第二十四章圆（单元重点综合测试）（教师版）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十四章 圆（单元重点综合测试） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）下列命题中正确的是（ ） A．圆心角相等，所对的弦相等 B．长度相等的弧是等弧 C．弧是半圆 D．弦的垂直平分线必经过圆心 【答案】D 【分析】根据圆的相关定义，垂径定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故该选项不正确，不符合题意； B. 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； C. 弧是圆的一部分，半圆是圆的一半，故该选项不正确，不符合题意； D. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的相关定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示， 为 的弦， ，则 的度数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质，等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵ 为 的弦， ， ∴ ， ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键． 3．（2022秋·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考期中）如图， 是 的弦， 交于点C，点D是 上一点， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由圆周角定理得到 ，再由垂径定理得到 ，则 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等弧所对的圆心角相等，灵活运用所学知识是解题的关 键． 4．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如 图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】由题意可知， ， ，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到 ，再利用勾股 定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R， ， 是半径，且 ， ， 在 中， ， ， 解得： ， 故选B 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 5．（2023·广东梅州·统考二模）如图所示， 为 的直径， 是 上的点， ，垂足为点 ， ，过点 作 的切线交 延长线于点 ，在不添加辅助线的情况下，角度为 的角 的个数为（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D【分析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质得 ，从而得 再根据 ，即可得 ，最后根据 是 的切线，得 ，从而得 ，即可得出 答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 是 的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ 即在不添加辅助线的情况下，角度为 的角的个数为5个． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定 理和切线的性质上解题的关键． 6．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，半圆 的直径 ，若点 ， 在半圆上运动，且保 持弦 ，延长 、 相交于点 ．记 的度数为 ， 的面积为 ．则以下结论正确的是 （ ） A． 随 ， 运动而变化， 随 ， 运动而变化 B． 不随 ， 运动而变化， 不随 ， 运动 而变化C． 随 ， 运动而变化， 不随 ， 运动而变化 D． 不随 ， 运动而变化， 随 ， 运动而 变化 【答案】D 【分析】连接 ，易证 为等边三角形，则 ，根据圆周角定理得出 ，再根据直径所对的圆周角为直角得出 ，最后根据三角形的内角和即 可求出 的度数；根据三角形的面积公式，得出 ，即可判断y是否变化． 【详解】解：连接 ， ∵ 为直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴在 中， ， 即 不随 ， 运动而变化， 过点E作 于点F， ∴ ，∵ 的长度随 ， 运动而变化， ∴ 随 ， 运动而变化， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角． 7．（2022春·九年级课时练习）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形 ，粮堆母线 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则 小猫所经过的最短路程是（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间 的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点 是半 圆的一个端点，而点 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点 和 在展开图中的距离， 就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】解：圆锥的底面周长是 ，则 ， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中 ， ， 度． 在圆锥侧面展开图中 ． 故小猫经过的最短距离是 ．故选： ． 【点睛】本题考查的是平面展开 最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 8．（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，�B�90 ，AB3，AC 5，以点B为 圆心的B的半径为r，若对于r的一个值，B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案， 12 甲答： ．乙答： ．丙答：r ．则正确的是（ ） r 4 3r4 5 A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】D 12 【分析】由勾股定理求出 ，再根据等面积法求出斜边 上的高为 ，再根据半径 的情况，分别 BC 4 AC 5 r 作出图形，进行判断即可得到答案． 【详解】解： AB3，AC 5， BC  AC2AB2  5232 4 ， 34 12 斜边 上的高为：  ，  AC 5 5 当r 4时，画出图如图所示： ， 此时ABC在圆内部，B与AC只有一个交点， 当3r4时，画出图如图所示，， 此时B与AC只有一个交点， 12 当r 时，画出图如图所示： 5 ， 此时B与AC只有一个交点，  三人的答案合在一起才完整， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解 题的关键． 9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图， 、 为 的两条弦， ， ，将 折叠 后刚好过弦 的中点D，则 的半径为（ ） A． B． C．5 D． 【答案】B【分析】连接 ，作 于 ，连接 、 、 、 ，过点O作 于F，可由 推出 ，进而利用勾股定理求得 ， ，然后证明四边形 是矩形，可得 ， ，再利用勾股定理构建方程求出 ，然后可求半径 ． 【详解】解：如图，连接 ，作 于 ，连接 、 、 、 ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 过点O作 于F， ∵点D是 中点， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， 又∵ ， ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ，∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等 知识，解决问题的关键是作辅助线，求出 ， ． 10．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分 别交于A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆 上运动时， 面积的最大值是（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延长线 恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当 时， ，当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的底边 为定值， ∴使得 底边上的高最大时，面积最大， 点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，∵ ， 的半径为1， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最 大值是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知 为 的直径， ， 交 于点 D， 交 于点E， ．则 的度数等于 度．【答案】23 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ， ，再根据圆周角定理 得到 ，则利用互余可计算出 ，然后计算 即可． 【详解】解： ， ， ， ， 为直径， ， ， ． 故答案为：23． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径． 12．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，已知 的半径为3，圆心P在抛物线 上 运动，当 与x轴相切时，则圆心P的坐标为 ． 【答案】 或【分析】先利用相切确定 点的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：抛物线 ， 所以抛物线顶点为 因为圆与x轴相切，圆心在抛物线上 ∴P点纵坐标为3， 令 ， 得 ， 故 或 ， 故答案为 或 ． 【点睛】本题考查了切线的性质和二次函数综合，掌握圆的切线垂直于过切点的半径确定点P的纵坐标是 解题关键． 13．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形 的边长为1，分别以点C，D为圆心， 长为半 径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ） 【答案】 【分析】连接 ， ，由 ，得 ，求出 ，根 据公式求出 ，即可得到阴影面积． 【详解】如图，连接 ， ， 由题意，得 ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方 法连接辅助线是解题的关键． 14．（2023·湖北襄阳·统考二模）在 中， ，则这个三角形的外接圆半径为 ． 【答案】 或 【分析】根据直角三角形外接圆的性质，其圆心是直角三角形斜边中点，从而利用勾股定理求出斜边长即 可得到答案，注意题中并没有指明具体的直角，需要分类讨论求解． 【详解】解：在 中， ，则分三种情况： ①当 ，如图所示：这个三角形的外接圆半径为 ； ②当 ，如图所示： ， 这个三角形的外接圆半径为 ； ③当 ， ， 由于直角三角形中斜边大于直角边，则该情况不存在； 综上所述，这个三角形的外接圆半径为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，设计勾股定理，根据题意，分类讨论求解是解决问题的关键． 15．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的 中，弦 ，弦 ，且 ，则 与 之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦 与 的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦 与 在圆心同侧； ②弦 与 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦 与 在圆心同侧时，如图①，过点O作 ，垂足为F，交 于点E，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴由勾股定理得： ， ， ∴ ； ②当弦 与 在圆心异侧时，如图， 过点O作 于点E，反向延长 交 于点F，连接 ， 同理 ， ， ， 所以 与 之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 16．（2023·全国·九年级假期作业）如图，在 中， ， ， ，过点 作 的平行线 ， 为直线 上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为 ．【答案】2 【分析】连接 ．首先证明 ，由此推出点 在以 为圆心， 为半径的 上运动，连接 交 于 ，此时 的值最小． 【详解】解：如图，连接 ． ， ， ， ， 点 在以 为圆心， 为半径的 上运动， 连接 交 于 ，此时 的值最小．此时 与 交点为 ． 所对圆周角为 ， ， 过点 作 ，垂足为 ，是等腰三角形， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系， 解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维 修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽 ，水面最深地方的高度为 ，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答； （2）作 于D，并延长交 于C，则D为 的中点，则 ，设这个圆形截面的半径为 ，在 中，运用勾股定理求出x即可． 【详解】（1）如图所示；（2）作 于D，并延长交 于C，则D为 的中点， ∵ ， ∴ ． 设这个圆形截面的半径为 ， 又∵ ， ∴ ， 在 中， ∵ ，即 ， 解得 ． ∴圆形截面的半径为 ． 【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键． 18．（2022春·九年级单元测试）如图，矩形 中 ， .作 于点E，作 于 点F． (1)求 、 的长； (2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求 的 半径r的取值范围．【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出 ，根据等积法求出 ，根据勾股定 理求出 ； （2）根据 ，结合点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形 中 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 同理可得： ， 在 中， ； （2）解：∵ ， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在 圆内，点D、C在圆外， ∴ 的半径r的取值范围为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是 熟练掌握点与圆的位置关系． 19．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，如果 ．(1)求 的度数． (2)若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余可计算出 的度数； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】（1）解： 是 的直径， ， ， ； （2）∵ ， ∴在 中， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径． 20．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在 中， ，点 是 边的中点，点 在 边上， 经过点 且与 边相切于点 ， ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作 ，垂足为点 ，连接 ，证明 是 的平分线，进而根据 ，，可得 是 的切线； （2）勾股定理得出 ，设 的半径为 ，则 ，进而根据切线的性质，在 中，勾股 定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作 ，垂足为点 ，连接 ， ， 是 的中点， ， ， ， 又 ， ， 即 是 的平分线， 点 在 上， 与 相切于点 ， ，且 是 的半径， ， 是 的半径， 是 的切线； （2）解：如图，在 中， ， ， ， ， ， 是 的切线， ， 设 的半径为 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ．的半径长为 ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 21．（2023·上海静安·统考二模）如图，在矩形 中，点 是边 的中点， 是 的外接圆， 交边 于点 ． (1)求证： ； (2)当 是以点 为中心的正六边形的一边时，求证： ． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则 ，根据“全等 三角形的对应边相等”得到 （2）连接 ，并延长PO交AD于点M，先证明 ，再根据“有一个角是 的等腰 三角形是等边三角形”得到 为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到 ，则 ，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得 到 ． 【详解】（1）四边形 是矩形，且点 是边 的中点， 在 和 中， ， ∴ ；（2）证明：如图，连接 ，并延长 交 于点 ， 四边形 是矩形， ∴ ∵ ， ， ∴点 、 都在线段 的垂直平分线上， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ， 是以点 为中心的正六边形的一边， 由正六边形性质可得∶ ， ∵ ， 是等边三角形， 又 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平 分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是 解题的关键． 22．（2023·湖北武汉·统考三模）如图， 是等腰 的外接圆， ， 为 上一点， 为 的内心．(1)求证： ； (2)过点 作 ，垂足为 ，若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由圆周角定理及等腰三角形性质可知 ， ，由 为 的内 心，可知 ，进而可得 ； （2）过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，在 上截取 ，使 ，连接 ， ．根据等腰直角三角形的性质易证 可得 ， ，进而求得 ，由 是 的内心，可知 ， ， 都是切点，根据切线长定理可知 ， ， ．由 可求得结果． 【详解】（1）证明：∵ 是直径， ∴ ． ∵ 为 的内心， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ． ∴ ． ∴ ； （2）解：过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，在 上截取 ，使 ，连接 ， ．∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， 又 ， ∴ ． ∴ ， ． ∴ ． ∴ ， ∵ 是 的内心， ， ， 都是切点， ∴ ， ， ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线长定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形 的内心，熟练掌握相关性质及定理是解决问题的关键． 23．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）如图， 中， ， ， ，延长 到点D，使 ．点P是 边上一点，点Q在射线 上， ，以点P为圆 心、PD长为半径作 ，交A 于点E，设 ． (1) ______，当点Q在 上时， ______； (2)x为何值时， 与 相切？ (3)当 时，求阴影部分的面积； (4)若 与 的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1； (2) (3) (4) 或 【分析】（1）先由勾股定理求得 ，再由 ，可得 的长，从而 的长可求；当点Q在 上 时，如图，根据 推得 ，从而列出方程，解得x的值即可； （2）作 于点F，当 时， 与 相切，如图2，由正弦函数得出关于x 的方程，解得 x的值即可； （3）如图3，连接 ，利用 E即可得出答案； （4）由（2）和（3）进行分类讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ， ， ∴根据勾股定理可得： ， ∴ ， ∴ ， ， 当点Q在 上时，如图，∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 解得： ； 故答案为：1， ； （2）解：作 于点F，当 时， 与AB相切，如图1， 则 ， ， ∴ ，解得 ． ∴ 时， 与AB相切． （3）解：如图2，连接 ． ∵ 中， ， ， ∴ ， ， ∴． （4）解： 或 ． 由（2）可知，当 时， 与 的三边有两个公共点； 如图3，当点B在 上时， ，即 ， 解得 ． 当点A在 上时， ． ∴当 时， 与 的三边有两个公共点． ∴x的取值范围为 或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列 分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．