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2023届高考数学三轮冲刺卷：解析几何
一、选择题（共20小题；）
x2 y2
1. 已知 E，F 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点，倾斜角为 60∘ 的直线 l 过点 E，且与椭
25 9
圆交于 A，B 两点，则 △FAB 的周长为 ()
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
y2 x2
2. 若双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线经过点 (√3,1)，则该双曲线的离心率为 ()
a2 b2
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
3. 圆 x2+ y2−2x−2y+1=0 上的点到直线 x−y=2 的距离最大值是 ()
√2
A. 2 B. 1+√2 C. 1+ D. 1+2√2
2
4. 从圆 x2−2x+ y2−2y+1=0 外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
()
1 3 √3
A. B. C. D. 0
2 5 2
5. “mn＜0”是“方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 ()
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
x2 y2
6. 设双曲线 − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F ，F ，以 F 为圆心，∣F F ∣
a2 b2 1 2 1 1 2
为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于 A，B 两点．若 ∣F B∣=3∣F A∣，则
1 2
该双曲线的离心率是 ()
5 4 3
A. B. C. D. 2
4 3 2
x2
7. 双曲线方程为 −y2=1，其中 a>0，双曲线的渐近线与圆 (x−2) 2+ y2=1 相切，则双曲线
a2
的离心率为 ()
2√3 √3
A. B. √3 C. √2 D.
3 2
8. 直线 x−√3 y=0 截圆 (x−2) 2+ y2=4 所得劣弧所对的圆心角是 ()
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
y2 x2 a2
9. 若双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线与圆 x2+(y−a) 2= 相切，则该双曲线得离
a2 b2 9
心率为 ()3√2 3√2
A. 3 B. √3 C. D.
2 4
x2 y2
10. k>3 是方程 + =1 表示双曲线的 ()
3−k k−1
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 点 P(4,−2) 与圆 x2+ y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ()
A. (x−2) 2+(y+1) 2=1 B. (x−2) 2+(y+1) 2=4
C. (x+4) 2+(y−2) 2=4 D. (x+2) 2+(y−1) 2=1
12. 直线 y=kx+3 与圆 (x−3) 2+(y−2) 2=4 相交于 M，N 两点，若 MN≥2√3，则 k 的取
值范围是 ()
[ 3 ] ( 3]
A. − ,0 B. −∞,− ∪[0,+∞)
4 4
[ √3 √3] [ 2 ]
C. − , D. − ,0
3 3 3
13. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cosθ,sinθ) 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变
化时，d 的最大值为 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. 已知 ⊙C:x2−2x+ y2−1=0，直线 l:y=x+3，P 为 l 上一个动点，过点 P 作 ⊙C 的
切线 PM，切点为 M，则 ∣PM∣ 的最小值为 ()
A. 1 B. √2 C. 2 D. √6
x2 y2
15. 已知 F ，F 分别是双曲线 − =1(a,b>0) 的左、右焦点，l ，l 为双曲线的两条渐近
1 2 a2 b2 1 2
线．设过点 M(b,0) 且平行于 l 的直线交 l 于点 P．若 PF ⊥PF ，则该双曲线的离心
1 2 1 2
率为 ()
√14−2√41 √14+2√41
A. √3 B. √5 C. D.
2 2x2 y2
16. 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的长轴端点为 A， B，若椭圆上存在一点 P 使
a2 b2
∠APB=120∘，则椭圆离心率的取值范围是 ()
( √6] [√6 ) (√6 ) [√6 )
A. 0, B. ,1 C. ,1 D. ,+∞
3 3 3 3
17. 点 P(4,−2) 与圆 x2+ y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ()
A. (x−2) 2+(y+1) 2=1 B. (x−2) 2+(y+1) 2=4
C. (x+4) 2+(y−2) 2=4 D. (x+2) 2+(y−1) 2=1
18. 已知平面直角坐标系内曲线 C ：F(x,y)=0，曲线 C ：F(x,y)−F(x ,y )=0，若点
1 2 0 0
P(x ,y ) 不在曲线 C 上，则下列说法正确的是 ()
0 0 1
A. 曲线 C 与 C 无公共点
1 2
B. 曲线 C 与 C 至少有一个公共点
1 2
C. 曲线 C 与 C 至多有一个公共点
1 2
D. 曲线 C 与 C 的公共点的个数无法确定
1 2
19. 在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2x+ y−4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ()
4π 3π 5π
A. B. C. (6−2√5)π D.
5 4 4
20. 抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是 ()
[ 1 1]
A. − , B. [−2,2] C. [−1,1] D. [−4,4]
2 2
二、填空题（共5小题；）
21. 若双曲线 x2−y2=a2(a>0) 的右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，则 a=
．
x2 y2
22. 已知 F 是双曲线 − =1 的左焦点， A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则
4 12
∣PF∣+∣PA∣ 的最小值为 ．
x2 x2
23. 已知 F ，F 是椭圆 C: + =1 的焦点，则在 C 上满足 PF ⊥PF 的点 P 的个数为
1 2 8 4 1 2
．
y
24. 若实数 x 、 y 满足 (x−2) 2+ y2=3，则 的最大值为 ．
x
25. 圆 x2+ y2−4x=0 在点 P(1,√3) 处的切线方程为 ．三、解答题（共5小题；）
( √3) x2 y2
26. 已知点 (1,e)， e, 在椭圆 C： + =1(a>b>0) 上，其中 e 为椭圆的离心率，椭圆
2 a2 b2
的右顶点为 D．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 DA，DB 分别与直线
a
x=− 交于 N，M 两点，求证：⃗NF⋅⃗MF=0．
e
27. 已知焦点在 y 轴上的抛物线上一点 P(m,−3) 到焦点的距离为 5，求抛物线的标准方程．
1
28. 直线 l 过曲线 C：y= x2 的焦点 F，并与曲线 C 交于 A(x ,y )，B(x ,y ) 两点．
8 1 1 2 2
（1）求证：x x =−16；
1 2
（2）曲线 C 分别在点 A，B 处的切线（与 C 只有一个公共点，且 C 在其一侧的直线）交
于点 M，求点 M 的轨迹．
29. 如图，动圆 M 过定点 F(1,0)，且与 y 轴相切于点 N，点 F 关于圆心 M 的对称点为 E，
动点 E 的轨迹为 C．
（1）求轨迹 C 的方程；
（2）过点 F 作直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 ⃗BF=2⃗FA，求 △AOB 的面积．
30. 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为直线 l :x=−4 上的动点，动点 Q 满足 PQ⊥l ，且原点
0 0
O 在以 PQ 为直径的圆上．记动点 Q 的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 E(2,0) 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 D（异于 A，B）在 C 上，
1
直线 AD，BD 分别与 x 轴交于点 M，N，且 ⃗AD=3⃗AM，求 △BMN 面积的最小值．答案
1. D 【解析】依题作图如下，
x2 y2
因为 + =1，
25 9
所以 a=5，
由定义可知，AE+AF=2a=10，BE+BF=2a=10，
所以
C = AF+BF+AB
△FAB
= AF+AE+BF+BE
= 2a+2a
= 20.
即 △FAB 的周长为 20．
y2 x2
2. B 【解析】若双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点
a2 b2
(√3,1)，可得 b=√3a，即 b2=3a2，可得 c2−a2=3a2，
所以 c2=4a2，c=2a，
c
所以双曲线的离心率为 e= =2．
a
2
3. B 【解析】圆心为 C(1,1)，r=1，d = +1=√2+1．
max √2
1
4. B 【解析】提示：设切线与点 P 和圆心连线的夹角为 θ，则两切线夹角为 2θ．易知 tanθ= ，
2
4 3
由二倍角定理知 tan2θ= ，从而 cos2θ= ．
3 5
5. C
x2 y2
+ =1
【解析】若“mn＜0”，则 m，n 均不为 0，方程 mx2+n y2=1，可化为 1 1 ，
m n
x2 y2
1 1 + =1
若“mn＜0”， ， 异号，方程 1 1 中，两个分母异号，则其表示双曲线，
m n
m n故“mn＜0”是"方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 充分条件．
x2 y2
+ =1 1 1
反之，若 mx2+n y2=1 表示双曲线，则其方程可化为 1 1 ，此时 ， 异号，则必有
m n
m n
mn<0，
故“mn＜0”是“方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 必要条件．
综合可得：“mn＜0”是"方程 mx2+n y2=1 表示双曲线”的 充要条件．
1 2c
6. C 【解析】依题知 ∣F B∣=∣F A∣=∣F F ∣=2c，∣F A∣= ∣F B∣= ，
1 1 1 2 2 3 1 3
2c c 3
由双曲线的定义知 ∣F A∣−∣F A∣=2a，即 2c− =2a，所以 e= = ．
1 2 3 a 2
7. A
8. D 【解析】圆 (x−2) 2+ y2=4 的圆心到直线 x−√3 y=0 的距离 d=1，圆的半径 r=2，
π
所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，底角为 ，
6
2π 2π
所以顶角为 ，即劣弧所对的圆心角是 ．
3 3
a
9. D 【解析】根据圆的方程知，圆心为 (0,a)，半径为 ；
3
a
根据双曲线方程得，渐近线方程为 y=± x；
b
a a
=
a
据题意知，圆心到渐近线的距离为 ，则：√ a2 3 ；
3 1+
b2
a2
所以 1+ =9；
b2
b2 c2−a2 1
所以 = = ；
a2 a2 8
c 3√2
解得 = ．
a 4
10. A
x2 y2
【解析】当 k>3 时，3−k<0，k−1>0，此时方程 + =1 表示双曲线；
3−k k−1x2 y2
反之，若方程 + =1 表示双曲线，则有 (3−k)(k−1)<0，即 k>3 或 k<1．
3−k k−1
x2 y2
故 k>3 是方程 + =1 表示双曲线的充分不必要条件．
3−k k−1
{x =2x−4,
11. A 【解析】设圆上任一点 Q(x ,y )，PQ 中点为 (x,y)，则 0 代入圆方程即可．
0 0 y =2y+2,
0
12. A 【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，重点考查数形结合思想的运用．
圆心的坐标为 (3,2)，且圆与 x 轴相切．当 MN=2√3 时，由点到直线的距离公式，解得 k=0 或
3 [ 3 ]
− ，结合图形可知 k 的取值范围为 − ,0 ．
4 4
13. C
14. D 【解析】圆 C 方程可化为 (x−1) 2+ y2=2，则圆心 C(1,0)，半径 r=√2，
因为 PM 为圆 C 的切线且 M 为切点，
所以 PM⊥MC，
所以根据勾股定理知 ∣PM∣ 2=∣PC∣ 2−∣CM∣ 2=∣PC∣ 2−r2=∣PC∣ 2−2，
所以 ∣PM∣ 最小时，∣PC∣ 最小．
∣1+3∣ 4
因为 ∣PC∣≥d= = =2√2，
√1+1 √2
所以 ∣PM∣ 2≥8−2=6，
所以 ∣PM∣ 最小值为 √6．
15. Bb b2 (b b2 )
【解析】直线 PM 的方程为 y=− x+ ，联立直线 l 与直线 PM 得 P , ，又因为
a a 2 2 2a
PF ⊥PF ，所以 ⃗PF ⋅⃗PF =0 得 c2−5a2=0 ，所以双曲线的离心率为 √5．
1 2 1 2
16. B 【解析】不妨设 P(x,y)(0≤x0)，
因为点 P(m,−3) 到焦点的距离为 5，所以由抛物线定义可得 P 到准线的距离为 5，即p
+3=5,
2
所以 p=4，故抛物线方程为 x2=−8 y．
1
28. （1） 曲线 C：y= x2 的焦点 F 为 (0,2)，
8
由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=kx+2，
{ x2=8 y,
由 消 y 可得 x2−8kx−16=0，
y=kx+2,
因为 A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
所以 x x =−16．
1 2
（2） 由（1）可得 x +x =8k，x x =−16，
1 2 1 2
1 1
由 y= x2 ，可得 yʹ= x，
8 4
1 1
所以切线方程分别为 y−y = x (x−x )，y−y = x (x−x )，
1 4 1 1 2 4 2 2
1 1
{y= x x− x2,
1 1 4 1 8 1
且 y = x2 ，y = x2 ，可得
1 8 1 2 8 2 1 1
y= x x− x2,
4 2 8 2
x +x x x
解得 x= 1 2=4k，y= 1 2=−2，
2 8
则 M 的轨迹方程为直线 y=−2．
29. （1） 解法一：连接 MN，过点 E 作 EG⊥y轴 于点 G，
则 ∣EG∣=2∣MN∣−∣OF∣=∣EF∣−∣OF∣．
因为 ∣OF∣=1，
所以点 E 到直线 x=−1 的距离等于点 E 到点 F 的距离，
所以 E 的轨迹是以 F(1,0) 为焦点，x=−1 为准线的抛物线，
所以曲线 C 的方程为 y2=4x．
(x+1 y)
解法二：设动点 E(x,y)，则 M , ，
2 2
√ (x+1 ) 2 ( y) 2 x+1
由题意，得 −1 + =∣ ∣，
2 2 2
化简并整理，得 y2=4x，所以轨迹 C 的方程为 y2=4x．
（2） 设直线 l:x=my+1 交曲线 C 于点 A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 y2=4x 得 y2−4my−4=0，故 y y =−4，
1 2
由 ⃗BF=2⃗FA，得 (1−x ,−y )=2(x −1,y )，故 y =−2y ，
2 2 1 1 2 1
解得 y =√2，y =−2√2 或 y =−√2，y =2√2，
1 2 1 2
1 3√2
所以 S =S +S = ×1×3√2= ．
△AOB △AOF △BOF 2 2
30. （1） 由题意，不妨设 Q(x,y)，则 P(−4,y)，⃗OP=(−4,y)，⃗OQ=(x,y)，
因为 O 在以 PQ 为直径的圆上，
所以 ⃗OP⋅⃗OQ=0，
所以 (−4,y)⋅(x,y)=−4x+ y2=0，
所以 y2=4x，
所以曲线 C 的方程为 y2=4x．
（2） 设 A(x ,y )，B(x ,y )，D(x ,y )，M(m,0)，N(n,0)，
1 1 2 2 3 3
依题意，可设 l :x=ty+a（其中 a=2），
1
{x=ty+a,
由方程组 消去 x 并整理，得 y2−4ty−4a=0，
y2=4x
则 y + y =4t，y y =−4a=−8，
1 2 1 2
同理可设 AM:x=t y+m，BN:x=t y+n，
1 2
可得 y y =−4m，y y =−4n，
1 3 2 3
y y y y
所以 m=− 1 3，n=− 2 3，
4 4
又因为 ⃗AD=3⃗AM，
所以 (x −x ,y −y )=3(m−x ,−y )，
3 1 3 1 1 1
所以 y −y =−3 y ，
3 1 1
所以 y =−2y ，
3 1
所以
∣MN∣ =∣m−n∣
1
¿ = ∣y −y ∣⋅∣y ∣
4 1 2 3
1
¿ = ∣y ∣⋅∣y −y ∣,
2 1 1 2
所以
1
S = ∣MN∣⋅∣y ∣
△BMN 2 2
¿ =2√(y + y ) 2−4 y y
1 2 1 2
¿ ¿
所以当 t=0 时，△BMN 面积取得最小值，其最小值为 8√2．
