考向33双曲线（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 33 双曲线 1.（2022·全国乙（理）T11）11. 双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D 的切线与C的两支交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ， 所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支， 所以 ， ， ，设 ， ， 由 ，即 ，则 ， ， ， 在 中， ， 由正弦定理得 ， 所以 ，又 ， 所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 2.（2022·全国甲（文）T15） 记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值______________． 【答案】2（满足 皆可） 【解析】 ，所以C的渐近线方程为 , 结合渐近线的特点，只需 ，即 ， 可满足条件“直线 与C无公共点”，所以 ， 又因为 ，所以 ，，故答案为：2（满足 皆可） 3.（2022·全国甲（理）T14）. 若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _________．【答案】 【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 ， 不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ， 依题意圆心 到渐近线 的距离 ， 解得 或 （舍去）． 故答案为： ． 4.（2022·北京卷T12）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________． 【答案】 【解析】对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ， 则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ， 所以 ，即 ，解得 ； 5.（2022·浙江卷T16） 已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲 线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率 是_________．【答案】 【解析】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ， 联立 ，得 ，由 ，得 而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 . 6.（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点， 直线 的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若 ，求 的面积． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ， 即双曲线易知直线l的斜率存在，设 ， ， 联立 可得， ， 所以， ， ． 所以由 可得， ， 即 ， 即 ， 所以 ， 化简得， ，即 ， 所以 或 ， 当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去， 故 ． （2）不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 即 ，解得 ， 于是，直线 ，直线 ， 联立 可得， ，因为方程有一个根为 ，所以 ， ， 同理可得， ， ． 所以 ， ， 点 到直线 的距离 ， 故 的面积为 ． 7.（2022·新高考Ⅱ卷T21） 设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． （1）求C的方程； （2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选 取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M在 上；② ；③ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴，∴ ，∴ ． ∴C的方程为： ； （2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴 上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符； 总之，直线 的斜率存在且不为零. 设直线 的斜率为 ,直线 方程为 , 则条件① 在 上，等价于 ； 两渐近线的方程合并为 , 联立消去y并化简整理得： 设 ,线段中点为 ,则 , 设 , 则条件③ 等价于 , 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即 , 即 ；由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 , ∴由 , ∴ , 所以直线 的斜率 , 直线 ,即 , 代入双曲线的方程 ,即 中， 得： , 解得 的横坐标： , 同理： ， ∴ ∴ , ∴条件② 等价于 ， 综上所述： 条件① 在 上，等价于 ； 条件② 等价于 ； 条件③ 等价于 ； 选①②推③:由①②解得： ,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得： ， ， ∴ ，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得： ， ，∴ ， ∴ ，∴①成立. 1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用． (2)技巧：经常结合||PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF||PF|的联系． 1 2 1 2 2.用待定系数法求双曲线方程的步骤： (1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能； (2)设方程：根据上述判断设方程－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)； (3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组； (4)得方程，解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 3.双曲线＋＝1(mn＜0)的渐近线方程为＋＝0；以mx＋ny＝0为渐近线的双曲线方程可设为(mx)2－(ny)2＝ λ(λ≠0)． 4.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c的方程或不等式， 利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a. 1 2 1min 2min (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则 直线PA与PB的斜率之积为. (5)过双曲线焦点F 的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F 构成的△ABF 的周长为4a＋2| 1 2 2 AB|. 2．巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 3.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐 近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2； 1．集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. 1 2 1 2 (1)当2a<|FF|时，P点的轨迹是双曲线． 1 2 (2)当2a＝|FF|时，P点的轨迹是两条射线． 1 2 (3)当2a>|FF|时，P点不存在． 1 2 2．双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2，y2前的系数的正负． 3．关于双曲线离心率的取值范围问题，不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)． 4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近 线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程．一、单选题 1．已知双曲线的一个顶点是 ，其渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得： 双曲线的一个顶点是 ， 焦点在 轴上，设双曲线方程为 ， 渐近线方程为 ， ， ， 该双曲线的标准方程为 ． 故选：C 2．设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积 等于（ ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【解析】由 ，可得 又 是是双曲线 上的一点，则 ， 则 ， ，又 则 ，则 则 的面积等于 故选：A3．已知点F是双曲线 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点 Q是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线方程可得，点F坐标为 ，将 代入双曲线方程，得 ， 由于点P在第一象限，所以点P坐标为 ， 双曲线的渐近线方程为 ，点P到双曲线的渐近线的距离为 ． Q是双曲线渐近线上的动点，所以 的最小值为 ． 故选：B． 4．已知双曲线 ： 的离心率为2，则 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得 ，∴ ，渐近线方程为 . 故选：D. 5．若双曲线 的一个焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．【答案】C 【解析】依题意得，双曲线的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，根据点到直线的距离公式： ，于是 ，离心率 . 故选：C 6．已知双曲线C经过点 ，且对称轴都在坐标轴上，其渐近线方程为 ，测双曲线C的标准方程 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意设双曲线方程为 ，又双曲线过点 ， 所以 ，解得 ， 所以双曲线方程为 ； 故选：B 7．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ， 因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，又因为双曲线 满足 ，即 ， 又由 ，即 ，解得 ，可得 ， 所以双曲线 的方程为 . 故选：A． 8．设双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为 的直线与双曲线C 的右支交于点A．若 ，则双曲线C的离心率为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由题意可知 ， 由双曲线的定义可得 ， 设 ，则 ，进而有 ， 由余弦定理可得， ， 则有 ， 化简得 即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：D 二、多选题9．已知双曲线 经过点 ，则（ ） A． 的实轴长为 B． 的焦距为 C． 的离心率为 D． 的渐近线方程是 【答案】BC 【解析】由题意得 ，得 即双曲线方程为 ． 所以，双曲线的实轴长是 ，焦距是 ，离心率为 ，渐近线方程是 故BC正确，AD错误， 故选：BC 10．已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线 上任意一点，则（ ） A． B．双曲线 的渐近线方程为 C．双曲线 的离心率为 D． 【答案】CD 【解析】双曲线 ： 焦点在 轴上， ， ， 对于A选项， ，而 点在哪支上并不确定，故A错误 对于B选项，焦点在 轴上的双曲线渐近线方程为 ，故B错误 对于C选项， ，故C正确，对于D选项， 设 ，则 （ 时取等号） 因为 为 的中点，所以 ，故D正确故选：CD 11．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线分别交 轴 与双曲线右支于点 ， ，下列判断正确的是（ ） A． ， B． C． 的离心率等于 D． 的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】如下图所示，因为 ，即 为 中点， 为 中点，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， ，A错误，B正确； 由 知： ，又 ， ， 所以 ，即 ，所以 ，解得： ，C正确； 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 的渐近线方程为 ，D正确． 故选：BCD． 12．（多选）已知点P在双曲线C： 上， ， 分别是双曲线C的左、右焦点，若 的面积为20，则（ ） A．点P到x轴的距离为 B． C． 为钝角三角形 D． 【答案】BC 【解析】设点 ．因为双曲线 ，所以 ． 又 ，所以 ，故A错误． 将 代入 得 ，得 ． 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为 ，得 ． 由双曲线的定义得 ，所以 ，故B正确． 在 中， ，且 ， 则 为钝角，所以 为钝角三角形，故C正确． 由余弦定理得 ，所以 ，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 13．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线的左右两支分别交于 ， 两点.若 ，且 ，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】【解析】因为 在双曲线的左右支上，所以 ， ① ②得， ，即 ，又 ，所以 ，得 ，又 , 所以离心率 . 故答案为： . 14．已知双曲线 的实轴为 ，对于实轴 上的任意点 ，在实轴 上都存 在点 ，使得 ，则双曲线 的两条渐近线夹角的最大值为___________； 【答案】 【解析】对于实轴 上的任意点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ， 当点 位于原点时，则要 ，才能满足要求， 所以 ，设渐近线与x轴的夹角为 ，则 ， 因为 ，则双曲线 的两条渐近线夹角为 ， 故答案为： 15．已知 ， 分别是双曲线C： 的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足 ，O 为坐标原点，直线 与该双曲线的左支交于P点，且 ，则双曲线C的渐近线方程为______． 【答案】【解析】 设 ，则 ， ．由双曲线的定义知， ， ，∴ ， ．又 ，∴ ．在 中，有 ，∴ ①．在 中，有 ，∴ ②，由②化简可得 ，将其代入①中，得 ，即 ， ∴双曲线的渐近线方程为 ． 故答案为： ． 16．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为______． 【答案】【解析】设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ， 所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， 又 ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立，即 的最小值为 ． 故答案为： 一、单选题 1．（2022·河南洛阳·三模（文））设 ， ， 满足 ，且 ， 则 的面积为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【解析】依题意 ， ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， 所以 ； 故选：A 2．（2022·四川凉山·三模（理））如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线 ， 互为共轭双曲线， 的焦点分别为 ， ，顶点分别为 ， ， 的焦点分别为 ， ，顶点分别为 ， ，过四个焦点的圆的面积为 ，四边形 的面积 为 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设 ， ， ， ， 则 ， ， ， ， ，当且仅当 时等号成立 故选：A． 3．（2021·广东惠州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆 锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕 普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他 指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 时，轨迹为椭圆； 当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线.现有方程 表示的曲线 是双曲线，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知方程可以变形为 ，即 ，∴ 其表示双曲线上一点 到定点 与定直线 之比为常数 ， 又由 ，可得 ， 故选：C. 4．（2021·安徽合肥·三模（理））图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采摘， 然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先将油桃集中到A处，再沿 公路 运送；路径2：先将油桃集中到B处，再沿公路 运送．已知 ， ．为了减少 运送时间，园主在油桃园中画定了一条界线，使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近，另一侧 的采摘工按路径2运送路程较近若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】由题意可知，假设曲线E上一点为P， 则满足 时，由P点到C点的两条路径一样长， 即 ，即点P的轨迹为双曲线的左支， 当在双曲线左边时，按路径1运送，当在双曲线右边时，按路径2运送， 结合题意曲线E应为双曲线左支与油桃园的交集部分， 故选：C. 5．（2021·江西南昌·二模（理））将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲 线 的图象绕原点逆时针旋转 后，能得到反比例函数 的图象（其渐近线分别为 轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数” 也能由双曲线的图象绕原点旋转得 到（其渐近线分别为 和 轴）．设 ， ，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长 为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】旋转后两条渐近线分别为 和 ，夹角为 ， 旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线， 所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为 ，斜率为 ，方程为 ， 联立 ，解得 或 ， 所以旋转后的双曲线的两个顶点为 或 ， 所以实轴长为 . 故选：C6．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知 为焦点在 轴上的双曲线，其离心率为 ， 为 上一 动点（除顶点），过点 的直线 ， 分别经过双曲线的两个顶点，已知直线 的斜率 ，则直线 的斜率 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的方程为 为 上一动点，上顶点 下顶点 离心率为 ，即 可得 直线 为直线PA, 直线 为直线PB, 则 ， ，又 ， ，可得 ， 故选：C 7．（2021·辽宁·抚顺市第二中学模拟预测）在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得 一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角 为某一范围内变 动， ，则该双曲线的离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线为 ，由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是 ，， ，即 ， 故选：C 8．（2021·新疆·布尔津县高级中学三模（理））已知 分别为双曲线 的左右顶点， 为双曲 线的右焦点，动点 到 的距离是到 的距离的3倍，若点 的轨迹与双曲线的渐近线的公共点为 ， 则 的面积是（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】双曲线 的左顶点 ，右顶点 ，右焦点 ，渐近线方程为 ， 设 ，由 得： ， 所以点M的轨迹方程为 ， 由 得 ，即点 ， ，点 到直线CD： 的距离 ， 的面积是 . 故选：C 二、多选题 9．（2021·广东·模拟预测）已知方程 ，则（ ） A．存在实数 ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为 B．存在实数 ，该方程对应的图形是平行于 轴的两条直线 C．存在实数 ，该方程对应的图形是焦点在 轴上的双曲线，且双曲线的离心率为D．存在实数 ，该方程对应的图形是焦点在 轴上的椭圆，且椭圆的离心率为 【答案】CD 【解析】对于A：若存在，只需 ，即 ，得 ，可取 ， 方程即为： ，圆的半径满足 ，故圆面积为： ，故A错； 对于B：令 ，则必有 ，方程化为： ，显然不成立，故B错误； 对于C：取 ，得 ，取 ，则方程为： ，为等轴双曲线的方程，故离 心率为 ，故C正确； 对于D：将方程化为标准形式： ，故 ， ，则由已知得 ，整理得 ，解得 ，该方程显然有解，故 D正确． 故选：CD． 10．（2022·广东茂名·模拟预测）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦 点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲 线C的方程为 ，下列结论正确的是（ ）A．若 ，则 B．当n过 时，光由 所经过的路程为13 C．射线n所在直线的斜率为k，则 D．若 ，直线PT与C相切，则 【答案】CD 【解析】对于A：若 ，则 . 因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得： 二者联立解得： .故A错误； 对于B：光由 所经过的路程为 .故B错误； 对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 . 故C正确. 对于D：设直线PT的方程为 . ，消去y可得： . 其中 ，即 ，解得 代入 ，有 ，解得：x=9. 由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 . 所以 . 故D正确 故选：CD 11．（2021·湖北湖北·模拟预测）初中学习过反比例函数 ，( )，了解其图像是关于原点 中心对称的双曲线.下列关于双曲线 ，( )的几何性质正确的是（ ） A．实轴和虚轴长都为 B．焦点坐标为 ， C．离心率 D．渐近线方程为 ，对称轴方程为 【答案】CD 【解析】反比例图象为特殊双曲线，其渐近线为两坐标轴，即a=b，即为等轴双曲线， 不妨令 ，则实轴为 ， 对于A：当 时， 与 的交点为 ， ，即为实轴两个端点， 所以实轴 ，所以实轴和虚轴长都为 ，故A错误； 对于B： ，解得 ， 设焦点坐标 ，则 ，解得 ， 所以焦点坐标为 ， ，故B错误； 对于C：因为a=b，所以离心率 ，故C正确； 对于D：渐近线方程为x=0和y=0，即 ，对称轴为 ，故D正确. 故选：CD 12．（2021·湖南湘潭·一模）已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点为 ， ，右顶点 为 ，则下列结论中，正确的有（ ）A．若 ，则 的离心率为 B．若以 为圆心， 为半径作圆 ，则圆 与 的渐近线相切 C．若 为 上不与顶点重合的一点，则 的内切圆圆心的横坐标 D．若 为直线 （ ）上纵坐标不为0的一点，则当 的纵坐标为 时， 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【解析】对于A中，因为 ，所以 ，故 的离心率 ，所以A正确； 对于B中，因为 到渐近线 的距离为 ，所以B正确； 对于C中，设内切圆与 的边 分别切于点 ，设切点 ， 当点 在双曲线的右支上时，可得 ，解得 ， 当点 在双曲线的左支上时，可得 ， 所以 的内切圆圆心的横坐标 ，所以C不正确； 对于D中，由正弦定理，可知 外接圆的半径为 ， 所以当 最大时， 最小， 因为 ，所以 为锐角，故 最大，只需 最大． 由对称性，不妨设 （ ），设直线 与 轴的交点为 ，在直角 中，可得 ， 在直角 中，可得 ， 又由 ， 当且仅当 ，即 时， 取最大值， 由双曲线的对称性可知，当 时， 也取得最大值，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题 13．（2021·全国·模拟预测）已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A、O为双曲线E的 两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为 _____________. 【答案】 【解析】如图，不妨设 为 的中点，则 = , 以 的中点 为原点， 方向为x轴， 的中垂线为 轴建立直角坐标系如图所示， ∵ ,∴ ,即双曲线的半实轴 ,∴双曲线的方程可以设为： ， 将 的坐标 ,代入解得 ,∴ , ∴ , 故答案为： . 14．（2021·江西·临川一中实验学校模拟预测（文））已知圆 上有一动点 ， 轴上有一定点 ，直线 垂直平分线段 ，且直线 和直线 交于点 ，设点 的运动轨迹为曲线 ，则曲线 的离心率为___________. 【答案】2 【解析】由题可知， 为线段 垂直平分线上的点，所以 ， 所以 ，R的轨迹为双曲线， ， 且 ， ，离心率为 . 故答案为：2. 15．（2022·辽宁丹东·一模）设双曲线 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上， 的顶点 在 轴上， 顶点 在 的左支上，直线 分别与 的右支交于 两点，若 ，且 ，则 的 渐近线方程为___________. 【答案】 【解析】设 的斜率分别为 ， 当 时， ，可得 ，从而直线 的斜率之积 . 设 ，则 ， 所以 ， . 所以 ， 所以 . 所以 的渐近线方程为 . 故答案为： 16．（2022·广东广州·二模）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________． ①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为 ﹔③焦距大于10 【答案】 （答案不唯一，写出一个即可） 【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为： 由②一条渐近线方程为 知， ，即 由③知， ，即 ， 则可取 （此处也可取大于 的其他数） 又 ， ，则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为： 故答案为： （答案不唯一, 写出一个即可）. 1．(2021年高考全国甲卷理科)已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，由双曲线的定义可得 ， 所以 ， ； 因为 ,由余弦定理可得 ， 整理可得 ，所以 ，即 ． 故选：A 2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两 条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为( ) A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B【解析】 双曲线的渐近线方程是 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点 不妨设 为在第一象限， 在第四象限 联立 ，解得 故 联立 ，解得 ，故 ， 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当 取等号 的焦距的最小值： 3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C： (a>0，b>0) 的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，离 心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a= ( ) 1 2 1 2 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，，即 ， ， ， ，即 ，解得 ， 4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若 ，则△PFO的面积为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ， 又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，则 ． ，故选A． 5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设 为双曲线 的右焦点， 为坐标 ( ) 原点，以 为直径的圆与圆 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为 ( ) A． 2 B． 3 C． D． 5 【答案】A 【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，又∵ ，∴ ， PQ x A PQ x c 为以 为直径的圆的半径，∴ 为圆心|OA| ．∴ ，又 点在圆 上， OF 2 x2  y2 a2 ∴ ，即 ，∴ ，∴ ，故选A．6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点 作渐近线 的垂线，该垂线的方程为 ，联立方程 ，解得 由 整理可得 即 即 即 ，所以 ，所以 ，故选C． 法二：由双曲线的性质易知 ， ，所以 在 中，在 中，由余弦定理可得 所以 ，整理可得 ，即 所以 ，所以 ，故选C． 7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，渐进线的方程为 ，故选A． 8．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线 , 为坐标原点， 为 的右焦点,过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ．若 为直角三角形,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线 的渐近线方程为： ，渐近线的夹角为： ，不妨设过 的直线为： ，则 解得 ; 解得： ，则 ，故选B． x2 y2 C:  1a0,b0 a2 b2 9．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线 的一条渐近线方程为 5 x2 y2 y  x  1 2 12 3 C5 x2 y2 y  x  1 2 ,且与椭圆 12 3 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2  1  1  1  1 8 10 4 5 5 4 4 3 A． B． C． D． 【答案】 B 5 x2 y2 y  x   【解析】由渐近线的方程 2 ，可设双曲线的方程为 4 5 x2 y2  1 3,0 12 3 又椭圆 的焦点坐标为 x2 y2  1 0 4532 1 C 4 5 所以 ，且 ，故所求双曲线 的方程为： ，故选B． x2 y2  1 C: a2 b2 a0 b0 10．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线 ( ， )的一条渐近线被圆 x22  y2 4 C 所截得的弦长为2，则 的离心率为 ( ) 2 3 A．2 B． 3 C． 2 D． 3 【答案】 A 【解析】解法一：常规解法 b y x 根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 a ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到 b b 2 2 a a  3 b 2 b 2 1  1  渐进线的距离为 3，∴ 圆心到渐近线的距离为 a ，即 a ，解得e2． 解法二：待定系数法 设渐进线的方程为 ykx ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 3， 2k 2k  3 ∴ 圆心到渐近线的距离为 1k2 ，即 1k2 ，解得k2 3；由于渐近线的斜率与离心率关系为k2 e2 1，解得e2． 解法三：几何法  从题意可知： OAOO 1 O 1 A2 ， OO 1 A 为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为 3 由于k tan，可得k  3， 渐近线的斜率与离心率关系为k2 e2 1，解得e2． 解法四：坐标系转化法 根据圆的直角坐标系方程： x22  y2 4 ，可得极坐标方程 4cos ，由4cos2可得极   角 3 ，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以k  3， 渐近线的斜率与离心率关系为k2 e2 1，解得e2． 解法五：参数法之直线参数方程 b y x 2cos,2sin 如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 a ，可以表示点A的坐标为 ， a b 2a 2b cos sin  ,  ∵ c ， c ∴ 点A的坐标为 c c ，代入圆方程中， 解得e2． 【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量 相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上 位置，但难度逐年下降．11．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ,则 的离心率为 ( ) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析 1】由题可令 ，则 所以 ， ，所以 ，所以 故选Ａ． 【解析2】离心率 ，由正弦定理得 ．故选A． 12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为4，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 表示双曲线，则 ，∴ 由双曲线性质知： ，其中 是半焦距 ∴焦距 ，解得 ∴ 故选A．