第56讲立体几何解答题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第56讲 立体几何解答题 必考题型全归纳 1 题型一：非常规空间几何体为载体 28 2 2895 (2024·全国·高三专题练习)已知正四棱台ABCD-ABCD 的体积为 ，其中 1 1 1 1 3 AB=2AB =4. 1 1 (1)求侧棱AA 与底面ABCD所成的角； 1 (2)在线段CC 上是否存在一点P，使得BP⊥AD？若存在请确定点P的位置；若不存 1 1 在，请说明理由. 2896 (2024·全国·高三专题练习)在三棱台ABC-DEF中，G为AC中点，AC=2DF，AB ⊥BC，BC⊥CF. (1)求证：BC⊥平面DEG； π (2)若AB=BC=2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为 ，求三棱 3 锥E-DFG的体积. 2897 (2024·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)如图，在正四棱台 ABCD-ABCD 中，AB=2AB ，AA = 3，M，N为棱BC ，CD 的中点，棱AB上 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 存在一点E，使得AE⎳平面BMND． 1 AE (1)求 ； AB (2)当正四棱台ABCD-ABCD 的体积最大时，求BB 与平面BMND所成角的正弦 1 1 1 1 1 值． 第 页 共 页 556 10432898 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)如图，在三棱台ABC -ABC中， 1 1 1 π AB =2，AB=AC=4，AA =CC = 5，BB =3，∠BAC= ． 1 1 1 1 1 2 (1)证明：平面AACC ⊥平面ABC； 1 1 (2)设D是BC的中点，求平面AACC 与平面AAD夹角的余弦值． 1 1 1 2899 (2024·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习)如图，圆锥PO的高为3，AB是底面圆 O的直径，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=2CD=2，点E是母线 PB上一动点. (1)证明：平面ACE⊥平面POD； 130 (2)若二面角A-EC-B的余弦值为 ，求三棱锥A-ECD的体积. 130 2900 (2024·云南·云南师大附中校考模拟预测)如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上 2π 两点，∠AOB= ，E为PB中点，点F在线段AB上，且AF=2FB. 3 (1)证明：平面AOP⊥平面OEF； (2)若OP=AB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值. 2901 (2024·内蒙古赤峰·校联考三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，四边形 ABCD是圆O的内接四边形，BD为底面圆的直径，M在母线PB上，且AB=BC= BM=2，BD=4，MD=2 3． 第 页 共 页 557 1043(1)求证：平面AMC⊥平面ABCD； (2)设点E为线段PO上动点，求直线CE与平面ADM所成角的正弦值的最大值． 2902 (2024·山东潍坊·统考模拟预测)如图，线段AA 是圆柱OO 的母线，△ABC是圆柱下 1 1 底面⊙O的内接正三角形，AA =AB=3． 1   (1)劣弧BC上是否存在点D，使得OD⎳平面AAB？若存在，求出劣弧BD的长度；若 1 1 不存在，请说明理由． (2)求平面CBO 和平面BAA 所成角的正弦值． 1 1 2 题型二：立体几何存在性问题 2903 (2024·全国·高三对口高考)如图，如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°, ∠CAB=30°,BC=2,AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所 示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为 线段PA，AB的中点． (1)求证：平面EFH⎳平面PBC； (2)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在一点M，使得M到点P,H,A,F四点的距离相等？请说明理由． 第 页 共 页 558 10432904 (2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模)已知△ABC和△ADE所在的平面互相垂 直，AD⊥AE，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，D是线段BC的中点，AD= 3. (1)求证：AD⊥BE； (2)设AE=2，在线段AE上是否存在点F(异于点A)，使得二面角A-BF-C的大小为 45°. 2905 (2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)如图，在△ABC中，∠B=90°，P为 AB边上一动点，PD⎳BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA. (1)证明：平面CBA⊥平面PBA； (2)若PB=CB=2PD=4，且AP⊥AP，线段AC上是否存在一点E(不包括端点)，使 3 14 AE 得锐二面角E-BD-C的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在请说明理由. 14 EC 2906 (2024·福建厦门·统考模拟预测)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形． 如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为O,AB= 2,BD=BC=2，将△ABD沿 BD折到△ABD的位置，形成三棱锥A-BCD． (1)求B到平面AOC的距离； (2)当AC=1时，在棱AD上是否存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值 1 AP 为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 4 AD 2907 (2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)斜三棱柱ABC-ABC 的各棱长都为4, 1 1 1 ∠AAB=60°，点A 在下底面ABC的投影为AB的中点O. 1 1 (1)在棱BB(含端点)上是否存在一点D使AD⊥AC？若存在，求出BD的长；若不存 1 1 1 第 页 共 页 559 1043在，请说明理由； (2)求点A 到平面BCCB 的距离. 1 1 1 2908 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为 等边三角形，AD⎳BC，AD=CD=2BC=2，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别 为棱PD，PB的中点． (1)求证：BC∥l； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； PG (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求 的值，若不存在，说 PC 明理由． 2909 (2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，若已知PA⊥BC，PB ⊥AC，点P在底面ABC的射影为点H，则 (1)证明：PC⊥AB (2)设PH=HA=HB=HC=2，则在线段PC上是否存在一点M，使得BM与平面 4 CM PAB所成角的余弦值为 ，若存在，设 =λ，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 5 CP 2910 (2024·浙江·校联考模拟预测)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2AB =2，△EAD为等腰直角三角形，平面EAD⊥平面ABCD，G为BC中点. 3 (1)在线段AD上是否存在点Q，使得点Q到平面EGD的距离为 .若存在，求出DQ 2 的值；若不存在，说明理由； (2)求二面角D-EC-B的正弦值. 2911 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角 形，BC=4，AB=2 5，E,F分别为PC,PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l. 第 页 共 页 560 1043(1)证明：l⎳平面PBC. 4 3 (2)若三棱锥P-ABC的体积为 ，试问在直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平 3 π 面AEF所成角为α，异面直线PQ,EF所成角为β，且满足α+β= ？若存在，求出线段 2 AQ的长度；若不存在，请说明理由. 2912 (2024·安徽淮北·统考二模)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形， 2 ∠ABC=60°,PC⊥BD,PA=AB= PB. 2 (1)证明：PA⊥面ABCD； 39 (2)线段PD上是否存在点E，使平面ACE与平面PAB夹角的余弦值为 ？若存在， 13 指出点E位置；若不存在，请说明理由. 3 题型三：立体几何折叠问题 2913 (2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)在图1中，△ABC为等腰直角三角 形，∠B=90°，AB=2 2，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且 EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO， FB，FE，使得FB=4． (1)证明：FO⊥平面ABC． (2)求二面角E-FA-C的余弦值． 2914 (2024·广东深圳·校考二模)如图1所示，等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的 第 页 共 页 561 1043高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，如图2所示. (1)证明：CD⊥EF； (2)折叠后若AB=a，求二面角A-BD-E的余弦值. 2915 (2024·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习)如图甲所示的正方形AAA'A 中，AA = 1 1 1 12,AB=AB =3,BC=BC =4,对角线AA'分别交BB,CC 于点P,Q，将正方形 1 1 1 1 1 1 1 AAA'A 沿BB,CC 折叠使得AA 与AA'重合，构成如图乙所示的三棱柱ABC- 1 1 1 1 1 1 ABC. 1 1 1 15 (1)若点M在棱AC上，且AM= ，证明：BM∥平面APQ； 7 (2)求二面角A -PQ-A的余弦值. 1 2916 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知如图甲所示，直角三角形SAB 中，∠ABS=90°，AB=BS=6，C，D分别为SB，SA的中点，现在将△SCD沿着CD进 行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所 π 成角为 ，M为折叠后SA的中点，如图乙所示. 3 (1)证明：DM⎳平面SBC； (2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值. 2917 (2024·全国·高三专题练习)如图1，在直角梯形BCDE中，BC⎳DE，BC⊥CD，A为 DE的中点，且DE=2BC=4，BE=2 2，将△ABE沿AB折起，使得点E到达P处(P 与D不重合)，记PD的中点为M，如图2． 第 页 共 页 562 1043(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由； (2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值． 2918 (2024·全国·高三专题练习)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC =2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE ⊥EC． (1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP⎳平面ABEF？若存在， AP 求出 的值；若不存在，说明理由． PD (2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离． 2919 (2024·全国·高三专题练习)如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB =90°,△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向一方折叠到△DAC的 位置，使D点在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向另一方折叠到△EAC的位 置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE. (1)若点F为BC的中点，求证：DF⎳平面EAC； (2)求平面ACD与平面BCE所成角的正弦值. 2920 (2024·四川泸州·泸县五中校考三模)如图1，在梯形ABCD中，AB⎳CD，且AB= 2CD=4，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把△ACD沿AC边折叠到 △ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2. 第 页 共 页 563 1043(1)证明：AB⊥PA； (2)若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离. 2921 (2024·湖南长沙·长沙一中校考一模)如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD⎳BC，AD ⊥AB，∠BCD=60°，AB=2 3，BC=3，E为线段CD上一点，满足BC=CE，F为 BE的中点，现将梯形沿BE折叠(如图2)，使平面BCE⊥平面ABED. (1)求证：平面ACE⊥平面BCE； (2)能否在线段AB上找到一点P(端点除外)使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值 3 为 ？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 4 4 题型四：立体几何作图问题 2922 (2024·云南昆明·高三校考阶段练习)已知正四棱锥P-ABCD中，O为底面ABCD的 中心，如图所示． (1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线， 写出简要作图过程及理由； (2)设PD的中点为G，PA=AB，求AG与平面PAB所成角的正弦值． 2923 (2024·贵州·校联考模拟预测)如图，已知平行六面体ABCD-ABCD 的底面ABCD 1 1 1 1 π 3 是菱形，CD=CC =AC =2，∠DCB= ，且cos∠CCD=cos∠CCB= . 1 1 3 1 1 4 第 页 共 页 564 1043(1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线l⎳平面CBD，说明作图方法，并证明： 1 直线l∥BD ； 1 1 (2)求平面BCD与平面ABD所成锐二面角的余弦值. 1 1 1 2924 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知平行六面体ABCD-ABCD 的底面ABCD是 1 1 1 1 π 3 菱形，CD=CC =AC =2，∠DCB= 且cos∠CCD=cos∠CCB= . 1 1 3 1 1 4 (1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线l⎳平面CBD，说明作图方法，并证明： 1 直线l⎳BD ； 1 1 (2)求点C到平面ABD的距离. 1 2925 (2024·全国·高三专题练习)如图多面体ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB为 3 等边三角形，四边形ABCD为正方形，EF⎳BC，且EF= BC=3，H，G分别为CE， 2 CD的中点. (1)求二面角C-FH-G的余弦值； AP (2)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出 的值(不 AB 需要说明理由，保留作图痕迹). 2926 (2024·全国·高三专题练习)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， 2π ∠DAB= .AC∩BD=O,且PO⊥平面ABCD，PO= 3，点F,G分别是线段PB. 3 PD上的中点，E在PA上.且PA=3PE. (Ⅰ)求证：BD⎳平面EFG； (Ⅱ)求直线AB与平面EFG的成角的正弦值； 第 页 共 页 565 1043(Ⅲ)请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤. 2927 (2024·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测)如图，已知多面体EABCDF的底面 1 ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD⎳EA，且FD= EA=1. 2 (1)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求 保留作图痕迹，但不要求证明； (2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值. 2928 (2024·广西·高三统考阶段练习)如图，三棱柱ABC-ABC 中，侧面BBCC为菱形. 1 1 1 1 1 (1)(如图1)若点P为△ABC内任一点，作出CP与面ACB 的交点M(作出图象并写出 1 1 简单的作图过程，不需证明)； (2)(如图2)若面ACB ⊥面BBCC,AC⊥AB,AC=AB,∠CBB =60°，求二面角A 1 1 1 1 1 1 -AB -C 的余弦值. 1 1 1 2929 (2024·四川成都·成都七中校考模拟预测)△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上 满足CP=CA，将△ACP沿AC翻折，使点P到达P的位置，若平面PBC⊥平面 ABC，且BC⊥PA． 第 页 共 页 566 1043(1)作平面α，使得AP⊂α，且BC⊥α，说明作图方法并证明；   (2)点M满足MC=2PM，求二面角P-AB-M的余弦值． 2930 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知四棱锥P-ABCD的 底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M在棱DP上，且DM=2MP，点 N是在棱PC上的动点(不为端点).(如图所示) (1)若N是棱PC中点， (i)画出△PBD的重心G(保留作图痕迹)，指出点G与线段AN的关系，并说明理由； (ii)求证：PB∥平面AMN； (2)若四边形ABCD是正方形，且AP=AD=3，当点N在何处时，直线PA与平面AMN 所成角的正弦值取最大值. 5 题型五：立体几何建系繁琐问题 2931 (2024·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测)如图，在四棱台ABCD- π π ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠ABC= ，∠BBD= ，∠BBA=∠BBC,AB= 1 1 1 1 3 1 6 1 1 2AB =2,BB=3 1 1 1 (1)求证：直线AC⊥平面BDB ； 1 (2)求直线AB 与平面ACC 所成角的正弦值. 1 1 1 2932 (2024·全国·模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，侧面BCCB 为正方形， 1 1 1 1 1 M，N分别为BC,AC 的中点，AC⊥BM． 1 1 1 第 页 共 页 567 1043(1)证明：MN⎳平面ABBA ； 1 1 (2)若BC=2，三棱锥A-BMN的体积为2，求二面角A-BM-N的余弦值． 1 1 2933 (2024·江西抚州·高三校联考阶段练习)如图，在几何体ABCDE中，AB=BC,AB⊥ BC，已知平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面BCE，DE⎳平面ABC，AD⊥ DE． (1)证明：DE⊥平面ACD； (2)若AC=2CD=2，设M为棱BE上的点，且满足2BM=ME，求当几何体ABCDE的 体积取最大值时，AM与CD所成角的余弦值． 2934 (2024·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末)如图，已知三棱柱ABC- ABC 的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，M,N分别为BC,BC 的中点，P为 1 1 1 1 1 1 1 AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F． 1 1 (1)证明：平面AAMN⊥EBCF； 1 1 1 (2)设O为△ABC 的中心，若AO⎳平面EBCF，且AO=AB，求直线BE与平面 1 1 1 1 1 1 AAMN所成角的正弦值． 1 2935 (2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模)如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三 1 1 1 角形，侧面BBCC是矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和 1 1 1 1 1 1 第 页 共 页 568 1043P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA ⎳MN，且平面AAMN⊥平面EBCF； 1 1 1 1 π (2)设O为△ABC 的中心，若AO=AB=12，AO⎳平面EBCF，且∠MPN= ，求 1 1 1 1 1 3 四棱锥B-EBCF的体积. 1 1 2936 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中)如图，在平行六面体ABCD-ABCD 中， 1 1 1 1 每一个面均为边长为2的菱形，平面ABBA ⊥底面ABCD，∠DAB=60°，M，N分别 1 1 是AA ，BB 的中点，P是BM的中点. 1 1 1 (1)证明：DP∥平面ACN； (2)若侧棱AA 与底面ABCD所成的角为60°，求平面DPB 与平面ADDA 所成锐二面 1 1 1 1 角的余弦值. 2937 (2024·全国·高三专题练习)已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC， 1 BC⊥AB，AB=AD= BC，BD= 2，PD= 5． 2 (1)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值； (2)线段PB上是否存在一点M，使得CM⊥平面PBD？若存在，请指出点M的位置；若 不存在，请说明理由． 第 页 共 页 569 10432938 (2024·全国·模拟预测)如图，三棱柱ABC-ABC 的底面为等边三角形，AA =AC， 1 1 1 1 点D，E分别为AC，CC 的中点，∠CED=30°，AB= 2BD= 6． 1 1 (1)求点A 到平面BDE的距离； 1 (2)求二面角A -BE-D的余弦值． 1 2939 (2024·全国·高三专题练习)已知两个四棱锥P -ABCD与P -ABCD的公共底面是边 1 2 长为4的正方形，顶点P，P 在底面的同侧，棱锥的高PO =PO =2，O ，O 分别为 1 2 1 1 2 2 1 2 AB，CD的中点，PD与PA交于点E，PC与PB交于点F. 1 2 1 2 (1)求证：点E为线段PA的中点； 2 (2)求这两个棱锥的公共部分的体积. 2940 (2024·全国·高一专题练习《) 九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最 重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有 效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个 直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC. (1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空： ⊥ ，则三棱锥P-ABC 为“鳖臑”； (2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°. (i)证明：平面ADE⊥平面PAC； (ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=2 3，AC=2，求二面角E-l-C的大 小. 第 页 共 页 570 10432941 (2024·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末)如图，四面体ABCD中，△ABC等边 三角形，AB⊥AD，且AB=AD=2. (1)记AC中点为M，若面ABC⊥面ABD，求证：BM⊥面ADC； 5π (2)当二面角D-AB-C的大小为 时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值. 6 2942 (2024·河北衡水·高二校考开学考试)已知四面体ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB =120°，且平面ABD⊥平面BCD． (1)求证：BD⊥AC； (2)求直线CA与平面ABD所成角的大小． 6 题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题 2943 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形， ∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP 1  证明：平面ACD⊥平面BDP； 2  3 若BD= 6，cos∠BPD=- ，求三棱锥A-BCD的体积． 3 2944 (2024·高二校考单元测试)如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD =∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP． 第 页 共 页 571 1043(1)证明:平面ACD⊥平面BDP; (2)若BD= 6,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦 值． 2945 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱锥F-ABCD中，底面ABCD为边长是2的正方 形，E，G分别是CD，AF的中点，AF=4，∠FAE=∠BAE，且二面角F-AE-B的大 小为90°. (1)求证：AE⊥BG； (2)求二面角B-AF-E的余弦值. 2946 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱 形，∠DAE=∠BAE=45°，∠DAB=60°. (1)证明：平面ADE⊥平面ABE； (2)当直线DE与平面ABE所成的角为30°时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角 的余弦值. 2947 (2024·广东阳江·高二统考期中)如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． 第 页 共 页 572 1043(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；   1 (2)若DE=mDB，二面角D-AE-C的余弦值为 ，求m． 7 2948 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB =BC=2， (1)求证：AC⊥BD； 5 (2)若平面ABD⊥平面CBD，且BD= ，求二面角C-AD-B的余弦值. 2 7 题型七：利用传统方法找几何关系建系 2949 (2024·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-FGHE，平面 π ABCD与平面BCEF所成角为θ0<θ< 2  . (1)若AB=BC，求直线AH与平面BCEF所成角的余弦值(用cosθ表示)； (2)将矩形BCEF沿BF旋转θ度角得到矩形BFPQ，设平面ABCD与平面BFPQ所成 π 角为α0<α< 2  ，请证明：cosα=cos2θ. 2950 (2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测)在四棱锥S-ABCD中，BC⊥CD，AB ∥CD，SA=SD=1，AB=2BC=2CD=2，平面SAD⊥平面ABCD. 第 页 共 页 573 1043(1)证明：SA⊥BD； 1 SE (2)若E是棱SB上一点，且二面角S-AD-E的余弦值为 ，求 的大小. 2 SB 2951 (2024·安徽·高三校联考期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AP⊥PD,AB ⊥BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2，E是PB的中点． (1)求CE的长； π (2)设二面角P-AD-B平面角的补角大小为θ，若θ∈0, 2  ，求平面PAD和平面 PBC夹角余弦值的最小值． 2952 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD，M是线段PD的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明l∥平面BCM 6 (2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，若PB与平面QCD所成角的正弦值为是 ，求 3 线段QC的长. (3)在(2)的条件下，求二面角D-CQ-M的正弦值. 2953 (2024·江西抚州·高二临川一中校考期中)如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四 边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，AB= 7，AD= 3，AD⊥ DB，AC∩BD=O,OP⎳AQ,AQ=2，M,N分别是AQ与CD的中点. 第 页 共 页 574 1043(1)求证：MN⎳平面QBC； (2)求二面角M-CB-Q的余弦值. 2954 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面 ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，AB=2，SC=2 2． (1)证明：平面SAD⊥平面ABCD； (2)侧棱SC上是否存在一点P(P不在端点处)，使得直线BP与平面SAC所成角的正弦 21 值等于 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 7 2955 (2024·吉林长春·高二校考期末)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD= 2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角S-AM-B的余弦值. 2956 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)三棱柱ABC-ABC 的 1 1 1 底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，AO⊥底面ABC，AA 与底面ABC所成的 1 1 π 3 角为 ，点D在棱AA 上，且AD= ,AB=2. 3 1 2 第 页 共 页 575 1043(1)求证：OD⊥平面BBCC； 1 1 (2)求二面角B-BC-A 的平面角的余弦值. 1 1 2957 (2024·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习)如图，三棱锥P- ABC所有棱长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点B ，C 分别在平面PAC，平面 1 1 PAB内，线段BB ，CC 都经过线段PO的中点D． 1 1 (1)证明：BC ∥平面ABC； 1 1 (2)求直线AP与平面ABC 所成角的正弦值． 1 1 2958 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCE中，PA⊥平面ABCE，平面 PAB⊥平面PBC，且AB=1，BC=2，BE=2 2，点A在平面PCE内的射影恰为 △PCE的重心G. (1)证明：BC⊥AB； 第 页 共 页 576 1043(2)求直线CG与平面PBC所成角的正弦值. 2959 (2024·全国·高三专题练习)如图，平面α⎳平面β，菱形ABCD⊂平面α，AC=2，E为 平面β内一动点. 1 (1)若平面α，β间的距离为3，设直线AE，CE与平面α所成的角分别为θ，φ， + tanθ 1 =2，求动点E在平面α内的射影F的一个轨迹方程； tanφ (2)若点E在平面α内的射影为A，证明：直线CE与平面BDE所成的角与∠BAD的大 小无关. 8 题型八：空间中的点不好求 2960 (2024·全国·校联考模拟预测)已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好 为△ABC的外心．AC=AB=4，BC=2. (1)证明：BC⊥AD； (2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为1，求二面角E-CO-B 的余弦值． 21 2961 (2024·河南·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC= ，AD= 2 CD=AC=2 3，E，F分别为AC，CD的中点，点G在PF上，且G为三角形PCD的重 心. (1)证明：GE⎳平面PBC； (2)若PA=PC，PA⊥CD，四棱锥P-ABCD的体积为3 3，求直线GE与平面PCD 所成角的正弦值. 第 页 共 页 577 10432962 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-ABCD 1 1 1 1 中，点P在对角线BD 上，AC∩BD=O，平面ACP∥平面ACD． 1 1 1 (1)求证：O，P，B 三点共线； 1 π (2)若四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=∠BAA =∠DAA = ，AA =3，求 1 1 3 1 二面角P-AB-C大小的余弦值．  2963 (2024·江西·校联考二模)正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，E为PB中点，AF=    λAP,CG=μCP，平面EFG∩平面ABCD=l，平面EFG∩AD=K. (1)证明：当平面EFG⊥平面PBD时，l⊥平面PBD 1 (2)当λ=μ= 时，T为P-ABCD表面上一动点(包括顶点)，是否存在正数m，使得有 3 且仅有5个点T满足2 2TP  2+TA  2+TB  2+TC  2+TK  2=m，若存在，求m的值， 若不存在，请说明理由. 2964 (2024·全国·高三专题练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中，点M是正方 体的中心，将四棱锥M-BCGF绕直线CG逆时针旋转α(0<α<π)后，得到四棱锥M -BCGF． π (1)若α= ，求证：平面MCG⎳平面MBF； 2 (2)是否存在α，使得直线MF⊥平面MBC？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理 由． 2965 (2024·全国·模拟预测)已知菱形ABCD中，AB=BD=1，四边形BDEF为正方形，满 第 页 共 页 578 10432π 足∠ABF= ，连接AE，AF，CE，CF． 3 (1)证明：CF⊥AE； (2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值． 9 题型九：创新定义 2966 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)魏晋时期数学家刘徽(图a)为研究球 体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成， 相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两 个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图b)，两圆柱公共部分形成的几何体(如图c)即得一 个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原 正方体的表面上)． (1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，求此椭圆的离心 率； 1 (2)如图c，点M在椭圆弧PB上，且三棱锥A-DMC的体积为 ，求二面角P-AM- 3 C的正弦值． 2967 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所 示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分 别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重 合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲 率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲 率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内 π 角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体 3 π 在各顶点的曲率为2π-3× =π. 3 第 页 共 页 579 1043(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度； (2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x (i)用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)； (ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值. 2968 (2024·全国·高三专题练习)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用． 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的 曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角 度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的 π 曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶 3 π 点的曲率为2π-3× =π，故其总曲率为4π． 3 (1)求四棱锥的总曲率； (2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数．  2969 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知a=x 1 ,y 1 ,z 1   ，b=x 2 ,y 2 ,z 2   ，c=x 3 ,y 3 ,z 3  ，定   义一种运算：a×b   ⋅c=xy z +x y z +x yz -xy z -x yz -x y z ，在平行六面体 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1  ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1,1,0   ，AD=0,2,2   ，AA 1 =1,-1,1  . (1)证明：平行六面体ABCD-ABCD 是直四棱柱；   1 1 1 1 (2)计算 AB×AD    ⋅AA 1    ，并求该平行六面体的体积，说明 AB×AD    ⋅AA 1  的值与平 行六面体ABCD-ABCD 体积的关系. 1 1 1 1 2970 (2024·全国·高三专题练习)(1)如图，对于任一给定的四面体AA A A ，找出依次排列 1 2 3 4 的四个相互平行的平面α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，使得A i ∈α ii=1,2,3,4  ，且其中每相邻两个平面间 的距离都相等； 第 页 共 页 580 1043(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α ，α ，α ，α ，其中每相邻两个平面间的距离为 1 2 3 4 1，若一个正四面体A 1 A 2 A 3 A 4 的四个顶点满足：A i ∈α ii=1,2,3,4  ，求该正四面体 AA A A 的体积． 1 2 3 4 2971 (2024·全国·高三专题练习)已知顶点为S的圆锥面(以下简称圆锥S)与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角(圆S轴截面 上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平 面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交 点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，OM  =a，MS  =b． (1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ关系式； (2)求证：曲线C是抛物线． 2972 (2024·湖南·校联考模拟预测)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余 弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β， ∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ． π (1)当α、β∈0, 2  时，证明以上三面角余弦定理； 第 页 共 页 581 1043(2)如图2，四棱柱ABCD-ABCD 中，平面AACC⊥平面ABCD，∠AAC=60°， 1 1 1 1 1 1 1 ∠BAC=45°， ①求∠AAB的余弦值； 1 ②在直线CC 上是否存在点P，使BP⎳平面DAC？若存在，求出点P的位置；若不存 1 1 1 在，说明理由． 第 页 共 页 582 1043