顶点都在一个表面积是 的球面上，且 ，则此直三棱柱的表面积是
（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，若三棱柱
的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
变式6．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱 的体积为 ，则其外
接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．6π C．16π D．8π
变式7．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，已知 ， 侧
面 ，且直线 与底面 所成角的正弦值为 ,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2023·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱 所有棱长都为6，则此三棱柱外接球
的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
题型五：外接球之直棱锥模型
例13．（2023·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥 中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱
PA⊥平面ABC，且 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
例14．（2023·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥 中， 面 ， 为等边三角形，且
，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．例15．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥 ，其中 平面
，则三棱锥 外接球的表面积为 .
变式9．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥 中， 为等边三角形， 平
面 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积的最小值为 .
变式10．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥 中， 平面 ，
，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
变式11．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
为菱形， 底面 ， 为对角线 与 的交点，若 ， ，则三棱锥
的外接球的体积为 .
变式12．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥 中， 平面BCDE， ，
， ，且 ，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
变式13．（2023·广东韶关·高二统考期末）三棱锥 中, 平面 , , , ,
则三棱锥 外接球的体积是 ．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
例16．（2023·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为6，则该四
棱锥的外接球的体积为 ．
例17．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥 的顶点都在球O的球
面上，其侧棱与底面所成角为 ，且 ，则球O的表面积为
例18．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥 中，点D在棱 上，
且满足 ， ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为 .
变式14．（2023·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥 的侧棱与底面所成的角为 ，高为
，则该三棱锥外接球的表面积为 .
变式15．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥 中， ，
，该三棱锥的外接球体积为 ．
变式16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台 中，
， ， ，则正三棱台 的外接球表面积为（ ）
A．64 B． C． D．
变式17．（2023·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面
上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2023·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥 的底面边长为6，侧棱长为 ，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
变式19．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥 中， ，若四
棱锥 的体积为 ，则该四棱锥外接球的体积为 ．
变式20．（2023·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台 中， ， ．当该
正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
例19．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
例20．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
例21．（2023·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，且
，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
变式21．（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球
面上， ，△ABC是边长为 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点， ，则球
O的体积为 .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ， ，则
该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
变式23．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在四面体 中， ， ，则四
面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． s D．
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
例22．（2023·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体
积为 .
例23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为 ，
该圆锥内接于球 ，则球 的表面积为 .
例24．（2023·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的
表面积与球的表面积之比为 .
变式25．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为
和 ，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
变式26．（2023·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为 ，
若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）A． B． C． D．
变式27．（2023·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为
3和4，球的表面积为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型九：外接球之垂面模型
例25．（2023·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥 中，平面 平面BCD， 是边长
为2的等边三角形， ， .若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为
.
例26．（2023·四川乐山·高二期末）已知正 边长为1，将 绕 旋转至 ，使得平面
平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
例27．（2023·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥 中，平面 平面 ，点
是 的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
变式28．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱 中， ．设D为 的
中点，三棱锥 的体积为 ，平面 平面 ，则三棱柱 外接球的表面积为
．变式29．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥 中,平面 平面ABC,
, , , 为等边三角形,则三棱锥 外接球的表面积为 ．
变式30．（2023·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形 中，
，沿对角线 将 折起，使平面 平面 ，连接 ，得
到三棱锥 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
变式31．（2023·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，且
， 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
变式32．（2023·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形 中， ，现沿 折起，使
得平面 平面 ，连接 ，得到三棱锥 ，则其外接球的体积为 ．变式33．（2023·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是
边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为 ，则该三棱锥体积的最大值为 .
变式34．（2023·四川乐山·统考三模）在三棱锥 中， ，平面 平面
ABC，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为 ．
变式35．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形 中，
，沿对角线 将 折起，使平面 平面 ，得到三
棱锥 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
题型十：外接球之二面角模型
例28．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2023·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中， ， 是边长为2的等边三角形，
若二面角 的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥 平面 ，
二面角 的大小为 .若点 均在球 的表面上，则该球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式36．（2023·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体 中， 与 都是边长为6的
等边三角形，且二面角 的大小为 ，则四面体 外接球的表面积是（ ）A．52π B．54π C．56π D．60π
变式37．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组
成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形
纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥
，如图2．若二面角 的大小为 ，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在 中， ， ， ， ，沿
将 折起，使得二面角 为60°，得到三棱锥 ，如图2，若 ，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式39．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
，二面角 的大小为 ，若球 的表面积等于 ，则
三棱锥 的体积等于（ ）A． B．
C． D．
变式40．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中， ，二
面角 为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
例31．（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
是球 的直径.若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的
体积为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2023·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 的体积为 ， ， ，
若 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例33．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球
面上, 为球的直径, 是边长为 的等边三角形,三棱锥 的体积为 ,则球的表面积为( )
A． B． C． D．
变式41．（2023·重庆·校联考一模）已知三棱锥 各顶点均在球 上， 为球 的直径，若
， ，三棱锥 的体积为4，则球 的表面积为A． B． C． D．
变式42．（2023·河北唐山·统考三模）三棱锥 的四个顶点都在球面上， 是球的直径， ，
，则该球的表面积为
A． B． C． D．
变式43．（2023·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球
的直径.若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为
A． B． C． D．
变式44．（2023·福建莆田·高三统考期中）三棱锥 的各顶点均在球 上， 为该球的直径，
，三棱锥 的体积为 ，则球的表面积为
A． B． C． D．
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的四个顶点均在某球面上， 为该球的直径，
是边长为4的等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式46．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知 是球 的直径， 是球 球面上的两
点，且 ，若三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面
ABCD， 是对角线 与 的交点，若 ， ，则三棱锥 的外接球的体积为
（ ）A． B． C． D．
例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥 中， ， ， ， ，
，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥 中，
若该三棱锥的体积为 ，则三棱锥 外球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
变式47．在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四
面体 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式48．三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球的半径为
题型十三：外接球之坐标法模型
例37．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系 中，
则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．例38．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：
）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该
球表面积的最小值为
例39．（2023·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 中，
为等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 外接球的表面积为 .
变式49．（2023·全国·高三专题练习）如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ，
的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体
的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
变式50．（2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥
，底面 是边长为3的正方形， 面 ， ， ， ，若，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式51．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中 中， ，AD＝2，M是棱
的中点，过点B，M， 的平面 交棱AD于点N，点P为线段 上一动点，则三棱锥 外接球
表面积的最小值为 ．
变式52．（2023·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱
､ 的中点，G为面对角线 上一个动点，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为
.
变式53．（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体 的棱长为2，点
是线段 上的动点，则三棱锥 的外接球半径的取值范围为 ．
题型十四：外接球之空间多面体
例40．（2023·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务
群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累
计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体
得到的，如果被截正方体的的棱长为 ，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．例41．（2023·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可
由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿
棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为
.
例42．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面
的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个
小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于 ．
变式54．（2023·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n
边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面
体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接
球的表面积等于（ ）A． B． C． D．
题型十五：与球有关的最值问题
例43．（2023·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱 中， ，
棱柱的侧棱足够长，点P在棱 上，点 在 上，且 ，则当△ 的面积取最小值时，三
棱锥 的外接球的体积为 .
例44．（2023·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱 中，
，点 在棱 上，且 ，当 的面积取最小值时，三棱锥
的外接球的表面积为 .
例45．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体 的棱长为2，点 平面
，点 是线段 的中点，若 ，则当 的面积取得最小值时，三棱锥 外接
球的体积为 .
变式55．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱 中， ⊥ ，
， ，点P在棱 上，且 ，当 的面积取最小值时，三棱锥 的外接
球的表面积为 ．变式56．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，
底面 为等腰直角三角形且 ，若该三棱锥体积的最大值为 ，则其外接球的表面积为
.
变式57．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD
为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为
．
变式58．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥 中， 底面 ， ，
， 为 的中点，若三棱锥 的顶点均在球 的球面上， 是球 上一点，
且三棱锥 体积的最大值是 ，则球 的体积为 .
变式59．（2023·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点 ， ， ， 在同一个球的球面上，
，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为 .
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
例46．（2023·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体 的内切球的球心为 ，则
球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
例47．（2023·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱 存在内切球，若
，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例48．（2023·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
变式60．（2023·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积
之比为（ ）
A． B． C． D．
变式61．（2023·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱 中，D是侧棱 上一点，
E是侧棱 上一点，若线段 的最小值是 ﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有
面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式62．（2023·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和
内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
变式63．（2023·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱 各面的距离都相等，球O是直三
棱柱 的内切球，若球O的表面积为 ， 的周长为4，则三棱锥 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
题型十七：内切球之正四面体模型
例49．（2023·高一课时练习）边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为 ，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
例51．（2023·江苏·高一专题练习）正四面体 的棱长为 ，则它的内切球与外接球的表面积之
比为（ ）A． B． C． D．
题型十八：内切球之棱锥模型
例52．（2023·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形 中， ，沿着对角线
将 折起，使得点 不在平面 内，当 时，求该四面体 的内切球和外接球的表
面积比值为（ ）
A． B． C． D．
例53．（2023·广西·高二校联考期中）已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
例54．（2023·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， ，
，若三棱锥 的内切球 的表面积为 ，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式64．（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥 中， 平面
，且 ，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球
为三棱锥 的内切球），则球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
变式65．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多
面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式66．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四
面体称为鳖臑.在鳖臑 中， 平面 ， ，且 ，则其内切球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
例55．（2023·全国·高三专题练习）在Rt 中， .以斜边 为旋转轴旋转一周得到一个
几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例56．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为 ，底面直径为 ，其内有一球与该圆锥的侧面和底
面都相切，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例57．（2023·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆
锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
变式67．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式68．（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
变式69．（2023·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台 的上､下底面边长分别
为 分别为 ， 的中点，8个顶点 构成的十面体恰有内
切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式70．（2023·湖北咸宁·高二统考期末）已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均
相切），且圆台的上、下底面半径 ，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
例58．（2023·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知球 与一正方体的各条棱相切，
同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．例59．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O与三棱柱
的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例60．（2023·全国·高三专题练习）已知球与棱长为 的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式71．（吉林省吉林市2023届高三第四次数学（理）调研试题）已知正三棱柱 (底面为正
三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱
柱的侧棱长为 .
变式72．（福建省三明市2023届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱 的侧棱长
为 ，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 .
变式73．已知正三棱柱 ，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧
棱长为 .
变式74．（广东省茂名市五校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一
个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十一：棱切球之正四面体模型
例61．（2023·全国·高一期中）已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正
四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
例62．（2023·陕西西安·高一校联考期中）所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的
内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．例63．（2023·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中）球与棱长为 的正四面体各条棱都相切，则该
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式75．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球 的表面积为 ，若球 与正四面体 的六条
棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
变式76．（2023·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，
则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
例64．（河南省名校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题）已知棱长均为 的多面体
由上､下全等的正四棱锥 和 拼接而成，其中四边形 为正方形，如
图所示，记该多面体的外接球半径为 ，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为
，则 ．
例65．（河南省多所名校2022-2023学年高三下学期3月月考文科数学试题）在正三棱锥 中，
， ，若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
例66．（安徽省马鞍山市2023届高三下学期第二次教学质量监测理科数学试题）球被平面截下的一部分
叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中 为球的半径， 为球缺的高.若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，
则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为 .
变式77．（2023·全国·高三专题练习）正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，若球H与正
三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式78．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，
，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式79．（2023·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱
锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
变式80．（2023·江苏·高一专题练习）在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥
的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
题型二十三：多球相切问题
例67．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架
桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重
器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大
球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，
则模型中九个球的表面积和为（ ）A． B． C． D．
例68．（2023·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入
一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积
为（ ）
A． B． C． D．
例69．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的
内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若 ，则该模型中一个小球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式81．（2023·全国·高三专题练习）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 的正四棱锥 中，
大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的表面积为 ．变式82．（2023·全国·高一专题练习）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空
隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
变式83．（2023·全国·高三专题练习）已知球 是棱长为24的正四面体 的内切球，球 与球 外
切且与正四面体的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式84．（2023·全国·高一专题练习）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各
面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
