第66讲抛物线及其性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第66讲 抛物线及其性质 知识梳理 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛 物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有F∈l，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py(p>0)，其中一次 项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 方程 顶点 O(0，0) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 p p p p 焦点 F( ，0) F(- ，0) F(0， ) F(0，- ) 2 2 2 2 离心率 e=1 p p p p 准线方程 x=- x= y=- y= 2 2 2 2 焦半径 p p p p AF=x + AF=-x + AF=y + AF=-y + A(x ，y) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 【解题方法总结】 1、点P(x ,y )与抛物线y2=2px(p>0)的关系 0 0 (1)P在抛物线内(含焦点)⇔y2<2px ． 0 0 (2)P在抛物线上⇔y2=2px ． 0 0 (3)P在抛物线外⇔y2>2px ． 0 0 2、焦半径 抛物线上的点P(x 0 ,y 0 )与焦点F的距离称为焦半径，若y2=2px(p>0)，则焦半径PF  =x 0 p + ，PF 2  p = ． min 2 3、p(p>0)的几何意义 p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大． 第 页 共 页 2272 34274、焦点弦 若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，A(x,y)，B(x ,y )，则有以下结论： 1 1 2 2 p2 (1)xx = ． 1 2 4 (2)yy =-p2． 1 2 (3)焦点弦长公式1：AB  =x +x +p，x +x ≥2 xx =p，当x =x 时，焦点弦取最小值 1 2 1 2 1 2 1 2 2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p． 焦点弦长公式2：AB  2p = (α为直线AB与对称轴的夹角)． sin2α p2 (4)ΔAOB的面积公式：S = (α为直线AB与对称轴的夹角)． ΔAOB 2sinα 5、抛物线的弦 若AB为抛物线y2=2px(p>0)的任意一条弦，A(x,y),B(x ,y )，弦的中点为M(x ,y )(y 1 1 2 2 0 0 0 ≠0)，则 (1)弦长公式：AB  = 1+k2 x 1 -x 2  1 = 1+ k2 y 1 -y 2  (k =k≠0) AB p (2)k = AB y 0 p (3)直线AB的方程为y-y = (x-x ) 0 y 0 0 y (4)线段AB的垂直平分线方程为y-y =- 0(x-x ) 0 p 0 A 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法( 法) 4 A (1)y2=Ax(A≠0)焦点为 ,0 4  A ，准线为x=- 4 A (2)x2=Ay(A≠0)焦点为0, 4  A ，准线为y=- 4 y 1 如y=4x2，即x2= ，焦点为0, 4 16  1 ，准线方程为y=- 16 7、参数方程 y2=2px(p>0)的参数方程为  x=2pt2 (参数t∈R) y=2pt 8、切线方程和切点弦方程 抛物线y2=2px(p>0)的切线方程为y y=p(x+x )，(x ,y )为切点 0 0 0 0 切点弦方程为y y=p(x+x )，点(x ,y )在抛物线外 0 0 0 0 与中点弦平行的直线为y y=p(x+x )，此直线与抛物线相离，点(x ,y )(含焦点)是弦AB 0 0 0 0 的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． p p 对于抛物线y2=2px(p>0)，由A( ，p)，B( ，-p)，可得|AB|=2p，故抛物线的通径 2 2 长为2p． p 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：y = 0 k 11、焦点弦的常考性质 第 页 共 页 2273 3427已知A(x ，y )、B(x ，y )是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l 1 1 2 2 是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足． (1)以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切； (2)FN⊥AB，FC⊥FD p2 (3)xx = ；yy =-p2 1 2 4 1 2 (4)设BD⊥l，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上 必考题型全归纳 1 题型一：抛物线的定义与方程 3663 (2024·福建福州·高三统考开学考试)已知点Px 0 ,2  在抛物线C：y2=4x上，则P到C 的准线的距离为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】抛物线y2=4x的准线为x=-1， 将Px 0 ,2  代入y2=4x得x =1， 0 故P到准线的距离为2， 故选：C． 3664 (2024·四川绵阳·统考二模)涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东 方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的 拱顶可近似地看作抛物线x2=-16y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛 物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为 ( ) A.6 B.2 33 C.8 34 D. 31 【答案】B 【解析】如图所示： 设鸽子所在位置为点Px,y  x>0,y<0  ， 因为它到抛物线焦点的距离为10米， 第 页 共 页 2274 3427所以y  +4=10，解得y=-6， 则x2=-16×-6  =96， 所以鸽子到拱顶的最高点的距离为OP  = x2+y2=2 33， 故选：B 3665 (2024·内蒙古包头·高三统考开学考试)抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直 线x=2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为 ( ) A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=12x 【答案】C 【解析】由题可设抛物线的方程为y2=2pxp>0  p ，则准线方程为x=- ， 2 当x=2时，可得y=±2 p， 可得P2,2 p  ,Q2,-2 p  p ，又R- ,0 2  ，PR⊥QR， 2 p -2 p p 所以 ⋅ =-1，即2+ p p 2 2+ 2+ 2 2  2 =4p， 解得p=4， 所以C的方程为y2=8x. 故选：C 4 3666 (2024·陕西渭南·高三统考阶段练习)抛物线y= x2的焦点坐标为 ( ) 3 3 A.  ,0 16  3 B. 0, 16  1 C.  ,0 3  2 D. 0, 3  【答案】B 4 3 【解析】抛物线y= x2的标准形式为x2= y， 3 4 所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上， 3 p 3 3 且2p= , = ，所以焦点坐标为0, 4 2 16 16  . 故选：B 3667 (2024·全国·高三校联考开学考试)过抛物线C:x2=2pyp>0  的焦点F的直线l交C 于A,B两点，若直线l过点P1,0  ，且AB  =8，则抛物线C的准线方程是 ( ) 3 A.y=-3 B.y=-2 C.y=- D.y=-1 2 【答案】D p 【解析】因为直线l过点F0, 2  ,P1,0  p ，所以直线l的方程为y=- x-1 2  . 第 页 共 页 2275 3427p y=- x-1 由 2    得，x2+p2x-p2=0,Δ=p4+4p2>0. x2=2py 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，则x +x =-p2,xx =-p2. 1 2 1 2 因为AB  p2 = 1+ 4 x 2 -x 1  p2 = 1+ 4 x 1 +x 2  p2 2-4xx = 1+ 1 2 4  p4+4p2  pp2+4 =  =8， 2 整理得p3+4p-16=p-2  p2+2p+8)=0，解得p=2， p 所以抛物线C的准线方程是y=- =-1. 2 故选：D. 3668 (2024·广西防城港·高三统考阶段练习)已知点A，B在抛物线y2=4x上，O为坐标原 点，若OA  =OB  ，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是 ( ) A.x-2=0 B.x-3=0 C.x-4=0 D.x-5=0 【答案】D 【解析】如图所示，∵F1,0  为△AOB的垂心，F为焦点， OA  =OB  ，∴OF垂直平分线段AB，∴直线AB垂直于x轴． 设A4t2,4t  ，B4t2,-4t  ，其中t>0， ∵F为垂心，∴OB⊥AF，∴k ⋅k =-1， OB AF -4t 4t 5 即 ⋅ =-1，解得t2= ， 4t2 4t2-1 4 ∴直线AB的方程为x=4t2=5，即x-5=0． 故选：D． 3669 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px(p 第 页 共 页 2276 3427>0)的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，点Cp,0  ，AF与BC 相交于点D．若AF  =3FC  ，且△ACD的面积为3 2，则E的方程为 ( ) A.y2=4x B.y2=4 3x C.y2=8x D.y2=8 3x 【答案】C p 【解析】设点A(x ,y )，抛物线E:y2=2px的焦点F ,0 0 0 2  p ，准线x=- ， 2 由AF  =3FC  p p 得：x + =3p- 0 2 2  ，解得x =p，不妨令点A在第一象限，则A(p, 0 2p)，AC⊥FC，如图， |AD| |AB| |AF| 1 2p 因为AB⎳FC，则 = = =3，即有点D到x轴距离h= |AC|= ， |DF| |FC| |FC| 4 4 1 1 1 p 1 S =S -S = |AC|⋅|FC|- |FC|⋅h= ×  2p- 2p △ACD △ACF △DCF 2 2 2 2 4  3 2p2 = = 16 3 2，解得p=4， 所以E的方程为y2=8x. 故选：C 【解题方法总结】 求抛物线的标准方程的步骤为： (1)先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： (2)根据题目条件列出P的方程 (3)解方程求出P，即得标准方程 2 题型二：抛物线的轨迹方程 3670 (2024·高三课时练习)已知点F(1，0)，直线l:x=-1，若动点P到点F和到直线l的距离 相等，则点P的轨迹方程是 . 【答案】y2=4x 【解析】根据抛物线定义可知，点P在以F1,0  为焦点，直线l:x=-1为准线的抛物线 上， p 所以 =1，p=2，抛物线方程为y2=4x. 2 故答案为：y2=4x.  3671 (2024·全国·高三专题练习)在平面坐标系中，动点P和点M(-3,0)、N(3,0)满足|MN|⋅    |MP|+MN⋅NP=0，则动点P(x,y)的轨迹方程为 ． 【答案】y2=-12x    【解析】由题意MN=(6,0),MP=(x+3,y),NP=(x-3,y)，     由|MN|⋅|MP|+MN⋅NP=0得6 (x+3)2+y2+6(x-3)=0， 第 页 共 页 2277 3427化简得y2=-12x． 故答案为：y2=-12x． 3672 (2024·全国·高三专题练习)与点F0,-3  和直线y-3=0的距离相等的点的轨迹方程 是 ． 【答案】x2=-12y 【解析】由抛物线的定义可得平面内与点F0,-3  和直线y-3=0的距离相等的点的轨 迹为抛物线，且F0,-3  为焦点，直线y=3为准线， 设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)， p 可知 =3，解得p=6， 2 所以该抛物线方程是x2=-12y， 故答案为：x2=-12y 3673 (2024·全国·高三专题练习)已知动点Mx,y  的坐标满足 x-2  2+y2=x+2  ，则动 点M的轨迹方程为 ． 【答案】y2=8x 【解析】设F2,0  ，直线l:x=-2，则动点M到点F的距离为 x-2  2+y2，动点M到直 线l:x=-2，的距离为x+2  ，又因为 x-2  2+y2=x+2  ， 所以动点M的轨迹是以F2,0  为焦点，x=-2为准线的抛物线，其轨迹方程为y2=8x． 故答案为：y2=8x 3674 (2024·全国·高三专题练习)已知动点M(x,y)到定点F(1,0)与定直线x=0的距离的差 为1．则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】y2=4x(x≥0)，y=0(x<0)(注：y2=2|x|+2x也算对) 【解析】由题意，若x≥0时，问题等价于|MF|=|x+1|， 则 (x-1)2+y2=(x+1)2，化简得y2=4x(x≥0)， 若x<0，y=0也满足题意. 所以动点M的轨迹方程为y2=4x(x≥0)，y=0(x<0). 或者根据题意有|MF|-|x|=1，则 (x-1)2+y2-|x|=1，化简整理得：y2=2|x|+2x. 所以动点M的轨迹方程为y2=2|x|+2x. 故答案为：y2=4x(x≥0)，y=0(x<0)(注：y2=2|x|+2x也算对) 3675 (2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)点A(1,0)，点B是x轴上的动点，线段 PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则P点的轨迹方程为 ． 【答案】y2=4x(x≠0) x+m y 【解析】设P(x,y)，B(m,0)，则中点E坐标为E , 2 2  x+m ，由 =0得m=-x，即 2 y E0, 2  ， 又AE⊥PB， y 2 y 若x≠0，则k ⋅k = × =-1，即y2=4x， AE PB 0-1 2x 若x=0，则m=0，P,B重合，直线PB不存在． 所以轨迹方程是y2=4x(x≠0)． 第 页 共 页 2278 3427故答案为：y2=4x(x≠0)． 3676 (2024·全国·高三专题练习)已知动圆P与定圆C：(x+2)2+y2=1相外切，又与直线x =1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【答案】y2=-8x 【解析】设圆心P到直线x=1的距离等于r，P(x，y )，由题意可得 PC=1+r，即 (x+2)2+y2=1+1-x，化简可得 y2=-8x. 故答案为：y2=-8x． 3677 (2024·河南·校联考模拟预测)一个动圆与定圆F:x-3  2+y2=4相外切，且与直线l:x =-1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】y2=12x 【解析】由题意可知，圆F的圆心为F3,0  ，半径为2， 由于动圆与定圆F:x-3  2+y2=4相外切，且与直线l:x=-1相切， 动圆圆心到点F的距离比它到直线l的距离大2， 所以，动圆圆心到点F的距离等于它到直线x=-3的距离， 所以，动圆圆心的轨迹是以点F3,0  为圆心，以直线x=-3为准线的抛物线， p 设动圆圆心的轨迹方程为y2=2px，则 =3，可得p=6， 2 所以，动圆圆心的轨迹方程为y2=12x. 故答案为：y2=12x. 3678 (2024·上海·高三专题练习)已知点A1,0  ，直线l：x=-1，两个动圆均过点A且与l相    切，其圆心分别为C 、C ，若动点M满足2C M=C C +C A，则M的轨迹方程为 1 2 2 2 1 2 . 【答案】y2=2x-1 【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程y2=4x，设C 1a,b  ，C 2m,n  ，Mx,y  ，    根据2C M=C C +C A可得a=2x-1，b=2y，利用b2=4a可求得结果.由抛物线的 2 2 1 2 定义得动圆的圆心轨迹是以A1,0  为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，其方程为y2 =4x， 设C 1a,b  ，C 2m,n  ，Mx,y     ，因为动点M满足2C M=C C +C A， 2 2 1 2 所以2x-m,y-n  =a-m,b-n  +1-m,-n  ，即2x=a+1，2y=b， 所以a=2x-1，b=2y，因为b2=4a，所以2y  2=42x-1  ， 所以y2=2x-1，即M的轨迹方程为y2=2x-1. 故答案为：y2=2x-1 3679 (2024·全国·高三专题练习)已知点A(-4,4)、B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直 线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程 为 【答案】x2=4y(x≠±4) y-4 y-4 【解析】设M(x,y)，由题意可得： - =-2，化简可得曲线C的轨迹方程．设M x+4 x-4 y-4 y-4 (x,y)，由题意可得： - =-2， x+4 x-4 化为x2=4y． ∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且(x≠±4)． 第 页 共 页 2279 3427故答案为：x2=4y(x≠±4)． 【解题方法总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点 P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：(1)关于坐标轴对称的 点；(2)标记为F的点；(3)圆心；(4)题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时 候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求 解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 3 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 3680 (2024·江苏无锡·校联考三模)已如P3,3  ，M是抛物线y2=4x上的动点(异于顶点)， 过M作圆C:x-2  2+y2=4的切线，切点为A，则MA  +MP  的最小值为 . 【答案】3 【解析】依题意，设M(x ,y ),x >0，有y2=4x ，圆C:(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0)，半 0 0 0 0 0 径r=2， 于是|MA|= |MC|2-r2= (x -2)2+y2-4= x2=x ， 0 0 0 0 因此MA  +MP  =x 0 +MP  ，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离 的和， 而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，x 0 +MP  取得最小值3，所以MA  +MP  的最小值为3. 故答案为：3. 3681 (2024·江苏南通·统考模拟预测)已知点Px 0 ,y 0  是抛物线y2=4x上的动点，则 2x + 0 x 0 -y 0 +1  的最小值为 . 【答案】2- 2/- 2+2 【解析】由题可知，过抛物线y2=4x上的动点Px 0 ,y 0  作直线l:x-y+1=0的垂线交直 线于M，过点Px 0 ,y 0  作y轴的垂线交y轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点， 由y2=4x，得p=2，所以F1,0  ，如图所示 第 页 共 页 2280 3427则PM  |x -y +1| = 0 2 0 ,动点Px 0 ,y 0  到y轴的距离为PQ  =|x |=x (x ≥0). 0 0 0 |x -y +1| 所以x 0 + 0 2 0 =PQ  +PM  =PG  +PM  -1=PF  +PM  -1， 当且仅当F、P、M三点共线时，PQ  +PM  有最小值，即PQ  +PM  =PF  +PM  -1≥MF  -1(此时MF  为点F到直线l的距离)， 所以F1,0  到直线l:x-y+1=0的距离为MF  1+1 =  = 2， 2 |x -y +1| 所以x 0 + 0 2 0 ≥MF  -1= 2-1， 所以 2x 0 +x 0 -y 0 +1  |x -y +1| = 2x + 0 0 0 2  ≥2- 2. 所以 2x 0 +x 0 -y 0 +1  的最小值为2- 2. 故答案为：2- 2 3682 (2024·浙江绍兴·统考模拟预测)函数fx  = 4x4-3x2-4x+5- 4x4-15x2+2x+17 的最大值为 ． 【答案】3 2 【解析】将给定的函数表达式变形为f(x)= (x-2)2+2x2-1  2- x+1  2+2x2-4  2， 问题转化为求点Px,2x2  到点A(2,1)与B(-1,4)距离之差的最大值， 而点P的轨迹为抛物线y=2x2，如图所示， 由A、B的位置知直线AB必交抛物线y=2x2于第二象限的一点C， 由三角形两边之差小于第三边可知P位于C时，f(x)才能取得最大值. 第 页 共 页 2281 3427f(x) =|AB|= 9+9=3 2. max 故答案为：3 2. 3683 (2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)已知斜率为 3的直线l过抛物线y2=2px(p >0)的焦点F，且与该抛物线交于A,B两点，若AB  =8,P为该抛物线上一点，Q为圆 3 C:x+ 2  2 +(y-1)2=1上一点，则PF  +PQ  的最小值为 . 【答案】 10-1/-1+ 10 p 【解析】由题可知直线AB的方程为y= 3x- 2  ，设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，则 p y= 3x- 由 2    ,消去y，整理得12x2-20px+3p2=0，， y2=2px 5p 所以x +x = ， 1 2 3 所以AB  5p 8p =x +x +p= +p= =8，解得p=3， 1 2 3 3 3 所以F ,0 2  3 ，而圆C的圆心C- ,1 2  , 因为PF  +PQ  ≥QF  ≥CF  -CQ  =CF  -1， 当且仅当点C,Q,P,F在同一条直线上取等号，且点Q位于点C,P之间，如图所示： 又CF  3 3 =  + 2 2  2 +12= 10， 所以PF  +PQ  的最小值为 10-1. 故答案为： 10-1. 3684 (2024·山东潍坊·统考模拟预测)已知抛物线C:y2=16x，其焦点为F，PQ是过点F的一 条弦，定点A的坐标是2,4  ，当|PA|+|PF|取最小值时，则弦PQ的长是 . 【答案】25 【解析】抛物线C:y2=16x的焦点F4,0  ，准线为x=-4， 如图，过点P作准线x=-4的垂线PP，垂足为P， 则PF  =PP  ， 所以PA  +PF  =PA  +PP  ≥PA  ，当且仅当A,P,P三点共线时取等号， 所以当PA  +PF  取最小值时，A2,4  P点的横坐标为4， 当y=4时，x=1，即P1,4  ， 4-0 4 所以k = =- ， PQ 1-4 3 4 所以直线PQ的方程为y-4=- x-1 3  ， 第 页 共 页 2282 34274 y-4=- x-1 联立 3    ，消y得x2-17x+16=0，解得x=1或x=16， y2=16x 当x=1时，y=4，即Q16,-16  ， 所以PQ  = 1-16  2+4+16  2=25. 故答案为：25. 3685 (2024·全国·高三专题练习)已知点M为抛物线y2=2x上的动点，点N为圆x2+(y-4) 2=5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 .. 65-2 5-1 【答案】 2 1 1 【解析】由题可知，抛物线y2=2x的准线方程为x=- ，焦点坐标为F ,0 2 2  ， 由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为MF  1 - ， 2 圆x2+(y-4)2=5的圆心坐标为E0,4  ，半径为R= 5， 故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和MF  +MN  1 - ， 2 根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为EF  -R- 1 65 1 65-2 5-1 = - 5- = . 2 2 2 2 65-2 5-1 故答案为： . 2 3686 (2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习)过点1，0  的直线l交抛物线 y2=4x于A、B两点，点C的坐标为3，-1  .设线段AB的中点为M，则2MC  +AB  的 最小值为 . 【答案】8 【解析】由题意抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1，过点B,A作准线的垂 线， 垂足分别为B ，A ，取AB 的中点为M ，连接MM，如下图所示： 1 1 1 1 1 1 第 页 共 页 2283 3427点C到准线的距离为d=4，易知四边形AABB 为直角梯形，则由抛物线的定义可得 1 1 AB  =AF  +FB  =B 1 B  +AA 1  =2MM 1  . 即2MC  +AB  =2 MC  +MM 1    ≥2d=8(当M,M,C三点共线时，取等号) 1 即2MC  +AB  的最小值为8. 故答案为：8 3687 (2024·辽宁大连·育明高中校考一模)已知Px 0 ,y 0  是抛物线y2=4x上一点，则 5x + 0 2x 0 -y 0 +13  的最小值为 . 【答案】15- 5/- 5+15 【解析】由题可知，过抛物线y2=4x上的动点Px 0 ,y 0  作直线l:2x-y+13=0的垂线 交直线于M，过点Px 0 ,y 0  作y轴的垂线交y轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点. 由y2=4x，得p=2，所以F1,0  ，如图所示 |2x -y +13| 则PM= 0 5 0 ,动点Px 0 ,y 0  到y轴的距离为PQ=|x |=x (x ≥0). 0 0 0 |2x -y +13| 所以 0 0 +x =PM+PQ=PM+PG-1=PM+PF-1, 5 0 当且仅当F、P、M三点共线时，PM+PQ有最小值，即PM+PQ=PM+PF-1≥ MF-1,( MF为点F到直线l的距离). 所以F1,0  到直线l:2x-y+13=0的距离为 第 页 共 页 2284 34272×1-0+13 MF=  15 = =3 5. 5 5 |2x -y +13| 所以 0 0 +x ≥MF-1=3 5-1， 5 0 所以 5x 0 +2x 0 -y 0 +13  |2x -y +13| = 5 0 0 +x 5 0  ≥ 53 5-1  =15- 5. 所以 5x 0 +2x 0 -y 0 +13  的最小值为15- 5. 故答案为：15- 5. 3688 (2024·江西南昌·高三统考阶段练习)已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物 线于A，B两点，则AF  +4BF  的最小值是 ． 【答案】9 【解析】依题意， 因为抛物线y2=4x的焦点为F，所以F1,0  ，p=2 ①当k斜率存在时：因为直线交抛物线于A，B两点，所以k≠0， 设过F的直线的直线方程为：y=kx-1  ，Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ， 由抛物线定义得：AF  p =x 1 + 2 ,BF  p =x + ， 2 2 y=kx-1 由    y2=4x 消y整理得：k2x2-2k+4  x+k2=0， 1 所以xx =1，即x = ， 1 2 2 x 1 所以AF  +4BF  5p 4 4 =x +4x + =x + +5≥2 x × +5=9； 1 2 2 1 x 1 x 1 1 ②当k不存在时，直线为x=1，此时AF  =BF  p =1+ =2， 2 所以AF  +4BF  =2+4×2=10； 综上可知，AF  +4BF  的最小值为：9. 故答案为：9. 3689 (2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模)已知点P是抛物线y2=8x上的动 PO 点，Q是圆(x-2)2+y2=1上的动点，则  PQ  的最大值是 . 4 7 4 【答案】 / 7 7 7 【解析】抛物线y2=8x的焦点为F2,0  ，准线为l:x=-2， 圆x-2  2+y2=1的圆心为F2,0  ，半径r=1， 过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知PB  =PF  ， 设Px 0 ,y 0  ，则PO  = x 0 2+y 0 2= x 0 2+8x 0 ，PQ  ≥PF  -1=PB  -1=x +2-1= 0 第 页 共 页 2285 3427x +1， 0 PO 所以  PQ  x2+8x x2+8x ≤ 0 0 = 0 0 ， x +1 (x +1)2 0 0 令t=x +1，则x =t-1， 0 0 x2+8x (t-1)2+8(t-1) 1 所以 0 0 = = -7 (x +1)2 t2 t 0  2 1 +6 t  1 3 +1= -7 - t 7  2 16 + ， 7 1 3 7 1 3 所以当 = 即t= 时， -7 - t 7 3 t 7  2 16 4 7 + 取到最大值 ， 7 7 x2+8x 4 7 所以 0 0 的最大值为 ， (x +1)2 7 0 PO 因此，  PQ  x2+8x 4 7 PO ≤ 0 0 ≤ ，所以 (x +1)2 7 0  PQ  4 7 的最大值是 . 7 4 7 故答案为： . 7 3690 (2024·江西·校联考模拟预测)已知Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  是拋物线x2=4y上两点，且y + 1 2 3 y +2= |PQ|，F为焦点，则∠PFQ最大值为 . 2 3 2 【答案】 π 3 【解析】拋物线x2=4y的焦点F0,1  ， 由题得，y 1 +y 2 +2=y 1 +1+y 2 +1=PF  +QF  2 = 3PQ 3  ， 即PQ  3 = PF 2  +QF    ， PF 故cos∠PFQ=  2+QF  2-PQ  2 2PF  ⋅QF  PF =  2+QF  3 2- PF 4  +QF    2 2PF  ⋅QF  PF =  2+QF  2-6PF  ⋅QF  8PF  ⋅QF  2PF ≥  ⋅QF  -6PF  ⋅QF  8PF  ⋅QF  1 =- ， 2 1 即cos∠PFQ≥- ，因为∠PFQ∈0,π 2  ，且余弦函数在0,π  内单调递减， 2π 故∠PFQ≤ ，当且仅当PF 3  =QF  时成立. 2π 故答案为： . 3 3691 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知P是抛物线y2=4x上的动点， P到y轴的距离为d 1 ，到圆C:x+3  2+y-3  2=4上动点Q的距离为d ，则d +d 的最 2 1 2 小值为 ． 【答案】2 第 页 共 页 2286 3427【解析】圆C:(x+3)2+(y-3)2=4的圆心为C(-3,3)，半径r=2， 抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=-1， 过点P作准线x=-1的垂线，垂足为P， 因为P是抛物线y2=4x上的动点，P到y轴的距离为d ， 1 到圆C:(x+3)2+(y-3)2=4上动点Q的距离为d ， 2 所以d 1 =PP  -1=PF  -1，d 2 =PQ  ≥PC  -2，当且仅当P,Q,C三点共线时等号 成立，且点Q在线段PC上， 所以d 1 +d 2 ≥PF  -1+PC  -2， 又PF  +PC  ≥FC  ，当且仅当点P为线段FC与抛物线的交点时等号成立，又FC  = (-3-1)2+(3-0)2=5， 所以d +d ≥2， 1 2 当且仅当点P为线段FC与抛物线的交点，点Q为线段FC与圆C的交点时等号成立， 所以d +d 的最小值为2， 1 2 故答案为：2 m2 m2 1 3692 (2024·河南·校联考模拟预测) +  - 6 6 2  2 7 +m- 2  2 的最小值为 ． 53-3 【答案】 2 m2 【解析】易知动点P ,m 6  3 的轨迹为抛物线C:y2=6x，C的焦点为F ,0 2  ，设P到C 1 7 的准线的距离为d，A , 2 2  ， m2 3 m2 1 则 + +  - 6 2 6 2  2 7 +m- 2  2 =d+PA  =PF  +PA  ≥AF  = 7  2  2 3 1 + - 2 2  2 53 = ， 2 m2 m2 1 故 +  - 6 6 2  2 7 +m- 2  2 53-3 的最小值为 ． 2 53-3 故答案为： . 2 3693 (2024·全国·高三专题练习)已知点M-3,2  是坐标平面内一定点，若抛物线y2=2x的 焦点为F，点Q是抛物线上的一动点，则MQ  -QF  的最小值是 . 5 【答案】 /2.5 2 【解析】 第 页 共 页 2287 34271 抛物线的准线方程为x=- ， 2 过点Q作QQ垂直准线于点Q， MQ  -QF  =MQ  -QQ  显然，当MQ平行于x轴时， MQ  -QF  取得最小值，此时Q2,2  ， 此时MQ  -QF  =2+3  1 -2+ 2  5 = 2 5 故答案为: . 2 3694 (2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习)已知P为抛物线y2=4x上的 一个动点，Q为圆x2+y-4  2=1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物 线准线的距离之和的最小值是 . 【答案】 17-1/-1+ 17 【解析】由题可知，抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，焦点坐标为F(1,0)， 圆x2+y-4  2=1的圆心坐标为E0,4  ，半径为R=1， 设点P到抛物线准线的距离为PP，则PP=PF，故PP+PQ=PF+PQ， 所以当动点Q,P位于线段EF上时，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之 和最小， 此时PP+PQ=EF-R= 17-1. 故答案为： 17-1. 第 页 共 页 2288 3427【解题方法总结】 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线 段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距 离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线(并非准 线)距离的最值问题用参数法或切线法求解． 4 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 3695 (2024·四川乐山·统考三模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线 交C于P，Q两点，PH⊥l于H，若HF  =PF  ，O为坐标原点，则△PFH与△OFQ的 面积之比为 ( ) A.6 B.8 C.12 D.16 【答案】C 【解析】依题意，由PH⊥l于H，得|PH|=PF  =HF  ，即△PFH是正三角形，∠PFx= ∠FPH=60°， 而F(2,0)，则直线PQ的方程为y= 3(x-2)， y= 3(x-2) 由  y2=8x ，消去y并整理，得3x2-20x+12=0， 2 令P(x,y),Q(x ,y )，解得x =6,x = ，又准线l:x=-2， 1 1 2 2 1 2 3 8 因此|PF|=x +2=8,|QF|=x +2= ， 1 2 3 1 |PF|2sin60° S 2 82 所以△PFH与△OFQ的面积之比 △PFH = = =12. S 1 8 △OFQ |QF|⋅|OF|sin60° ×2 2 3 第 页 共 页 2289 3427故选：C. 3696 (2024·山东青岛·统考二模)已知O为坐标原点，直线l过抛物线D:y2=2pxp>0  的焦 点F，与D及其准线依次交于A,B,C三点(其中点B在A,C之间)，若AF  =4，BC  = 2BF  ,则△OAB的面积是 ( ) 4 3 8 3 A. 3 B. C.2 3 D. 3 3 【答案】B 【解析】过点B作BM垂直于准线，垂足为M，过点A作AN垂直于准线，垂足为N， 设准线与x轴相交于点P， 如图， 则BM  =BF  ，AN  =AF  =4， 在△MBC中，BC  =2BF  ，所以BC  =2BM  ，所以∠MCB=30°， 在△ANC中，AC  =2AN  =8， 所以AC  =AF  +CF  =8，所以CF  =8-AF  =4. 又CN⊥x轴，∠MCB=30°，所以PF  1 = CF 2  =2. p 又抛物线D:y2=2px，则P- ,0 2  p ,F ,0 2  , 所以PF  p p = + =p=2，所以抛物线D:y2=4x，点F1,0 2 2  . 因为∠MCB=30°，所以直线AB的斜率k=- 3， 则直线AB:y=- 3x-1  ， y2=4x 与抛物线方程联立 y=- 3x-1    ,消y并化简得3x2-10x+3=0, 设点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  10 ，则x +x = ， 1 2 3 则AB  =BF  +AF  =BM  +AN  p p 10 16 =x + +x + =x +x +p= +2= . 1 2 2 2 1 2 3 3 又直线AB:y=- 3x-1  可化为 3x+y- 3=0， - 3 则点O到直线AB的距离d=  3 = , 3+1 2 1 所以S = AB △OAB 2  1 16 3 4 3 ⋅d= × × = . 2 3 2 3 故选:B. 3697 (2024·北京·101中学校考模拟预测)已知直线l:y=-1，定点F(0,1)，P是直线x-y+ 2=0上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为 ( ) 第 页 共 页 2290 3427π A. B.π C.3π D.4π 2 【答案】B 【解析】根据题意，设圆的圆心为M，则圆心到F的距离等于到直线l的距离， 故M的轨迹为抛物线，抛物线方程为x2=4y， 当M点与原点重合时，半径最小为r=1， 0-0- 2 此时，圆心到直线x-y+ 2=0的距离为d=  =1=r， 2 直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为πr2=π. 故选：B 3698 (2024·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习)已知抛物线C:y2=4x，点P为 抛物线上任意一点，过点P向圆D:x2+y2-6x+8=0作切线，切点分别为A,B，则四边 形PADB的面积的最小值为 ( ) A.3 B.2 2 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】如图所示： 设P(x ,y )，y2=4x ， 0 0 0 0 连接PD，圆D为：x-3  2+y2=1， 则PD  = (x -3)2+y2= (x -3)2+4x = x2-2x +9= (x -1)2+8， 0 0 0 0 0 0 0 则S =2S =PA 四边形PADB Rt△PAD  ⋅r=PA  = PD  2-1= (x -1)2+7， 0 当点x 0 =1时，PD  的最小值为2 2， 所以S 四边形PADB  = PD min   2-1  = 7， min 故选：C 3699 (2024·贵州·高三统考开学考试)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,A(m,n)是抛物线C 上的一点，若AF  5 = ，则△OAF(O为坐标原点)的面积是 ( ) 2 1 A. B.1 C.2 D.4 2 【答案】A 1 【解析】由题可得F ,0 2  ，因为AF  5 1 = =m+ ， 2 2 所以m=2，n2=4， 1 1 1 所以△OAF(O为坐标原点)的面积是 × ×2= . 2 2 2 故选：A. 第 页 共 页 2291 34273700 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向 圆D：x2+y2-4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为 ( ) A.1 B.2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】如图，连接PD，圆D：x-2  2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为 1， 则S =2S =PA 四边形PADB Rt△PAD  ． 又PA  = PD  2-1，所以当四边形PADB的面积最小时，PD  最小． 过点P向抛物线的准线x=-2作垂线，垂足为E，则PD  =PE  ， 当点P与坐标原点重合时，PE  最小，此时PE  =2． 故S 四边形PADB  = PD min   2-1  = 3． min 故选：C 3701 (2024·江西宜春·校联考模拟预测)已知斜率为kk>0  的直线过抛物线C：y2=4x的焦 点F且与抛物线C相交于A,B两点，过A,B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 A ，B ，若△ABB 与△ABA 的面积之比为2，则k的值为 ( ) 1 1 1 1 1 2 A. 2 B. C. D.2 2 2 2 【答案】D 【解析】如图所示： 由抛物线C：y2=4x，得F1,0  ， 设直线AB：y=kx-1  ，Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ， y2=4x, 由 y=kx-1    得k2x2-2k2+4  x+k2=0， 第 页 共 页 2292 34272k2+4 所以xx =1，x +x = ， 1 2 1 2 k2 1 由已知和抛物线定义知： S △ABB1 = 2 BB 1 S △ABA1  A 1 B 1  1 2 AA 1  A 1 B 1  = BB 1  AA 1  BF =  AF  =2， 则有x 2 +1=2x 1 +1  ，即x =2x +1， 2 1   x 2 =2x 1 +1,  xx =1, 所以 1 2  2k2+4   x 1 +x 2 = k2 , 1 解得x = ，x =2，k=2 2. 1 2 2 故选：D 3702 (2024·安徽淮南·统考二模)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜 π 角为 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，若△AFK的 3 面积是4 3，则p的值为 ( ) A.1 B.2 C. 3 D.3 【答案】B 【解析】根据抛物线的定义可知，AF  =AK  π ，又∠AFx= ，AK⊥l， 3 故△AKF是等边三角形，又△AFK的面积是4 3， 故可得AF  =AK  =4， 故2OF  =p=2. 故选：B. 【解题方法总结】 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距 离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比． 5 题型五：焦半径问题 第 页 共 页 2293 34273703 (2024·江西·高三统考开学考试)已知F为抛物线E：y2=4x的焦点，A，B，C为E上的    1 三点，若AF= AB+AC 3   ，则AF   +BF   +CF  = . 【答案】6 【解析】由题意知F1,0  ，设A，B，C的横坐标分别为x ，x ，x ， 1 2 3    1 由AF= AB+AC 3  1 ，得1-x 1 = 3 x 2 -x 1 +x 3 -x 1  ，所以x +x +x =3， 1 2 3  由抛物线的定义得AF   +BF   +CF  =x +1+x +1+x +1=x +x +x +3=6. 1 2 3 1 2 3 故答案为：6 3704 (2024·福建福州·校考模拟预测)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M(x,y)(y>0)为 曲线C上一点，若|MF|=4，则点M的坐标为 ． 【答案】2,4  p 【解析】由抛物线C:y2=8x可得： =2， 2 由抛物线的定义可得：MF  p =4=x+ =x+2，则x=2， 2 又因为点M(x,y)(y>0)为曲线C上一点，所以y2=8x=16， 所以y=4，所以点M的坐标为2,4  . 故答案为：2,4  3705 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知抛物线y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为 C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则|AF|= ． 【答案】8 【解析】由题意得，F2,0  ,C-2,0  ，当直线l的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不 合要求， 故设直线l的方程为x=my-2，不妨设m>0， 联立y2=8x，可得y2-8my+16=0，易得Δ>0， 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，则y >0,y >0， 1 2 则y +y =8m,yy =16， 1 2 1 2 则AB= 1+m2⋅y 1 -y 2  ， BC= 1+m2⋅y 2  = 1+m2⋅y ， 2 CF BC AF AB 由正弦定理得 = ， = ， sin∠CBF sin∠CFB sin∠ABF sin∠AFB 因为∠AFB=∠CFB，∠CBF+∠ABF=π， 所以y >y ， CF = BC ，即 4 = 1+m2⋅y 2 1 2 AF AB AF  1+m2⋅y 1 -y 2  y = 2 ， y -y 1 2 第 页 共 页 2294 3427又由焦半径公式可知AF=x +2=my -2+2=my ， 1 1 1 4 y 则 my = y - 2 y ，即my 1 y 2 =4y 1 -4y 2 =4 y 1 +y 2 1 1 2  2-4yy ， 1 2 2 3 即16m=4 64m2-64，解得m= ， 3 16 3 则y +y = ,yy =16，解得y =4 3， 1 2 3 1 2 1 2 3 故|AF|=my = ×4 3=8， 1 3 当m<0时，同理可得到|AF|=8. 故答案为：8 3706 (2024·全国·模拟预测)若过点P4,2  向抛物线C:x2=4y作两条切线，切点分别为A， AF B，F为抛物线的焦点，则  +BF    = ． AF⋅BF+2 14 2 【答案】 /4 3 3 【解析】由题意可得点F的坐标为0,1  ，点P4,2  不在抛物线上， 设点A，B的坐标分别为x 1 ,y 1  ,x 2 ,y 2  ， 1 1 ∵x2=4y，即y= x2，则y= x， 4 2 1 1 可得y = x2,y = x ， 1 4 1 x=x1 2 1 1 1 所以抛物线C在点A处的切线方程为y- 4 x2 1 = 2 x 1x-x 1  xx 1 xx ，则y= 1 - x2= 1 2 4 1 2 -y ， 1 又∵切线过点可P4,2  4x ，则2= 1 -y ，得2x -y -2=0， 2 1 1 1 同理可得2x -y -2=0， 2 2 即点A，B的坐标满足方程2x-y-2=0， 所以直线AB的方程为2x-y-2=0，即y=2x-2， 联立方程  x2=4y ，消去y并整得x2-8x+8=0， y=2x-2 则△=-8  2-4×1×8=32>0，x +x =8，xx =8， 1 2 1 2  ∵AF=-x 1 ,1-y 1   ,BF=-x 2 ,1-y 2  ，   则AF⋅BF=-x 1 ,1-y 1  ⋅-x 2 ,1-y 2  =x 1 x 2 +1-y 1  1-y 2  =xx + 1 2 3-2x 1  3-2x 2  =5x 1 x 2 -6x 1 +x 2  +9=5×8-6×8+9=1， 且AF  +BF  =y 1 +1  +y 2 +1  =y 1 +y 2  +2=2x 1 -2+2x 2 -2  +2=2x 1 +x 2  - 第 页 共 页 2295 34272=14， AF 所以  +BF  14 14   = = ． AF⋅BF+2 1+2 3 14 故答案为： . 3 3707 (2024·全国·高三专题练习)设抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上 9 一点A作l的垂线，垂足为B，设C0, p 2  ，若AF与BC相交于点E,CF  =2AF  , △ACE的面积为 3，则抛物线的方程为 . 【答案】x2= 6y 【解析】设Ax ,y A A  p ,F0, 2  ，CF  9 p = p- =4p 2 2 又CF  =2AF  ，则AF  =2p， 由抛物线的定义得AB  3 =2p，所以y = p，则x A 2 A  = 3p， EF CF EF CF 由CF⎳AB得 = ，即 = =2， EA AB EA AF 所以S =2S =2 3，S =S +S =3 3, △CEF △CEA △ACF △AEC △CFE 1 6 所以 ×4p× 3p=3 3，解得：p= . 2 2 故答案为：x2= 6y 1 3708 (2024·全国·高三专题练习)如图，过抛物线y= x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+ 4 y-1  2=1于A,B,C,D四点，则AB⋅CD= . 【答案】1 【解析】抛物线的焦点为F0,1  ，准线为y=-1，可设直线方程为y=kx+1，直线y=kx 1 +1，与y= x2联立得：y2-4k2-2 4  y+1=0，可得y y =1,∵AB=AF-1=y +1 A D A -1=y , A CD=DF-1=y +1-1=y ,∴AB⋅CD=1 D D 【答案】为1. 3709 (2024·全国·高三专题练习)抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于   A、B两点，若BA=4BF，则△OAB(O为坐标原点)的面积为 ． 4 3 【答案】 3 p 3p 【解析】由题意可知：AF=3BF，结合焦半径公式有： = ， 1-cosα 1+cosα 1 π 解得：cosα= ,α= ，故直线AB的方程为：y= 3(x-1)， 2 3 与抛物线方程联立可得：3y2-4 3y-12=0， 第 页 共 页 2296 3427则y 1 -y 2  4 3 =  3  2 8 -4×(-4)= ， 3 1 故△OAB的面积S= ×OF 2  ×y 1 -y 2  1 8 4 = ×1× = 3. 2 3 3 3710 (2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测)抛物线C:y2=4x的焦点为F,设过点F的直 线l交抛物线与A,B两点，且AF  4 = ,则BF 3  = . 【答案】4 【解析】设点A,B的横坐标分别为x A ,x B ，且F1,0  由焦半径公式得AF  4 1 2 3 = =x +1⇒x = ,y =± ， 3 A A 3 A 3 2 3 当y = 时， A 3 2 3 3 k =k = =- 3 ， AB AF 1 1- 3 AB的方程为y=- 3x-1  ， y=- 3x-1 则    y2=4x ，化简可得3x2-10x+3=0， 10 1 x +x = ，且x = ，所以x =3， A B 3 A 3 B 所以BF  =3+1=4 ， 2 3 同理，y =- 时，BF A 3  =4. 故答案为4. 3711 (2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知O为坐标原点，直线l过抛物线D:y2= 2px(p>0)的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于A,B,C三点(其中点B在A,C之 间)，若AF  =4,BC  =2BF  .则△OAB的面积是 . 4 3 4 【答案】 / 3 3 3 【解析】过点B作BM垂直于准线，垂足为M，过点A作AN垂直于准线，垂足为N，设准 线与x轴相交于点P，如图， 则BM  =BF  ,AN  =AF  =4， 在△MBC中，BC  =2BF  ，所以BC  =2BM  ，所以∠MCB=30°， 故在△ANC中，AC  =2AN  =8，所以AC  =AF  +CF  =8，则CF  =8-AF  =4. 又CN⊥x轴，∠MCB=30°，所以PF  1 = CF 2  =2， 第 页 共 页 2297 3427p 又抛物线D:y2=2px，则P- ,0 2  p ,F ,0 2  ，所以PF  p p = + =p=2， 2 2 所以抛物线D:y2=4x，点F1,0  . 因为∠MCB=30°，所以直线AB的斜率k=- 3，则直线AB:y=- 3x-1  ， y=- 3x-1 与抛物线方程联立    y2=4x ，消y并化简得3x2-10x+3=0， 易得Δ>0，设点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  10 ，则x +x = ， 1 2 3 则AB  =BF  +AF  =BM  +AN  p p 10 16 =x + +x + =x +x +p= +2= ， 1 2 2 2 1 2 3 3 又直线AB:y=- 3x-1  ，可化为 3x+y- 3=0， - 3 则点O到直线AB的距离d=  3 = ， 3+1 2 1 所以S = AB △OAB 2  1 16 3 4 3 ⋅d= × × = . 2 3 2 3 故选：B. 3712 (多选题)(2024·全国·模拟预测)已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于点 C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影．下 列命题正确的是 ( ) A.若AB⊥BF，则AP  =PC  B.若P，B，F三点共线，则AF  =4 C.若AB  =BC  ，则AF  =2BF  D.对于任意直线m，都有AF  +BF  >2CF  【答案】BCD 【解析】解法一：由已知条件可得F1,0  ,C-1,0  . 由抛物线的对称性，不妨设直线m的方程为y=kx+1  (k>0),Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  . y=kx+1 依题意x >x ，由 1 2  ,   y2=4x 整理，得k2x2+2k2-4  x+k2=0. 当Δ=2k2-4  2-4k4=16-16k2>0，即02CF  成立.故D正确. 故选：BCD. 解法二：对于选项A，假设AP  =PC  成立，则△APC为等腰直角三角形，∠ACP=45°, ∠ACF=45°. AB⊥BF，所以△BCF为等腰直角三角形，则点B在y轴上，这与已知条件显然矛盾，故 AP  ≠PC  . 故A错误，其他选项同解法一进行判断. 故选：BCD. 3713 (多选题)(2024·广东惠州·高三统考阶段练习)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线 l:y=kx-1  k≠0  与抛物线C交于A、B两点，下面说法正确的是 ( ) π A.抛物线C的准线方程为x=-2 B.∠AOB> 2 C.k=1时，AB  1 =4 2 D. AF  1 + BF  =1 【答案】BD 【解析】由题意，可得F(1,0)，p=2，准线x=-1，故A错误； 设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),根据抛物线的定义可得AF  =x 1 +1,BF  =x +1, 2 y2=4x y=kx-1    ⇒k2x2-2k2+4  4 x+k2=0，则x +x =2+ ，xx =1， 1 2 k2 1 2 根据抛物线的定义可得AB  =x +1+x +1=x +x +2， 1 2 1 2 2k2+4 当k=1时， =6，故AB k2  =6+2=8，故C错误； 1 AF  1 + BF  4 4+ 1 1 x +x +2 k2 = + = 1 2 = =1，故D正确； x +1 x +1 xx +x +x +1 4 1 2 1 2 1 2 4+ k2 取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设AB  =2r，过M作MN⊥准线a 于N，过A作AA ⊥准线a于A ，过B作BB ⊥准线a于B ， 1 1 1 1 第 页 共 页 2299 3427根据梯形的性质和抛物线的定义可得MN  = AA 1  +BB 1  AF = 2  +BF  AB = 2  =r， 2 即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切， π 则O在以AB为直径的圆的内部，故∠AOB> ，故B正确. 2 故选：BD 3714 (多选题)(2024·云南昭通·校联考模拟预测)已知A，B是抛物线C：y2=2x上两动点， F为抛物线C的焦点，则 ( ) A.直线AB过焦点F时，AB  最小值为4 B.直线AB过焦点F且倾斜角为60°时，AB  8 = 3 C.若AB中点M的横坐标为2，则AB  最大值为5 1 D. AF  1 + BF  =2 【答案】BC 1 【解析】对于A项，过点A,B分别作准线x=- 的垂线，垂足分别为A,B ， 2 1 1 过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为A ,B ，准线与x轴的交点为C， 2 2 设直线AB的倾斜角为θ，画图为： 根据抛物线的定义：AA 1  =AF  =n，从图可知AA 1  =A 2 C  =n，CF  =p=1， CF  +FA 2  =AA 1  =n，在Rt△AFA 2 中，FA 2  =ncosθ， 1 1 所以ncosθ+1=n,∴n= ，同理m= ， 1-cosθ 1+cosθ 则AB  =AF  +BF  1 1 2 = + = 1-cosθ 1+cosθ sin2θ ∵θ∈0,π  ∴sinθ∈0,1  2 ，故当sinθ=1时 sin2θ  =2， min 故AB  最小值为2，此时AB垂直于x轴，所以A不正确； 第 页 共 页 2300 3427对于B项，由A可知，AB  2 = 3  2  8 = ，故B正确； 2 3 对于C项，AB  ≤AF  +BF  =x +x +1=2×2+1=5， A B 当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以AB  最大值为5，故C正确； 1 当直线AB过焦点F时， AF  1 + BF  =1-cosθ+1+cosθ=2， 1 当直线AB不过焦点F时， AF  1 + BF  不是定值， 举例当x =x =2时，此时y =2，y =-2， A B A B 即A2,2  ,B2,-2  1 ,F ,0 2  3 ，AF=BF=  2  2 +22= 5 ， 1 2 AF  1 + BF  2 4 = ×2= 5 5 ≠2，故D错误； 故选：BC. 3715 (多选题)(2024·湖南常德·常德市一中校考二模)已知点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  是抛物线y2 =8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则 ( ) A.焦点F的坐标为(4，0) B. AB  =x +x +4 1 2 1 1 1 C.yy =-8 D. + = 1 2 |FA| |FB| 2 【答案】BD 【解析】由抛物线C:y2=8x(p>0)，可得焦点为F(2,0)，故A错误； 由焦半径公式可得|AB|=|AF|+|BF|=x +2+x +2=x +x +4，故B正确； 1 2 1 2 设直线l的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0， 则y +y =8m，yy =-16，故C错误； 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 8 8 + = + = + = + |AF| |BF| x +2 x +2 y2 y2 y2+16 y2+16 1 2 1 +2 2 +2 1 2 8 8 8y2+8×16+8y2+8×16 8(y +y )2-16yy +162 = 1 2 = 1 2 1 2 y2y2+16y2+16y2+162 (yy )2+16(y +y )2-32yy +162 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8×(8m)2+162-162 1 = = ，故D正确． 162+16×(8m)2-32×16+162 2 故选：BD 3716 (多选题)(2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知F为抛物线y2= 4x的焦点，K为其准线与x轴的交点，O为坐标原点.直线 3x-y- 3=0与该抛物线 交于A、B两点.则以下描述正确的是 ( ) 4 3 A.线段AF的长为4 B.△AOB的面积为 3   C.OA⋅OB=-3 D.抛物线在A、B两点处的切线交于K点 【答案】BC 【解析】抛物线y2=4x的焦点为F1,0  ，准线为x=-1，所以K-1,0  ， 由  y2 3 = x 4 - x y- 3=0 ，消去y整理得3x2-10x+3=0，解得x 1 =3，x 2 = 3 1 ， -2 3 10 此时y =2 3，y = ，则x +x = ，xx =1，yy =-4， 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 即A3,2 3  1 2 3 ，B ,- 3 3  ，或B3,2 3  1 2 3 ，A ,- 3 3  ， 第 页 共 页 2301 3427所以AF  p =x + =4或AF A 2  p 4 =x + = ，故A错误； A 2 3 因此AB  1 16 =3+ +2= ， 3 3 - 3 因此原点O到直线AB的距离等于d=   3  2+-1  3 = ， 2 2 1 3 16 4 3 所以S = × × = ，故B正确； △AOB 2 2 3 3   OA⋅OB=xx +yy =-3，故C正确； 1 2 1 2 对于D：不妨取A3,2 3  1 2 3 ，B ,- 3 3  ，由y=2 x，y=x - 2 1 ，则y =3 - 2 1 = 3 ， x=3 3 则过A3,2 3  3 的切线方程为y-2 3= x-3 3  3 ，即y= x+ 3， 3 显然曲线在点A处的切线不过K-1,0  ，故D错误； 故选：BC 3717 (多选题)(2024·山东德州·三模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，直线l与x 轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  两点，O为坐标原点，则 ( ) A.若x 1 +x 2 =8，则AB    =12 B.OA⋅OB=-27 1 C. AF  1 + BF  1 = D.△PAB面积的最小值为16 2 【答案】ACD 【解析】抛物线C:y2=8x的焦点为F2,0  ，准线l:x=-2，P-2,0  ， 设直线AB为x=my+2，则  y2=8x ，即y2-8my-16=0， x=my+2 y +y =8m Δ=64m2+64>0，故   y 1 y = 2 -16 ，y2 1 y2 2 =64x 1 x 2 =162，故x 1 x 2 =4， 1 2 对选项A：AB  =x +2+x +2=x +x +4=12，正确； 1 2 1 2   对选项B：OA⋅OB=xx +yy =4-16=-12，错误； 1 2 1 2 1 对选项C： AF  1 + BF  = 1 + 1 = x 1 +x 2 x +2 x +2 1 2  +4 x 1 x 2 +2x 1 +x 2  = x 1 +x 2 +4  +4 2x 1 +x 2  1 = ， +8 2 正确； 1 对选项D：S = ×PF △PAB 2  ×y 2 -y 1  =2 y 1 +y 2  2-4yy =2 64m2+64≥16， 1 2 当m=0时等号成立，正确； 故选：ACD. 3718 (2024·河南·校联考模拟预测)已知F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，A，B，C为该抛 第 页 共 页 2302 3427物线上的三点，O为坐标原点，△OFA，△OFB，△OFC面积分别为S,S ,S ，若F为 1 2 3 △ABC的重心，且S2+S2+S2=3，则该抛物线的方程为 ( ) 1 2 3 A.x2=12y B.x2=8y C.x2=6y D.x2=4y 【答案】D 【解析】设A、B、C三点的坐标分别为(x ，y)，(x ，y )，(x ，y )， 1 1 2 2 3 3 p ∵抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的坐标为F0, 2  , p p p ∴S = |x|，S = |x |，S = |x | 1 4 1 2 4 2 3 4 3 p2 ∴S2+S2+S2= (x2+x2+x2)， 1 2 3 16 1 2 3 ∵A、B、C在抛物线x2=2py上，∴x2=2py ，x2=2py ，x2=2py ， 1 1 2 2 3 3 p3 由此可得：S2+S2+S2= (y +y +y )， 1 2 3 8 1 2 3 p ∵点F0, 2  是△ABC的重心， 1 p 3 ∴ (y +y +y )= ，可得y +y +y = p, 3 1 2 3 2 1 2 3 2 p3 3 因此，S2+S2+S2= × p=3,解得p=2 (负值舍去)， 1 2 3 8 2 故该抛物线的方程为x2=4y， 故选：D． 3719 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线y2=4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物 线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是 ( ) A.若O为线段PQ中点，则PF=1 B.若PF=4，则OP=2 5 C.存在直线l，使得PF⊥QF D.△PFQ面积的最小值为2 【答案】D 【解析】抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点F(1,0). 对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以PF  =x +1=2,故A错误； p 对于B：若PF  =4,则x =4-1=3,所以|OP|= x2+y2 = x2+4x = 21.故B错 p P P P P 误; 对于C：设Pa2,2a  2 ,由O、P、Q三点共线，可得Q-1,- a   ，所以FP=a2-1,2a   ,QF 2 =2, a    ,所以FP⋅QF=2a2-2+4=2a2+2>0,所以FP与FQ不垂直,故C错误; 1 1 2 1 对于D：S = ⋅|OF|⋅|y -y |= ×1×2a+ =|a|+ ≥2,当且仅当|a|= △PFQ 2 P Q 2 a |a| 第 页 共 页 2303 34271 ,即a=±1时取等号，所以△PFQ面积的最小值为2.故D正确. |a| 故选：D. 3720 (2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试)已知直线l:y=x+1与抛 物线C:y2=2px(p>0)相切于点E，F是C的焦点，则EF  = ( ) A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】D y=x+1 【解析】联立方程组 ，  y2=2px 整理得x2+2-2p  x+1=0， 因为直线与抛物线相切， 则Δ=2-2p  2-4=0， 解得p=0(舍去)或p=2. (2-2p) 设E(x ,y )，则x =- =p-1=1， 0 0 0 2 故E1,2  ，则EF  p =1+ =2. 2 故选：D. 3721 (2024·海南·高三海南中学校考阶段练习)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，若 直线x=4与C交于A，B两点，且AB  =8，则AF  = ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】令x=4，则y2=8p，故y=±2 2p，所以AB  =4 2p=8， 所以p=2，故准线为x=-1，则AF  =4-(-1)=5. 故选：B 3722 (2024·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模)已知抛物线x2=4y的焦点为F，准 线l与坐标轴交于点N,M是抛物线上一点，若FN  =FM  ，则△FMN的面积为 ( ) A.4 B.2 3 C.2 2 D.2 【答案】D 【解析】由x2=4y， 得p=2， 则FN  =FM  =2， 根据抛物线的定义知MF  p =y + =y +1=2， M 2 M 解得y =1， M 代入x2=4y， 得x =±2， M 1 所以△FMN的面积为 ×2×2=2. 2 故选：D. 3723 (2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模)已知抛物线C:x2=-2pyp>0  的焦点 第 页 共 页 2304 3427y2 x2 F与 + =1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C 8 4 在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长AB  = ( ) A.16 B.26 C.14 D.24 【答案】A p 【解析】由题意可得，F(0,-2)，则p=4，抛物线方程为x2=-8y，准线方程y= =2． 2 由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx-2， 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  x2 x2 ，其中y =- 1,y =- 2， 1 8 2 8 x2 x 由y=- ，得y=- ． 8 4 x ∴在点A处的切线方程为y-y 1 =- 4 1 x-x 1  x x2 ，化简得y=- 1x+ 1，① 4 8 x x2 同理可得在点B处的切线为y=- 2x+ 2 ，② 4 8 x +x 联立①②得x = 1 2，由M的横坐标为4，得x +x =8， M 2 1 2 将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx-16=0， ∴Δ=64k2+64>0,x +x =-8k=8，得k=-1， 1 2 ∴y 1 +y 2 =kx 1 +x 2  -4=-1×8-4=-12， 则AB  =AF  +BF  p p = 2 -y 1 + 2 -y 2 =p-y 1 +y 2  =4-(-12)=16． 故选：A． 【解题方法总结】 p p (1)|AF|= ；|BF|= ． 1-cosα 1+cosα 2p (2)|AB|=x +x +p= ． 1 2 sin2α p2 (3)S = ． △AOB 2sinα 6 题型六：抛物线的性质 3724 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)关于抛物线y2=-2x，下列说法正确的是 ( ) A.开口向左 B.焦点坐标为-1,0  C.准线为x=1 D.对称轴为x轴 【答案】AD 【解析】对选项A，y2=-2x，开口向左，故A正确； 1 对选项B，y2=-2x，焦点为- ,0 2  ，故B错误； 1 对选项C，y2=-2x，准线方程为x= ，故C错误； 2 对选项D，y2=-2x，对称轴为x轴，故D正确. 故选：AD 1 3725 (多选题)(2024·山东日照·高三校联考期末)(多选)对于抛物线上 x2=y，下列描述正 8 确的是 ( ) 第 页 共 页 2305 3427A.开口向上，焦点为0,2  1 B.开口向上，焦点为0, 16  C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y=-4 【答案】AC 1 【解析】由抛物线 x2=y，即x2=8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为0,2 8  ，焦点到 准线的距离为4，准线方程为y=-2． 故选：AC 3726 (多选题)(2024·浙江金华·模拟预测)已知Ax 0 ,y 0  ,B,C为抛物线y2=4x上的三个点， 焦点F是△ABC的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为k ,k ,k ，则 ( ) AB AC BC 12-y2 y A.线段BC的中点坐标为 0,- 0 8 2  B.直线BC的方程为4x+y y+y2-6=0 0 0 C.y ∈[-2 3,2 3] 0 1 1 1 y D. + - = 0 k k k 2 AB AC BC 【答案】ABD 【解析】设Ax 0 ,y 0  ,Bx 1 ,y 1  ,Cx 2 ,y 2  ,F(1,0)， 因为F为△ABC重心， x +x +x =3 所以  y 0 +y 1 +y 2 =0 ，设BC中点Mx M ,y M 0 1 2   ，则AM=x M -x 0 ,y M -y 0  ，  AF=1-x 0 ,-y 0    2 ，由重心分中线1:2得AF= AM， 3 2 1-x 0 = 3 x M -x 0 即  2 -y 0 = 3 y M -y 0    x M = 3 2 - x 2 0  ⇒ y ，  y =- 0  M 2 3 y2 12-y2 12-y2 y 又因为A在抛物线上，所以y2=4x ，所以x = - 0 = 0，即M 0,- 0 0 0 M 2 8 8 8 2  ， 故A正确； k = y 1 -y 2 = 4y 1 -y 2 BC x -x 1 2  4x 1 -x 2  4 -4 = = ， y +y y 1 2 0 y -4 12-y2 直线BC:y+ 0 = x- 0 2 y 8 0  y2 12-y2 ⇒y y+ 0 =-4x+ 0 ⇒4x+y y+y2-6= 0 2 2 0 0 0，故B正确； 3 y2 因为x = - 0 >0，所以y2<12，所以y ∈(-2 3,2 3)，故C错误； M 2 8 0 0 1 = x 0 -x 1 = 4x 0 -x 1 k y -y AB 0 1  4y 0 -y 1  y2-y2 = 0 1 4y 0 -y 1  y +y 1 y +y 1 y +y = 0 1，同理 = 0 2, = 1 2， 4 k 4 k 4 AC BC 1 1 1 y +y y +y y +y y 所以 + - = 0 1 + 0 2 - 1 2 = 0，故D正确． k k k 4 4 4 2 AB AC BC 故选：ABD 3727 (多选题)(2024·辽宁大连·校联考模拟预测)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F， 焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则 ( ) A.C的焦点坐标为1,0  B.若M3,5  ，则△QMF周长的最小值为11 C.若M0,4  ，则QM  的最小值为2 3 第 页 共 页 2306 3427D.在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角 【答案】BCD 【解析】选项A，抛物线C:x2=2py(p>0)，焦点到准线的距离为p=2，则C:x2=4y，焦 点F0,1  ，错误； 选项B，∵M3,5  ，F0,1  ，∴MF  = 32+42=5， 设Q到准线y=-1的距离为d，M到准线y=-1的距离为d=5-(-1)=6， 则△QMF的周长为MF  +FQ  +QM  =5+d+QM  ≥5+d=5+6=11，正确； x2 选项C，设Qx , 0 0 4  ，M0,4  ，则QM  x2 = x2+ 0 -4 0 4  2 1 = x4-16x2+256= 4 0 0 1 4 x2 0 -8  2+192， 当x2 0 =8时，QM  的最小值为2 3，正确； 选项D，设Et,0  x2 ，∵Qx , 0 0 4  ，F0,1   ，∴EF=-t,1   x2 ,EQ=x -t, 0 0 4  ，   ∴EF∙EQ=-t,1  x2 ∙x -t, 0 0 4  x2 x =-tx +t2+ 0 =t- 0 0 4 2  2 ≥0，   EF∙EQ ∴cos∠QEF=  EF   EQ  ≥0，∠QEF不可能为钝角，正确； 故选：BCD 3728 (多选题)(2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知点A是抛物线C:y2=    1 4x上的动点，O为坐标原点，F为焦点，AO⋅AB= AB 2   1 2= OA 2  2，且O,A,B三点顺 时针排列，则 ( ) A.当点B在x轴上时，OB  8 = 3 B.当点B在y轴上时，点A的坐标为12,-4 3  C.当点A与点B关于x轴对称时，FA  =13 D.若FA  =13，则点A与点B关于x轴对称 【答案】ABC    1 【解析】因为AO⋅AB= AB 2   1 2= OA 2  2，所以△OAB为等边三角形， 对于A，当点B在x轴上时，又O,A,B三点顺时针排列，所以大致图像如图， 此时OA所在直线方程为y= 3x，与y2=4x联立，消去y得3x2-4x=0， 4 解得x=0或 ，所以OB 3  =AB  4 8 = 1+3× = ，故A正确； 3 3 对于B，当点B在y轴上时，又O,A,B三点顺时针排列， 第 页 共 页 2307 34273 所以此时A点在x轴下方，且OA所在直线方程为y=- x， 3 与y2=4x联立，消去y得x2-12x=0，解得x=0或12， 3 当x=12时，y=- ×12=-4 3，即A点坐标为12,-4 3 3  ，故B正确； 对于C，当点A与点B关于x轴对称时，又O,A,B三点顺时针排列， 3 所以此时A点在x轴上方，且OA所在直线方程为y= x， 3 与y2=4x联立，消去y得x2-12x=0，解得x=0或12，所以FA  =12+1=13，故C正 确； 对于D，当FA  =13时，得A点横坐标为12，此时A点可能在x轴上方，也可能在x轴下 方. 因为O,A,B三点顺时针排列， 所以当A点在x轴上方时，可得点A与点B关于x轴对称； 当A点在x轴下方时，可得此时B点在y轴上，点A与点B不关于x轴对称；故D错误； 故选：ABC. 3729 (多选题)(2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)抛物线有如下光学性质：由其焦点 射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线 对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F， O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l 1 从点Pm,n  n2<4m  射入，经过抛物线上的点 Ax 1 ,y 1  反射后，再经抛物线上另一点Bx 2 ,y 2  反射后，沿直线l 射出，则下列结论中正 2 确的是 ( ) A.xx =1 1 2 B.点Ax 1 ,y 1  关于x轴的对称点在直线l 上 2 C.直线l 与直线x=-1相交于点D，则A，O，D三点共线 2 D.直线l 与l 间的距离最小值为4 1 2 【答案】ACD 【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F1,0  ， 设直线AB的方程为x=ty+1， 将直线AB的方程代入y2=4x中，得y2-4ty-4=0， y2 y2 所以由韦达定理得yy =-4，y +y =4t，所以xx = 1 ⋅ 2 =1，故选项A正确； 1 2 1 2 1 2 4 4 若点Ax 1 ,y 1  关于x轴的对称点在直线l 上，则y =-y ， 2 1 2 所以y 1  =y 2  =2，即n  =2，不一定成立，故不合题意，选项B错误； 第 页 共 页 2308 3427直线l 2 与x=-1相交于点D-1,y 2  ，所以直线OD的斜率为k =-y ， OD 2 y y 4 又直线OA的斜率为k = 1 = 1 = =-y ，所以k =k ，所以A，O，D三点共 OA x y2 y 2 OD OA 1 1 1 4 线，故选项C正确； 直线l 1 与l 2 间的距离d=y 1 -y 2  = y 1 +y 2  2-4yy = 16t2+16≥4， 1 2 当t=0时，d取最小值4，故选项D正确； 故选：ACD. 3730 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点P为C上任 意一点，若点M1,3  ，下列结论正确的是 ( ) A. PF  的最小值为2 B.抛物线C关于x轴对称 C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D.点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】CD 【解析】设P(x ,y )，则x2=4y ，y ≥0，又抛物线的焦点为F(0,1)， 0 0 0 0 0 所以PF  = x2 0 +(y 0 -1)2= 4y 0 +y2 0 -2y 0 +1=y 0 +1  =y +1≥1，y =0时，等号成 0 0 立．所以PF  的最小值是1，A错； 抛物线的焦点在y轴上，抛物线关于y轴对称，B错； 易知点M在抛物线的内部(含有焦点的部分)，因此过M与对称轴平行的直线与抛物线 只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 记抛物线的准线为l，准线方程为y=-1， 过P作PH⊥l于H，过M作MN⊥l于N，则PF  =PH  ， PM  +PF  =MP  +PH  ，所以当M,P,H三点共线，即H与N重合时，PM  +PF  最 小，最小值为3+1=4．D正确． 故选：CD． 3731 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点 K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是 ( ) A.使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个 B.使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个 π C.使得∠MKF= 的点M有且仅有4个 4 第 页 共 页 2309 3427π D.使得∠MKF= 的点M有且仅有4个 6 【答案】ABD 【解析】如图， 由△MFK为等腰三角形，若KF=MF，则M有两个点；若MK=MF，则不存在，若MK =FK，则M有两个点，则使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个,故A正确； 由△MFK中∠MFK为直角的点M有两个；∠MKF为直角的点M不存在；∠FMK为直 角的点M有两个，则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个，故B正确； π p 若∠MKF= 的M在第一象限，可得直线MK:y=x+ ，代入抛物线的方程可得x2- 4 2 p2 p π px+ =0，解得x= ，由对称性可得M在第四象限只有一个，则满足∠MKF= 的 4 2 4 M有且只有2个，故C错误； π 3 p 使得∠MKF= 的点M在第一象限，可得直线MK:y= x+ 6 3 2  ， p2 代入抛物线的方程，可得x2-5px+ =0，Δ=25p2-p2=24p2>0， 4 π 可得点M有2个；若M在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得∠MKF= 的点 6 M有且只有4个，故D正确． 故选：ABD 【解题方法总结】 在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛 物线定义可以简化计算． 第 页 共 页 2310 3427