文档内容
专题03 圆周角定理重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 圆周角的概念辨析
题型二 利用圆周角定理求角度
题型三 利用圆周角定理求长度
题型四 利用圆周角定理求面积
题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题
题型六 半圆所对的圆周角是直角问题
题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题
题型八 已知圆内接四边形求角度
题型九 求四边形外接圆的直径
题型十 圆周角综合问题
知识点一、圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接
圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
【经典例题一 圆周角的概念辨析】
【例1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是
直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆
内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B．
【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解
题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
1．（2023·重庆·模拟预测）如图，在 中，弧 所对的圆周角 .若D为弧 上一点，
， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．22°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长 交 于点 ，根据平行线的性质得
出 ，根据邻补角得出 ，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
2、（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE
交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝【答案】54°
【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到
∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
∴OD=OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵AB=OD，
∴AB=OB，
∴∠AOB=∠A，
∵∠A＝18°，
∴∠AOB=18°，
∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，
∴∠BOE=108°，
∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°．
故答案为：54°
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
3．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB
＝OC，求 的度数
【答案】68°
【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则∠E=2∠A，再
利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到 的度数．
【详解】解：连接OB，如图，∵OB=OC，OC=AB，
∴OB=AB，
∴∠A=∠BOA，
∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠E=∠EBO=2∠A，
∵∠EOD=∠E+∠A，
∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，
∴∠E=∠EBO=56°，
∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°，
∴ 的度数为68°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三
角形，是解题的关键．
【经典例题二 利用圆周角定理求角度】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图， 内接于 ，且 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据圆周角定理，三角形的内角和定理即可得
到结论．
【详解】解：如图，设 于D，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
1．（2024·安徽·模拟预测） 为 的外接圆， ， 为 的直径，若 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是
直角可得 ，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，然后利用同弧所对的圆周
角相等可得 ，再利用等腰三角形的性质可得 ，从而利用三角形内
角和定理可得 ，最后利用同弧所对的圆周角相等可得 ，即可解答．【详解】 为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形 是 的内接四边形， 为 延长线上一
点， ，则 等于 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆
周角定理先求出 ，再根据圆内接四边形的性质求出 的度数，最后根据邻补角的定义即
可求出答案．
【详解】解： ，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的外接圆， 平分 并交 于点 ，
分别连接 ．(1) 与 相等吗？为什么？
(2)若弧 的度数与弧 的度数之比为 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理．
（1）由角平分线的定义得到 ，由圆周角的定理得到 ， ，根据三角形内角和定理
结合平角的定义得 ，进而得到 ，推出
，即可得出结论；
（2）由（1）可知 ，根据 ，得到 是 周长的 ，即可求出 ，即可解
答．
【详解】（1）解： ，理由如下：
如图，
平分 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知 ，
弧 的度数与弧 的度数之比为 ，即 ，
是 周长的 ，
弧 的度数为 ，即 ，
．
【经典例题三 利用圆周角定理求长度】
【例3】（2024·陕西榆林·三模）如图，矩形 内接于 ，若 ，则 的半径为（
）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接 ，由四边形 是矩形得到
，则 是 的直径，由勾股定理求出 ，即可得到 的半径．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 是 的直径，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
故选：D．
1．（2024九年级下·云南·专题练习）如图 的直径 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ，
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得到 ，再根据垂径定理得到 ，证明 是等腰
直角三角形，进而根据勾股定理求出 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的直径 垂直于弦 ，
∴ ， ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在 中， ， ， 的外接圆 的半
径为3，D是边 延长线上一点，连接 ，交 于点E，连接 ．若 为等腰三角形，则线段
的长度为 ．
【答案】6或 或
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据
勾股定理得到 ，①当 时，②当 时，③当 时，根据圆内
接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解： ，是 的直径，
，
，
①当 时，
，
②当 时，
③当 时，
，
综上所述，若 为等腰三角形，线段 的长度为6或 或 ，
故答案为：6或 或 ．
3．（2024·安徽合肥·三模）如图， 的两条弦 ，垂足为 ，点 在 上， 平分 ，
连接 ，分别交 于 于 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 的半径为2，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆
周角定理、三角形中位线定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理求出 ，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出 ，
根据直角三角形的性质求出 ，根据“等角对等边”即可得证；
（2）连接 ， ， ， ，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出 ，根据等腰三角形
的性质求出 为 的中点， 为 的中点，根据三角形中位线的判定与性质求 ．根据圆周
角定理求出 ，进而推出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即
可．
【详解】（1）证明： ，
，
平分 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，∵ ，
∴ ，
，
；
（2）解：如图，连接 ， ， ， ，
， ，
，
，
又 ，
为 的中点．
由（1）知 ， ，
为 的中点，
是 的中位线，
．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
．【经典例题四 利用圆周角定理求面积】
【例4】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示， 的半径是3，直线l与 相交于A，B两点，点M，
N在直线l的异侧，且是 上的两个动点，且 ，则四边形 面积的最大值是（ ）
A．9 B． C．18 D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形面积的最值问题，圆周角定理，勾股定理，找到使四边形 面积最大的点M
与点N的位置是解题的关键．过点O作 于C，交 于D，E两点，连结 ， ， ， ，
， ，先证明 ，得到 为等腰直角三角形，求出 的长，然后利用
，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形 面积最大值，由此计
算 ，即得答案．
【详解】如图，过点O作 于C，交 于D，E两点，连结 ， ， ， ， ， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
当点M到 的距离最大时， 的面积最大，当点N到 的距离最大时， 的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形 面积的最大值
．
故选B．
1、（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是 上的两个动点，且在弦AB的两侧，若 的半径是
， ，则四边形 面积的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，找到使四边形 面积最大的点M
与点N的位置是解题的关键．过点O作 于点C，交 于D，E两点．连接 ，先证明
，得到 为等腰直角三角形，求出 的长，然后利用 ，
得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形 面积最大值，由此计算 ，即得答案．
【详解】如图，过点O作 于点C，交 于D，E两点．连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ．
∴当点M到AB的距离最大时， 的面积最大；当点N到AB的距离最大时． 的面积最大．即
点M运动到点D，点N运动到点E．
此时四边形 面积的最大值
．
故选D．
2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 是 的弦，C是优弧 上一点，连接 、 ，若
的半径为6， ，则 面积的最大值为 ．【答案】
【分析】过点 作 交 与点 ，过点 作 于点 ，连接 ，根据直角边
小于斜边以及三角形的三边关系得到： ，进而推出，当 三点共线时， 最大，此时
的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
则： ，
∴当 三点共线时， 最大，即 的面积最大，如图所示：
∵ 的半径为6， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 面积的最大值为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积的计算．根据圆的性质确定高的最大值
是解题的关键．
3．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图1， 中， ， ．点D在 上，且．点E在AB上，过C、D，E三点的 交 于点F．
(1) ______°；
(2)若 ，求 的长；
(3)如图2，若点E为 的中点，求四边形 的面积S．
【答案】(1)90
(2) +
(3)11
【分析】（1）连接 ，根据圆周角的性质即可求解；
（2）连接 ，作 ，垂足为G．证明 ，求出 ，利用等腰三角形的
判定和勾股定理可求 ，再利用勾股定理求出 ，即可求解；
（3）连接 ，并延长交 于点M，根据垂径定理、等腰三角形的判定与性质可求出 ．作
，垂足为N．则四边形 为矩形．则 ．在 中，利用勾股定理可求出
．然后利用 求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ ，∴ 是 的直径，
∴ ．
故答案为：90；
（2）解：如图，连接 ，作 ，垂足为G．
在 与 中
，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ；
（3）解：连接 ，并延长交 于点M，
∵点E为 的中点，∴ ， ．
∴ ．
作 ，垂足为N．则四边形 为矩形．
∴ ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，明确
题意，添加合适的辅助线是解题的关键．
【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】
【例5】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点 是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，
作 于点 ，连接 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据等角的余角相等得出 ，则 在同一个圆上，根据同弧所对
的圆周角相等，即可求解．【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴
∴
∴ 在同一个圆上，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等角的余角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）如图， 是 的直径，点C，D，E在 上．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直
角．
连接 ，根据直径性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，即得 ．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．（2024·山西·模拟预测）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，连接 ， ， ，若
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得
， ，再根据直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
由圆周角定理得： ， ，
则 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图， 的直径 为10，弦 为6，D是 的中点，弦
和 交于点F，且 ．(1)求证： ；
(2)求证：
(3)求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得 ，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得
，即可证明 ；
（2）根据题意可得 ，则 ，再证明 ，即可证明 ；
（3）过B作 于点H，连接 ，利用等弧所对的圆周角相等证明 是等腰直角三角形，
再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
∴ ；
（2）证明： 是 的中点，
∴ ，
，
，
，
即 ，∴ ；
（3）解：过B作 于点H，连接 ，
为 的直径，
，
由（2）可知 ，
∴ ，
，
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
．
【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线
是解题的关键．
【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】
【例6】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图， 是 的直径，C是 上的一
点，若 ， 于点D，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 是 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得 ，由勾股定理，可求得
的长，又由 ，根据垂径定理，易证得 是 的中位线，则可求得 的长．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想
的应用．
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，连接 、 是 的直径，
，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C．45 D．
【答案】A
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握同
弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
由 ，可得 ，由 ，可得 ，由 是 的直径，
可得 ，则 ，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解： ，
∵
，
∴ ，
∵
，
∴
是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∵
，
∴ ，
∴故选：A．
2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形 内接于 ，延长 交 于点E，连接 ，
若 ， ，则 的大小为 °．
【答案】50
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到 ，求出 ，根据圆内接四边形的性质得到 ，计
算即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：50．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 内接于 ，D是弧 的中点，延长
到点E，使 ，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的半径，
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质；
（1）根据圆内接四边形的性质得到 ，再证明 即可得到 ；
（2）连接 并延长交 于F，连接 ，则 ，根据已知条件得到 ，
，求得 ，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】（1）证明：∵D是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 并延长交 于F，连接 ，
则 ，
∵D是弧 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径 ．
【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】
【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，D为线
段 上的动点，连接 ，过点B作 交 于点E，则在点D的运动过程中，求线段 的最小
值为（ ）A．10 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】由 得出点E在以 为直径圆上，求出 的长度，当A、O、E三点共线时， 取得
最小值，据此即可得出答案．
【详解】解：设 的中点为点O，以O为圆心， 为直径画圆，如图：
∵ ，
∴点E在以O为圆心，半径为 的圆上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴当A、O、E三点共线时， 取得最小值，
此时， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以O为圆心，半径为 的圆上”是解决问题的关键．
1．（2024·河南南阳·一模）如图，在 中， ，点D在以 为直径的半圆上，
连接 交 于点E，若 ，则 所对的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出 ，再根据圆
周角定理判断出点 在以 为直径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可得．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴如图，点 在以 为直径的圆上，
∴ 所对的圆心角的度数是 ，
故选：C．
2．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ，
是弧 上的一个动点，连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的
最小值是 ．【答案】 /
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，由题意先判断出点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
当 、 、 三点共线时， 取得最小值，然后利用勾股定理，求出 的长，再利用勾股定理，求出
的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出 的长，再由 ，即
可算出 的长．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，
∵ 是直径，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
又∵ ，且点 为 的中点，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．
3．（2024·河南南阳·一模）如图，点E是正方形 的边 上一个动点，连接 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段 上作一点G、使 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)延长 交 于点 ，求证： ；
(3)随着点E在边 上运动，当 时，直接写出线段 长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）以点 为圆心，作弧交 于两点，再分别以这两交点为圆心，大于两交点一半为半径画弧，
取两弧的交点，与点 连接，所得线段与 的交点即为所求的点 ；
（2）根据正方形的性质，得 ， ，由（1）得 ，再根据同角的余
角相等，得 ，然后根据全等三角形判定（角边角），得 ，即可证得结论；
（3）以 中点为圆心 ， 为直径画圆，根据“ 的圆周角所对的弦是直径”，可得点 始终在
上，即可得点 到圆的最短距离为 长的最小值，即当点 与点 和点 在同一直线上，并在 之
间时， 的值最小，利用勾股定理求出 的值，再根据 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：作图如图1所示．（2）证明：延长 交 于点 ，如图2，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）解：如图3，以 中点为圆心 ， 为直径画圆，
，
点 始终在 上，如图，当点 与点 和点 在同一直线上，并在 之间时， 的值最小，
四边形 是正方形， ，
，
，
，
，
长的最小值为 ．
【点睛】本题考查了尺规作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理推论，点和圆的
位置关系，解题关键是掌握尺规作图的方法，利用全等三角形找到对应边的关系，找到动点 的运行轨迹
是在同一个圆上．
【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】
【例8】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接 ，由 是 的直径得到 ，
根据圆周角定理得到 ，得到 ，再由圆内接四边形对角互补
得到答案.
【详解】解：如图，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
故选：B
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图， 均是 上的点，且 是 的直径，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是
解题的关键．
根据 均是 上的点，可得四边形 是内接四边形，则 ，由此可求
出 的度数，根据 是 的直径，可得 ，由此即可求解．
【详解】解： 均是 上的点，
∴四边形 是内接四边形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图，圆内接四边形 两组对边的延长线分别交于点E，
F，且 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到 ，根据三角
形的外角的性质计算即可
【详解】解：∵四边形 是圆内接四边形，
∴
∵ ，
∴ 即 ，
解得 ，
故答案为：
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆，P点是 劣弧 上的一
个动点(不与点A，B 重合)．(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 ，点P在劣弧 上运动的过程中，
① 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【答案】(1)
(2)7
(3)① ；② 的值是定值96．
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到 ，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）延长 到点F使 ，首先证明出 是等边三角形，求出 ，然后证
明出 ，即可得到 ；
（3）①首先由（2）可得， ，然后得到当点P和点A或点B重合时， 的最小值为 ；
当点P，O，C三点共线时， 有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；
②延长 到点F使 ，过点A作 ，由（2）得， 是等边三角形，得到 ，
然后根据勾股定理求出 ，进一步得到 ，
然后结合 ，代入得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形
∴∵四边形 内接于
∴ ；
（2）如图所示，延长 到点F使 ，
∵
∴
∵
∴ 是等边三角形
∴ ， ，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在 和 中
∴
∴ ；
（3）①由（2）可得，
∵点P在劣弧 上运动
∴当点P和点A或点B重合时， 的长度最小，即 或 的长度∵ 是等边三角形
∴
∴ 的最小值为
∴ 的最小值为 ；
当点P，O，C三点共线时， 的长度最大，如图所示，
∴此时 是 的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ，负值舍去
∴ 的最大值为8
∴ 的最大值为8；
∴ 的值的取值范围是 ；
②如图所示，延长 到点F使 ，过点A作由（2）得， 是等边三角形
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
．
∴ 的值是定值96．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，
勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形．【经典例题九 求四边形外接圆的直径】
【例9】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，
点C为 的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及
三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为 的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝
30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是 O的内接四边形，
∴∠CBE＝⊙∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为 的中点，∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴ 的面积是=
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
掌握相关性质及公式是解题的关键．
1．（2023·四川德阳·统考一模）如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，
连接 作 ，垂足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】取 的中点K，连接 ，根据 即可解决问题．【详解】解：如图，连接 ，取 的中点K，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的外接圆的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴CF的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段
最短确定 的最小值是解决本题的关键．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形 中， ， ， 的两边分别
交边 、 于点E、F，且 ，记 的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为
．【答案】1
【分析】连接 ，则： ，得到当 三点共线时，P、C两点间的距离最小，根
据菱形的性质，求出 长，证明 四点共圆，得到 为 的直径，即可得解．
【详解】解：连接 ，
则： ，
∴当 三点共线时，P、C两点间的距离最小，
∵菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∵ 的外心为点P， 三点共线，
∴ 为 的直径，
∴ ，
∴P、C两点间的最小距离为1；
故答案为：1．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明 为 的直
径．
3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段 的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与
原点O重合）， ， ，作 轴， ，交点为P，设P的坐标为 ，则
．
【答案】
【分析】首先根据题意得到 四点共圆，且 为直径，然后设圆心为D，分别连接 ， ，过
点D作 于点E， ，然后根据勾股定理列方程求出 ，进而可得出 的
值．
【详解】∵
∴
∴ 四点共圆，且 为直径，
如图所示，设圆心为D，分别连接 ， ，过点D作 于点E，
则∵
∵ ，
∴
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，解得
∴ ，
∵点P的坐标为 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是
根据题意正确作出辅助线．
4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形 中， ，点 分别在 ， 上，
， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求 的长？
(3)当 时，求 的最大值？
【答案】(1)证明见解析
(2)6
(3)4
【分析】（1）如图所示，连接 ，先证明 是等边三角形，得到 ，再证明 得到 ，由此即可证明结论；
（2）延长 到M使得 ，证明 ，得到 ，进而证明
是等边三角形，则 ；
（3）先证明 四点共圆，则当 为直径时， 最大，设圆心为O，连接 ，过点O
作 于M，在 中求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：延长 到M使得 ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴当 为直径时， 最大，
设圆心为O，连接 ，过点O作 于M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，
圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小
覆盖圆．
(1)如图①，线段 ，则线段 的最小覆盖圆的半径为_________；
(2)如图②， 中， ， ， ，请用尺规作图，作出 的最小覆盖圆
（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；
(3)如图③，矩形 中， ， ，则矩形 的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等
圆完全覆盖该矩形 ，那么这两个等圆的最小半径为_________．
【答案】(1)
(2)作图见解析，
(3) ，
【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当 为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆；
（2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可；
（3）根据最小覆盖圆的定义可知，矩形 的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接 交
于O，则点O即为矩形 的外接圆圆心，利用勾股定理求出 的长即可得到答案；如图④所示，分别取 的中点G，H，连接 交于E，连接 交于F，连接 ，则四边形 ，
四边形 都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形 ，四边形 的最小覆盖圆，同理
求出 即可．
【详解】（1）解：如图所示，∵ ，
∴ （O为AB中点，），
∴，当 为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆，
∴线段 的最小覆盖圆的半径为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意可知 的最小覆盖圆即为 的外接圆，
作线段 的垂直平分线交 于D，点D即为最小覆盖圆圆心，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小覆盖圆的半径为 ，
故答案为： ；（3）解：由题意得，矩形 的外接圆即为最小覆盖圆，
如图③所示，连接 交于O，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴点O即为矩形 的外接圆圆心，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的最小覆盖圆半径为 ；
如图④所示，分别取 的中点G，H，连接 交于E，连接 交于F，连接 ，则四
边形 ，四边形 都是矩形，
同理可得圆E和圆F分别是四边形 ，四边形 的最小覆盖圆，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴这两个等圆的最小半径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理
解最小覆盖圆的定义是解题的关键．
【经典例题十 圆周角综合问题】
【例10】（2024·山东济南·二模）已知 ，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大
于 长为半径画弧交于点E，画射线 ．
步骤2：在 上任取一点O，以点O为圆心， 长为半径画半圆，分别交 ， ， 于点P，Q，
C；
步骤3：连接 ， ．
则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． 垂直平分 D．【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出
，根据垂径定理的推论得出 垂直平分 ，根据圆周角定理得出 ，根据平行线的判
定得出 即可．
【详解】解： ．由作图可知： ，
， 垂直平分 ，故选项A、C正确，不符合题意；
B． 为半圆 的直径，
， ，
，
，选项B正确，不符合题意；
C． 的度数未知， 和 互余，
不一定等于 ，
不一定等于 ，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
1．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形 中，点 是对角线 上一点，连接 ，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】过点E作 于G，证明A、E、B、F四点共圆，得到 ，从而可证明，由勾股定理可求得 ，再求 ，从而求得 ，从而求得
，即可由勾股定理得 ，代入即可求解．
【详解】解：过点E作 于G，
∵
∴
∵正方形
∴ ， ，
∴
∴A、E、B、F四点共圆，
∴
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的
判定．证明A、E、B、F四点共圆是解题的关键．
2．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形 中， ，M是 边上一个动点，以 为直径的圆
与 相交于点Q，P为 上另一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找
出定点和动点，以及动点在什么图形上运动． 中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段 上，
想到将军饮马，Q在以 为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题．
【详解】解：连接 ，以 为一条边在右侧作正方形 ，如图所示：
则 ，
∴ ，
∴点Q在以 为直径的圆上运动，
即点Q在 上，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∴当E、P、Q、O在同一直线上时， 最小，且最小值为 ，
∵ ，
∴O、C、F在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装
了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”． ， ．求证： ．
【模型应用】
（2）如图2， 中， 的平分线 交 于点 ．请你从以下两个条件：
① ；② 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3， 为 的直径， ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）
见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形
斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：
（1）利用 证明 ，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在 取点N，使 ，连接 ，证明 ，可得
， ，再由 ，可得 ，从而得到 ，即可；选择
①为条件，②为结论：在 取点N，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，
，再由 ，可得 ，从而得到 ，即可；
（3）连接 ，取 的中点F，连接 ，根据圆周角定理可得 ，从而得到 ，再
由 为 的直径，可得 ，从而得到 ，然后根据 ，可得
，可证明 ，从而得到 ，即可．
【详解】解：（1）在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在 取点N，使 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
选择①为条件，②为结论
如图，在 取点N，使 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，取 的中点F，连接 ，∵ 的平分线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点
，若 平分 ， ， ，则 的长为（ ）．A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据圆内接四边形对角互补得到 ，根据 得到 结
合角平分线得到 ，即可得到： ，从而得到 ，结合勾股定理即可得到答
案；
【详解】解：连接 ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴∴
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握
这些知识是解题的关键．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 弦，半径 于点C， 为直径，
，线段 长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、
圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出 的长，设 的半径为 ，在
中利用勾股定理求出 的值，易得 ，连接 ，由 是直径，根据圆周角定理得到
，利用 是 的中位线得到 ，然后在 中利用勾股定理可计算出 ．
【详解】解：连接 ，如图，
弦 ， ，
，
设 的半径 ，
，
在 中，，
解得： ，
；
， ，
，
是直径，
，
是 的中位线，
，
在 中， ．
故选：D
3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线 交 于 两点， 是 的直径，点
为 上一点，且 平分 ，过 作 ，垂足为 ，且 ， 的直径为20，
则 的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】根据题意连接 ，过 作 ，利用角平分线定义得 ，继而得到 ，
再得到四边形 为矩形，再设 ，则 ，利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接 ，过 作 ，垂足为 ，，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ．
∵ ，
设 ，则 ，
∵ 的直径为20，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
即 ，
解得 ．
∵ ，故 舍去，
∴ ，
∴ ，
∵ ，由垂径定理知，F为 的中点，
∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定及性质，矩形判定及性质，勾股定理，垂径定理等．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形 的边长是6，点F在 边上，且
，点H是射线 上的一个动点，以 为直径作 ，连接 交 于E点，连接 ，则
线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 中点 ，连接 ，可求 ，在 中，由勾股定理得 ，
根据直角三角形的性质得到 ，由 ，得到 ，当 三点
共线时取得最小值．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，
∵正方形 的边长是6，
∴ ，
∴ ，∴在 中，由勾股定理得 ，
∵ 为 直径，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 三点共线时取得最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系求最值，直角三角形的性质，
熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，
，在矩形内找一点 ，使得 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在 的上方，作 ，使得
，连接 ，过点 分别作 于点 于点 ．则 ，
那么，点 的运动轨迹是以 为圆心， 长为半径的 在矩形 内的部分，当点 落在线段 上
时， 的值最小，根据矩形的性质得 ，结合已知求得 和 ，继而证明四边形 是矩形，可知 和 ，利用勾股定理可求得 ，即可求得
．
【详解】解：如图，在 的上方，作 ，使得 ，连接 ，过点 分别作
于点 于点 ．
，
点 的运动轨迹是以 为圆心， 长为半径的 在矩形 内的部分，
当点 落在线段 上时， 的值最小，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
， ， ，
， ，
， ，
， ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
．故选：A．
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 的一条弦， 于点 ，交 于点
，点 在 上， ，则 °．
【答案】36
【分析】本题考查的是圆周角定理．连接 ，由圆周角定理可得 ，再由垂直求出
度数，最后根据 得到 ，即可求出 的度数．
【详解】解：连接 ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴
，
，
故答案为：36．
7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若四边形 为 内接四边形， ，则
°．
【答案】 或
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据题意画出图形，再由圆周角定理即可得出
结论．
【详解】如图所示，，
．
如图所示，
，
∵四边形 为 内接四边形，
∴ ．
综上所述， 或 ；
故答案为： 或 ．
8．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 于 交
于点 ， ， ， ，则 的半径为 ．
【答案】
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，再证明
得到 ，根据等边对等角得到 ，则 ，可得 ，再由
勾股定理求出 的长即可得到答案．【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的半径为 ，
故答案为； ．
【点睛】本题主要考查了圆周角与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边对等角，证
明 ，得到 是解题的关键．
9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦， 是优弧 上一动点，连接 ， ，
， 分别是 ， 的中点，连接 ．
（1）若 取得最大值，则点 在线段 上；
（2）若 ， ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据中位线定理知：当 取得最大值时， 就取得最大值，当 最大时是 的直径，
即可得解；
（2）如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，由（1）知，求得 的直径后就可以求得最大值．【详解】解：（1）∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴当 取得最大值时， 就取得最大值，
当 为 的直径时最大，此时点 在线段 上，
故答案为： ；
（2）如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∵ 和 所对的弧是 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，
解题的关键是了解当什么时候 的值最大．
10．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点D为线
段 上一动点．以 为 直径，作 交 于点E，连 ，则 的最小值为 ．【答案】16
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定 点运动的规律，从而把问题转化为
圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接 ，可得 ，从而知点 在以 为直径
的 上，继而知点 、 、 共线时 最小，根据勾股定理求得 的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
，
点 在以 为直径的 上，
，
，
当点 、 、 共线时 最小，
，
，
，
的最小值为16，
故答案为：16．
11．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， ， 分别是 的直径和弦， 于点 ，
连接 、 ， ， ，求 的长．【答案】
【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，能根据垂径定理求出 的长是解答此题的关
键．先根据圆周角定理得到 ，由勾股定理即可求出 的长，再根据 于点D可得出
，再由勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ， ，
，
于点D，
∴ ，
∴ ．
12．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图， 为 的直径，点C，D为直径 同侧圆上的点，且点
D为 的中点，过点D作 于点E，延长 ，交 于点F， 与 交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为 的中点，求 的度数；
（Ⅱ）如图②，若 ，求 的半径．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关
键．
（Ⅰ）先求出弧 的度数，再根据圆周角定理可得 ，由此即可得；
（Ⅱ）连接 ，先求出 ，从而可得 ，再根据垂径定理可得 ，然后设 的
半径为 ，则 ，在 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（Ⅰ）∵ 为 的直径，点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ ，
∴弧 的度数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）如图，连接 ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
所以 的半径为 ．
13．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点
E．
(1)求证： ；
(2)连接 并延长，交 于点G，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）根据垂径定理得出点 为 的中点，根据点 是 的中点，得出 ，即可求出结果．
【详解】（1）证明： 是 的直径， ，
，
；
（2）解：根据题意，如图所示：是 的直径， ，
点 为 的中点，
点 是 的中点，
是 的中位线，即 ，
，
．
14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1， ， 是半圆 上的两点，点 是直径 上一点，
且满足 ，则称 是 的“相望角”，如图，
(1)如图2，若弦 ， 是弧 上的一点，连接 交 于点 ，连接 ．求证： 是 的
“相望角”；
(2)如图3，若直径 ，弦 ， 的“相望角”为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握考查了垂径
定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
（1）由直径 ，弦 ，可知 垂直平分弦 ，则 ，由 ，可得，进而可得 是 的“相望角”；
（2）由题意得， ，由直径 ，弦 ，可得 ，
，则 ， ，如图1，记圆心为 ，连接 ，则
，由 ，可得 ，由勾股定理得， ，计
算求解即可．
【详解】（1）证明：∵直径 ，弦 ，
∴ 垂直平分弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的“相望角”；
（2）解：由题意知， 是 的“相望角”， ，
∴ ，
∵直径 ，弦 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
如图1，记圆心为 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，∴ 的长为 ．
15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E为
延长线上一点，且 平分 ．
(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的半径为
【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与
性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理．
（1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可．
（2）过点 作 于点 ，连接 ，根据（1）中，得出 ，根据等腰三角形三线合一
的性质，得出 ，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出 的长和 垂直平分
，进而得出圆心 在 的垂直平分线 上，再设 的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解
出即可得出 的半径．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
由（1）知：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 垂直平分 ，
∵ ，
∴圆心 在 的垂直平分线 上，
∴ ，
设 的半径为r，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
