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第 52 讲 立体几何中的轨迹问题
知识梳理
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
必考题型全归纳
题型一：由动点保持平行求轨迹
例1．（2024·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体
的棱长为1，点E是棱 的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列
命题：
①如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ；
②如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
③如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
④如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ．
其中正确的命题个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体
中，E在棱 上且满足 ，点F是侧面 上的动点，且
面AEC，则动点F在侧面 上的轨迹长度为 ．
例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方
体 中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面 内（包括边界）一
动点，且 ∥平面EFG，则P点的轨迹长度为
变式1．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三
棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点．若侧面 的中心
为 ， 为侧面 内的一个动点， 平面 ，且 的轨迹长度为 ，则三
棱柱 的表面积为 ．变式2．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体 的棱长为2，点
是线段 的中点，点 是正方形 所在平面内一动点，若 平面 ，则
点轨迹在正方形 内的长度为 .
变式3．（2024·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体 的棱长为
3，点 ， 分别在线段 和线段 上，且 ， ，点 是正方形
所在平面内一动点，若 平面 ，则 点的轨迹在正方形 内的长
度为 .
变式4．（2024·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体 中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且 平面 ，则动点M的轨迹所形成区域的面积是
．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为
分别是棱 的中点，点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，若直线
与平面 无公共点，则点 在四边形 内运动所形成轨迹的长度为 .
变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 的棱长为
分别为 ， 的中点，点 是正方体表面上的动点，若 平面 ，则点 在正
方体表面上运动所形成的轨迹长度为 ．变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为 的正四面体 ， 为 的中点，
动点 满足 ，平面 经过点 ，且平面 平面 ，则平面 截点 的轨迹所
形成的图形的周长为 .
题型二：由动点保持垂直求轨迹
例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体
中，点P、Q分别是 ， 的中点，点M为正方体表面上一动点，若
MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 .
例5．（2024·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱 中，
，E为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的
轨迹的长为 .
例6．（2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正方体 的
内切球球面上的动点， 为 的中点， ，若动点 的轨迹长度为 ，则正
方体的体积是 .变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 的所有棱长均为4，空间
内的点 满足 ，且 ，则满足条件的 所形成曲线的轨迹的长度为
.
变式9．（2024·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上
一点，已知 ， ，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足
，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ．
变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆
周上一点，已知 ，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足
，则点 的轨迹所围成图形的面积为 ．
变式11．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱 中，， ， ，动点 在 内（包括边界上），且始终满足
，则动点 的轨迹长度是 .
变式12．（2024·山东枣庄·高一统考期末） ， 分别是棱长为1的正方体
的棱 的中点，点 在正方体的表面上运动，总有 ，则
点 的轨迹所围成图形的面积为 .
变式13．（2024·四川广元·高二广元中学校考期中）如图， 为圆柱下底面圆 的直径，
是下底面圆周上一点，已知 ， ，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上
运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成图形的面积为 ．变式14．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体 的棱长为 ，
点 是棱 的中点，点 是正方体表面上的动点．若 ，则 点在正方体表面
上运动所形成的轨迹的长度为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
例7．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体 中，
点Q为侧面 内一动点（含边界），若 ，则点Q的轨迹长度为 ．
例8．（2024·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为3，动点 在 内，满足 ，则点 的轨迹长度为
.
例9．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体
的棱长为1，点P在该正方体的表面 上运动，且 则点P的轨迹长度是
．
变式15．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点P
在该正方体的表面上运动，且 ，则点P的轨迹长度是 ．
变式16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，
且 为等边三角形，空间中的动点P满足 ，当点P在 所在的平面内
运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为 .
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知正四棱柱 的体积为16， 是棱
的中点， 是侧棱 上的动点，直线 交平面 于点 ，则动点 的轨迹长度
的最小值为 ．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为8的正方体 中，平面
ABCD内一点E满足 ，点P为正方体表面一动点，且满足 ，则动点P
运动的轨迹周长为 ．
变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M
是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨
迹长度为 ．
变式20．（2024·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥 的体积为 ，底面三角
形 是边长为 的正三角形且其中心为 ，三棱锥 的外接球球心 到底面
的距离为2，则点 的轨迹长度为 .
变式21．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，
，二面角 的大小为 ，在侧面 内(含边界)
有一动点 ，满足到 的距离与到平面 的距离相等，则动点 的轨迹的长度为
．
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
例10．（2024·山东·高三专题练习）如图所示，在平行四边形 中，E为 中点，
， ， .沿着 将 折起，使A到达点 的位置，且平面平面 .设P为 内的动点，若 ，则P的轨迹的长度为
.
例11．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体 中，点 是线段
的中点， 是正方形 （包括边界）上运动，且满足 ，则 点的
轨迹周长为 .
例12．（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为
2，M为棱 的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的
角为 ，则动点N的轨迹的长度为 ．
变式22．（2024·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体
的棱长为2，点 为平面 内的动点，设直线 与平面 所成的角为 ，若
，则点 的轨迹所围成的周长为 ．
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是棱长为2的正方体 的表
面上一个动点，若使 的点P的轨迹长度为a；使直线 平面BDC的点P的轨迹
长度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”符号连接）
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体 中， ，点E为
平面 内的动点，设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点E的轨
迹所围成的面积为 ．
变式25．（2024·山西大同·高一统考期中）已知 是半径为2的球面上的四点，且
．二面角 的大小为 ，则点 形成的轨迹长度为 ．
变式26．（2024·贵州铜仁·高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁
的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常
见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约
原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥 ，其
侧棱和底面边长分别是8cm和6cm， 是顶点 在底面 上的射影．若 是底面
内的动点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则动点 的轨迹长为
．
变式27．（2024·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体 的棱长为1，A B C D
1 1 1 1
点P为正方形 内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为 的点P的轨迹
长度为（ ）
A． B． C． D．
变式28．在正方体 中，动点M在底面 内运动且满足
，则动点M在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
题型五：投影求轨迹
例13．（2024·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图，在 中， ， ，
，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将 沿线段AD折起至 ，使二
面角 的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（ ）
A．不存在点 ，使得B．点 在平面 上的投影轨迹是一段圆弧
C． 与平面 所成角的余弦值的取值范围是
D．线段 的最小值是
例14．（2024·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）如图，在等腰 中，
， ， 为 的中点， 为 的中点， 为线段 上一个动点（异于
两端点）， 沿 翻折至 ，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在
线段 上运动时，以下说法不正确的是（ ）．
A．线段 为定长 B．
C． D．点 的轨迹是圆弧
例15．（2024·江西赣州·高二南康中学校考阶段练习）在等腰直角 中， ，
， 为 中点， 为 中点， 为 边上一个动点， 沿 翻折使
，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在 上运动时，以下说法错误的是
A．线段 为定长 B．C．线段 的长 D．点 的轨迹是圆弧
变式29．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为
，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面
的接触点为E， ．若光线与地面所成角为 ，椭圆的离心率 ．
变式30．（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在 中， ，
， .过 的中点 的动直线 与线段 交于点 .将 沿直线 向上
翻折至 ，使得点 在平面 内的投影 落在线段 上.则点 的轨迹长度为
.
变式31．（2024·北京·高三专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 为
线段 上一动点，现将 沿 折起得到 ，当二面角 的平面角为
，点 在平面 上的投影为 ，当 从 运动到 ，则点 所形成轨迹的长度为
.题型六：翻折与动点求轨迹
例16．（2024·全国·高三专题练习）在矩形 中， 是 的中点， ，
将 沿 折起得到 ，设 的中点为 ，若将 绕 旋转 ，则在
此过程中动点 形成的轨迹长度为 .
例17．（2024·全国·高三专题练习）矩形ABCD中， ，E为AB中点，将
△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在 范围内变化时，点A'的
轨迹长度为
例18．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平行四边形 中， 为 中点，
， ， .沿着 将 折起，使 到达点 的位置，且平面
平面 .若点 为 内的动点，且满足 ，则点 的轨迹的
长度为 .变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2， .将菱形沿
对角线AC折叠成大小为60°的二面角 .设E为 的中点，F为三棱锥
表面上动点，且总满足 ，则点F轨迹的长度为 .
变式33．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）在矩形ABCD中， ， ，
点E在CD上，现将 沿AE折起，使面 面ABC，当E从D运动到C，求点D
在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形 的各边长为 ．如图所示，
将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时
． 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持
，则点 的轨迹的周长为（ ）A． B． C． D．
变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，
沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，
垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
变式36．（2024·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）如图，在长方形
中， ， ，点 为线段 上一动点，现将 沿 折起，使点
在面 内的射影 在直线 上，当点 从 运动到 ，则点 所形成轨迹的长度为
A． B． C． D．
变式37．（2024·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形 中， ，
分别是底边 的中点，把四边形 沿直线 折起使得平面 平面.若动点 平面 ，设 与平面 所成的角分别为 （ 均不
为0）.若 ，则动点 的轨迹围成的图形的面积为( )
A． B． C． D．
