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考点 8-3 双曲线及其性质
1．（2021·全国·高考真题（文））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
2．（2021·山东·高三开学考试）已知 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点， ，
是 右支上的两点，且直线 经过点 ．若 ，以 为直径的圆经过点 ，则 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由以 为直径的圆经过点 得 ，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得 ，设 ，则 ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，化简得 ，
所以 的离心率 ，
故选：A.
3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分
别为 ， ，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点， 的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质得出 ， ，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求
解.
【详解】设双曲线的半焦距为 ， 离心率为 ，
由 ，则 ， ，
因为 是 的平分线，
所以 ,
又因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以双曲线的离心率取值范围为 .
故选：B
4.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．5．（2022·河南开封·高三模拟（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
过 作直线 垂直于双曲线的一条渐近线，直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若
，则双曲线 的离心率 为______．
【答案】
【分析】联立直线方程可得点 ， 的坐标，结合 ，可得 ，进而可得离心率.
【详解】由题意，双曲线 的渐近线为 ，若过 的直线 与直线 垂直，垂足为 ，直线
与直线 交于 ， ，
因为 ，所以 在 ， 之间，
如图所示，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率 ．
同理，过 的直线 与直线 垂直时，双曲线 的离心率 ．综上所述，双曲线 的离心率 为，
故答案为： .
6.（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线 与双曲线
有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交 于A，B两点，与 在第一象限
内的交点为M，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.
【详解】因为抛物线 的焦点 ，
由题可知， ，即抛物线方程为 ，
令 代入抛物线方程 ，可得 ，
代入双曲线方程 ，可得 ，
可设 ， ， ，
由 有
两边平方相减可得， ，
由 有： ，又
即 ，由 有：
由 ，解得 .故A，B，D错误.
故选：C.7．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且斜
率为 的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为 的中点，且 ，则双曲线C的渐近
线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，即可求出 ，再由 ，即可得到
，由余弦定理求出 ，即可得到 ，再根据 ，即可得到 、 的关系，
即可得解；
【详解】解：由 ，即 ，又 ，且
，
解得 或 （舍去），
由 且 为 的中点，知 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，∴渐近线方程为 .
故选：A
8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，已知 ， 分别为双曲线 ：的左、右焦点， 为第一象限内一点，且满足 ， ，线
段 与 交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题意可得 为线段 的中点；由 得 ，结合双曲线定义求得
，利用勾股定理可得 ，即得a,c的关系式，求得答案.
【详解】如图，因为 ，所以 为线段 的中点；
由于 ，即 ,所以 ，
所以 为等腰三角形，且有
连接 ，又 ，点Q在双曲线C上，
由双曲线的定义，可得 ，故 ;
所以在 中，有 ，即 ，
整理得 ，所以离心率 ，
故选:B．9.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线 的右焦点为 ，双曲线
的右支上一点 ，它关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率
是________．
【答案】
【分析】连接 ， ，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.
【详解】
设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
由条件可得 ，
则 ， ， ，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以双曲线的离心率为： ，
故答案为 .
10．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知双曲线
的右焦点为 ，右顶点为 ，以坐标原点 为圆心，过点 的圆与双曲线 的一条
渐近线交于位于第一象限的点 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的渐近线方程为________．
【答案】【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到 的坐标，利用 的坐标求出直线
的斜率，得到 ，继而求出双曲线的渐近线方程
【详解】解：由题意得圆的方程为 ，双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ，
联立方程 ，解得点 的坐标为 ，有 ，
又由直线 的斜率为 ，可得 ，有 ，
故双曲线 的渐近线方程为 ．
故答案为：
11.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为
双曲线 的右顶点.过 的直线与双曲线 的右支交于 两点（其中点 在第一象限），设 分别为
的内心，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有
，将 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设 上的切点分别为H､I､J，
则 .由 ，得 ，
∴ ，即 .
设内心M的横坐标为 ，由 轴得点J的横坐标也为 ，则 ，
得 ，则E为直线 与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得 的内心在直线 上，
设直线 的领斜角为 ，则 ，
，
当 时， ；
当 时，由题知， ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ ，且 ，所以 或 ，
∴ 且 ，
∴ ，
综上所述， .故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线 的右支上，则AB中点
M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出 和 ，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用
，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线 可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m， ，
则 ， ，
，当且仅当F、
A、B共线且 不垂直 轴时，m取得最小值，此时 ．检验: 如图，当F、A、B共线且 轴时， 为双曲线的通径，则根据通径公式得
,所以 轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且 不垂直 轴时，m取得最小值，此时 ．
故选：B．
13．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别
是 ， ，点 是双曲线 右支上异于顶点的点，点 在直线 上，且满足 ，
.若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由 可得 在 的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得 为
的内心，再由内心的向量表示，推得 ，再由双曲线的定义和离心率公式，
即可求解.
【详解】因为 ，所以 是 的角平分线，
又因为点 在直线 上，且在双曲线中，点 是双曲线 右支上异于顶点的点，
则 的内切圆圆心在直线 上，即点 是 的内心，
如图，作出 ，并分别延长 、 、 至点 、 、 ，使得 ，， ，可知 为 的重心，
设 ， ， ，由重心性质可得 ，
即 ，
又 为 的内心，所以 ，
因为 ，所以 ， ，则 ，
所以双曲线 的离心率 .
故选：C.
【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：
设 的角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，则
（1） 的重心 满足 ；
（2） 的内心 满足 ；
（3） 的外心 满足 .
14．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程 ，其左、右焦点分别是 ， ，已知点P坐
标为 ，双曲线G上点 ， 满足 ，则 ______．
【答案】8
【分析】设 的内切圆与三边分别相切于 ，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为 ，又由
得 在 的平分线上，进而得到 即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】
如图，设 的内切圆与三边分别相切于 ，可得 ，又由双曲线定义
可得 ，则 ，又 ，解得
，则 点横坐标为 ，即内切圆圆心横坐标为 .
又 ，可得 ，化简得 ，
即 ，
即 是 的平分线，由于 ， ，可得 即为 的内心，且半径 为2，则
.
故答案为：8.
【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得 内切圆圆心横坐标为 ，再由
得到 在 的平分线上，结合 的横坐标为 进而得到 即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可
求解.
15．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点 发出
的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，
就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为
， 为其左右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足
， ，则该双曲线的离心率为___________．【答案】
【分析】连接 ，已知条件为 ， ，设 ，由双曲线定义表示出
，用已知正切值求出 ，再由双曲线定义得 ，这样可由勾股定理求出 （用 表示），然后
在 中，应用勾股定理得出 的关系，求得离心率．
【详解】由题可知 共线， 共线，
设 ， ，则 ，
由 得， ，
又 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
由 得 ，
因为 ，故解得 ，
则 ，
在 中， ，即 ，
所以 ．
故答案为： ．
