第50讲 外接球、内切球、棱切球
知识梳理
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
PA
(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a= ，如图3所示．
2
(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
2
如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a，显
2
2 3 6
然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R= a⋅ = a，即正
2 2 4
6
四面体外接球半径为R= a．
4
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体ABCD中，AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=t，这种四面体叫做对棱
相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
b2+c2=m2
如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a2+c2=n2 ，三式相加可得a2+b2+c2=
a2+b2=t2
m2+n2+t2
,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2+b2+c2=
2
m2+n2+t2
4R2，所以R= ．
8
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439 1043知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以
是任意三角形)
图1 图2 图3
第一步：确定球心O的位置，O 是ΔABC的外心，则OO ⊥平面ABC；
1 1
1 1
第二步：算出小圆O 的半径AO =r，OO = AA = h(AA =h也是圆柱的高)；
1 1 1 2 1 2 1
h 第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2⇒R2=
1 1 2
2 +r2⇒R= r2+ h
2
2 ，解出R
知识点五：直棱锥外接球
如图，PA⊥平面ABC，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接
PD，则PD必过球心O；
第二步：O 为ΔABC的外心，所以OO ⊥平面ABC，算出小圆O 的半径O D=r(三
1 1 1 1
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440 1043a b c 1
角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 = = =2r)，OO = PA；
sinA sinB sinC 1 2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2= PA2+ (2r)2⇔ 2R =
PA2+(2r)2；
②R2=r2+OO2⇔R= r2+OO2．
1 1
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
r2+h2
1、正棱锥外接球半径：R= ．
2h
2、侧棱相等模型：
如图，P的射影是ΔABC的外心
⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等
⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取ΔABC的外心O ，则P,O,O 三点共线；
1 1
第二步：先算出小圆O 的半径AO =r，再算出棱锥的高PO =h(也是圆锥的高)；
1 1 1
r2+h2
第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2⇒R2=(h-R)2+r2，解出R= ．
1 1 2h
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角
三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜
边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=
OD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共
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441 1043的斜边BD就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体P-ABC，已知平面PAB⊥平面ABC，其外接球问题的步骤如下：
(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O 和O ．
1 2
(2)分别过O 和O 作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．
1 2
(3)过O 作AB的垂线，垂足记为D，连接O D，则O D⊥AB．
1 2 2
(4)在四棱锥A-DOOO 中，AD垂直于平面DOOO ，如图2所示，底面四边形DOOO
1 2 1 2 1 2
的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体P-ABC，已知二面角P-AB-C大小为α，其外接球问题的步骤
如下：
(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O 和O ．
1 2
(2)分别过O 和O 作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．
1 2
(3)过O 作AB的垂线，垂足记为D，连接O D，则O D⊥AB．
1 2 2
(4)在四棱锥A-DO OO 中，AD垂直于平面DO OO ，如图2所示，底面四边形
1 2 1 2
DOOO 的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．
1 2
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442 1043知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z)，利用球
心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外
接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股定理
建立方程来计算R．如图2，当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3，当PC<CB时，球心
在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程
是一样的，故无需提前判断．
h2+r2
由图2、图3可知，OC=h-R或R-h，故(h-R)2+r2=R2，所以R= ．
2h
2、球内接圆柱
h
如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足
2
+r2=
R2．
3、球内接圆台
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443 1043r2-r2-h2
R2=r2+ 2 1
2 2h
2
，其中r,r ,h分别为圆台的上底面、下底面、高．
1 2
知识点十四：锥体内切球
3V
方法：等体积法，即R= 体积
S
表面积
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
必考题型全归纳
1 题型一：外接球之正方体、长方体模型
2393 (2024·云南昆明·高一校考期末)正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
2394 (2024·吉林·高一校联考期末)已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 3，则球
的表面积为 ．
2395 (2024·全国·高一专题练习)已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点出
发的三条棱长分别为2，3，4则球O的表面积是
2396 (2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中)长方体ABCD-ABCD 的外接球的表面积
1 1 1 1
为25π，AB= 3，AD= 6，则长方体ABCD-ABCD 的体积为 .
1 1 1 1
2397 (2024·天津静海·高一校考期中)在长方体ABCD-ABCD 中，AB=6，BC=2 3，
1 1 1 1
BB =4，则长方体外接球的表面积为 ．
1
2 题型二：外接球之正四面体模型
2398 (2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测)已知正四面体ABCD的表面积为
2 3，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
2399 (2024·浙江·高二校联考期中)正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，
则该正四面体的棱长是 ．
2400 (2024·全国·高三专题练习)棱长为 2的正四面体的外接球体积为 .
2401 (2024·全国·高一假期作业)正四面体P-BDE和边长为1的正方体ABCD-
ABCD 有公共顶点B，D，则该正四面体P-BDE的外接球的体积为 .
1 1 1 1
2402 (2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中)正四面体P-ABC中，其侧面积与底
面积之差为2 3，则该正四面体外接球的体积为 .
3 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
2403 (2024·高一单元测试)在四面体ABCD中，若AB=CD= 3，AC=BD=2，AD=
BC= 5，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ( )
A.2π B.4π C.6π D.8π
2404 (2024·河南·开封高中校考模拟预测)已知四面体ABCD中，AB=CD=2 5，AC=
BD= 29，AD=BC= 41，则四面体ABCD外接球的体积为 ( )
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444 104315 5π 45 5π
A.45π B. C. D.24 5π
2 2
2405 (2024·广东揭阳·高二校联考期中)在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5，SB=AC=
41，SC=AB= 34，则该三棱锥的外接球表面积是 ( )
A.50π B.100π C.150π D.200π
2406 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=BC= 3，PB=AC=
2，PC=AB= 5，则三棱锥P-ABC外接球的体积为 ( )
A. 2π B. 3π C. 6π D.6π
4 题型四：外接球之直棱柱模型
2407 (2024·陕西安康·统考三模)已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六
棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
2408 (2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习)设直三棱柱ABC-
ABC 的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB=AC=AA,∠BAC=120°，
1 1 1 1
则此直三棱柱的表面积是 ( )
A.16+8 3 B.8+12 3 C.8+16 3 D.16+12 3
2409 (2024·全国·高三专题练习)在直三棱柱ABC-ABC 中，△ABC为等腰直角三角形，
1 1 1
若三棱柱ABC-ABC 的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为 ( )
1 1 1
A.12π B.24π C.48π D.96π
2410 (2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习)已知正三棱柱ABC-ABC 的体积为
1 1 1
3 3，则其外接球表面积的最小值为 ( )
A.12π B.6π C.16π D.8π
2411 (2024·全国·高三专题练习)在三棱柱ABC-ABC 中，已知BC=AB=1,∠BCC =
1 1 1 1
2 5
90°，AB⊥侧面BBCC，且直线CB与底面ABC所成角的正弦值为 ,则此三棱柱
1 1 1 5
的外接球的表面积为 ( )
A.3π B.4π C.5π D.6π
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445 10432412 (2024·新疆昌吉·高三校考期末)已知正三棱柱ABC-ABC 所有棱长都为6，则此三
1 1 1
棱柱外接球的表面积为 ( )
A.48π B.60π C.64π D.84π
5 题型五：外接球之直棱锥模型
2413 (2024·安徽宣城·高一统考期末)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角
形，侧棱PA⊥平面ABC，且PA=4，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为 ．
2414 (2024·江苏南京·高二统考期末)在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，△ABC为等边
三角形，且PA=AB= 3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 ．
2415 (2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习)已知三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面
ABC,∠BAC=120°,PA=AB=AC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 .
2416 (2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)在三棱锥D-ABC中，△ABC为等边三角
形，DC⊥平面ABC，若AC+CD=6，则三棱锥D-ABC外接球的表面积的最小值为
.
2417 (2024·陕西榆林·高二校考阶段练习)已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB=
2
BC=CA=2，异面直线SC与AB所成角的余弦值为 ，则三棱锥S-ABC的外接球
4
的表面积为 ．
2418 (2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底
面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD=3，
π
∠APD=∠BAD= ，则三棱锥P-AOD的外接球的体积为 .
3
2419 (2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模)在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，BC
⊥CD，BE⊥DE，∠CBE=120°，且AB=BC=BE=2，则该四棱锥的外接球的表面积
为 .
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446 10432420 (2024·广东韶关·高二统考期末)三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=4,∠BAC
π
= ,BC= 3,则三棱锥P-ABC外接球的体积是 ．
3
6 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
2421 (2024·山东滨州·高一校考期中)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3 2，侧棱长
为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
2422 (2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末)已知正三棱锥P-ABC的顶点都
π
在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为 ，且PA=2 3，则球O的表面积为
3
2423 (2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末)在正三棱锥P-ABC中，点D
在棱PA上，且满足PD=2DA，CD⊥PB，若AB=3 2，则三棱锥P-BCD外接球的
表面积为 .
2424 (2024·云南保山·高一统考期末)已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为60°，
高为4 3，则该三棱锥外接球的表面积为 .
2425 (2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习)已知正三棱锥P-ABC
中，PA=1，AB= 2，该三棱锥的外接球体积为 ．
2426 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)如图，在正三棱台ABC-ABC
1 1 1
中，AB=2 3，AB =6，AA =4 2，则正三棱台ABC-ABC 的外接球表面积为
1 1 1 1 1 1
( )
256π 64π
A.64 B.64π C. D.
3 3
2427 (2024·辽宁·高三校联考期末)正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同
一球面上，则球的表面积为 ( )
A.32π B.33π C.34π D.35π
2428 (2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为6，侧棱
长为6 2，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
2429 (2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)在正四棱锥P-ABCD中， 2PA=
256
5AB，若四棱锥P-ABCD的体积为 ，则该四棱锥外接球的体积为 ．
3
2430 (2024·湖北·高三统考阶段练习)在正四棱台ABCD-ABCD 中，AB=2AB ，AA
1 1 1 1 1 1 1
= 3．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 ( )
33π 57π
A. B.33π C. D.57π
2 2
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447 10437 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
2431 (2024·安徽安庆·校联考模拟预测)三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2 3，AB=
π
2AC=6，∠BAC= ，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
3
2432 (2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习)在三棱锥S-ABC中，SA=SB=CA
=CB=AB=2，二面角S-AB-C的大小为60°，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积
为 ．
2433 (2024·河北承德·高一校联考阶段练习)已知三棱锥P-ABC的各侧棱长均为2 3，且
AB=3,BC= 3,AC=2 3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 .
2434 (2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末)已知三棱锥P-ABC的四个顶点
在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为 2的正三角形，E，F分别是PA，
AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 .
2435 (2024·全国·高三专题练习)已知在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=2，AC
⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为
32 3π 4 3π 32π 16π
A. B. C. D.
27 9 3 3
2436 (2024·全国·高一专题练习)如图，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=AC=CD=2，
∠BCD=120°，二面角A-BC-D的大小为120°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积
为 ( )
82π 80π 244π
A. B. C.27π D.
3 3 9
2437 (2024·全国·高三专题练习)在四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=2，AD
= 6，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ( )
16π 20π
A. B.5π C.20πs D.
3 3
8 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
2438 (2024·浙江台州·高二校联考期末)已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外
接球的体积为 .
2439 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面
积为8π，该圆锥内接于球O，则球O的表面积为 .
2440 (2024·河北石家庄·高二校考阶段练习)一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，
则圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
2441 (2024·重庆·统考模拟预测)如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别
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448 1043500π
为3和4，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为 ( )
3
A.60π B.75π C.35π D.35 2π
2442 (2024·云南·高三校联考开学考试)已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为
5 2，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为 ( )
250 500 100 125
A. π B. π C. π D. π
3 3 3 3
2443 (2024·陕西西安·高一校考期中)如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、下底面的半径
分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为 ( )
175π 238π 259π
A. B.75π C. D.
3 3 3
9 题型九：外接球之垂面模型
2444 (2024·江西九江·高一校考期末)如图，三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，
△ACD是边长为2的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°.若A，B，C，D四点在某个
球面上，则该球体的表面积为 .
2445 (2024·四川乐山·高二期末)已知正△ABC边长为1，将△ABC绕BC旋转至△DBC，使
得平面ABC⊥平面BCD，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为 ．
2446 (2024·河南平顶山·高一统考期末)在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB,AC
⊥BC，点D是AB的中点，PD⊥PB,PB=PD=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表
面积为 .
2447 (2024·江苏·高一专题练习)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AA =AB=BC．设
1 1 1 1
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449 10439
D为AC的中点，三棱锥D-ABC的体积为 ，平面ABC⊥平面ABBA ，则三棱柱
1 4 1 1 1
ABC-ABC 外接球的表面积为 ．
1 1 1
2448 (2024·河南开封·开封高中校考模拟预测)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平
面ABC,AB=6,BC=4,AB⊥BC,△PAB为等边三角形,则三棱锥P-ABC外接球的
表面积为 ．
π
2449 (2024·湖北十堰·高一统考期末)如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC= ,
2
BD=BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，连接AC，得到三
棱锥A-BCD，则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值为 .
2450 (2024·河南安阳·高一统考期末)在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥
PB，且PA=PB=3 2，△ABC是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
4
2451 (2024·云南临沧·高二校考期中)如图，已知矩形ABCD中，AB= BC=8，现沿AC折
3
起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B-ACD，则其外接球的体积为
．
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450 10432452 (2024·全国·高三校联考开学考试)在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，底面
△ABC是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最
大值为 .
2453 (2024·四川乐山·统考三模)在三棱锥P-ABC中，PA=PC=BA=BC=2，平面
PAC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的外接球表面积的最小值为 ．
2454 (2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)在平面四边形ABCD中，∠ADB=90°,∠ABC=90°,
BD=BC=2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A-
BCD，则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值为 .
10 题型十：外接球之二面角模型
2455 (2024·广东阳江·高三统考开学考试)在三棱锥D-ABC中，AB=BC=2，∠ADC=
90°，二面角D-AC-B的平面角为30°，则三棱锥D-ABC外接球表面积的最小值为
( )
A.162 3-1 π B.162 3-3 π C.162 3+1 π D.162 3+3 π
2456 (2024·浙江丽水·高二统考期末)在四面体PABC中，PA⊥PB，△ABC是边长为2的等
边三角形，若二面角P-AB-C的大小为120°，则四面体PABC的外接球的表面积为
( )
13π 26π 52π 104π
A. B. C. D.
9 9 9 9
2457 (2024·广东·校联考模拟预测)已知四棱锥S-ABCD,SA⊥平面ABCD,AD⊥DC,
π
SA=3 3,BC=4，二面角S-BC-A的大小为 .若点S,A,B,C,D均在球O的表面
3
上，则该球O的表面积为 ( )
152π 160π
A. B.52π C. D.54π
3 3
2458 (2024·福建·高一福建师大附中校考期末)在四面体ABCD中，△ABC与△BCD都是边
长为6的等边三角形，且二面角A-BC-D的大小为60°，则四面体ABCD外接球的表
面积是 ( )
A.52π B.54π C.56π D.60π
2459 (2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)图1为两块大小不同的等腰直角三角
形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条
直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折
起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥M-ABC，如图2．若二面角M-AC-B的
2π
大小为 ，则所得三棱锥M-ABC的外接球的表面积为 ( )
3
第 页 共 页
451 10437π 14π 7 42π
A. a2 B.4πa2 C. a2 D. a2
3 3 27
2460 (2024·全国·高三专题练习)如图1，在△PBC中，PA⊥BC，AM⊥PB，BC=6，PA=
4，沿PA将△PAB折起，使得二面角B-PA-C为60°，得到三棱锥P-ABC，如图2，若
AM⊥PC，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 ( )
A.32π B.36π C.64π D.80π
2461 (2024·湖南岳阳·统考三模)已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AD
⊥BD,AC⊥BC,∠DAB=∠CBA=30°，二面角D-AB-C的大小为60°，若球O的表
面积等于36π，则三棱锥D-ABC的体积等于 ( )
27 3 2 7
A. 3 B. C. 7 D.
8 3
2462 (2024·全国·高一专题练习)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=
2BC=4，二面角A-BC-D为60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 ( )
A.16π B.24π C.18π D.20π
11 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
2463 (2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O
的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S
8
-ABC的体积为 ，则球O的体积为 ( )
3
第 页 共 页
452 104320π 32π
A.4π B. C.6π D.
3 3
1
2464 (2024·四川巴中·高三统考期末)已知三棱锥S-ABC的体积为 ，AC=BC=1，
2
∠ACB=120°，若SC是其外接球的直径，则球的表面积为 ( )
A.4π B.6π C.8π D.16π
2465 (2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都
在球O的球面上,SA为球的直径,ΔABC是边长为2的等边三角形,三棱锥S-ABC的
2 2
体积为 ,则球的表面积为 ( )
3
8 2π 128π
A.8π B. C.16π D.
3 3
2466 (2024·重庆·校联考一模)已知三棱锥S-ABC各顶点均在球O上，SB为球O的直径，
2π
若AB=BC=2，∠ABC= ，三棱锥S-ABC的体积为4，则球O的表面积为
3
A.120π B.64π C.32π D.16π
2467 (2024·河北唐山·统考三模)三棱锥S-ABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，
AC⊥AB，BC=SB=SC=2，则该球的表面积为 ( )
A.4π B.6π C.9π D.12π
2468 (2024·河南南阳·统考模拟预测)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，
PC是球O的直径.若平面PCA⊥平面PCB，PA=AC，PB=BC，三棱锥P-ABC的
体积为a，则球O的体积为
2 4
A.2πa B.4πa C. πa D. πa
3 3
2469 (2024·福建莆田·高三统考期中)三棱锥S-ABC的各顶点均在球O上，SC为该球的直
1
径，AC=BC=1,∠ACB=120°，三棱锥S-ABC的体积为 ，则球的表面积为
2
A.4π B.6π C.8π D.16π
2470 (2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球
16
的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为 ，则该三棱锥的
3
外接球的表面积为 ( )
16 40 64 80
A. π B. π C. π D. π
3 3 3 3
2471 (2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知SC是球O的直径，A,B是球O球面
上的两点，且CA=CB=1,AB= 3，若三棱锥S-ABC的体积为1，则球O的表面积为
A.4π B.13π C.16π D.52π
12 题型十二：外接球之共斜边拼接模型
2472 (2022·江西·高二阶段练习(理))如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，PB⊥底面
π
ABCD，O是对角线AC与BD的交点，若PB=1，∠APB= ，则三棱锥P-BOC的外
3
第 页 共 页
453 1043接球的体积为 ( )
2π 4π 5π
A. B. C. D.2π
3 3 3
2473 (2022·安徽·芜湖一中高二期中)已知三棱锥P-ABC中，PA=1，PB=3，PC= 5，
AB=2 2，CA=CB=2，则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
14π 28π
A. B. C.9π D.12π
3 3
2474 (2022·江西赣州·高二期中(理))在三棱锥A-SBC中，AB= 10,∠ASC=∠BSC=
π 15
,AC=AS,BC=BS若该三棱锥的体积为 ，则三棱锥A-SBC外球的体积为
4 3
( )
π
A.π B. C. 5π D.4 3π
3
2475 在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC
-D，则四面体ABCD的外接球的体积为 ( )
125 125 125 125
A. π B. π C. π D. π
12 9 6 3
2476 三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AC=2，PA⊥PC，AB⊥BC，则三棱
锥P-ABC的外接球的半径为
13 题型十三：外接球之坐标法模型
2477 (2024·浙江·高二校联考阶段练习)空间直角坐标系O-xyz中，A( 2,0,0),B(0,3,0),C
(0,0,5),D( 2,3,5),则四面体ABCD外接球体积是 ( )
108
A.25π B.36π C. π D.288π
3
2478 (2024·贵州·统考模拟预测)如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2
(单位：m)的正方体截去四个相同的三棱锥(截面为等腰三角形)后得到.若将该培植箱
置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为 m2
第 页 共 页
454 10432479 (2024·河南开封·开封高中校考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥AB,AB=
2
AD=2,△ACD为等边三角形，三棱锥A-BCD的体积为 ，则三棱锥A-BCD外接球
3
的表面积为 .
π
2480 (2024·全国·高三专题练习)如图①，在Rt△ABC中，C= ，AC=BC=2，D，E分别
2
为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使AD⊥CD，如图②.若F
1 1
是AB的中点，则四面体FCDE的外接球体积是 ( )
1
2 2 2
A.2π B. π C. π D. π
3 6 12
2481 (2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)期末)如图，已知四棱锥E
-ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，AE⊥面ABCD，EQ=2QD，EP=2PB，
1
ER= RC，若RP=RQ= 6，则四棱锥E-ABCD外接球表面积为 ( )
2
A.44π B.54π C.176π D.216π
2482 (2024·河南郑州·模拟预测)在长方体中ABCD-ABCD 中，AB=AA =1，AD=
1 1 1 1 1
2，M是棱BC 的中点，过点B，M，D 的平面α交棱AD于点N，点P为线段DN上一动
1 1 1 1
点，则三棱锥P-BBM外接球表面积的最小值为 ．
1
2483 (2024·湖南郴州·高二统考期末)如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，E，F
1 1 1 1
分别为棱AD 、AA 的中点，G为面对角线BC上一个动点，则三棱锥A -EFG的外接
1 1 1 1 1
球表面积的最小值为 .
第 页 共 页
455 10432484 (2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长
1 1 1 1
为2，点P是线段BD 上的动点，则三棱锥P-ABC的外接球半径的取值范围为
1 1
．
14 题型十四：外接球之空间多面体
2485 (2024·全国·高三专题练习)自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、
服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵
阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是
一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为20 2cm，则石凳
所对应几何体的外接球的表面积为 cm2．
2486 (2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)截角四面体是一种半正
八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所
示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的
截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
2487 (2024·宁夏银川·银川二中校考一模)把一个棱长都是6的正四棱锥(底面是正方形，顶
点在底面的射影是正方形的中心)每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截
面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥(如图所示)，则剩下的几何体的外
接球的表面积等于 ．
第 页 共 页
456 10432488 (2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习)取两个相互平行且全
等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边
三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的
“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于 ( )
A.11π B. 8+2 2 π C. 8+2 3
11 11
π D. π
6
15 题型十五：与球有关的最值问题
2489 (2024·江西抚州·统考模拟预测)如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥BC,AC=
2 5,BC=4，棱柱的侧棱足够长，点P在棱BB上，点C 在CC上，且PA⊥PC ，则当
1 1
△APC 的面积取最小值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为 .
1
3
2490 (2024·全国·学军中学校联考二模)如图，直三棱柱ABC-ABC 中，∠BCA= π,AC
1 1 1 4
= 2,BC=2，点P在棱BB 上，且PA⊥PC ，当△APC 的面积取最小值时，三棱锥P
1 1 1
-ABC的外接球的表面积为 .
第 页 共 页
457 10432491 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，
1 1 1 1
点E∈平面AABB，点F是线段AA 的中点，若DE⊥CF，则当△EBC的面积取得最
1 1 1 1
小值时，三棱锥E-BCC 外接球的体积为 .
1
2492 (2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试)如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC
1 1 1
⊥BC，AC= 7，BC=3，点P在棱BB 上，且PA⊥PC ，当△APC 的面积取最小值
1 1 1
时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 ．
2493 (2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个
球面上，底面△ABC为等腰直角三角形且BA=BC=4，若该三棱锥体积的最大值为
32
，则其外接球的表面积为 .
3
2494 (2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习)已知四棱锥S-ABCD中，底
面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB=3，则当四棱锥的体积取得最大值
时，其外接球的表面积为 ．
2495 (2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面
ABC，PA=2，AB=AC=BC=2m，M为AC的中点，若三棱锥P-ABM的顶点均在
7 3
球O的球面上，D是球O上一点，且三棱锥D-PAC体积的最大值是 ，则球O的体
3
积为 .
2496 (2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测)点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=
BC=AC= 3，若四面体ABCD体积的最大值为 3，则这个球的表面积为 .
16 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
2497 (2024·广东肇庆·高一校考阶段练习)棱长为2的正方体ABCD-ABCD 的内切球的
1 1 1 1
球心为O，则球O的体积为 ( )
2 4 8
A. π B. π C.2π D. π
3 3 3
2498 (2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习)已知直三棱柱ABC-ABC 存
1 1 1
在内切球，若AB=3,BC=4,AB⊥BC，则该三棱柱外接球的表面积为 ( )
A.26π B.27π C.28π D.29π
2499 (2024·山西太原·高一校考阶段练习)已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相
32
切)的体积是 π，则该正方体的体积为 ( )
3
A.4 B.16 C.8 D.64
第 页 共 页
458 10432500 (2024·全国·高一专题练习)若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切
球体积之比为 ( )
A.3 3:1 B.5:1 C.5 5:1 D.6:1
2501 (2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试)在正三棱柱ABC-ABC中，D是侧棱
BB上一点，E是侧棱CC上一点，若线段AD+DE+EA的最小值是2 7﹐且其内部
存在一个内切球(与该棱柱的所有面均相切)，则该棱柱的外接球表面积为 ( )
A.4π B.5π C.6π D.8π
2502 (2024·全国·高一专题练习)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外
接球和内切球的表面积的比值为 ( )
A.2:1 B.3:2 C.7:3 D.7:4
2503 (2024·全国·高三专题练习)已知点O到直三棱柱ABC-ABC 各面的距离都相等，球
1 1 1
O是直三棱柱ABC-ABC 的内切球，若球O的表面积为16π，△ABC的周长为4，则
1 1 1
三棱锥A -ABC的体积为 ( )
1
4 16 8 3 16 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
17 题型十七：内切球之正四面体模型
2504 (2024·高一课时练习)边长为1的正四面体内切球的体积为 ( )
6π 2 π 6π
A. B. C. D.
8 12 6 216
2505 (2024·全国·高三专题练习)已知正四面体的棱长为12，则其内切球的表面积为 ( )
A.12π B.16π C.20π D.24π
2506 (2024·江苏·高一专题练习)正四面体A-BCD的棱长为2 2，则它的内切球与外接球
的表面积之比为 ( )
3 1 1 1
A. B. C. D.
4 4 8 9
18 题型十八：内切球之棱锥模型
2507 (2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习)已知矩形ABCD中，AB=2,AD=1，沿
着对角线AC将△ACD折起，使得点D不在平面ABC内，当AD⊥BC时，求该四面体
ABCD的内切球和外接球的表面积比值为 ( )
18-9 3 19-9 3 21-12 3 24-12 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
2508 (2024·广西·高二校联考期中)已知四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，则其内切球表面
积为 ( )
第 页 共 页
459 1043A.(8-2 3)π B.(8-4 3)π C.(8-6 3)π D.(8-3 3)π
2509 (2024·湖北武汉·高二校联考阶段练习)如图，在三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC
=∠CVA=60°，VA=VB=VC，若三棱锥V-ABC的内切球O的表面积为6π，则此三
棱锥的体积为 ( )
A.6 3 B.18 3 C.6 2 D.18 2
2510 (2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,
∠ABC=90°，且SA=3,AB=4,AC=5，若球O在三棱锥S-ABC的内部且与四个面
都相切(称球O为三棱锥S-ABC的内切球)，则球O的表面积为 ( )
16π 4π 32π 16π
A. B. C. D.
9 9 27 81
2511 (2024·福建龙岩·统考模拟预测)如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点
的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为 ( )
π 4π
A. B.π C. D.4π
6 3
2512 (2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形
的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=
CD=1，则其内切球表面积为 ( )
A.3π B. 3π C. 3-2 2 π D. 2-1 π
19 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
第 页 共 页
460 10432513 (2024·全国·高三专题练习)在Rt△ABC中，CA=1,CB=2.以斜边AB为旋转轴旋转
一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为 ( )
2π 8 2π 32π 4π
A. B. C. D.
3 3 81 81
2514 (2024·天津·统考二模)已知一个圆锥的高为4，底面直径为6，其内有一球与该圆锥的侧
面和底面都相切，则此球的体积为 ( )
9
A.12π B.9π C. π D.3π
2
2515 (2024·全国·高一专题练习)已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关
于该圆锥的说法中错误的是 ( )
2 2
A.圆锥的体积为 π
3
B.圆锥的表面积为2 2π
C.圆锥的侧面展开图是圆心角为 2π的扇形
D.圆锥的内切球表面积为(24-16 2)π
2516 (2024·贵州贵阳·高二校考阶段练习)已知圆锥内切球(与圆锥侧面、底面均相切的球)的
半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为 ( )
A.81π B.96π C.108π D.126π
2517 (2024·全国·高一专题练习)已知圆锥的底面半径为2，高为4 2，则该圆锥的内切球表面
积为 ( )
A.4π B.4 2π C.8 2π D.8π
2518 (2024·安徽宣城·高二校联考开学考试)如图，正四棱台ABCD-ABCD 的上、下底面
1 1 1 1
边长分别为2 2,4,E,F,G,H分别为AB，BC,CD,DA的中点，8个顶点E,F,G,H,A,B,
1 1
C,D 构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为 ( )
1 1
A.8 2π B.6 2π C.4 2π D.2 2π
2519 (2024·湖北咸宁·高二统考期末)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及
侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径r:r =2:3，则圆台的体积与球的体积之比为
1 2
( )
第 页 共 页
461 10433 19 19
A. B. C.2 D.
2 12 6
20 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
2520 (2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习)已知球O 与一正方体的各
1
条棱相切，同时该正方体内接于球O ，则球O 与球O 的表面积之比为 ( )
2 1 2
A.2：3 B.3：2 C. 2: 3 D. 3: 2
2521 (2024·全国·高三专题练习)已知正三棱柱ABC-ABC 的体积为18，若存在球O与三
1 1 1
棱柱ABC-ABC 的各棱均相切，则球O的表面积为 ( )
1 1 1
A.8π B.12π C.16π D.18π
2522 (2024·全国·高三专题练习)已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱
的侧面积的最大值为 ( )
A.2π B.4π C.6π D.20π
2523 (吉林省吉林市2024届高三第四次数学(理)调研试题)已知正三棱柱ABC-ABC(底
1 1 1
面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有
棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为 .
2524 (福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题)已知直三棱柱ABC-
ABC 的侧棱长为2 3，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球
1 1 1
O的体积为 .
2525 已知正三棱柱ABC-ABC ，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正
1 1 1
三棱柱的侧棱长为 .
2526 (广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题)已知正三棱柱的高
等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为 ( )
π 4 3π 4π 4 3π
A. B. C. D.
6 27 3 3
21 题型二十一：棱切球之正四面体模型
2527 (2024·全国·高一期中)已知某棱长为2 2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该
球与此正四面体的体积之比为 ( )
π π 3π 2π
A. B. C. D.
2 3 3 2
2528 (2024·陕西西安·高一校联考期中)所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正
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462 1043四面体的内切球与外接球的体积之比为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
27 3 3 2 2 8
2529 (2024·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中)球与棱长为3 2的正四面体各条棱都
相切，则该球的表面积为 ( )
A.6π B.18π C.9π D.10π
2530 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知球O的表面积为9π，若球O与正四面体S-
ABC的六条棱均相切，则此四面体的体积为 ( )
9 2 9 2
A.9 B.3 2 C. D.
2 8
2531 (2024·全国·高三专题练习)正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一
条棱都相切，则球O的表面积为 ( )
8 2
A.2π B.8π C. π D.12π
3
22 题型二十二：棱切球之正棱锥模型
2532 (河南省名校2022-2024学年高二下学期5月联考数学试题)已知棱长均为2 3的多面
体ABC-ABC 由上、下全等的正四棱锥A -ABBC 和C-ABBC 拼接而成，其中
1 1 1 1 1 1 1 1
四边形ABBC 为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为R，该多面体的棱切球
1 1
R
(与该多面体的所有棱均相切的球)的半径为r，则 = ．
r
2533 (河南省多所名校2022-2024学年高三下学期3月月考文科数学试题)在正三棱锥P-
ABC中，AB=6，PA=4 3，若球O与三棱锥P-ABC的六条棱均相切，则球O的表
面积为 ．
2534 (安徽省马鞍山市2024届高三下学期第二次教学质量监测理科数学试题)球被平面截
下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺
π
的高，球缺的体积公式V= 3R-h
3
h2，其中R为球的半径，h为球缺的高.若一球与一
所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为
.
2535 (2024·全国·高三专题练习)正三棱锥P-ABC的底面边长为2 3，侧棱长为2 2，若球
H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为 ( )
17 9
A. π B.(44-16 6)π C. π D.32π
4 2
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463 10432536 (2024·全国·高三专题练习)在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=AC
=AD=2，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为 ( )
A.4π B.8π C. 24-16 2 π D. 48-32 2 π
2537 (2024·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习)与正三棱锥6条棱都相切的球称
为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为2 6，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切
球半径为 ( )
A. 6-2 B. 6+2 C.6 2-4 3 D.6 2+4 3
2538 (2024·江苏·高一专题练习)在正三棱锥P-ABC中，AB=6,PA=4 3，若球O与三棱
锥P-ABC的六条棱均相切，则球O的表面积为 ( )
A. 16-8 3 π B. 19-8 3 π C. 76-32 3 π D. 19+8 3 π
23 题型二十三：多球相切问题
2539 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开
路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型
龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最
大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与
中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2 6，则模型中九个球的
表面积和为 ( )
31π
A.6π B.9π C. D.21π
4
2540 (2024·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末)已知正四面体的棱长为12，先在正四面
体内放入一个内切球O ，然后再放入一个球O ，使得球O 与球O 及正四面体的三个侧
1 2 2 1
面都相切，则球O 的体积为 ( )
2
A. 6π B.2 3π C.2 2π D. 3π
2541 (2024·山东德州·高一德州市第一中学校考期末)如图是某零件结构模型，中间大球为正
四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若AB=12，则该模型中一个小
球的体积为 ( )
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464 10433π 9 6π
A.3π B. C. 6π D.
2 16
2542 (2024·全国·高三专题练习)如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 10的正四棱锥P-
ABCD中，大球O 内切于该四棱锥，小球O 与大球O 及四棱锥的四个侧面相切，则小
1 2 1
球O 的表面积为 ．
2
2543 (2024·全国·高一专题练习)棱长为2 3的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形
成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为 ( )
π
A. B.π C. 2π D. 3π
2
2544 (2024·全国·高三专题练习)已知球O是棱长为24的正四面体ABCD的内切球，球O
1
与球O外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球O 的表面积为 ( )
1
A.24π B.12π C.8π D.6π
2545 (2024·全国·高一专题练习)四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四
面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为 ( )
A.(168+48 6)π B.(168+42 6)π C.(188+48 6)π D.(168+32 6)π
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465 1043
