素养拓展32椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展 32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精 练） 一、知识点梳理 一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式 1.如图1所示， 、 是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记 ，则 的面积 . 证明：如图，由余弦定理知 ． ① 由椭圆定义知： ， ② 则②·2－①得 ， ． 当 时， ． 2.如图2所示， 、 是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记 ，则 的面积 . 证明：如图，由余弦定理知 ，， ， ， ， ∴ ． 当 时， ． 二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率 1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出 的三边长之比或内角正弦值之比. 公式： 2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研 究出 的三边长之比或内角正弦值之比. 公式： . 二、题型精讲精练【典例1】设 、 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆上， ，则 的面积为 ________. 【解析】由焦点三角形面积公式， . 【典例 2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点P在C上，且 ，则 的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式， . 【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知 、 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若 ， 且 ，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】解法1：如图， ， ，故可设 ，则 ， ， 所以C的离心率 . 解法2：如图， . 【典例4】已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点P在C上， ，且 ， 则双曲线C的离心率为_______. 【解析】解法1：如图，由题意，不妨设 ，则 ， ， 所以 .解法2：如图，由题意， ， ，所以 . 【题型训练-刷模拟】 1 . 椭圆中的焦点三角形 ①离心率公式的直接应用 一、填空题 1.设 、 是椭圆 的左、右焦点，P在C上且 轴，若 ，则椭 圆C的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图， 且 ，故可设 ，则 ， ， 所以椭圆C的离心率 . 解法2：如图，2.在 中， ， ，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图，不妨设 ， ， 则 ，所以 . 解法2：如图， . 3.过椭圆 的左焦点 作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为 ，若 ，则椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】解法1：如图， ， 不妨设 ， ，则 ，所以 . 解法2：如图，. 4.在 中， ， ，且 ，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离 心率的取值范围为_______. 【答案】 【解析】解析：如图，设 则 ， ， 而 ，所以 . 5.在 中， ， ，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图，由题意，不妨设 ，则 ， ，所以 . 6.设 、 是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且 ， ，则椭圆C的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图， ， ， 所以 ， 故 . 7.在 中， ， ， ，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率 为_______. 【答案】 【解析】 椭圆的离心率 .8.过椭圆 的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若 是等腰直角三 角形，则椭圆C的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图，设椭圆C的右焦点为 ， 是等腰直角三角形 也是等腰直角三角形，不妨设 ，则 ， ， 所以椭圆C的离心率 . 解法2： 是等腰直角三角形 也是等腰直角三角形， . 9.设 、 是椭圆 的左、右焦点，过 且斜率为 的直线l与椭圆C交于A、B 两点， ，则椭圆C的离心率为_______. 【答案】【解析】解法l：如图，直线 的斜率为 ， 又 ，所以 ， ， 不妨设 ，则 ， ， 所以椭圆C的离心率 . 解法2：如图，直线 的斜率为 ， 又 ，所以 ， ， 故椭圆C的离心率 . 10.设 、 是椭圆 的左、右焦点，以 为直径的圆与椭圆的4个交点和 、 恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图，由题意， 是正六边形，所以 ， ， ，故椭 圆E的离心率 .11.已知P、Q为椭圆 上关于原点对称的两点，点P在第一象限， 、 是椭圆C 的左、右焦点， ，若 ，则椭圆C的离心率的取值范围为_______. 【答案】 【解析】如图， 显然四边形 是矩形，所以 ， 由题意， ，所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 又点P在第一象限，所以 ， 故 ，即 ，所以 ， 椭圆C的离心率 ， 由 可得 ，所以 ，故 . ②综合应用 一、单选题1．设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为 ，所以 ， 从而 ，所以 ． 故选：B. 方法二： 因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ， 所以 ，又 ，平方得： ，所以 ． 故选：B. 2．已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则实数 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案. 【详解】由题意， ， ，即 ， ， 整理可得 ， ，则 ，解得 . 故选：A. 3．已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，则 内切圆半径的最大 值为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义得到 ，从而利用面积列出方程，得到 ，求出 的内切圆半径的最大值. 【详解】设 内切圆的半径为 ， 由题意得： ， ， ，故 ， 因为 为椭圆 上的一点，故 ， 所以 ， 又 ， 则 ，所以 ． 故选：C 4．已知点 在椭圆 上，点 分别为椭圆 的左､右焦点，并满足 面积等于4，则 等于（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据 ，得到 三点共圆，且 ，再根据 面积等于4，结合椭圆的定 义求解. 【详解】如图所示：由条件可知 三点共圆. 且以 为直径.故 . 设 ， 则 ， 解得 . 因为点 在椭圆上， 所以 ， 联立以上式子可解得： ， 故选：C. 5．已知一个离心率为 ，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为 ， ，在椭圆上存在一个点P，使得 ，设 的内切圆半径为r，则r的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在 中，利用余弦定理求得 ，再由 求解. 【详解】解：因为椭圆的离心率为 ，长轴长为4，所以 ， 在 中，由余弦定理得： ， ， 解得 ， 所以 ， ， 解得 ， 故选：D 6．已知 是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若 ，且 ，则E的 离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 得焦点三角形为直角三角形，结合勾股定理与椭圆定义可得 ， 再由面积公式 可得齐次方程，进而求出离心率 【详解】由 得 ，则 ， 由椭圆定义可知： ， 所以 ，即 ， 所以 ， 又 ，所以 ，即 ，故E的离心率为 . 故选：C. 7．设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出 的 值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积即 可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设 ，所以 ， 由 ，解得： ， 由椭圆方程可知， ， 所以， ，解得： ， 即 ，因此 ． 故选：B． 方法二：因为 ①， ， 即 ②，联立①②， 解得： ，而 ，所以 ， 即 ． 故选：B． 方法三：因为 ①， ， 即 ②，联立①②，解得： ， 由中线定理可知， ，易知 ，解得： ． 故选：B． 8． ， 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是 的内切圆圆心，若 的 面积等于 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ， 的周长为l，由椭圆的定义可得 ，根据面积法求得 的内切 圆半径 ，又 的面积等于 的面积的4倍，列出方程可得 的关系，从而可得离心率. 【详解】设椭圆方程为： ， ， 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，设 ， ， ， 的周长为l，由椭圆的定义可得 ， 的内切圆半径 ， ， 所以 解得： ，即离心率 . 故选：A 9．设F，F 是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF 交 1 2 2 椭圆C于点Q，且|PF| =|PQ|，若 PFF 的面积为 ，则 =（ ） 1 1 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得 ，进一步得 F1PQ为等边三角形，且 轴，从而可得解. 【详解】由椭圆的定义， ， 由余弦定理有：， 化简整理得： ， 又 ， 由以上两式可得： 由 ，得 ，∴ ， 又 ，所以 F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知 轴， 所以 . 故选：B. 10．已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，若在椭圆 上存在点 ，使得 的面积等于 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式，结合椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】由题意得 ， 而 ，则有 ， 由椭圆定义可得 ，当且仅当 ，即 时取等号，于是有 ，则 ，又 ，即有 ，所以椭圆 的离心率 的取值范围为 . 故选：A. 11．已知 ， 分别是椭圆E： （ ）的左、右焦点，点M在椭圆E上， ， 的面积为 ，则椭圆E的离心率e的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义与三角形的面积公式即可列出关于 ， 的方程，利用基本不等式即可列出 关于a，c的不等式，即可求出离心率e的取值范围； 【详解】由椭圆的定义知， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 当且仅当 时取等号， ∴ ，故 ，即 ， ∴ ，又 ， ∴ ， 故选：D．12．已知 是椭圆 的左､右焦点，点 是椭圆上的一个动点，若 的内切圆半 径的最大值是 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得 ， ， ，设 内切圆的半径为 ，根据等面积法得到 ，即可得 到 的最大值，从而求出 ，即可求出椭圆的离心率； 【详解】解：由椭圆 ，可得 ， ， ，则 ， 如图， 设 内切圆的半径为 ， ， ，则 ， 要使 内切圆半径最大，则需 最大，， 又 内切圆半径的最大值为 ，即 ，解得 ，所以 ． 则椭圆的离心率 故选：B． 二、填空题 13．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭圆上，若 ，则 的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据已知可得 ， ， .根据椭圆的定义有 ，根据 有 .即可求出 ，进而求出三角形的面积. 【详解】 由已知可得， ， ，所以 ， . 因为点 在椭圆上，由椭圆的定义可得， ， 所以 . 又 ，所以 为直角三角形，则 ，所以 ，所以 . 故答案为：3. 14． 为椭圆 上的一点, 和 是其左右焦点,若 ,则 的面积为 . 【答案】 【分析】先利用椭圆定义和余弦定理证明焦点三角形的面积公式,再代入数据计算即可. 【详解】设 ,由椭圆定义 在 中,由余弦定理得 . 即 所以, ,所以 故 . 由题知 故答案为： 15．设点 是椭圆 上的点， ， 是该椭圆的两个焦点，若 的面积为 ，则 ． 【答案】 【分析】在 中，利用余弦定理结合椭圆的定义建立含 的关系等式，再与三角形面积关系 联立即可求解. 【详解】在椭圆 中，长半轴 ，半焦距 ，由椭圆定义得 ，在 中，由余弦定理得： ， 即： ，则 ， 又 的面积为 ，则 ，即 ， 于是得 ，两边平方得 ， 解得 ，则 ， 所以 . 故答案为： 16．已知点 是椭圆 上的点，点 是椭圆的两个焦点，若 中有一个角的大小为 ， 则 的面积为 ． 【答案】 或 / 或 【分析】由椭圆方程可求得 ；当 时，由焦点三角形面积公式可求得 ；当 时，利用余弦定理可构造方程求得 ，由三角形面积公式可得结果. 【详解】由椭圆方程知： ， ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，设 ，则 ， 由余弦定理得： ，解得： ，； 同理可得：当 时， . 综上所述： 的面积为 或 . 故答案为： 或 . 17．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ， ，点 在椭圆上，若 ， 且 的面积为4，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意得到 为直角三角形．设 ， ，根据椭圆的离心率，定义，直角三角 形的面积公式，勾股定理建立方程 的方程组，消元后可求得 的值. 【详解】由题可知 ，∴ , 又 ，代入上式整理得 ， 由 得 为直角三角形． 又 的面积为4，设 ， ， 则 解得 所以椭圆的标准方程为 ． 18．已知椭圆C: 的焦点为 ， ，第一象限点P在C上，且 ，则 的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意列方程组解出 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径 【详解】由已知条件得 ， ， ，则 （－1，0）， （1，0）. 设点P的坐标为（ ， ），则 ， ，即 ①， ∵第一象限点P在C上， ∴则 ，即 ②， 联立解得 由椭圆的定义得 设 的内切圆半径为r，则 又∵ ， ∴ ，即 . 故答案为： 19．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，离心率为 ，点 在椭圆上，若 ，且 的面积为 ，则 的方程为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可求得 的值，结合椭圆的离心率可求得 的 值，即可得出椭圆 的方程.【详解】设 ， ，由椭圆的定义可得 ， 由余弦定理可得 ， 所以， ，则 ， 所以， ，又因为 ，可得 . 因此，椭圆 的方程为 . 故答案为： . 20． 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上异于顶点的一点， 是 的内切圆圆心，若 的 面积等于 的面积的3倍，则椭圆 的离心率为 . 【答案】 【分析】先由 求得 ，再利用 求得 ，即可求出离 心率.【详解】 由于椭圆关于原点对称，不妨设点 在 轴上方.设点 纵坐标为 ，点 纵坐标为 ，内切圆半径为 ， 椭圆长轴长为 ，焦距为 ， 则 ，得 ，又 ， 即 ，又 ，化简得 ，即 ， 解得 ，可得离心率为 . 故答案为： . 21．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存在点 使三角形 的面积为 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设 则 ，可得 ，再结合 即可求 得范围. 【详解】设 ， ， ，则 ， 若存在点 使三角形 的面积为 ， 则 ，可得 ， 因为 ，所以 ， 即 ，可得 ， 整理可得： ， 所以 ，解得： ， 所以 ， 所以椭圆 的离心率 的取值范围是： ， 故答案为： 2 . 双曲线中的焦点三角形 ①离心率公式的直接应用 一、单选题 1.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点M在E上， 与x轴垂直， ，则 E的离心率为（ ） A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】解法1：如图，不妨设 ， ， 则 ，所以 .解法2： . 二、填空题 2.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，过 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点， 若 是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______. 【答案】 【解析】解法1： 是等腰直角三角形 也是等腰直角三角形， 不妨设 ，则 ，双曲线C的离心率 . 解法2： 是等腰直角三角形 也是等腰直角三角形， 所以 .3.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点P在C上， ， ，则双曲 线C的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图，由题意， ， ， 所以 . 4.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，过 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点， 若 是正三角形，则双曲线C的离心率为_______. 【答案】 【解析】解法1：如图， 是正三角形，不妨设 ，则 ， ， 离心率 . 解法2：如图， 是正三角形 ， ， ， 所以双曲线C的离心率 .5.过双曲线 的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若 是等腰直角三角形，则双 曲线C的离心率为_______. 【答案】 【解析】如图，设双曲线C的右焦点为 ， 是等腰直角三角形 也是等腰直角三角形， 不妨设 ，则 ， ， 所以C的离心率 . ②综合应用 一、单选题 1．已知：双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 为其右支上一点，若 ，则 的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据双曲线中，焦点三角形的面积公式求解即可. 【详解】由双曲线焦点三角形面积公式可得： 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线焦点三角形面积的求解，属基础题.2．已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ， 是双曲线 上的一点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据且 ， ， ，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即 可. 【详解】解：设双曲线 的半焦距为 . 由题意，点 在双曲线 的右支上， ， ， 由余弦定理得 ， 解得 ，即 ， ， 根据双曲线定义得 ， 解得 ， 故双曲线 的离心率 . 故选：D 3．设 ， 是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上一点，且 ，则 的面积 等于（ ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义结合已知求出 及 ，再求出焦距 即可计算作答. 【详解】双曲线 的实半轴长 ，半焦距 ，因此， ，因 ，由双曲线定义得 ，解得 ， ， 显然有 ，即 是直角三角形， 所以 的面积 . 故选：A 4．设F，F 是双曲线C: 的两个焦点，P是双曲线C上一点，若 ，且 PFF 1 2 1 2 △ 的面积为9，则C的离心率等于（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，结合双曲线的简单性质求出 ，由此可求出双曲线的离心率. 【详解】因为F1，F2是双曲线C: 的两个焦点，P是双曲线C上一点，若 ， 且△PF1F2的面积为9， 所以 ，解得 ， 所以 ，得 ， 故双曲线的离心率为 . 故选：C. 5．设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 相交于 、 两点，若 为正三角形，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】求出 ，利用双曲线的定义求出 ，进而可求得 ，利用勾股定理可求出 的值， 由此可得出双曲线 的离心率的值. 【详解】设 ，因为 轴，则点 、 关于 轴对称，则 为线段 的中点， 因为 为等边三角形，则 ，所以， ， 所以， ，则 ， 所以， ，则 ， 因此，该双曲线 的离心率为 . 故选：D. 6．已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，则 的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 ， ，利用余弦定理可得 ，再由双曲线定义可得 ， 由离心率定义可得 . 【详解】如下图所示：根据题意可设 ，易知 ； 由余弦定理可知 ，可得 ； 即 ， 由双曲线定义可知可知 ，即 ； 所以离心率 . 故选：A 7．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线上一点P使得 ，求 的面 积（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据双曲线方程得到 ， ， ，设 ， ，可得， . 由 ，在 根据余弦定理可得: ，即可求得答案. 【详解】 ，所以 ， ， ， 在双曲线上，设 ， ， ①由 ，在 根据余弦定理可得: 故 ② 由①②可得 ， 直角 的面积 故选：C. 8．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 是 上的一点（不同于左，右顶点），且 ，则 的面积是（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由 结合正弦定理求得 ，又由双曲线的定义求出 ， 再结合余弦定理和面积公式求出 的面积即可. 【详解】在 中，由正弦定理得， ，又 ，所以 ， 又 ，所以 .由余弦定理可得， ，所以 ，所以 的面积 . 故选：D. 9．设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直 线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程可得 ,再由双曲线的定义可得 ， 得到 ,再根据 得到答案. 【详解】根据双曲线的标准方程 ， 得 ,由直线 为双曲线的一条渐近线， 得 ,解得 ,得 . 由双曲线的定义可得 ①， ②， ① ②可得 , 因为过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线的左支于 , 两点, 所以 ,得 . 故选：C.10．已知过双曲线 的左焦点 的直线分别交双曲线左､右两支于 两点， 为双曲 线的右焦点， ，则双曲线的离心率 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合双曲线的定义可得 ，进而在 中，利用余弦定理运算求解. 【详解】因为 ，不妨设 ， 由 ，可得 ， 由双曲线的定义可得 ， ， 即 ， ，则 ，可得 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 即 ，则 ，所以 ．故选：B．11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作一条直线与双曲线右支交于 、 两点，坐标原点为 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知 为直角三角形，设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，然 后在 中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为 ，则 ， ， 所以， ， 因为 ，则 ， 设 ，则 ，则 ， 由勾股定理可得 ，即 ， 整理可得 ，因为 ，解得 ，所以， ， ， 由勾股定理可得 ，即 ，整理可得 ，因此，该双曲线的离心率为 . 故选：B. 二、填空题 12．若双曲线 的左､右焦点分别为 ，点M在双曲线上，若 的周长为20，则 的面积等于 . 【答案】 【分析】不妨设点M在双曲线的右支上，根据双曲线方程及三角形周长求出 ， .再由余弦定理求 出 ，由同角三角函数的基本关系及三角形的面积公式计算可得； 【详解】解：不妨设点M在双曲线的右支上，由双曲线方程可知 ，所以 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ， .在 中，由余弦定理可得 ，所以 ，故 的面积 . 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 13．双曲线 上一点 与两焦点 ， 的连线互相垂直，则 的面积是 . 【答案】 【解析】首先根据题意得到 ，利用勾股定理得到 ，结合 得 到 ，再计算 的面积即可.【详解】双曲线 ， ， 因为 ，所以 ①， 又因为 ， 所以 ②， ① ②得： ，即： . 所以 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线中焦三角形的面积，同时考查了双曲线的定义，属于简单题. 14．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交双曲线于A，B两点，A，B 分别位于第一、二象限， 为等边三角形，则双曲线的离心率e为 . 【答案】 【分析】利用等边三角形的性质,然后结合双曲线的定义求解； 【详解】 由双曲线的定义可得 ， 所以取 的中点 ，连接 , 又因为 为等边三角形， 则 ,在直角三角形 中， , 即 ， 解得： ，即 ， 故答案为： . 15．已知双曲线 的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且 为正三角 形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】依题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立 等量关系求解离心率. 【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则 在右支上，设双曲线左焦点为 ， 依题意，三角形 为正三角形， 则 ，连接 ， 在 中， ， 由余弦定理得， ， 可得 ，又 ，即 ， 所以 . 故答案为： .16．椭圆 与渐近线为 的双曲线有相同的焦点 ，P为它们的一个公共 点，且 ，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得 ， ，再根据 可得勾股定理，结合 化简求解即可. 【详解】设 ，在双曲线 中，渐近线为 ， 即 ，故 ， ， ， 不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得： ，由双曲线定义可得： ， 因为 ，∴ ， 而 ， 代入可得： ，∴ .故答案为： 17．已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，点A在C上，点B在y轴上， ， ，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】依题意，设 ，则 ， 在 中， ，则 ， 故 或 （舍去）， 所以 ， ，则 ，故 ， 所以在 中， ，整理得 ， 故 . 故答案为： .