文档内容
第50讲 外接球、内切球、棱切球
知识梳理
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
PA
(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a= ，如图3所示．
2
(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
2
如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a，显
2
2 3 6
然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R= a⋅ = a，即正
2 2 4
6
四面体外接球半径为R= a．
4
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体ABCD中，AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=t，这种四面体叫做对棱
相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
b2+c2=m2
如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a2+c2=n2 ，三式相加可得a2+b2+c2=
a2+b2=t2
m2+n2+t2
,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2+b2+c2=
2
m2+n2+t2
4R2，所以R= ．
8
第 页 共 页
439 1043知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以
是任意三角形)
图1 图2 图3
第一步：确定球心O的位置，O 是ΔABC的外心，则OO ⊥平面ABC；
1 1
1 1
第二步：算出小圆O 的半径AO =r，OO = AA = h(AA =h也是圆柱的高)；
1 1 1 2 1 2 1
h 第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2⇒R2=
1 1 2
2 +r2⇒R= r2+ h
2
2 ，解出R
知识点五：直棱锥外接球
如图，PA⊥平面ABC，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接
PD，则PD必过球心O；
第二步：O 为ΔABC的外心，所以OO ⊥平面ABC，算出小圆O 的半径O D=r(三
1 1 1 1
第 页 共 页
440 1043a b c 1
角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 = = =2r)，OO = PA；
sinA sinB sinC 1 2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2= PA2+ (2r)2⇔ 2R =
PA2+(2r)2；
②R2=r2+OO2⇔R= r2+OO2．
1 1
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
r2+h2
1、正棱锥外接球半径：R= ．
2h
2、侧棱相等模型：
如图，P的射影是ΔABC的外心
⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等
⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取ΔABC的外心O ，则P,O,O 三点共线；
1 1
第二步：先算出小圆O 的半径AO =r，再算出棱锥的高PO =h(也是圆锥的高)；
1 1 1
r2+h2
第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2⇒R2=(h-R)2+r2，解出R= ．
1 1 2h
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角
三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜
边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=
OD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共
第 页 共 页
441 1043的斜边BD就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体P-ABC，已知平面PAB⊥平面ABC，其外接球问题的步骤如下：
(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O 和O ．
1 2
(2)分别过O 和O 作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．
1 2
(3)过O 作AB的垂线，垂足记为D，连接O D，则O D⊥AB．
1 2 2
(4)在四棱锥A-DOOO 中，AD垂直于平面DOOO ，如图2所示，底面四边形DOOO
1 2 1 2 1 2
的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体P-ABC，已知二面角P-AB-C大小为α，其外接球问题的步骤
如下：
(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O 和O ．
1 2
(2)分别过O 和O 作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．
1 2
(3)过O 作AB的垂线，垂足记为D，连接O D，则O D⊥AB．
1 2 2
(4)在四棱锥A-DO OO 中，AD垂直于平面DO OO ，如图2所示，底面四边形
1 2 1 2
DOOO 的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．
1 2
第 页 共 页
442 1043知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z)，利用球
心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外
接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股定理
建立方程来计算R．如图2，当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3，当PC
