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2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.1有理数的有关概念精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训
练）
【目标导航】
【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面
的“+”“-”号叫做它的符号．
2、 既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是 0的数，负数是
0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包
含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数
1、有理数的概念： 和 统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的
和 都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数
形式，因而不属于有理数．
3、有理数的分类：
三、数轴
（1）数轴的概念：规定了 、 、 的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有 不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除 0外，互
为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为 ，有偶数个
“-”号，结果为 ．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“ ”，如
a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，
要用小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的 叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值 ；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是 ．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是 时，a的绝对值是它本身a；
②当a是 时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是 时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一项
都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成 的形式，其中a是整数数位只有一位
的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜
10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位
数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用
此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
【考点1】正数和负数
1 5
【例1】（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）在−1 ，−1.2，−2，+ ，0中，负数
2 6
的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1.1】（2021·湖南·常德市第二中学七年级期中）如果把向东走3km记作+3km，那
么﹣2km表示的实际意义是（ ）
A．向东走2km B．向西走2km C．向南走2km D．向北走2km
【变式1.2】（2022·全国·七年级课时练习）下列各组数中，具有相反意义的量是( )A．盈利40元和运出货物20吨 B．向东走4千米和向南走4千米
C．身高180 cm和身高90 cm D．收入500元和支出200元
【变式1.3】（2022·浙江·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，
（↓5）表示零下5°C，记作（ ）
1 1
A．+5 B．−5 C．+ D．−
5 5
【考点2】有理数
【例2】（2021·甘肃·白银市平川区第二中学七年级期中）在-3.5，227，0，π，
0.6161161116…（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，有理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2.1】（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学七年级阶段练习）下列说法中，正确的
是（ ）．
A．有理数分为正数、0和负数 B．有理数分为正整数、0和负数
C．有理数分为分数和整数 D．有理数分为正整数、0和负整数
π
【变式2.2】（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在下列六个数中：0， ，
2
22
− ，0.101001，-10%，5.21˙3˙，分数的个数是（ ）
7
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5 7
【变式2.3】（2022·全国·七年级期中）在下列各数：− ,+1,6.7,3,0, ,−5,25%中，属
6 22
于整数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点3】“0”的 意义
【例3】（2022·全国·七年级课时练习）课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位
同学共说了下列四句话：
①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；
③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3.1】（2021·黑龙江·密山市教师进修学校期末）下列说法正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数 B．0是正数
C．0不是自然数 D．自然数中除0外都是正数
【变式3.2】（2021·天津南开·七年级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．整数一定是正数 B．有这样的有理数，它既不是正数，也不是
负数
C．零是最小的整数 D．有这样的有理数，它既是正数，也是负数【变式3.3】．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C．0°C是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
【考点4】数轴
【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数
轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是
（ ）
A．2005或2006 B．2006或2007 C．2007或2008 D．无法确定
【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可
能是（ ）
A．1.5 B．−1.6 C．−2.6 D．−3.4
【变式4.2】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）数轴上两点M，N表示的数分别为
2，n，若MN＝3，则n＝（ ）
A．﹣1或5 B．1或一5 C．﹣1 D．1
【变式4.3】（2022·河南·延津县清华园学校七年级阶段练习）正方形纸板ABCD在数轴上
的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方
向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应的点是（ ）
A．D B．C C．B D．A
【考点5】相反数
【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（
）
A．+（﹣2）和﹣|﹣2| B．﹣5和﹣（﹣5）
1
C．+（﹣3）和﹣3 D．﹣ 和2
2
【变式5.1】（2022·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于相反数的说法中，不正确的是（ ）．
A．两个数的和为零，这两数为互为相反数
B．数轴上在原点两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数
C．两个数的商为-1，则这两个数互为相反数
D．符号不相同的两个数为互为相反数
【变式5.2】（2021·江苏淮安·七年级期中）如图，若代数式2a的相反数是－1，则表示a
的值的点落在（ ）A．段① B．段② C．段③ D．段④
【变式5.3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示
数a，b，且a与b互为相反数，若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．8
【考点6】绝对值
【例6】（2022·甘肃·民勤县第六中学七年级期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置
如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
【变式6.1】（2022·黑龙江大庆·期末）−|−6|的相反数是（ ）
1 1
A．－6 B． C．− D．6
6 6
【变式6.2】（2022·甘肃·民勤县第六中学七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．有理数的绝对值一定比0大
C．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等D．有理数的相反数一定比0小
【变式6.3】（2022·河南郑州·七年级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置
如图所示，化简|a−c|+|a+b|−|b−c|=（ ）
A．2b B．−2a C．2a−2c D．−2b−2c
【考点7】绝对值的非负性
【例7】（2022·河北唐山·七年级期末）已知|a+3|+(b−2) 2=0，则(a+b) 2019的值为
（）
A．2019 B．−2019 C．−1 D．1
【变式7.1】（2022·全国·七年级课时练习）若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（ ）
A．a与b不相等 B．a与b互为相反数 C．a与b互为倒数 D．a=b=0
|1 | 1
【变式7.2】（2022·全国·七年级课时练习）如果 a =− a，则a的值为 （ ）
3 3
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【变式7.3】（2022·河北·模拟预测）若−|−a|＜0，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a≠0 D．a为任意实数【考点8】科学记数法
【例8】（2021·四川绵阳·二模）时至今日，云计算已经取代了传统的IT设备，成为大数
据时代的基础，我国铁路部门的订票网站12306就运用云计算分担其数据处理量最大的查
询业务，基于云计算架构的支持让12306网站经受住了高峰日1490亿次的网络点击访问量
而保持稳定，若将1490亿用科学记数法表示应是（ ）
A．0.149×1012 B．1.49×1012 C．14.9×1011 D．1.49×1011
【变式8.1】（2022·云南·模拟预测）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度
大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
【变式8.2】（2022·辽宁鞍山·中考真题）教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十
年”“1＋1”系列新闻发布会，会上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人
数超过44300000人．将数据44300000用科学记数法表示为_________．
【变式8.3】（2022·全国·七年级专题练习）一个整数6250…0用科学记数法表示为
6.25×109，则原数中“0”的个数为______．
【考点9】近似数
【例9】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）用四舍五入法将3.695精确到
0.01，所得到的近似数为______．
【变式9.1】（2021·吉林·长春吉大附中力旺实验中学七年级期中）用四舍五入法把1.30302
精确到百分位得到的近似数是___．
【变式8.2】（2022·江苏南京·八年级期末）用四舍五入法取近似数，2.026≈_______（精确
到百分位）．
【变式9.3】（2022·江苏·八年级专题练习）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔
总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米，把8848.86精确到百
位的近似数是______．
【考点10】有理数的分类综合问题
【例10】（2021·广西·梧州市第十中学七年级阶段练习）把下列各数填在相应的横线上：
3 10 1
，（－1）3，0.86，−|−2|，－（－2），0，− ，1 ，－3.14
4 3 4
正分数： ；
负分数： ；
非负数： ．
【变式10.1】（2021·广西·梧州市第十中学七年级期中）把下面的有理数填在相应的横线
上，将各数用逗号分开：
1 1
15，− ，0，-30，-0.15，-128， ，+20，-2.6，0.333 3…
2 4
正数： ；
负数： ；
整数： ；非负数： ．
【变式10.2】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）请你把下列各数填入
表示它所在的数的集合内：
3
﹣2，20%，﹣0.13，﹣7 ，0， 4.7， |−3| 4 ,−(−2) 5,−62,|−0.5|
4
正有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}．
自然数集合：{ …}．
【变式10.3】（2021·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）把下列各数填入相应的括号
2
内：−4，+5，−2.6，0，3.8，− ，3%，π．
9
有理数集合{ …}；
整数集合{ …}，
分数集合{ …}，
非负整数集合{ …}，
非负有理数集合{ …}．
【考点11】绝对值与相反数综合问题
【例11】（2022·全国·七年级课时练习）a，b，c在数轴上的位置如图所示：
|a| |b| |c|
(1)求 + + =_______
a b c
(2)a 、b、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：|a+c|−|a−b|+|c−a|；
(3)求|x−a|−|x−b|的最大值，并求出此时x的范围．
【变式11.1】（2022·全国·七年级）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应
点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3
(1)a＝ ，b＝ ．
5
(2)写出大于﹣ 的所有负整数；
2
5
(3)在数轴上标出表示﹣ ，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来．
2
【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0．
(2)化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【变式11.3】（2022·江西上饶·七年级期末）数学课上李老师说：咱们一起来玩儿一个找
原点的游戏吧！
(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．
①如果点A所表示的数是−5，那么点B所表示的数是_______；
②在图1中标出原点O的位置；
(2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．
根据小敏提供的信息，标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是
____________；
(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上
标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如AB=1），且c−2a=8．
①试求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且CD=2，求出点D所表示的数．
【考点12】数轴有关综合问题
【例12】（2022·全国·七年级专题练习）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣
10，B点对应的数为90．
(1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；
(2)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q
恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上
相距35个单位长度？
【变式12.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上，点M表示−2，现从M
点开始先向右移动3个单位到达P点，再从P点向左移动5个单位到达Q点．
(1)点P、Q各表示什么数？
(2)到达Q点后，再向哪个方向移动几个单位，才能回到原点？
(3)一只蚂蚁从数轴上点M出发，爬了7个单位长度到点N，则点N表示的数是什么？
【变式12.2】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列
的三个点，分别对应的数为﹣5、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0
对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．(1)在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位；在图2中，AC＝ cm；数轴上的一个长
度单位对应刻度尺上的 cm；
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若点Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所表示的数．
【变式12.3】（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图，已知A，B两点在数轴
上，点A表示的数为－10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．
点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
(1)数轴上点B对应的数是______．
(2)经过几秒，点M、点N重合？
