第38讲向量中的隐圆_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第38讲 向量中的隐圆 知识梳理 技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆   乘积型：PA⋅PB=λ   1 定理：平面内，若A,B为定点，且PA⋅PB=λ,则P的轨迹是以M为圆心 λ+ AB2为 4 半径的圆   1 证明：由 PA ⋅ PB = λ，根据极化恒等式可知，PM2 - AB2 = λ，所以 PM = 4 1 1 AB2+λ，P的轨迹是以M为圆心 λ+ AB2为半径的圆． 4 4 技巧二．极化恒等式和型：PA2+PB2=λ 定理：若A，B为定点，P满足PA2+PB2=λ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心， 1 λ- AB2 2 1 为半径的圆。λ- AB2>0 2 2  1 证明：PA2+PB2=2 PM2+ AB 2   2    1 λ- AB2 2 =λ，所以PM= ，即P的轨迹是以 2 1 λ- AB2 2 AB中点M为圆心， 为半径的圆． 2 技巧三．定幂方和型 mPA2+PB2=n  若A，B为定点，PA2+mPB2=n ，则P的轨迹为圆． mPA2+nPB2=λ 证明：mPA2+PB2=n⇒m x+c   2+y2  + x-c   2+y2  =n ⇒(m+1)(x2+y2)+2c(m-1)x+(m+1)c2-n=0 2(m-1)c c2(m+1)-n ⇒x2+y2+ ⋅x+ =0． m+1 m+1 技巧四．与向量模相关构成隐圆 坐标法妙解 必考题型全归纳 1 题型一：数量积隐圆 1717 (2024·上海松江·校考模拟预测)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所    在平面内的动点，且PC=2，若CP=λCA+μCB，则给出下面四个结论：   4 ①λ+μ的最小值为- ；②PA⋅PB的最小值为-6； 5   3 ③λ+μ的最大值为 ；④PA⋅PB的最大值为8. 4 其中，正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】如图，以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系， 第 页 共 页 1020 3427则C(0,0),A(3,0),B(0,4)， 因为PC=2，所以设P(2cosθ,2sinθ)，则    CP=(2cosθ,2sinθ)，CA=(3,0),CB=(0,4)，    所以CP=λCA+μCB=(3λ,4μ)， 2 所以  2 2 c si o n s θ θ = = 4 3 μ λ ，即   3 1 cosθ=λ (θ为任意角)， sinθ=μ 2 2 1 所以λ+μ= cosθ+ sinθ 3 2 5 4 3 =  cosθ+ sinθ 6 5 5  5 = sinθ+φ 6  4 3 (其中sinφ= ,cosφ= )， 5 5 5 5 所以λ+μ的最大值为 ，最小值为- ， 6 6 所以①③错误，   因为PA=(3-2cosθ,-2sinθ),PB=(-2cosθ,4-2sinθ)，   所以PA⋅PB=-2cosθ(3-2cosθ)-2sinθ(4-2sinθ) =4-(8sinθ+6cosθ) 3 4 =4-10sin(θ+α)(其中sinα= ,cosα= ) 5 5 因为-10≤-10sin(θ+α)≤10， 所以-6≤4-10sin(θ+α)≤14，   所以PA⋅PB∈[-6,14]，   所以PA⋅PB的最小值为-6，最大值为14， 所以②正确，④错误， 故选：A 1718 (2024·全国·高三专题练习)若正△ABC的边长为4，P为△ABC所在平面内的动点，且   PA=1，则PB⋅PC的取值范围是 ( ) A. 3,15  B.[9-2 3,9+2 3] 第 页 共 页 1021 3427C.[9-3 3,9+3 3] D.[9-4 3,9+4 3] 【答案】D 【解析】由题知， 以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则B4,0  ，C2,2 3  ， 由题意设Pcosθ,sinθ  0≤θ<2π  ，  则PB=4-cosθ,-sinθ  ，  PC=2-cosθ,2 3-sinθ  ，   ∴PB⋅PC=4-cosθ  2-cosθ  -sinθ2 3-sinθ  3 1 =9-6cosθ-2 3sinθ=9-2×2 3 cosθ+ sinθ 2 2  π =9-4 3sinθ+ 3  ， ∵0≤θ<2π， π π 7π ∴ ≤θ+ < ， 3 3 3 π 可得9-4 3sinθ+ 3  ∈9-4 3,9+4 3  . 故选：D 1719 (2024·山东菏泽·高一统考期中)在△ABC中，AC=5，BC=12，∠C=90°.P为△ABC   所在平面内的动点，且PC=2，则PA⋅PB的取值范围是 ( ) A. -22,26  B. -26,22  C. -30,22  D. -22,30  【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，以直角顶点C为原点，射线CB,CA分别为x,y轴非负半轴，建 立平面直角坐标系，如图， 令角α(α∈R)的始边为射线CB，终边经过点P，由PC  =2，得P(2cosα,2sinα)，而B (12,0),A(0,5)， 第 页 共 页 1022 3427  于是AP=(2cosα,2sinα-5),BP=(2cosα-12,2sinα)，   因此AP⋅BP=2cosα(2cosα-12)+2sinα(2sinα-5)=4-2(5sinα+12cosα) 12 =4-26sin(α+φ)，其中锐角φ由tanφ= 确定， 5 显然-1≤sin(α+φ)≤1，则-22≤4-26sin(α+φ)≤30，   所以PA⋅PB的取值范围是-22,30  . 故选：D 1720 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC是边长为4 3的等边三角形，其中心为O，P为   平面内一点，若OP=1，则PA⋅PB的最小值是 A.-11 B.-6 C.-3 D.-15 【答案】A 3 1 【解析】作出图像如下图所示，取AB的中点为D，则OD=4 3× × =2，因为OP 2 3 =1，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，     PA+PB 则PA⋅PB=    2-PA-PB   2 2PD = 4  2-AB  2 =PD2-12.又PD为圆O上 4 的点P到D的距离，则PD =2-1=1， min   ∴PA⋅PB的最小值为-11. 故选：A.   1721 (2024·北京·高三专题练习)△ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小  为120°，若BD      =1，CE=EA，则AD⋅BE的最小值为 . 【答案】-3- 3   【解析】因为△ABC是边长为2的等边三角形，且CE=EA，则E为AC的中点，故BE ⊥AC，   以点B为坐标原点，BE、EA分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标 系， 第 页 共 页 1023 3427则A 3,1  、E 3,0  、B0,0  ，设点Dcosθ,sinθ  ，  BE= 3,0   ，AD=cosθ- 3,sinθ-1  ，   所以，AD⋅BE= 3cosθ- 3  ≥- 3-3，当且仅当cosθ=-1时，等号成立，   因此，AD⋅BE的最小值为- 3-3. 故答案为：- 3-3. 1722 (2024·全国·高三专题练习)已知圆Q:x2+y2=16，点P1,2  ，M、N为圆O上两个不同       的点，且PM⋅PN=0若PQ=PM+PN，则PQ  的最小值为 . 【答案】3 3- 5/- 5+3 3   【解析】解法1：如图，因为PM⋅PN=0，所以PM⊥PN，故四边形PMQN为矩形， 设MN的中点为S，连接OS，则OS⊥MN， 所以OS  2=OM  2-MS  2=16-MS  2， 又△PMN为直角三角形，所以MS  =PS  ，故OS  2=16-PS  2①， 设Sx,y  ，则由①可得x2+y2=16- x-1  2+y-2  2   ， 1 整理得：x- 2  2 +y-1  27 2= ， 4 1 从而点S的轨迹为以T ,1 2  3 3 为圆心， 为半径的圆， 2 显然点P在该圆内部，所以PS  3 3 = -PT min 2  3 3 5 = - ， 2 2  因为PQ  =2PS   ，所以PQ  =3 3- 5 ； min   解法2：如图，因为PM⋅PN=0,所以PM⊥PN， 故四边形PMQN为矩形，由矩形性质，OM  2+ON  2=OP  2+OQ  2， 所以16+16=5+OQ  2，从而OQ  =3 3， 故Q点的轨迹是以O为圆心，3 3为半径的圆，  显然点P在该圆内，所以PQ  =3 3-OP min  =3 3- 5. 第 页 共 页 1024 3427故答案为：3 3- 5. 2 题型二：平方和隐圆            1723 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b,c,d是单位向量，满足a⊥b,m=a+2b,|m-c|2+     |m-d|2=20，则|c-d|的最大值为 ． 2 5 【答案】 5    【解析】依题意，a,b可为与x轴、y轴同向的单位向量，设a=1,0   ,b=0,1   ,c= cosx,sinx   ,d=cosy,siny   ∴m=1,2      ,∴|m-c|2+|m-d|2=20=cosx-1  2+sinx-2  2+cosy-1  2+ siny-2  2 化简得：4=cosx+2sinx+cosy+2siny 运用辅助角公式得：4= 5sinx+φ  + 5siny+φ  1 π ,tanφ= ,φ∈0, 2 2  4 =sinx+φ 5  +siny+φ  x+y =2sin +φ 2  x-y cos ， 2 x-y 2 即得：cos = 2 x+y 5sin +φ 2  ， x-y 4 故cos2 = 2 x+y 5sin2 +φ 2  4 ≥ ； 5   c-d  = cosx-cosy  2+sinx-siny  2= 2-2cosx-y  x-y = 4-4cos2  2 4 2 5 ≤ 4-4× = . 5 5 2 5 故答案为： 5    1724 (2024·上海·高三专题练习)已知平面向量PA、PB满足PA|2+    PB|2=4，|AB|2=2，设     PC=2PA+PB，则PC  ∈ . 【答案】  3 6- 2 , 3 6+ 2  2 2   【解析】因为AB    2=AP+PB   2=PA   2+PB     2-2PA⋅PB=2且PA   2+PB  2=4，所   以PA⋅PB=1；   又因为PA+PB   2=PA   2+PB      2+2PA⋅PB=6，所以PA+PB  = 6；  由AB    2=PB-PA    2=PA-PB    2=2，所以PA-PB  = 2；      3 根据PC=2PA+PB= PA+PB 2    1 + PA-PB 2  可知：   3 PA+PB 2    1 - PA-PB 2     ≤PC    3 ≤ PA+PB 2    1 + PA-PB 2  ， 左端取等号时：P,A,B三点共线且P在线段AB外且P靠近B点；右端取等号时，P,A, B三点共线且P在线段AB外且P靠近A点，  3 6- 2 所以 ≤PC 2   3 6+ 2 ≤ ，所以PC 2  3 6- 2 3 6+ 2 ∈ ,  2 2  . 故答案为：  3 6- 2 , 3 6+ 2  2 2  . 第 页 共 页 1025 34271725 (2024·江苏·高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知点A2,0  ，B0,2  ，圆C:x-a  2 +y2=1，若圆C上存在点M，使得MA  2+MB  2=12，则实数a的取值范围为 ( ) A. 1,1+2 2  B. 1-2 2,1+2 2  C. 1,1+2 2  D. 1- 2,1+ 2  【答案】B 【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范 围.设M(x,y)，则(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12， 所以(x-1)2+(y-1)2=4， 所以点M的轨迹是一个圆D, 由题得圆C和圆D相交或相切， 所以1≤ (1-a)2+12≤3， 所以1-2 2≤a≤1+2 2. 故选：B 1726 (2024·江苏·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x+y+a=0与点A (0，2)，若直线l上存在点M满足MA  2+MO  2=10(O为坐标原点)，则实数a的取值范 围是 ( ) A. - 5-1 , 5-1  B.[- 5-1 , 5-1] C. -2 2-1 ,2 2-1  D.[-2 2-1 , 2 2-1] 【答案】D 【解析】设Mx,-x-a  ， ∵直线l:x+y+a=0与点A0，2  ，直线l上存在点M满足MA  2+MO  2=10， ∴x2+x+a  2+x2+-x-a-2  2=10， 整理,得4x2+22a+2  x+a2+a+2  2-10=0 ①， ∵直线l 上存在点M,满足MA  2+MO  2=10， ∴方程①有解， ∴Δ≥0， 解得：-2 2-1≤a≤2 2-1 ， 故选D. 1727 (2024·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习)设A-2，0  ，B2，0  ，O为坐标原点，点 P满足PA|2+  π PB|2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO= ，则实数k 6 的取值范围为 ( ) A. -4 2，4 2  B. -∞，-4 2 ∪   4 2，+∞  5 C. -∞，- ∪ 2  5   ，+∞ 2  D.  - 5 ， 5  2 2  【答案】C 【解析】设Px，y  ， ∵PA|2+  PB|2≤16， ∴x+2  2+y2+x-2  2+y2≤16，即x2+y2≤4． ∴点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面． π 若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO= ， 6 第 页 共 页 1026 3427则PQ为圆x2+y2=4的切线时∠PQO最大， OP ∴sin∠PQO=  OQ  2 = OQ  1 ≥ ，即OQ 2  ≤4． 6 ∴圆心到直线kx-y+6=0的距离d= ≤4， 1+k2 5 5 ∴k≤- 或k≥ ． 2 2 故选：C． 1728 (2024·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： x+1  2+y2=2，点A2,0  ，若圆C上存在点M，满足MA2+MO2<10，则点M的纵坐标 的取值范围是 . 【答案】 - 7 , 7  2 2  【解析】解析：设Mx,y  ， 因为MA2+MO2≤10，所以x-2  2+y2+x2+y2≤10， 化简得x2+y2-2x-3≤0， 则圆C：x2+y2+2x-1=0与圆C：x2+y2-2x-3=0有公共点， 1 将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x=- 2 7 7 代入x2+y2-2x-3≤0可得- ≤y≤ ， 2 2 故答案为： - 7 , 7  2 2  . 3 题型三：定幂方和隐圆 1729 (2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末)已知点A-1,0  ，B2,0  ，直线l：kx-y-5k =0上存在点P，使得PA2+2PB2=9成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 - 15 , 15  15 15  【解析】由题意得：直线l:y=k(x-5)， 因此直线l经过定点(5,0)； 设点P坐标为(x ，y )；∵PA2+2PB2=9， 0 0 ∴y2+(x +1)2+2y2+2(x +2)2=9 0 0 0 0 化简得：x2+y2-2x =0， 0 0 0 因此点p为x2+y2-2x=0与直线l:y=k(x-5)的交点． 所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径 第 页 共 页 1027 3427|-4k| ∴ ≤1 k2+1 解得：k∈  - 15 , 15  15 15  故答案为k∈  - 15 , 15  15 15      1730 (2024·浙江·高三期末)已如平面向量a、b、c，满足a   =3 3，b   =2，c    =2，b⋅c=2，   则a-b  2   ⋅a-c  2   - a-b    ⋅a-c    2的最大值为 ( ) A.192 3 B.192 C.48 D.4 3 【答案】B       【解析】如下图所示，作OA=a，OB=b，OC=c，取BC的中点D，连接OD，  以点O为圆心，a  为半径作圆O，     b⋅c cos∠BOC=cos=  b   ⋅c  1 π = ，∵0≤∠BOC≤π，∴∠BOC= ， 2 3 所以，△BOC为等边三角形，  ∵D为BC的中点，OD⊥BC，所以，△BOC的底边BC上的高为OD  π =2sin = 3， 3           a-b=OA-OB=BA，a-c=OA-OC=CA，   所以，a-b    ⋅a-c       =BA⋅CA=AB⋅AC=AB   ⋅AC  cos∠BAC，   所以，a-b  2   ⋅a-c  2   - a-b    ⋅a-c     2 =AB   2⋅AC   2- AB   ⋅AC   cos∠BAC  2  = AB   ⋅AC   sin∠BAC  2=2S △ABC  2， 由圆的几何性质可知，当A、O、D三点共线且O为线段AD上的点时，  △ABC的面积取得最大值，此时，△ABC的底边BC上的高h取最大值，即h =AO max   +OD  =4 3，则S △ABC  1 = ×2×4 3=4 3， max 2   因此，a-b  2   ⋅a-c  2   - a-b    ⋅a-c    2的最大值为4×4 3  2=192. 故选：B.   1731 (2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中)已知平面单位向量e ，e 的夹角为60°，向 1 2 第 页 共 页 1028 3427    量c满足c2-2e +e 1 2   3   ⋅c+ =0，若对任意的t∈R，记|c-te|的最小值为M，则M的 2 1 最大值为 1 3 1+ 3 3 3 A. + B. C.1+ D.1+ 3 2 4 2 4 【答案】A    【解析】由c2-2e +e 1 2     3  2e +e ⋅c+ =0推出c- 1 2 2 2    2 =- 3 + 2e 1 +e 2 2  2 1 = ，所以 4 4    2e +e c- 1 2 2     1  1   = ，如图，c终点的轨迹是以 为半径的圆，设OA=e ，OB=e ，OC= 2 2 1 2        c，OD=te ，所以|c-te|表示CD的距离，显然当CD⊥OA时|c-te|最小，M的最大 1 1 1 1 1 2+ 3 值为圆心到OA的距离加半径，即M = ⋅sin60°+ = ， max 2 2 4 故选：A        1732 (2024·江苏·高三专题练习)已知a，b是两个单位向量，与a，b共面的向量c满足c2-(a      +b)⋅c+a⋅b=0，则c  的最大值为 ( ) A.2 2 B.2 C. 2 D.1 【答案】C          【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得(c-a)⊥(c-b)，设DA=a,DC=b,DC  =c，       则c-a=AC, c-b=BC，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC  ⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设∠ADC=θ，利用三角函数求c      的最值．由c2-(a+b)⋅c+           a⋅b=0得：(c-a)⋅(c-b)=0，即(c-a)⊥(c-b)，       设DA=a,DC=b,DC=c，       则c-a=AC, c-b=BC， 则点C在以AB为直径的圆O上运动， 第 页 共 页 1029 3427由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|， 设∠ADC=θ， 则DC  π =|DO|+|AO|=sinθ+cosθ= 2sinθ+ 4  ， π 所以当θ= 时，|DC|取最大值 2， 4 故选：C．     1733 (2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习)已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．             若a2-4a⋅e+2e2=0，b2-3b⋅e+2e2=0，则a2-2a⋅b+2b2的最大值为 ． 【答案】7       【解析】因为a2-4a⋅e+2e2=0，则a-2e  2 =2，即a  -2e   = 2，       因为b2-3b⋅e+2e2=0，即b-e    ⋅b-2e  =0，           作OA=a，OB=b，OE=e，OC=2e，则a-2e   =CA  = 2，   b-e    ⋅b-2e    =EB⋅CB=0，则EB⊥CB， 固定点E，则E为OC的中点，则点B在以线段CE为直径的圆D上， 点A在以点C为圆心， 2为半径的圆C上，如下图所示：       a2-2a⋅b+2b2=a-b   2 +b   2 =BA   2+OB   2≤ BC   + 2   2+OB  2，  设∠BCE=θ，则BC  =cosθ，  因为OC     =2，OB2=CB-CO    2=CB2-2CB   ⋅CO   cosθ+CO2=4-3cos2θ，      故a2-2a⋅b+2b2≤ BC   + 2   2+OB  2=cosθ+ 2  2+4-3cos2θ 第 页 共 页 1030 34272 =-2cos2θ+2 2cosθ+6=-2cosθ- 2  2 +7≤7， 2     当cosθ= 时，等号成立，即a2-2a⋅b+2b2的最大值为7. 2 故答案为：7.     1734 (2024·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中)已知a，b，e是平面向量，e是单位向   π       量.若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2-5e⋅b+4=0，则a-b 3  的最小值是 ． 5 3-6 【答案】 4        【解析】由b2-5e⋅b+4=0得，(b-4e)⋅(b-e)=0，         故(b-4e)⊥(b-e)，或b=e或b=4e，      设OA=e，OB=b，以O为原点，OA的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系，       则A(1,0)，令C(4,0)，则b-e=AB，b-4e=CB，         由(b-4e)⊥(b-e)，或b=e或b=4e， 5 得B点在以 ,0 2  3 为圆心， 为半径的圆上， 2   π  又非零向量a与e的夹角为 ，则设a的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线y= 3 ± 3x，(x>0)上，   则a-b  5 的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心 ,0 2  到 直线的距离减去半径，不妨以y= 3x为例，   则a-b  5 3× 2 3 5 3-6 的最小值为 - = 2 2 4 5 3-6 故答案为： 4        1735 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a、b、c、e，满足a⊥b，a   =2b     ，c=a+b，  e       1  =1，若a2-6a⋅e+8=0，则c⋅e- c2的最大值是 . 3 3 10-7 【答案】 6 第 页 共 页 1031 3427         【解析】因为a2-6a⋅e+8=0，即a2-6a⋅e+9e2=1，可得a-3e  =1，  设e=1,0   ，a=x,y    ，则a-3e=x-3,y  ，则x-3  2+y2=1， 设  x=3+cosθ ，则a  =3+cosθ,sinθ y=sinθ  ，    因为a⊥b，a   =2b   sinθ 3+cosθ ，则b=- , 2 2   sinθ 3+cosθ 或b= ,- 2 2  ，     sinθ 3 cosθ 因为c=a+b，则c=3+cosθ- , +sinθ+ 2 2 2   或c= sinθ 3 cosθ 3+cosθ+ ,- +sinθ- 2 2 2  ，  令c=m,n  ，则m-3  3 2+n- 2  2 5 = 或m-3 4  3 2+n+ 2  2 5 = ， 4 根据对称性，可只考虑m-3  3 2+n- 2  2 5 = ， 4   1  1 由c⋅e- c2=m- m2+n2 3 3  1 3 =- m- 3 2    2 +n2   3 + ， 4 3 记点A3, 2  3 、B ,0 2  、Pm,n  ，则AB  3 = 3- 2  2 3 + 2  2 3 2 = ，PA 2  =1，  所以，PB    =PA+AB   ≥ PA   -AB    3 2- 5 = ， 2 当且仅当点M为线段AB与圆x-3  3 2+y- 2  2 5 = 的交点时，等号成立， 4   1  1 3 所以，c⋅e- c2=- m- 3 3 2    2 +n2    3 1 + =- PB 4 3  3 1 3 2- 5 2+ ≤- × 4 3 2  2 3 + 4 3 10-7 = . 6 3 10-7 故答案为： . 6     1736 (2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测)已知a、b、e是平面向量，e  =1，若非零向量   π       a与e的夹角为 ，向量b满足b2-4b⋅e+3=0，则a-b 3  的最小值是 . 【答案】 3-1/-1+ 3  【解析】设a=x,y   ,e=1,0   ,b=m,n    ，则由a,e  π    = 得a⋅e=a 3   e  π cos ,x= 3 1 x2+y2，可得y=± 3x， 2    由b2-4e⋅b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1，   因此，a-b  = x-m  2+y-n  2表示圆(m-2)2+n2=1上的点m,n  到直线y= ± 3x上的点x,y  的距离； 故其最小值为圆心2,0  2 3 到直线y=± 3x的距离d= = 3减去半径1，即 3-1. 2 故答案为： 3-1 4 题型四：与向量模相关构成隐圆    1737 (2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测)已知a,b,c是平面内的三个单位向量，若     a⊥b，则a+2c     +3a+2b-2c  的最小值是 ． 【答案】2 5       【解析】∵a,b,c均为单位向量且a⊥b，∴不妨设a=1,0   ，b=0,1   ，c=x,y  且x2+ 第 页 共 页 1032 3427y2=1，   ∴a+2c=2x+1,2y     ，3a+2b-2c=3-2x,2-2y  ，   ∴a+2c     +3a+2b-2c  = 2x+1  2+4y2+ 3-2x  2+2-2y  2= 1 2 x+ 2  2 +y2+ x- 3 2  2 +y-1   2  ，   ∴a+2c     +3a+2b-2c  的几何意义表示的是点x,y  1 到- ,0 2  3 和 ,1 2  两点的距离 之和的2倍， 1 点- ,0 2  3 在单位圆内，点 ,1 2  在单位圆外， 则点x,y  1 到- ,0 2  3 和 ,1 2  1 两点的距离之和的最小值即为- ,0 2  3 和 ,1 2  两点 间距离， 1 3 ∴所求最小值为2 - - 2 2  2 +0-1  2=2 5. 故答案为：2 5.          1738 (2024·上海·高三专题练习)已知a、b、c、d都是平面向量，且|a|=|2a-b|=|5a-c|=   1，若a,d  π     = ，则|b-d|+|c-d|的最小值为 ． 4 【答案】 29-2 【解析】       作图，a=OA，则2a=OB，5a=OC，   因为2a-b   =1，所以b起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；   同理，5a-c   =1，所以c起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，     所以|b-d|+|c-d|的最小值则为 BD  +CD    -2， min   因为a,d  π = ，BD 4  =BD  ，当B，D，C三点共线时，BD  +CD    =BC min  = 52+22= 29，所以 BD  +CD    -2= 29-2. min 故答案为： 29-2.      1739 (2024·上海金山·统考二模)已知a、b、c、d都是平面向量，且a    =2a-b    =5a-c  =1，   若a,d  π   = ，则b-d 4    +c-d  的最小值为 . 【答案】 29-2/-2+ 29           【解析】如图，设OA=2a，OM=5a，OB=b，OC=c，OD=d， 则点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，点C在以M为圆心，以1为半径的圆上， 第 页 共 页 1033 3427π ∠NOM= ，所以点D在射线ON上， 4   所以b-d    +c-d   =DB   +DC   ≥DA   -1+DM   -1=DA   +DM  -2，  作点A关于射线ON对称的点G，则DG   =DA  π ，且∠GOA= ， 2  所以DA   +DM   ≥GM  = 4+25= 29(当且仅当点G,D,M三点共线时取等号)   所以b-d    +c-d  的最小值为 29-2， 故答案为： 29-2. 1740 (2024·全国·高三专题练习)已知线段MN是圆C:(x-1)2+y2=8的一条动弦，且MN    =2 3，若点P为直线2x+y+8=0上的任意一点，则PM+PN  的最小值为 . 【答案】2 5 【解析】如图，P为直线2x+y+8=0上的任意一点， 过圆心C作CD⊥MN，连接PD，由MN  =2 3， 可得CD  MN = CN2- 2  2 = 5，   由PM+PN   =2PD  ≥2 PC  -CD    ，当C,P,D共线时取等号， 又D是MN的中点，所以CP⊥MN，  2-0+8 所以|PD| = min  - 5= 5. 22+1   则此时PM+PN   =2PD  =2 5，   ∴PM+PN  的最小值为2 5. 故答案为：2 5 1741 (2024·全国·高三专题练习)已知O为坐标原点，A，B在直线x-y-4=0上，AB  = 2 2，动点M满足MA  =2MB  ，则OM  的最小值为 . 2 2 2 【答案】 / 2 3 3 【解析】设Mx,y  ,Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ， 第 页 共 页 1034 3427因为AB  =2 2，所以AB  2=x 1 -x 2  2+y 1 -y 2  2=8， MA 因为  MB  =2，所以MA  2=4MB  2， x-x 1  2+y-y 1  2=4x-x 2  2+4y-y 2  2， 4x -x 整理得x- 2 1 3  2 +y- 4y 2 -y 1 3  2 = 4y 1 -y 1  2+4x 1 -x 2  2 32 = ， 9 9 4x -x 4y -y 可得M点在以D 2 1, 2 1 3 3  4 2 为圆心，半径为 的圆上， 3  MA=x 1 -x,y 1 -y   ,BM=x-x 2 ,y-y 2    1 ，当BM=- MA时， 4 1 可得x-x 2 =- 4 x 1 -x  1 ,y-y 2 =- 4 y 1 -y  4x -x 4y -y ，即x= 2 1,y= 2 1 3 3 4x -x 4y -y 圆心在D 2 1, 2 1 3 3  在直线x-y-4=0上， 过O做x-y-4=0的垂线，当垂足为圆心D点时，OD长度最小，OM  的长度也最 小， 0-0-4 且OD长度最小值为  =2 2，此时OM 2  4 2 2 2 的最小值为2 2- = . 3 3 2 2 故答案为： . 3         1742 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b是单位向量，a⋅b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，  则|c|的最大值是 . 【答案】 2+1/1+ 2     【解析】法一 由a⋅b=0，得a⊥b.        如图所示，分别作OA=a,OB=b,作,OC=a+b，    由于a,b是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC|= 2,         作OP=c，则|c-a-b|=|OP-OC|=|CP|=1, 所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.  由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，|OP|取得最大值 2+1, 1 第 页 共 页 1035 3427 故|c|的最大值是 2+1, 故答案为： 2+1     法二 由a⋅b=0，得a⊥b，     建立如图所示的平面直角坐标系，则OA=a=(1,0),OB=b=(0,1)，      设c=OC=(x,y) ，由|c-a-b|=1， 得(x-1)2+(y-1)2=1 ， 所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.  所以|c| = 2+1 max 故答案为： 2+1     1743 (2024·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习)已知是a、b是单位向量，a⋅b      =0，若向量c满足|c-a+b|=2，则|c|的最大值为 【答案】2+ 2/ 2+2        【解析】由a、b是单位向量，且a⋅b=0，则可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，    所以c-a+b=x-1,y+1  ，     ∵向量c满足c-a+b  =2， ∴ (x-1)2+(y+1)2=2， 即(x-1)2+(y+1)2=4， 它表示圆心为C(1,-1)，半径为r=2的圆，  又|c|= x2+y2表示圆上的点x,y  到坐标原点O0,0  的距离，因为OC  = 12+-1  2= 2，  所以c  =OC max  +r=2+ 2． 故答案为：2+ 2．    1744 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足   a-c    ⋅b-2c   =0，则c  的最大值是 ． 5 【答案】 2   【解析】因为a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，    故不妨设a=(1,0),b=(0,1)，设c=(x,y)，   由a-c    ⋅b-2c  =0得：(1-x,-y)⋅(-2x,1-2y)=0， 1 即-2x(1-x)-y(1-2y)=0，即x- 2  2 1 +y- 4  2 5 = ， 16  1 1 则c的终点在以 , 2 4  5 为圆心，半径为 的圆上， 4  故c  1 的最大值为  2  2 1 + 4  2 5 5 + = ， 4 2 第 页 共 页 1036 34275 故答案为： 2      2π   1745 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a、b、c满足：a与b的夹角为 ,c-a 3  ⋅   c-b   =0,a+    b     =2，记M是c-a-b  的最大值，则M的最小值是 ． 3+1 【答案】 2 【解析】如图，         设OA=a,OB=b,OC=c,E为AB中点，令|a|=x,|b|=y,|AB|=2r,|OE|=t， 2π 则∠AOB= ,x+y=2 ①， 3       1 因为OE= (OA+OB),AB=OB-OA， 2   1 1 故有OA⋅OB=|OE|2- |AB|2⇒- xy=t2-r2， 4 2 x2+y2-4r2 cos∠AOB= ⇒-xy=x2+y2-4r2⇒4r2=(x+y)2-xy ②， 2xy xy 1 3 由①②得r2=1- ，从而t2=r2- xy=1- xy,xy∈(0,1]， 4 2 4   因为c-a    ⋅c-b  =0，所以AC⊥BC，即点C在以AB为直径的圆E上.              ∵|c-a-b|=|c-(a+b)|=|OE+EC-2OE|=|EO+EC|≤|EO|+|EC|，      3 1 1+ 3 ∴M=|c-a-b| =|EO|+|EC|=t+r= 1- xy+ 1- xy≥ ， max 4 4 2   当且仅当|a|=|b|=1时，即xy=1时等号成立. 3+1 故答案为： 2     1746 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a，b满足2a+b   =3，b   =1，则a    +2a+b  的最 大值为 . 【答案】5   【解析】令2a+b=3cosα,3sinα   ,b=cosβ,sinβ  ，   ∴2(a+b)=(3cosα+cosβ,3sinα+sinβ)  2a=(3cosα-cosβ,3sinα-sinβ)，   ∴2|a+b|= (3cosα+cosβ)2+(3sinα+sinβ)2= 10+6cos(α-β)，  2|a|= (3cosα-cosβ)2+(3sinα-sinβ)2= 10-6cos(α-β)， 第 页 共 页 1037 3427   1 令S=|a|+2|a+b|= ⋅ 10-6cos(α-β)+ 10+6cos(α-β)， 2 设t=cos(α-β)(-1≤t≤1)，则 1 1 -6 6 S= 10-6t+ 10+6t，S= ⋅ + ， 2 2 2⋅ 10-6t 2 10+6t 令S=0⇒4(10-6t)=10+6t⇒t=1， 若函数S存在极值点，则t=1是函数S的唯一极值点， 显然，函数S在t=1取得最值， 1 ∴S =S(1)= ⋅ 4+ 16=5， max 2 故答案为：5.     1747 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a,b,c满足a   =4,b    π   =2 2,= ,c-a 4    ⋅c-b    =-1，则c-a  的最大值为 ． 【答案】 2+1       【解析】设OA=a,OB=b,OC=c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面 直角坐标系，  ∵a   =4,b    π =2 2,= , 4 则A(4,0)，B(2,2)，设C(x,y)，   ∵c-a    ⋅c-b  =-1，∴x2+y2-6x-2y+9=0， 即x-3  2+y-1  2=1，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，   c-a  表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离， ∵圆心到A的距离为 2，   ∴c-a  的最大值为 2+1. 故答案为： 2+1.     1748 (2024·全国·高三专题练习)设a，b为单位向量，则a+b    +a-3b  的最大值是 8 3 【答案】 3    【解析】依题意a，b为单位向量，设a=cosα,sinα   ,b=cosβ,sinβ  ，-1≤cosα-β  ≤ 1   则a+b    +a-3b  = cosα+cosβ  2+sinα+sinβ  2+ cosα-3cosβ  2+sinα-3sinβ  2 第 页 共 页 1038 3427= 2+2cosα-β  + 10-6cosα-β  = 2⋅ 1+cosα-β  5 + 6⋅ -cosα-β 3  ≤ 2+6  ⋅ 1+cosα-β  5 + -cosα-β 3      8 8 3 = 8× = ， 3 3 5 当且仅当 2⋅ -cosα-β 3  = 6⋅ 1+cosα-β  ，即cosα-β  1 =- 时等号成立. 3 8 3 故答案为： 3 第 页 共 页 1039 3427