文档内容
重难点突破 01 玩转外接球、内切球、棱切球
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................7
题型一：外接球之正方体、长方体模型............................................................................................7
题型二：外接球之正四面体模型........................................................................................................8
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型......................................................................................11
题型四：外接球之直棱柱模型..........................................................................................................13
题型五：外接球之直棱锥模型..........................................................................................................15
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型..........................................................................................18
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型..........................................................................................22
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型......................................................................................25
题型九：外接球之垂面模型..............................................................................................................27
题型十：外接球之二面角模型..........................................................................................................32
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型......................................................................................36
题型十二：外接球之共斜边拼接模型..............................................................................................39
题型十三：外接球之坐标法模型......................................................................................................42
题型十四：外接球之空间多面体......................................................................................................45
题型十五：与球有关的最值问题......................................................................................................47
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................51
题型十七：内切球之正四面体模型..................................................................................................53
题型十八：内切球之棱锥模型..........................................................................................................55
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型..............................................................................................58
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................60
题型二十一：棱切球之正四面体模型..............................................................................................63
题型二十二：棱切球之正棱锥模型..................................................................................................65
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型......................................................................................68
题型二十四：多球相切问题..............................................................................................................69
03 过关测试.........................................................................................................................................73知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
3、球内接圆台，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例1-1】正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为 ，因为正方体的表面积为 ，可得 ，解得 ，
则正方体的对角线长为 ，
设正方体的外接球的半径为 ，可得 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径 与正方体棱长 之间的关系为 ，
由 ，可得 ，所以球的表面积 .
答案：
【变式1-1】长方体 的外接球的表面积为 ， ， ，则长方体
的体积为 .
【答案】
【解析】因为长方体 的外接球的表面积为 ，
设球的半径为 ，由题意 ， ， ，长方体 的外接球的一条直径为 .
因为 ， ，所以 ， ，
则长方体 的体积为 .
故答案为：
题型二：外接球之正四面体模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切球也是
棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为 ，球的半径为 ，圆锥的底面半径为
R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得 ， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故 ，
解得 ，故正四面体的外接球的半径 .
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，从图中可以得到，当正四面体的棱长为 时，截得它的正方体的棱长为 ，而正四面体的四个顶点都在
正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以 ，解得 ,
故选：A
【典例2-2】已知正四面体 的外接球表面积为 ，则正四面体 的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】 正四面体 的外接球表面积为 ，
，解得 （负值舍去），
设四面体的棱长为 ，取 的中点 ，连接 ，
设顶点 在底面 的射影为 ，则 是底面 的重心，连接 ，则外接球的球心在 上，设为 ，
连接 ，
则 ， ，
则 ，
所以 ，
在直角 中， ，即 ，
即 ，得 ，得 （舍 或 .
故选：D
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体 的外接球表面积为 ，则正四面体 的
体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设外接球半径为 ，则 ，解得 ,
将正四面体 恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，
则正四面体 的外接球即为正方体的外接球，
则正方体的体对角线等于外接球的直径，
故 ，解得 ，正方体棱长为 ，
故该正四面体的体积为 ，
故选：A．
【变式2-2】如图所示，正四面体 中, 是棱 的中点, 是棱 上一动点， 的最小值为
，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将侧面 和 沿 边展开成平面图形,如图所示,菱形 ,在菱形 中,连接 ,交 于点 ,则 的长即为 的最小值,即 ,
因为正四面体 ,所以 ,所以 ,
因为 是棱 的中点,所以 ，
所以 ,
设 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 ,
则正四面体 的棱长为 ,
所以正四面体的外接球半径为 ,
所以该正四面体外接球的表面积为 ,
故选：A
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ，
， ，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体 的外接球的半径为 ,
则四面体 在一个长宽高为 的长方体中，如图，则 故 ，
故四面体ABCD外接球的体积为 ，
故选：C
【典例3-2】在三棱锥 中， ， ， ，则该三棱锥的外接球
表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以可以将三棱锥 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有 ，整理得 ，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有 ，
所以所求的球体表面积为： ．
故选：A．
【变式3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体 中，
，则四面体 外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 ，
， ，四面体 如图所示，所以此四面体 的外接球的直径为长方体的体对角线，即 ,解得 .
所以四面体 外接球表面积是 .
故答案为：B.
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上，若
，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 的外心为 ， 的外心为 ，连接 ，如图所示，
由题意可得该三棱柱的外接球的球心 为 的中点．
在 中，由余弦定理可得
，则 ，
由正弦定理可得 外接圆的直径 ，则 ，
而球心O到截面ABC的距离 ，
设直三棱柱 的外接球半径为 ，
由球的截面性质可得 ，故 ，所以该三棱柱的外接球的体积为 ，
故选：B．
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的表面上，若
， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在 中， ，且 ，
由余弦定理得 ，
设底面 的外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，即
再设直三棱柱 外接球的球心为 ，外接球的半径为 ，
在直角 中，可得 ，
所以球 的表面积为 .
故选：B.
【变式4-1】已知正六棱柱 的每个顶点都在球O的球面上，且 ， ，
则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径 ，
所以球O的半径 ，故球O的表面积为 ．
故选：D【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边
长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为 ，
因此其外接球的半径为 ，则其表面积为 ，
故选:B.
题型五：外接球之直棱锥模型
【典例5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥 中， 平面 ， ，
，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】设 ，在等腰 中， ，
设 的外心是 ，外接圆半径是 ，
则 ，∴ ，
设外接球球心是 ，则 平面 ， 平面 ，则 ，
同理 ， ，
又 平面 ，所以 ， 是直角梯形，
设 ，外接球半径为 ，即 ，
则 ，所以 ，
在直角 中， ， ，
， ，∴ ，
，令 ，则 ，
，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： .
【典例5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”
中， 平面 ， ， ， ，则“鳖臑” 外接球体积的最小值为
．
【答案】
【解析】根据题意三棱锥 可以补成分别以 ， ， 为长、宽、高的长方体，如图所示，
其中 为长方体的对角线，则三棱锥 的外接球球心即为 的中点，
要使三棱锥 的外接球的体积最小，则 最小．
设 ，则 ， ， ，
所以当 时， ，则有三棱锥 的外接球的球半径最小为 ，
所以 ．故答案为： .
【变式5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥 中， ， ，D为AC
的中点， 平面ABC，且 ，则三棱锥 外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，设 的外接圆 的半径为 ，
则由正弦定理得 ，解得
结合图形分析：
因为D为AC的中点， 平面ABC，且 ，
在 中， ， ，
又 ，则圆心 到 点的距离为 ，
另设三棱锥 的外接球球心 到平面 的距离为 ，设外接球的半径为 ，
则 中， ，即 ，
直角梯形 中， ，即 ，
解得 ， ，所以 .
故答案为： .
【变式 5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥 中， ， 平面 ABC， ，
，则三棱锥 外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥 可以补成分别以 为长、宽、高的长方体，其中 为长方体
的对角线，
则三棱锥 的外接球球心即为 的中点，要使三棱锥 的外接球的体积最小，则 最小．设 ，则 ， ， ，
所以当 时， ，则有三棱锥 的外接球的球半径最小为 ，
所以 ．
故选：A
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台 的上、下底面边长分别为 ， ，
且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别取 、 的中心 ，连结 ，过 作 ，
因为 ，由正弦定理得 ，得 ，同理可得 ，所以 ，
因为正三棱台 ，所以 平面 ， ∥ ，
所以 平面 ，所以 为侧棱 与底面所成的角，
所以 ，所以 ，
设正三棱台的外接球球心O，因为 为上底面截面圆的圆心， 为下底面截面圆的圆心，所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心 在直线EF上，
设外接球O的半径为R，所以 ， ， ，
即 ， ，
当 在EF的延长线上时，可得 ，无解；
当 在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得 ，解得 ，
所以正三棱台 的外接球表面积为 .
故选：D
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥 中， ， ，
则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，取正三角形 的中心为 ，连接 ，
则三棱锥 的外接球球心 在 上，连接 .
在正三角形 中， ，所以 .
在 中， ，所以 .
设外接球的半径为 ，
由 ， ，解得 ，
所以三棱锥 的外接球表面积 .
故选:C.
方法二：在正三棱锥 中，过点 作 底面 于点 ，
则 为底面正三角形 的中心，
因为正三角形 的边长为2，所以 .因为 ，所以 .
如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ， .
设三棱锥 的外接球球心为 ，半径为 .
由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
则三棱锥 的外接球表面积 .
故选：C.
【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为 ，体积为 ，
则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令给定的正三棱台为正三棱台 ， ，
令正 的中心分别为 ，而 ，
则 ，解得 ，
的外接圆半径 ， 的外接圆半径 ，
显然正三棱台的外接球球心在直线 ，设外接球半径为 ，则 ，
因此 ，解得 ，
所以该正三棱台的外接球表面积为 .故选：C
【变式6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥 的侧棱长为 ，且二面角 的正切值
为 ，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方形 中心为 ，取 中点 ，连接 、 、 ，
则 ， ， 平面 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
设正方形 的边长为 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，解得 （负值已舍去），
则 ， ，设球心为 ，则球心在直线 上，设球的半径为 ，
则 ，解得 ，
所以外接球的表面积 .
故选：A题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥 中， ，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
又 ，
所以 ， ， ，
由图形的对称性可知：球心必在 的延长线上，
设球心为 ，连接 ， ，
设半径为 ， ， ，
可知 ， 为直角三角形，
所以 ，所以 ，
解得 ， ，
所以球的表面积为 .
故选： .
【典例7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，所以由余弦定理可得 ，解得
，所以 ，所以 是以 为斜边的直角三角形，
因为 ，
所以点P在平面 内的射影是 的外心，
即斜边 的中点，且平面 平面 ，
于是 的外心即为三棱锥 的外接球的球心，
因此 的外接圆半径等于三棱锥 的外接球半径．
因为 ， ，
所以 ，
于是 ，
根据正弦定理知 的外接圆半径R满足 ，
所以三棱锥 的外接球半径为 ，
因此三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故答案为：
【变式7-1】在三棱锥 中， ，二面角 的大小为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】 /
【解析】取 的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 和 都是等边三角形，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
设球心为 ， 和 的中心分别为 ，则 平面 ， 平面 ，
因为 ， 公共边，所以 ≌ ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为故答案为：
【变式7-2】已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，且 ，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则 都是直角三角形，
又 ，同理可得 ， ，
所以M点是 的外心；
又 ， 是以 斜边的直角三角形，
在底面 的射影为斜边 的中点 ，如下图：
则 ，设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，
则 在 上，则 ，即 ，得 ，外接球的表面积为 ；
故答案为：题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为 ，
则有 ，解得 ，
则该圆锥的外接球表面积 ．
故选：C．
【典例8-2】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为 ，球 是该圆柱的外接球，则球 的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆柱的高为 ，其外接球的半径为 ，
因为圆柱的底面半径为1，侧面积为 ，所以 ，解得 ；
由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，
所以 ，所以球的表面积为 .
故答案为：
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为 ，半径为 ，下底面圆心为 ，半径为
，高为 ，若该圆台的外接球球心为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆台的上底面圆心为 ，半径为 ，下底面圆心为 ，半径为 ，高为 ，
如图所示，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：B.【变式8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为
和 ，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为 ，则 ，所以， ，
取圆台的轴截面 ，如下图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为 、 ，则 、 分别为 、 的中点，
连接 、 、 、 、 、 ，则 ，
由垂径定理可知， ， ，
所以， ， ，
因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，所以， ，
所以， ，则 ，
因此，圆台的侧面积为 ，
故选：D.题型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将
折叠，形成三棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于二面角 为直二面角，且 和 都是直角三角形，
故可将三棱锥 补形成长方体来求其外接球的半径R，
即 ，解得 ，
从而三棱锥 外接球的体积 ．
故选：D
【典例9-2】如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，
是 的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， 为等边三角形，且高 ，则 ，
而 ，又 ，则 为等边三角形，
平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，于是 平面 ，
令 的外心为 ，三棱锥 外接球的球心为 ，则 平面 ，
又三棱锥 的外接球球心 在线段 的中垂面上，此平面平行于平面 ，
因此 ，等边 外接圆半径 ，
三棱锥 的外接球 ，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，
故选：C
【变式9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，
使点 到达 的位置，且二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：由题意在菱形 中， 互相垂直且平分，点 为垂足，
，
由勾股定理得 ，
所以 ，
设点 为 外接圆的圆心，
则 外接圆的半径为 ， ，
设点 为 外接圆的圆心，同理可得 外接圆的半径为 ，
，
如图所示：
设三棱锥 的外接球的球心、半径分别为点 ，
而 均垂直平分 ，
所以点 在面 ，面 内的射影 分别在直线 上，
即 ，
由题意 ，且二面角 为直二面角，
即面 面 ， ，
所以 ，即 ，可知四边形 为矩形，所以 ，
由勾股定理以及 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：C.
【变式9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形 中， ，将 沿
对角线 折起，使得点 翻折到点 ，若面 面 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
设 为 的中点， 为 的中点， 为 的外心， 为三棱锥 的外接球球心，
则 面 面 .
由题意得 为 的外心，
在 中， ，
所以 ，
又四边形 为矩形，
，设外接球半径为 ，
则 外接球表面积 ，
故选：B.
【变式9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥 中，已知
，且平面 平面ABC，则三棱锥 的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点 ，连接 ，则由 ，得 ，
因为平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC，则球心O在直线 上．
连接OA，则 ，
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 .因为 ，所以球心在线段 上．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以三棱锥 的外接球表面积为 .
故选：B．
题型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱锥 中，二面角 的大小为 ， ， ，则
三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】
取 外心 ， 外心 ， 中点为 ，
则 ， ， 面 ， 面
所以 ， ，
设 ，
由正弦定理得 ，余弦定理得 ，所以 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
所以 ， ， ，
在四边形 中，
，
，
当且仅当 时等号成立，
所以三棱锥外接球表面积最小值为 ，
故答案为： .
【典例10-2】如图，在三棱锥 中， ， ， ，二面角
的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】 /
【解析】取 和 的中点分别为 ， ，过点 作 面 于点 ，
连结 ，DO ， , 平面 ,故 ，
1
又 ，则 又 平面 ,
故 平面 ， 平面 ，故
则 为二面角 的补角， ，
因为 ， ，则 ，且 ，易知 ，
因为 为等腰直角三角形，所以 是 的外心.
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 面 ，易知 ，
作 ，易知 为矩形， ，
设 ， ，则在 中， ，
且 中， ，解得 ，
所以外接球表面积为 .
故答案为： .
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥 中， ，三角形 为正
三角形，若二面角 为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，∵ ，即 ，∴ .
∴球心 在过 的中点 与平面 垂直的直线上，
同时也在过 的中心 与平面 垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心 .
∵二面角 的大小为 ，
易知 ， ，
， ，
，
∴三棱锥 的外接球的半径为 .∴三棱锥 的外接球的体积为 .
故答案为：
【变式10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为1的菱形 中 ，将 沿 折起，使
二面角 的平面角等于 ，连接 ，得到三棱锥 ，则此三棱锥 外接球的表
面积为 .
【答案】 /
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 为菱形，所以 即为二面角 的平面角，
因为 ，所以 和 均为正三角形，
取 靠近 的三等分点 ，取 靠近 的三等分点 ，
过点 作 平面 ，过点 作 平面 ， 交于点 ，
则 为三棱锥 外接球的球心，连接OE,OB，
由对称性知 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以外接球的半径 ，所以外接球的表面积为 .
故答案为：
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形 ，且
， ，现将 沿 折起，使得点 到达点 处，且二面角 的
大小为 ，连接 ，如图②，若三棱锥 的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点 作 且 ，连接 、 ，则四边形 为平行四边形，
所以 ，因为 ，所以 ，又 ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为三棱锥 的外接球的直径，
所以外接球的半径 ，
所以外接球的表面积 .
故选：B
【典例11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥 的外接球为球 ， 为球 的直径，且
， ， ，则三棱锥 的体积为 .
【答案】 /
【解析】如图，易知 ， ，所以 ，
作 于点 ，易知 ，所以 ，
，
，
故三棱锥 的体积为
.故答案为： .
【变式11-1】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径.若平面 平面
， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ， .
因为平面 平面 ，所以 平面 .
设 ，
所以 ，
所以球的体积为 .
故选：
【变式11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 的体积为 ， ，
，若 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 是其外接球的直径，得 中点 是 外接球球心，设 是 的外心，则
平面 ，且 等于 到平面 的距离的一半．求出 中 长（用余弦定理），由正弦定理求得 外接圆半径，求出 面积，求体积求出 ，从而可得外接圆半径，得表面积．如图， 是
中点，则 是 外接球球心，设 是 的外心，则 平面 ，且 等于 到平面
的距离的一半．
∵ ， ，∴ ，
， ，
， ，
，
∴ ，
．
故选：D.
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例12-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线 与 的交
点，若 ， ，则三棱锥 的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴ ，即 ，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在 中，MB=MC=MP= PC，
在 中MO= PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以 是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B．
【典例12-2】已知三棱锥 中， ， ， ， ， ，则此三棱锥
的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，则 ，所以 ，
又因为 ， ， ，则 ，所以 ，
由 ， ， ，则 ，所以 ，
又由 ， ， ，则 ，所以 ，
可得 为三棱锥 的外接球的直径，
又由 ，
所以此三棱锥的外接球半径为 ，
所以球的表面积为 ．
故选：C．
【变式12-1】在三棱锥 中， 若该三棱锥的体积为
，则三棱锥 外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 平面AOB，
所以 ，
解得 ，
所以其外接球的体积为 ，
故选：D
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例13-1】空间直角坐标系 中， 则四面体ABCD外接球体积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】取 ，则 是长方体，
其对角线长为 ，
∴四面体 外接球半径为 ．
，
故选：B．
【典例13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 中，
为等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 外接球的表
面积为 .
【答案】
【解析】
过C作 面 于H，
则三棱锥 的体积为 ，所以 ，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为 为等边三角形，所以 ，又 面 ， 面 ，所以 ，
又 ，所以 面 ，
面 ，所以 ，
在 中， 所以
以AB，AD为 轴，垂直于AB，AD方向为 轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心 ， 在面 的投影为 ，
由 得 ，
所以N为 的外接圆圆心，所以N为 斜边的中点，故设
由 得 ，解得 ，
所以 ，
故外接球的表面积为 ，
故答案为：
【变式13-1】如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ， 的中点，将 沿
折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体 的外接球体积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、
，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点 ，设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，即
，解得 ，所以 ，所以外接球的体积
；
故选：B
题型十四：外接球之空间多面体
【典例14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将
正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如
图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为 ，
则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，
可得正方体体对角线长 ，外接球半径为 ，所以外接球表面积为 .
故选：D.
【典例14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为
面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一
个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正
多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 ，则其外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C三点的截面为正六边形
，
设原正方体棱长为 ，则正六边形边长为 ，其面积为 ，解得 ，
因此原正方体的棱长为 ，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
球半径 为该点到点 的距离 ，所以外接球的表面积为 .
故选：D
【变式14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产
生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的
截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .【答案】
【解析】因为棱长为 的正四面体的高为 ，
所以截角四面体上下底面距离为 ，
序曲其外接球的半径为 ，等边三角形 的中心为 ，正六边形 的中心为 ，则 垂直于
平面 与平面 ，则 ,
所以 ，解得 ，
所以该截角四面体的外接球的表面积为 ,
故答案为：
题型十五：与球有关的最值问题
【典例15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥 中，若 ，其中
是边长为2的正三角形，则四棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）32√3π
A． B． C． D．
27
【答案】C
【解析】如图，连接 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以四边形 必存在一个外接圆，
且圆心为 的中点设为 ，设外接球的球心为 ，则 平面 ，
设 ，过 作与平面 的垂线，垂足设为 ，连接 ，
则 为 的中心，且 必位于底面 的上方，
设 ，外接球的半径为 ，则 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时，
即 与 重合时，外接球表面积取得最小值为 .
故选：C.
【典例15-2】在 中， ， ，E，F，G分别为三边 ， ， 的中点，将
， ， 分别沿 ， ， 向上折起，使得A，B，C重合，记为 ，则三棱锥
的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，由题设 .
三棱锥 中， ， ， ，
将 放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，则有 ，
三棱锥 的外接球就是长方体的外接球，
所以 ，
由基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，
所以外接球表面积 .
故选：B.
【变式15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形，
， ，点 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 外接球表面积的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为等腰直角三角形， ，
所以 的外接圆的圆心为 的中点 ，且 ，
设 的中点为 ，连接 ，则 ，则 平面 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，由球的性质可得 在 上，设 ， ，外接球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，又 ，则 ，
因为 ，所以
所以三棱锥 外接球表面积的最大值为 .
故选：B.
【变式 15-2】（2024·浙江·模拟预测）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接 ，
因为 ，DA=DC，所以 ， ，故 即为二面角 的平面角，
ACB的外心为O ，过O 作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平
1 1
面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
△
在平面ABC内，设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
故选:B
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例16-1】棱长为2的正方体 的内切球的球心为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方体 的内切球的球心为 ，由对称性可知 为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为 .
故选：B.
【典例16-2】在正三棱柱 中，D是侧棱 上一点，E是侧棱 上一点，若线段
的最小值是 ﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外
接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱 的底面边长为 高为 ，
对三个侧面进行展开如图，要使线段 的最小值是 ，则连接 （左下角 ，右上角 ），
此时 在连接线上，故 ①，
因为正三棱柱 内部存在一个半径为 的内切球，
所以 整理得 ，
将 代入①可得 ，
所以正三棱柱 的底面外接圆半径为 ，
所以正三棱柱 的外接球半径为 ，
所以该棱柱的外接球表面积为
故选：B
【变式16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图： 分别为底面中心， 为 的中点， 为 的中点
设正六棱柱的底面边长为
若正六棱柱有内切球，则 ，即内切球的半径
，即外接球的半径
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
故选：C．【变式16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表
面积为 ，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设正三棱柱 的外接球 的半径为 ，
则4πR2=40π，解得 ，
因三棱柱 有内切球，设内切球半径为 ，则正三棱柱的高为 ，
连接 的中心O ,O ，则线段 的中点即为球心 ，
2 1
依题意， 内切圆半径为 ，得 ，
则 ，解得 ,
故三棱柱的体积为
故选：B．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例17-1】已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为 的正四面体 ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径 ，
则该球的表面积为 ．
故选：A．
【典例17-2】已知正四面体的棱长为 ，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设正四面体内切球球心为 ，内切球半径为 ，取 中点 ，作 平面 于 ，则 为
中心，
则 ， .
， ，
，
又 ， ，
内切球表面积 .
故选： .
【变式17-1】边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】将棱长为 的正四面体 补成正方体 ，则该正方体的棱长为 ，
，
设正四面体 的内切球半径为 ，正四面体 每个面的面积均为 ，
由等体积法可得 ，解得 ，
因此，该正四面体的内切球的体积为 .
故选：D.
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为
m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】如图，连接 交于点 ，连接 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 ,所以 ,
,
由 可得 平面 ，
且 ，所以 平面 ，
过 作 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ,
且 平面 ，所以 平面 ，
所以 为该正八面体结构的内切球的半径，
在直角三角形 中， ，
由等面积法可得， ,解得 ，
所以内切球的表面积为 ，
故选:D.
【典例18-2】若正四棱锥 体积为 ，内接于球O，且底面 过球心O，则该四棱锥内切球
的半径为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因为正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，
设球的半径为 ，
所以 ，所以 ，
于是正四棱锥 的体积 ，解得 ，
所以正四棱锥 的表面积 ，
设正四棱锥 内切球的半径为 ，
则 ，解得 .
故选：A.
【变式18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 中，
平面 ， ，且 ，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为四面体 四个面都为直角三角形， 平面 ，
所以 ， ，
设四面体 内切球的球心为 ，半径为 ，
则
所以 ，
因为四面体 的表面积为 ，又因为四面体 的体积 ，
所以 ，
所以内切球表面积 .
故选：C.
【变式18-2】已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥 的各棱长均为2，所以四棱锥 是正四棱锥，
则 ，
过P作底面垂线，垂足为H，则 ，
所以 ，则 ，
故其内切圆表面积为 ，
故选：B．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为 ，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】球表面积为 ，则该球半径为 ，
设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为 ，
则此圆锥的轴截面面积为
，解之得 ，
则该圆锥的侧面积为
故选：B
【典例19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均
相切）的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R，
则 ，所以 ，
又 ，
即 ，
解得 ，即内切球的半径为 .
故选：B
【变式19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在
内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为 ，下底面半径为 ，则腰长为 ，故梯形的高为 ，
则该圆台的体积为 .
故选：D.
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与
其所有棱都相切）的表面积分别为 ，则 ．
【答案】
【解析】
设正三棱柱的棱长为 ，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点 为外接球的球心，
则外接球的半径 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 为棱切球的球心，则棱切球半径 ，
所以 .故答案为：
【典例20-2】已知球 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之
比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【解析】设正方体棱长为 ，
因为球 与正方体的各条棱相切，所以球 的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径 ；
正方体内接于球 ，则球 的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径 ；
所以球 与球 的表面积之比为 .
故选：A.
【变式20-1】已知正三棱柱 的体积为 ，若存在球 与三棱柱 的各棱均相切，
则球 的表面积为 .
【答案】
【解析】
如图所示，取上下底面的中心 ， 分别为上底面棱上的切点，
则 为 的中点，设 ，
由题意易知 ，
则 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
【变式20-2】已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O与三棱柱 的各棱均相切，
则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，上底面中心为 ，下底面中心为 ，
连接 ，则球 的球心 在 的中点上，设球 切棱 于 ，切棱 于 ，
则 、 分别为所在棱的中点，
由题意 ，①
因为 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，②
联立①②可得 ，
所以球 的半径为 ，
所以球O的表面积为 ，
故选：C.
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例21-1】已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体 中，棱长为 ，
所以，四面体 是棱长为 的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为 ，
所以，该球的体积为 ，
因为正四面体的体积为 ，
所以，该球与此正四面体的体积之比为 .
故选：A
【典例21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设 为正三角形 的中心，连接 ，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心 在线段 上，
连接 ，设正四面体的棱长为 ，则 ，
故 ．
设外接球的半径为 ，则 ，
故 ，解得 ，
故内切球的半径为 ，所以 ，
故内切球与外接球的体积之比为 ，
故选：A．
【变式21-1】球与棱长为 的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的
面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
又因为正方体的棱长为 ，所以球的半径 ，所以球的表面积为： ，
故选：C.
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
【典例22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为 ，求与该三棱锥6条棱都相
切的球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设底面 外接圆的圆心为 ，连接 ， ，延长 交 于点 ，
球 与棱 分别切于点 ，则 ，球 的半径为 ，
注意到在边长为1的等边三角形 中， ， ，
且 底面 ， 底面 ，所以 ，所以 ，
，
所以 ，而 ，所以 ，即 ，
解得 （舍去），
从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
故答案为： .
【典例22-2】在正三棱锥 中， ， ，若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则
球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取 的中心E，连接PE，则 平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点， ，连接OD.
因为 平面ABC，所有 .
因为 平面 ， 平面 ， ，所有 平面 .
因为 平面 ，所有
.过O作 ，交PA于点F.
球O的半径为r，则 .
由题意： 为正三角形，因为 ，所以 ， ，.
因为 ， ，所以 ，所以 .
设 ，所以 ，因为 ，所以 ，解得: ，所以
，故球O的表面积为 ．
故答案为：
【变式22-1】正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，
则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面 的外接圆的圆心为 ，连接 ，延长 交 于 ，
球H与棱 分别切于 ，设球H的半径为 ，
则 ， ，
而 底面 ，所以 ，可得 ，
在直角三角形 中， ， ，
在直角三角形 中， ，
所以 ，即有 ，解得 ，
则这个球的表面积为 ．
故选：B题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例23-1】已知四面体 中， ， ， ， ，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图， 是 的中心，
根据对称性，球心 在 上，球 与 、 的切点分别为 ， ，
且 ， ， 为球的半径．
由勾股定理易得 ，由正弦定理可求得 ，
由勾股定理可求得 ．
∵ ， 均为球 的切线，∴ ，
∵ 与 相似，∴ ，
即 ，∴ ，
∴球的体积为 ．
故选：B．
【典例23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台 中， ，若球
与上底面
A B C D
以及棱 均相切，则球 的表面积为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设棱台上下底面的中心为 ,连接 ，则 ，
所以棱台的高 ,
设球半径为 ,根据正四棱台的结构特征可知：球 与上底面A B C D 相切于 ,与棱 均相切
1 1 1 1
于各边中点处，
设 中点为 ，连接 ,
所以 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：C
题型二十四：多球相切问题
【典例24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相
切，若 ，则该模型中一个小球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设 为大球的球心，大球的半径为 ，大正四面体的底面中心为 ，棱长为 ，高为 ，
的中点为 ，连接 ， ， ， ， ， ，
则 ，正四面体的高 .
因为 ，所以 ，所以 ，
设小球的半径为 ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高 ，所以 ，
所以小球的体积为 .
故选：C
【典例24-2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使
得球 与球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，正四面体 ，设点 是底面 的中心，点 是 的中点，连接 .
则由已知可得， 平面 ，球心 在线段 上，球 切平面 的切点在线段 上，分别
设为 .
则易知 ， ，设球 的半径分别为 .因为 ，根据重心定理可知， .
， ， ， ， .
由 可得， ，
即 ，解得， ，所以 .
由 可得， ，
即 ，解得 ，
所以，球 的体积为 .
故选：A.
【变式24-1】棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为 ，半
径为 ，空隙处的最大球球心为 ，半径为 ， 为 的中心，易知 面 ， 为 中点，
球 和球 分别与面 相切于 和 .
易得 ， ， ，
由 ，
可得 ，又 ， ，
故 ， ， ，
又由 和 相似，可得 ，即 ，解得 ，
即小球的最大半径为 .
所以小球的表面积最大值为 .
故选：A
【变式24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为 ，其内
切球为球O，若在此三棱锥中再放入球 ，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设内切球O的半径为r，球 的半径为R.设此棱锥的高为 ,底面 的中心为 ，
因为底面边长为 ，底面 的高 ，所以 ，
所以三棱锥的体积 ,求得 ,
在底面 中 ，
则侧棱长为 ，每个侧面的三边长为 ,则侧面的高 ，
所以 ，所以三棱锥 的表面积为 .
由等积法知 ，得 .
用一平行于底面ABC且与球 上部相切的平面 截此三棱锥，下部得到一个高为 的棱台，
那么截得的小棱锥 的高为 ，即为 高的 ，则此小棱锥的内切球半径即为球
的半径，
根据相似关系，截得的棱锥的体积为 ，表面积为 ，
根据等体积法， ，解得 .
故选:D.
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱 的外接球表面积为 ，则
该三棱柱的体积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】设直三棱柱高为 ，因为 ，
所以斜边 ，底面三角形外接圆半径 ，
由题有外接球表面积 ，可得 ，所以 ，所以三棱柱体积为 .
故选：D.
2．（2024·安徽·三模）已知圆台 的上、下底面积分别为 ， ，体积为 ，线段 ， 分别
为圆台 上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体 的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设圆台 的高为h，则 ，解得 ；
四面体 的外接球即为圆台 的外接球，
设其半径为R，球心为， ，
由已知易得圆台 的上、下底面圆半径分别为 ， ，
球心O在圆台的轴 所在直线上，则 ，
故 ，解得 ，故 ，
故四面体 的外接球表面积为 .
故选：B.
3．在直三棱柱 中， ， ， ， ，该直三棱柱的外接球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由余弦定理可得 ，
设 外接圆半径为r，再由正弦定理 ，
因为三棱柱 是直三棱柱，设外接球半径为R，所以 ，
所以外接球表面积为 ，
故选：C
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】其外接球直径 ，所以 .
故选：B．
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥 中， ， ，底面 是边长为1的正
三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在三棱锥 中， ， ，正 的边长为1，
则 ，即有 ，同理 ，而 平面 ，
于是 平面 ，令正 的外心为 ，三棱锥 外接球球心为 ，
则 平面 ，显然球心 在线段 的中垂面上，取 的中点 ，则 ，
而 ，则四边形 是矩形， ，
所以球半径 ，表面积 .
故选：B
6．已知四面体 的体积为3，从顶点 出发的三条棱 两两垂直，若 ，则该四面体外
接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
设四面体体积是 ，外接球半径是 ，表面积是 ，
棱 两两垂直， ，
， ，
易知 ，
当且仅当 时取等，故有 ，
则 ，
故选：A
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
设 的外接圆半径为 ，
则 ，所以 ，
平面 ，且 ，
设三棱锥 外接球半径为 ，
则 ，即 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：B．8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥 中， ，若
是等边三角形，则三棱锥 的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取 的中点为 ，连接 ，
因为 ，故 为等边三角形且 ，
因为 为等边三角形，故 ，
由余弦定理可得 ，
故 ，而 为等边 的边 上的中线，
故 ，同理 ，故 ，
而 为三角形内角，故 .
设 为 的中心， 为 的中心，则 在 上且 在 上，
因为 、 均为等边三角形其它们有公共边 ，
由对称性可得 在平面 中，
设 为外接球的球心，连接 ，则 平面 ， 平面 ，
而 平面 ， 平面 ，故 ，连接 ，
则由 四点共圆可得 ，
故 ，所以 即外接球半径为 ，
故棱锥 的外接球的体积为 .
故选：A9．（2024·陕西宝鸡·三模） 与 都是边长为2的正三角形，沿公共边 折叠成三棱锥且
长为 ，若点 ， ， ， 在同一球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的中点为 ，正 与正 的中心分别为 ， ，如图，
根据正三角形的性质有 ， 分别在 ， 上， 平面 ， 平面 ，
因为 与 都是边长为2的正三角形，则 ，又 ，
则 是正三角形，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 在平面 内，
故 ，易得 ，
故 ，
故 ，又 ，故球 的半径 ，
故球 的表面积为 ．
故选：D．
10．已知三棱锥 中， 平面 ，若 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】如图，在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，则 ，故 ，
又而 平面 ，将三棱锥 置于一个长方体中，可知三棱锥 的外接球半径
，
则外接球表面积 ，
故选:D．
11．（2024·四川自贡·二模）在 中， ， ， 为 的中点，将 绕 旋
转至 ，使得 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
圆柱 的底面圆直径为 ，母线长为 ，则 的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则 为圆
柱 的外接球球心.
翻折前，在 中， ， ， 为 的中点，则 ，
且 ，
翻折后，则有 ， ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
由已知 ，则 是边长为 的等边三角形，将三棱锥 置于圆柱 上，使得 的外接圆为圆 ，
所以， 的外接圆直径为 ，
所以，三棱锥 的外接球直径为 ，则 ，
因此，三棱锥 的外接球表面积为 .
故选：C.
12．正四棱锥 的底面边长为 ， 则平面 截四棱锥 外接球所得截面的
面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形 边长为 ，底面中心为 中点为 ，
连接 ，如图所示，
由题意得 ，且正四棱锥的外接球球心 ，
设外接球半径为 ，则 ，
在 中， ，且 ，
所以 ，解得 ，即 ，
在 中， ，
过 作 ，则 即为点 到平面 的距离，且 为平面 截其外接球所得截面圆的圆心，
所以 ，
则 ，
所以 ，所以截面的面积 .
故选：C
13．（2024·河南开封·三模）已知正方体 的棱长为1，P为棱 的中点，则四棱锥P－
ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设四棱锥 的外接球球心为 ，取 中点 ，连接 ，取三角形 ，四边形 的外心
， ，连接 ， ， ， ， ，
因为正方体的棱长为1，点 为中点，所以 ， ， ，
， ， ，所以
，外接球的表面积 .
故选：C.
14．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 为边长为 的正
方形， ，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 四边形 为边长为 的正方形， 四边形 的外接圆半径 ，
又 平面 ， ， 四棱锥 的外接球半径 ，
四棱锥 的外接球表面积 .
故选：D.
15．在直三棱柱 中， 为等边三角形，若三棱柱 的体积为 ，则该三棱
柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直三棱柱的高为 ，外接球的半径为 ， 外接圆的半径为 ，则 ，
所以 ，又 ，令 ，则 ，易知 的最小值
为 ，此时 ，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为 .
故选：A.
16．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， 底面 .
若 ， ，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，
等腰梯形 中， ， ，
则有 ，则四边形 为平行四边形，
则 ，又 ，则 为等边三角形，
则 ，则△ 为等边三角形
则 ，故点E为等腰梯形 的外接圆圆心，△ 中， ，则
又 底面 ，则 底面 ，
又 ，
即 ，
故点H为四棱锥 的外接球球心，
球半径
则四棱锥 外接球表面积为
故选：C
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱 的侧面积为36，则与三棱柱 各棱均相
切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设上下底面的中心分别为 ，由对称性可知，
球 的球心为 的中点，取 的中点 ，连接 ，
连接 并延长，交 于 ，连接 ，则 ，
设 ，则 ，
，而 ，联立两式，解得 ，则球 的半径为 ，
则其表面积为 ，故B正确.
故选：B.
18．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的
最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，当球和正四面体 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球的球心为 ，半径为R，空隙处最大球的球心为 ，半径为 ，
为 的中心，得 平面 ， 为 中点，
球 和球 分别和平面 相切于 ， ，
在底面正三角形 中，易求 ， ， ，
又 ，
由 ，即得 ，又
，
， ， ，
又 ，可得 即 ，即球的最大半径为 .
故选：C.
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱 存在内切球，若 ，则该三棱柱
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 ，故 ，
故 的内切圆的半径为 .
因为直三棱柱 存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为 ，
故外接球的的表面积为 .
故选：D.
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八
面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，
即为 ，
如图，在正八面体中连接 ， ， ，可得 ， ， 互相垂直平分， 为正八面体的中心， 平面
， 平面 ，则 ， ， .
在 中， ，
则该正八面体的体积 ，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为 ，
，即 ，解得 ，
.
故选：C.
21．已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ， ，这个三棱锥的内切球和外接
球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥 为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为 ，所以可得正三棱锥的高 ，侧面的高 ；
设正三棱锥底面中心为 ，其外接球的半径为 ，内切球半径为 ，则有 ，也即 ，解得： ，
正三棱锥的体积 ，
也即 ，解得： ，
所以 ，
故选：B.
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，
则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥 的底面直径为6，则
（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为 ，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，则
C．设圆锥的体积为 ，内切球的体积为 ，则
D．设 是圆锥底面圆上的两点，且 ，则平面 截内切球所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】作出圆锥的轴截面如下：
因为圆锥 的内切球和外接球的球心重合，所以 为等边三角形，故A正确；
又 ，所以 ，
设球心为 （即为 的重心），所以 ， ，即内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，所以 ，故B正确；
设圆锥的体积为 ，则 ，
内切球的体积为 ，则 ，所以 ，故C错误；
设 、 是圆锥底面圆上的两点，且 ，则 所对的圆心角为 （在圆 上），
设 的中点为 ，则 ，不妨设 为 上的点，连接 ，则
，
过点 作 交 于点 ，则 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以平面 截内切球截面圆的半径 ，
所以截面圆的面积为 ，故D正确；
故选：ABD
23．（多选题）（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为 ，其轴截面 是边长为2的为等边三
角形，球 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切）， 是球 与圆锥母线 的交点， 是底面圆弧上
的动点，则（ ）A．球 的体积为
B．三棱锥 体积的最大值为
C． 的最大值为3
D．若 为 中点，则平面 截球 的截面面积为
【答案】ACD
【解析】选项A，如图，设底面圆心为 ，则 ，AQ⊥PB， ，
因为 是边长为2的为等边三角形，则 ， 为 中点，
则球 的半径 球 的体积为 ，故A正确.
选项 ，作 ，因为 面 ， ，
所以 底面 ， ，
，故B错误.
选项C，设 ，x∈[0,2]，
. .
. ，
设 ，则令 ，解得 ，
当 时，f'(x)>0，当x∈(0,2]时，则 ，
易知 在 上单调递减，则 在 单调递减，且 ，
则当x∈[0,2]时，f'(x)>0， 单调递增；
，故C正确.
选项 ，当 为 中点时， ，由 ， ， ，得 . .
设点 到平面 的距离为 ， ， ， ，代入数据解得
.
截面面积为 ，故D正确.
故选：ACD.
