文档内容
第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的运用（行程问题）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量
关系式。
2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效
数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。
3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交
流，培养学生的团队精神。
学习重点：用二元一次方程组刻画数字问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
学习难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
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预习自测
（1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是 .
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 ，若交换个
位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为 ．
（3）23，45是两个两位数，把较大的两位数写在较小的两位数的左边，则得到一个四位数，那么
这个四位数是 .
（4）有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式
表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表
示为 。
（5）如图，单位（cm),是由8块相同的小长方形拼成的一个较大的长方形，能找出题中相等的量吗？
如何求出小长方形的长和宽？
分析，相等的量： .
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm.
解得
答：小长方形的长是30cm,宽是10cm►
教学过程
一、创设情境、导入新课
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔 1小时看到的里程情况，你能确
定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
分析；如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么(填写下表）
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 代数式
12:00 -----
13:00 ------
14:00
(1)12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；
(2) 13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；
(3)12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？ 。
解：如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程
组：
解这个方程组，得
答：12:00时看到的里程碑上的数是16．
二、合作交流、新知探究
例1: 火车以40m/s的速度经过乙隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共有30s,其中火车整个车
身在隧道的时间是20s,求隧道长和火车的长度。
画图分析数量关系：30s行驶的路程是隧道长+火车长；20s行驶的路程是隧道长-火车长
解：隧道长xm,火车长ym.得方程组：
解这个方程组，得
答：隧道长1000m,火车长200m.．
例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向
而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度?
分析: 1
甲 相遇 乙
2
追上 甲 乙
等量关系式： 。
解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千米,每小时y千米,根据题意得:
整理得
解得
答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时.
例3: 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两
位数的左边接着写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求
这两个两位数.
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y,
在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为： 。
在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为 。
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
整理得
解得
答:这两个两位数分别是45和23.
小结：一列方程解应用题步骤1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二行程问题
画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
三数字问题
一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关
系列出方程(组)。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.有一个两位数， 已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是 ，乙数是 .
2.个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.这个两位
数是 .
3. 小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另一个加
数的后面多写一个0，所得和是341，原来的两个加数分别是 .
4.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商
是5，余数是1.这个两位数是多少？
5.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时
后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
6.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4
小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？能力提升：
7．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m 时，按一级单价
收费；当每户每月用水量超过12m 时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为
10m ，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m ，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
拓展迁移
8.下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价，单位元。（收盘价：股票每天交易结束时的价
格）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.75
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费
等），则他账户上星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元.这个人持有甲、乙股
票各多少股？
通过理解题意可知本题的等量关系，“星期二比星期一获利200元”“星期三比星期二获利1300
元”，根据等量关系列出方程组解答．
9.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时
间为40秒，求火车的长度和速度．四、总结反思、拓展升华
一列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二行程问题
画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
三数字问题
一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关
系列出方程(组)。
五、【作业布置】
基础达标：
1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，
白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．
轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折
前购买节省 元．
2. 某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140
元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入
住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310
元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间.
3.将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变
拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形
的面积为（ ）
A 120m B．135m
C．108m D．96m4.小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有
人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的
总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张．若甲、乙的印制张数与印制时
间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ）
A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43
5. 小亮和小明做加法游戏，小明在第 一个加数的后面多写一个0，所得和 是242；小亮在另一个
加数的后面多 写一个0，所得和是341，求原来的 两个加数分别是多少?
6.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其
中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
能力提升：
7.儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，
我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？
拓展迁移：
8.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度为42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（列方程组不求解）
解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米。依题意得
{x=5¿¿¿¿
9.甲、乙两{x
=
人4分
¿¿
别
¿¿
从相距 30千米的 A，B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米，再经过2小
时，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙两人的速度吗？
{x y 30
+ =4 ¿¿¿¿
28 42 60
{x= 70 ¿¿¿¿
课堂练习参考答案：
1、9； 4
2、49
3、21和32
{10x+y−3(x+y)= 23
¿¿¿¿
4、解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y,则
解得：
答：这个两位数是 56。
5、解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则 {4(x+y)= 36 ¿¿¿¿
解得：
答：甲、乙二人的速度分别是4km/h和5km/h。
6、解：设从甲地到乙地上坡路有x千米，下坡路有y千米,则
解得：答：从甲地到乙地上、下坡路各是70千米和84千米。
7、解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意得：
{x= 200,¿¿¿¿
解得：
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，∴用水量超过12立方米．
设用水量为a立方米，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量16立方米
8、解：设此人持有A，B两种股票分别为x股，y股，依题意得方程组
(12.5−12)x+(13.3−13.5)y=200
{10x+y= 242
¿¿¿¿
(12.9−12.5)x+(13.9−13.3)y=1 300，
解得 {xx=
=
12010
¿
0
¿¿¿
y=1500.
答：该人持有A，B两种股票分别为1000股和1500股 {x+y= 55 ¿¿¿¿
9.解：设火车长为x m，速度为y m/s，根据题意，得
{60y= 1000 +x,¿¿¿¿
{x=5.9¿¿¿¿
{10 x= 32 ¿ ¿¿¿
解得
答：火车长为200m，速度为20m/s.
{x
=
3.2
¿¿¿¿
课外作业参考答案：
1. 145
2. 18
3. B
4. C
5.解：设第一个加数为x，另一个加数为y,则
解得：
答：原来的两个加数分别是21和32。
6.解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由题意列方程组得：解得
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
7.解法一：设儿子今年x岁，父亲今年y岁，如图所示，则
解得：
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
解法二：如图所示，无论是哪一年，父子年龄差不变。
{
3x+3y=30+3
故年龄差=（67-1）÷3=22（岁）
30−5x=2(30−5y)
所以，22+1=23（岁）………儿子
{x=4¿¿¿¿
22+23=45（岁）………父亲
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
解法三：设父子的年龄差为x岁，则儿子今年（x+1）岁，
1
{
父亲今年x=（52x
¿
+¿1¿）¿ 岁,父亲x年后67岁,则
3
2x+1+x=67, x=22. ∴ x+1=23, 2x+1=45
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
8.
{x y 1
+ =4 ¿¿¿¿
28 42 2
9.解：设甲的速度为为 X 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。
{y−x=x−1¿¿¿¿
（1）当两人相遇之前相距3千米时，根据题意，得:
解得
{x
=
23
¿¿¿¿
{ 3x+3y=30−3
（2）当两人相遇之后相距3千米时，根据题意，得:
30−5x=2(30−5y)
解得
综上，甲的速度为 4千米/时，乙的速度为 5千米/时；或甲的速度为 千米/时，乙的速度为 千米/时。
