文档内容
重难点突破 01 玩转外接球、内切球、棱切球
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................7
题型一：外接球之正方体、长方体模型............................................................................................7
题型二：外接球之正四面体模型........................................................................................................7
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型........................................................................................8
题型四：外接球之直棱柱模型............................................................................................................8
题型五：外接球之直棱锥模型............................................................................................................9
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型............................................................................................9
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型..........................................................................................10
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型......................................................................................10
题型九：外接球之垂面模型..............................................................................................................11
题型十：外接球之二面角模型..........................................................................................................12
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型......................................................................................13
题型十二：外接球之共斜边拼接模型..............................................................................................14
题型十三：外接球之坐标法模型......................................................................................................15
题型十四：外接球之空间多面体......................................................................................................15
题型十五：与球有关的最值问题......................................................................................................16
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................17
题型十七：内切球之正四面体模型..................................................................................................18
题型十八：内切球之棱锥模型..........................................................................................................18
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型..............................................................................................19
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................20
题型二十一：棱切球之正四面体模型..............................................................................................20
题型二十二：棱切球之正棱锥模型..................................................................................................20
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型......................................................................................21
题型二十四：多球相切问题..............................................................................................................21
03 过关测试.........................................................................................................................................22知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
3、球内接圆台，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例1-1】正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，则球的表面积为 ．
【变式1-1】长方体 的外接球的表面积为 ， ， ，则长方体
的体积为 .
题型二：外接球之正四面体模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切球也是
棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2-2】已知正四面体 的外接球表面积为 ，则正四面体 的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体 的外接球表面积为 ，则正四面体 的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图所示，正四面体 中, 是棱 的中点, 是棱 上一动点， 的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ，
， ，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在三棱锥 中， ， ， ，则该三棱锥的外接球
表面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体 中，
，则四面体 外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上，若
，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的表面上，若
， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．【变式4-1】已知正六棱柱 的每个顶点都在球O的球面上，且 ， ，
则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边
长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：外接球之直棱锥模型
【典例5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥 中， 平面 ， ，
，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
【典例5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”
中， 平面 ， ， ， ，则“鳖臑” 外接球体积的最小值为
．
【变式5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥 中， ， ，D为AC
的中点， 平面ABC，且 ，则三棱锥 外接球的表面积为 ．
【变式 5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥 中， ， 平面 ABC， ，
，则三棱锥 外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台 的上、下底面边长分别为 ， ，
且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥 中， ， ，
则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为 ，体积为 ，
则该正三棱台的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥 的侧棱长为 ，且二面角 的正切值
为 ，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥 中， ，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式7-1】在三棱锥 中， ，二面角 的大小为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为 ．
【变式7-2】已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，且 ，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为 ，球 是该圆柱的外接球，则球 的表面积为 ．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为 ，半径为 ，下底面圆心为 ，半径为
，高为 ，若该圆台的外接球球心为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为
和 ，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（ ）A． B． C． D．
题型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将
折叠，形成三棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，
是 的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，
使点 到达 的位置，且二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形 中， ，将 沿
对角线 折起，使得点 翻折到点 ，若面 面 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥 中，已知
，且平面 平面ABC，则三棱锥 的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
题型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱锥 中，二面角 的大小为 ， ， ，则
三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【典例10-2】如图，在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的
大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为 .
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥 中， ，三角形 为正
三角形，若二面角 为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为1的菱形 中 ，将 沿 折起，使
二面角 的平面角等于 ，连接 ，得到三棱锥 ，则此三棱锥 外接球的表
面积为 .题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形 ，且
， ，现将 沿 折起，使得点 到达点 处，且二面角 的
大小为 ，连接 ，如图②，若三棱锥 的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥 的外接球为球 ， 为球 的直径，且
， ， ，则三棱锥 的体积为 .
【变式11-1】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径.若平面 平面
， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 的体积为 ， ，
，若 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例12-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线 与 的交
点，若 ， ，则三棱锥 的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【典例12-2】已知三棱锥 中， ， ， ， ， ，则此三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】在三棱锥 中， 若该三棱锥的体积为
，则三棱锥 外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例13-1】空间直角坐标系 中， 则四面体ABCD外接球体积
是（ ）
A． B． C． D．
【典例13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 中，
为等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 外接球的表
面积为 .【变式13-1】如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ， 的中点，将 沿
折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体 的外接球体积是
（ ）
A． B． C． D．
题型十四：外接球之空间多面体
【典例14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将
正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如
图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为
面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一
个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正
多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 ，则其外接
球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【变式14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产
生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的
截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
题型十五：与球有关的最值问题
【典例15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥 中，若 ，其中
是边长为2的正三角形，则四棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
32√3π
A． B． C． D．
27
【典例15-2】在 中， ， ，E，F，G分别为三边 ， ， 的中点，将
， ， 分别沿 ， ， 向上折起，使得A，B，C重合，记为 ，则三棱锥
的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形，
， ，点 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 外接球表面积的最
大值为（ ）
A． B． C． D．【变式 15-2】（2024·浙江·模拟预测）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例16-1】棱长为2的正方体 的内切球的球心为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例16-2】在正三棱柱 中，D是侧棱 上一点，E是侧棱 上一点，若线段
的最小值是 ﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外
接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表
面积为 ，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例17-1】已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】已知正四面体的棱长为 ，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-1】边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．题型十八：内切球之棱锥模型
【典例18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为
m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例18-2】若正四棱锥 体积为 ，内接于球O，且底面 过球心O，则该四棱锥内切球
的半径为（ ）
A． B．4 C． D．
【变式18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 中，
平面 ， ，且 ，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式18-2】已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B．
C． D．题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为 ，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
【典例19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均
相切）的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【变式19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在
内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与
其所有棱都相切）的表面积分别为 ，则 ．
【典例20-2】已知球 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之
比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【变式20-1】已知正三棱柱 的体积为 ，若存在球 与三棱柱 的各棱均相切，
则球 的表面积为 .
【变式20-2】已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O与三棱柱 的各棱均相切，
则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例21-1】已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【典例21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
【变式21-1】球与棱长为 的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
【典例22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为 ，求与该三棱锥6条棱都相
切的球的表面积为 .
【典例22-2】在正三棱锥 中， ， ，若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则
球O的表面积为 ．
【变式22-1】正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，
则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例23-1】已知四面体 中， ， ， ， ，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台 中， ，若球
与上底面
A B C D
以及棱 均相切，则球 的表面积为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．题型二十四：多球相切问题
【典例24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相
切，若 ，则该模型中一个小球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例24-2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使
得球 与球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式24-1】棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【变式24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为 ，其内
切球为球O，若在此三棱锥中再放入球 ，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球 的半径为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱 的外接球表面积为 ，则
该三棱柱的体积为（ ）
A．2 B． C．4 D．2．（2024·安徽·三模）已知圆台 的上、下底面积分别为 ， ，体积为 ，线段 ， 分别
为圆台 上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体 的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．在直三棱柱 中， ， ， ， ，该直三棱柱的外接球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥 中， ， ，底面 是边长为1的正
三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知四面体 的体积为3，从顶点 出发的三条棱 两两垂直，若 ，则该四面体外
接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥 中， ，若
是等边三角形，则三棱锥 的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·陕西宝鸡·三模） 与 都是边长为2的正三角形，沿公共边 折叠成三棱锥且
长为 ，若点 ， ， ， 在同一球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥 中， 平面 ，若 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．11．（2024·四川自贡·二模）在 中， ， ， 为 的中点，将 绕 旋
转至 ，使得 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．正四棱锥 的底面边长为 ， 则平面 截四棱锥 外接球所得截面的
面积为（ ）.
A． B． C． D．
13．（2024·河南开封·三模）已知正方体 的棱长为1，P为棱 的中点，则四棱锥P－
ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 为边长为 的正
方形， ，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
15．在直三棱柱 中， 为等边三角形，若三棱柱 的体积为 ，则该三棱
柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， 底面 .
若 ， ，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱 的侧面积为36，则与三棱柱 各棱均相
切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
18．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的
最大半径为（ ）A． B． C． D．
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱 存在内切球，若 ，则该三棱柱
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八
面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ， ，这个三棱锥的内切球和外接
球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，
则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥 的底面直径为6，则
（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为 ，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，则C．设圆锥的体积为 ，内切球的体积为 ，则
D．设 是圆锥底面圆上的两点，且 ，则平面 截内切球所得截面的面积为
23．（多选题）（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为 ，其轴截面 是边长为2的为等边三
角形，球 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切）， 是球 与圆锥母线 的交点， 是底面圆弧上
的动点，则（ ）
A．球 的体积为
B．三棱锥 体积的最大值为
C． 的最大值为3
D．若 为 中点，则平面 截球 的截面面积为
