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第 38 讲 向量中的隐圆
知识梳理
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
⃗PA⋅ ⃗PB=λ
乘积型：
√ 1
λ+ AB2
定理：平面内，若 A,B 为定点，且 ⃗PA⋅ ⃗PB=λ ,则P的轨迹是以M为圆心 4
为半径的圆
1
PM2 − AB2 =λ
证 明 ： 由
⃗PA⋅ ⃗PB=λ
， 根 据 极 化 恒 等 式 可 知 ， 4 ， 所 以
√1 √ 1
PM= AB2 +λ λ+ AB2
4 ，P的轨迹是以M为圆心 4 为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：PA2 +PB2 =λ
定理：若 A，B 为定点，P满足 PA2 +PB2 =λ ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，
√ λ− 1 AB2
2 1
(λ− AB2 >0)
2 为半径的圆。 2
√ λ− 1 AB2
1 2
PA2 +PB2 =2[PM2 +( AB) 2 ]=λ PM=
证明： 2 ，所以 2 ，即P的轨迹是以
√ λ− 1 AB2
2
AB中点M为圆心， 2 为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
{mPA 2 PB 2 {PA 2 mPB 2
n¿ n¿
+ = + = ¿¿¿
若 A，B 为定点， ，则P的轨迹为圆．
mPA2 +PB2 =n⇒m[(x+c) 2 +y2 ]+[(x−c) 2 +y2 ]=n
证明：
⇒(m+1)(x2 +y2 )+2c(m−1)x+(m+1)c2 −n=0
2(m−1)c c2 (m+1)−n
⇒x2 +y2 + ⋅x+ =0
m+1 m+1 ．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解必考题型全归纳
题型一：数量积隐圆
例1．（2024·上海松江·校考模拟预测）在 中， . 为
所在平面内的动点，且 ，若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ；④ 的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2024·全国·高三专题练习）若正 的边长为4， 为 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·山东菏泽·高一统考期中）在 中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为
所在平面内的动点，且PC＝2，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知 是边长为 的等边三角形，其中心为
O，P为平面内一点，若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．变式2．（2024·北京·高三专题练习） 为等边三角形，且边长为 ，则 与 的夹
角大小为 ，若 ， ，则 的最小值为___________.
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两
个不同的点，且 若 ，则 的最小值为______.
题型二：平方和隐圆
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知 是单位向量，满足
，则 的最大值为________．
例5．（2024·上海·高三专题练习）已知平面向量 、 满足 ， ，
设 ，则 ________.
例6．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆
，若圆 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若直线 上存在点 满足 （ 为坐标原点），则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2024·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设 ， ，O为坐标原
点，点P满足 ，若直线 上存在点Q使得 ，则实数
k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆
C： ，点 ，若圆C上存在点M，满足 ，则点M的纵
坐标的取值范围是___________.
题型三：定幂方和隐圆
例7．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点 ， ，直线 ：
上存在点 ，使得 成立，则实数 的取值范围是______.
例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 、 、 ，满足 ， ， ，
，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 ， 的夹角为
60°，向量 满足 ，若对任意的 ，记 的最小值为M，则
M的最大值为
A． B． C． D．
变式7．（2024·江苏·高三专题练习）已知 ， 是两个单位向量，与 ， 共面的向量
满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
变式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知 、 、 是平面向量， 是
单位向量． 若 ， ， 则 的最大值为
_______．
变式9．（2024·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知 ， ， 是平面向量，
是单位向量.若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值
是_______．
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 、 ，满足 ， ，， ，若 ，则 的最大值是_________.
变式11．（2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知 是平面向量， ，若
非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是__________.
题型四：与向量模相关构成隐圆
例10．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位向量，
若 ，则 的最小值是__________．
例11．（2024·上海·高三专题练习）已知 、 、 、 都是平面向量，且
，若 ，则 的最小值为____________．
例12．（2024·上海金山·统考二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且
，若 ，则 的最小值为__________.
变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知线段 是圆 的一条动弦，
且 ，若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为
__________.
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，B在直线 上，，动点M满足 ，则 的最小值为__________.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知 是单位向量， .若向量 满足
，则| |的最大值是________.
变式15．（2024·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是 、 是单位
向量， ，若向量 满足 ，则 的最大值为______
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足 ，则 的最大值是_________．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： 与 的夹角为
，记 是 的最大值，则 的最小值是
__________．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则
的最大值为___________.
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知向量 满足
，则 的最大值为________．变式20．（2024·全国·高三专题练习）设 ， 为单位向量，则 的最大值是
________
