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专题 01 新高考情景下的创新定义问题
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题型01 集合中的新定义..............................................................................................................................................1
题型02 平面解析几何中距离的新定义.....................................................................................................................3
题型03 函数中的新定义..............................................................................................................................................4
题型04 立体几何中的新定义......................................................................................................................................6
题型05 概率与统计中的新定义..................................................................................................................................8
题型06 导数中的新定义............................................................................................................................................11
题型07 圆锥曲线中的新定义....................................................................................................................................13
题型08 数列中的新定义............................................................................................................................................15
题型 01 集合中的新定义
【解题规律·提分快招】
1、集合新定义问题的方法和技巧
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
2、解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要
求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相
关性质求解.
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·北京西城·三模）记集合 .对任意， ，记 ，对于非空集合
，定义集合 .
(1)当 时，写出集合 ；对于 ，写出 ；
(2)当 时，如果 ，求 的最小值；
(3)求证： .
（注：本题中， 表示有限集合A中的元素的个数.）
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，若对任意的 ，
，有 或 ，则称集合 为完美集合．
(1)分别判断集合 与 是否为完美集合；
(2)当 时，若 ，求完美集合 ；
(3)若集合 为完美集合，记 ，求证：
．
3．（2024·浙江·二模）已知集合 ，记 ， ， 是
自然数集
称函数 ，若对于任意 ， ；
称函数 是单调的，若对于任意 ， ；
•称函数 是次模的，若对于任意 ,
已知函数 是次模的．
(1)判断 是否一定是单调的，并说明理由；
(2)证明：对于任意 ， ， ；
(3)若 是单调的， 是正整数， ，记 ，已知集合 满足
．初始集合 ，然后小明重复 次如下操作：在集合 中选取使得
最小的元素 加入集合 ，最终得到集合 ．证明：
4．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就
是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最
熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为： 一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为 ．其
中 ．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：
，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合 ，将B中的元素按从大到小的顺序排列，
则第100个数为多少？
(2)若 ，记 为整数n的二进制表达式中0的个数，如 ，求 的值．
（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出
所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
5．（2024·浙江杭州·一模）已知正项有穷数列 ，设 ，
记 的元素个数为 .
(1)若数列 ，求集合 ，并写出 的值;
(2)若 是递增数列或递减数列，求证: ”的充要条件是“ 为等比数列”;
(3)若 ，数列 由 这 个数组成，且这 个数在数列 中每个至少出现一次，
求 的取值个数.
题型 02 平面解析几何中距离的新定义
【解题规律·提分快招】
1、设 为平面上两点，则定义 为“折线距离”“直角距离”或“曼
哈顿距离”，记作 ．
结论1：设点 为直线 0外一定点， 为直线 上的动点，则
结论2：设点 为直线 上的动点，点 为直线 上的动点，则．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·四川·期中）定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为
，那么称 为A，B两点间的曼哈顿距离；
为A，B两点间的欧几里得距离．
(1)已知 ，求 的最小值；
(2)已知 ，求 的最大值；
(3)已知 ，点 在函数 图象上，点 在函数 图象上，且
，点A，B有 的最小值为4，求实数a的取值．
2．（2024·山东·模拟预测）设点集 ，从集合 中任取两
个不同的点 ， ，定义A， 两点间的距离 ．
(1)求 中 的点对的个数；
(2)从集合 中任取两个不同的点A， ，用随机变量 表示他们之间的距离 ，
①求 的分布列与期望；
②证明：当 足够大时， ．（注：当 足够大时， ）
3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识
别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人
脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设 ，
，则欧几里得距离 ；曼哈顿距离 ；余弦
距离 ，其中 （ 为坐标原点）.
(1)若点 ， ，求 ， 之间的欧几里得距离 ，曼哈顿距离 和余弦距离
；
(2)若点 ， ，求 的最大值；(3)已知点 ，曲线 ，问曲线 上是否存在点 使得 ，若存在，
求 的值，若不存在，请说明理由.
题型 03 函数中的新定义
【解题规律·提分快招】
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，
会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读
出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量
为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数．
(1)记向量 的相伴函数为 ，若当 且 时，求 的值；
(2)设 ，试求函数 的相伴特征向量 ，并求出与 同向的
单位向量；
(3)已知 为函数 的相伴特征向量，若在 中， ，若点 为该
的外心，求 的最大值．
2．（2024·甘肃白银·一模）设A为一个非空的二元有序数组 的集合，集合 为非空数集.若按照某种
确定的对应关系 ，使得A中任意一个元素 ，在 中都有唯一确定的实数 与之对应，则称对应关系
为定义在A上的二元函数，记作 .已知二元函数 满足
，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，证明： .3．（2024·上海宝山·一模）已知 都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数 ，当
分别是 和 的驻点时，记 ，若 ，则称 和 满足 性质；当
，且 时，记 ，若 ，则称 和 满足 性质.
(1)若 ， ，判断 和 是否满足 性质，并说明理由；
(2)若 ， ，且 和 满足 性质，求实数 的取值范围；
(3)若 的最小正周期为4，且 ， .当 时， 的驻点与其两侧区
间的部分数据如下表所示：
1 3
0 0 0
极小值 极大值1 极小值
已知 和 满足 性质，请写出 的充要条件，并说明理由.
题型 04 立体几何中的新定义
【解题规律·提分快招】
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题
目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题
过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角
坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解
对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇
到类似问题时能够迅速应对
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 的半径
为 . 、 、 为球面上三点，劣弧 的弧长记为 ，设 ，表示以 为圆心，且过 、 的圆，同理，
圆 ， 的劣弧 、 的弧长分别记为 、 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角
， ， 分别为 、 、 ，则球面三角形的面积为
.(1)若平面 、平面 、平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
(2)若平面三角形 为直角三角形， ，设 ， ， .则：
①求证：
②延长 与球 交于点 .若直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ， ， ，
为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的最小值，及此时平面 截
球 的面积.
2．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的一个顶点， （
， 且 ）为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 、平面 、 、平
面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面．如图，在四棱锥 中， 平面
，底面 为正方形， ， ．
(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
3．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体 中，取其异面的两条棱的中点连线称为
的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.(1)如左图，在四面体 中， 分别为所在棱的中点，证明： 的三条内棱交于
一点.
(2)同左图，若 为垂棱四面体， ，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中， 平面内有椭圆 ， 为其下焦点，经过 的直线
与 交于 两点， 为 平面下方一点，若 为垂棱四面体，则其外接球表面积 是
的函数 ，求 的定义域与最小值.
题型 05 概率与统计中的新定义
【解题规律·提分快招】
解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”
问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不
断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西·模拟预测）在信息理论中， 和 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：
， ， ， ， ， ．定义随机变量 的信息量
， 和 的“距离” ．
(1)若 ，求 ；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为 ，发出信号1接收台收
到信号为1的概率为 ．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用 ， 表示结果）
（ⅱ）记随机变量 和 分别为发出信号和收到信号，证明： ．
2．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩 和物理成绩
如下表：
学生编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
数学成 13
116 124 126 121 110 106 99 118 117
绩 1
数学名
7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
次
物理成
80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
绡
物理名
3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
次
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀
（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学
成绩 和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本相关系数约
为 ，分析相关系数的向量意义，求 的样本相关系数的最大值.
(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两两不
相同， 两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在 中排名是 位
在 中的排名是 位 .定义变量 和变量 的斯皮尔曼相关系
数（记为 ）为变量 的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 ，其中 ，证明：
，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到
0.01）
（参考公式：相关系数 ）3．（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为 ， ．
定义X关于事件“ ” 的条件数学期望为： ．已知条件
数学期望满足全期望公式： ．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向
培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物
时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均
不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为 ．规定 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)已知 ，证明： 随着n的增大而增大．
4．（2024·江西·二模）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 表示，其中 ，
而在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 ．现有如下定义：在 维空间中两点间的曼哈顿距离为两
点 与 坐标差的绝对值之和，即为 ．
回答下列问题：
(1)求出 维“立方体”的顶点数；
(2)在 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 为所取两点间的曼哈顿距离．
①求 的分布列与期望；
②求 的方差．
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）有一个摸球游戏，在一个口袋中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色
外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若 、 ，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若 ， ．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一
次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是
他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记 为第n次是甲摸球的概率，求 ；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，
当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y
服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每
次试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功
时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的
帕斯卡分布或负二项分布，记作 ．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生
物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到
这里的 ， ， ．求 ．
题型 06 导数中的新定义
【解题规律·提分快招】
导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概
念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵
活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·上海·模拟预测）已知函数 ，如果存在常数 ，对任意满足
的实数 ，其中 ，都有不等式 恒成立，则称函数
是“绝对差有界函数”
(1)函数 是“绝对差有界函数”，求常数 的取值范围；
(2)对于函数 ，存在常数 ，对任意的 ，有 恒成立，
求证：函数 为“绝对差有界函数”
(3)判断函数 是不是“绝对差有界函数”？说明理由
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数 在 上存在 ，使得， ，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为
在 上的中值点.
(1)判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双中值函
数”， 是 在 上的中值点.
①求 的取值范围；
②证明： .
3．（22-23高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数
的方法，给定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为 ，且
满足： .. .已知 在 处的 阶
帕德近似为 .注： ，
(1)求实数 的值；
(2)求证： ；
(3)求不等式 的解集，其中，
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 且存
在一个常数 ，使 成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的
极值差比系数．已知函数 ．
(1)当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在 使 的极值差比系数为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 的极值差比系数的取值范围．
5．（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为 的函数y=f (x)，其导函数为y=f′(x)，若点 在导函数y=f′(x)图象上，且满足 ，则称 为函数y=f (x)的一个“ 类数”，函数y=f (x)的所
有“ 类数”构成的集合称为“ 类集”.
(1)若 ，分别判断 和 是否为函数y=f (x)的“ 类数”，并说明理由；
(2)设y=f′(x)的图象在R上连续不断，集合 .记函数y=f (x)的“ 类集”为集合 ，若
，求证： ；
(3)已知 ，若函数y=f (x)的“ 类集”为R时 的取值构成集合 ，求当
时 的最大值.
题型 07 圆锥曲线中的新定义
【解题规律·提分快招】
圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。
方法总结如下：
1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。
2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的
相似之处或转换关系。
3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。
4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。
5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐
标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点 ，
并按这样的规律继续下去．
(1)求 ．(2)求证：不存在正整数 ，使得三角形 的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数 ，三角形 为锐角三角形．
2．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距
离之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左、
右焦点分别为 的离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近
线交于 两点，当 轴时，直线 为 的等线.
(1)求 的方程;
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积;
(3)设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线
3．（2024·浙江·一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点(0,1)的
直线族（不包括直线 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切
线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆 ： 是直线族 的包络曲线，求 ， 满足的关系式；
(2)若点 不在直线族 的任意一条直线上，求 的取值范围及直线族 的包络曲
线 的方程；
(3)在（1）（2）的条件下，过曲线 上动点 向圆 做两条切线 ， ，交曲线 于点 ， ，求
面积 的最小值.
4．（2024·四川·一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于点 ， ，
面积的最小值为 （ 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 ： 的坐标为 ，直
线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴的交点为 ，设点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式；
(3)数列 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不
存在，请说明理由.
5．（2024·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系 中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离 ，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一
实数 满足：① ，当且仅当 时等号成立； ② ； ③
.其中， 为平面直角坐标系内的三个点，我们就称 是关于
两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系 （ 为坐标原点）内两点 的“ 距
离” .
(1)求证： 两点的“ 距离”是关于 两点的一个“度量”.
(2)设 为平面直角坐标系 内任意一点.
（ⅰ）若 ，请在下图中定性做出 点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与
其特征）.
（ⅱ）求证： .
(3)规定平面内两条平行直线的 距离 为在 上分别取的任意两个点 距离的最小值.已知
不重合的直线 ， ， ，求 的取值范围.
题型 08 数列中的新定义
【解题规律·提分快招】
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五
种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透
彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握
好三基，以不变应万变才是制胜法宝.【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西九江·二模）已知无穷数列 中， ，记
.
(1)若 为 ，是一个周期为4的数列（即 ），直接写出 的
值；
(2)若 为周期数列，证明： ，使得当 时， 是常数；
(3)设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 为公差为 的等差数列.
2．（2024·广东·模拟预测）已知数列 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数 ，
对任意的 成立，则称数列 具有性质 .
(1)若 ，请判断数列 是否具有性质 ；
(2)若数列 满足 ，求证：“数列 具有性质 ”是“数列 为常数列”的
充要条件；
(3)已知数列 中 ，且 .若数列 只有性质 ，求数列 的通项公式.
3．（2024·河南新乡·一模）在平面直角坐标系中， 是坐标原点．若点列 中的3个相邻的点
满足 ，则称关于 的方程 是 的特征方程，将方程
的实数根称为 的特征根．已知 ，点列 的特征根为1和
．
(1)求点 的坐标；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若 是公差为 的等差数列，且各项都为正整数， 和 是已知的常数，求点列 的特征根．
4．（2024·山东·模拟预测）已知无穷数列 ，构造新数列 满足 满
足 满足 ，若 为常数数列，则称 为 阶等差
数列；同理令 ， ），若 为常数数列，则称 为 阶
等比数列.(1)已知 为二阶等差数列，且 ，求 的通项公式；
(2)若数列 为二阶等差数列， 为一阶等比数列．证明： 为三阶等比数列；
(3)已知 ，令 的前 项和为 ，证明： ．
5．（2024·广东广州·模拟预测）若有穷数列 （ 且 ）满足
，则称 为M数列.
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由：
①1，2，4，3.
②4，2，8，1.
(2)已知M数列 中各项互不相同.令 ，求证：数列 是等差数列的充分
必要条件是数列 是常数列；
(3)已知 数列 是 （ 且 ）个连续正整数 的一个排列.若 ，求
的所有取值.
一、解答题
1．（2024·广西·模拟预测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定
的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为 ．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C
三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源
及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布 ，且X的积累分布函数为F(x)，求 ；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表
示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为 ．设 ，证明： ；
附：若随机变量Y服从正态分布 ，则 ， ，
．
2．（2024高三·全国·专题练习）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有
关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 连续，
在开区间 内可导，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ．
(1)运用罗尔定理证明：若函数 在区间 连续，在区间 上可导，则存在 ，使得
．
(2)已知函数 ，若对于区间 内任意两个不相等的实数 ，都有
成立，求实数 的取值范围．
3．（2024·河北张家口·二模）如果项数均为n的数列 满足 ，且 为奇数
时， ； 为偶数时， ，其中 ，那么就称 为“互补交叉数列”，记
为 的“互补交叉数列对”， 为 的前 项和.
(1)若 ，且 ，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；
(2)当 为“互补交叉数列”时，
（i）证明： 取最大值时，存在 ；
（ii）当 为偶数时，求 的最大值.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，
每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不
掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、
第n块，将前 块铁块视为整体，若这部分的重心在第 块的上方，且全部铁块整体的重
心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第 块向桌缘外多伸
出的部分的最大长度为 ，则根据力学原理，可得 ，且 为等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ．
①比较 与 的大小；
②对于无穷数列 ，如果存在常数 ，对任意的正数 ，总存在正整数 ，使得 ， ，
则称数列 收敛于 ，也称数列 的极限为 ，记为 ；反之，则称 不收敛．请根据数
列收敛的定义判断 是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．
5．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率 、召回率 、卡帕系数 是衡量算法性能的重要指标．
科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．
扫雷机器人依次对每个位点进行检测， 表示事件“选到的位点实际有雷”， 表示事件“选到的位点检
测到有雷”，定义：精确率 ，召回率 ，卡帕系数 ，其中
．
(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率 和召回率 ．
实际有
实际无雷 总计
雷
检测到有雷 40 24 64
检测到无雷 10 26 36
总计 50 50 100
(2)对任意一次测试，证明： ．
(3)若 ，则认为机器人的检测效果良好；若 ，则认为检测效果一般；若 ，
则认为检测效果差．根据卡帕系数 评价（1）中机器人的检测效果．
6．（2024·浙江温州·三模）现有 张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数
字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
(1)若 ，求抽到的4个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 为随机变量 的 阶矩，其中1阶矩就
是 的期望 ，利用 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量 ，计算随机变量 的1阶矩 和2阶矩 ；（参考公式：
）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来
计算 的估计值 .（ 的计算结果通过四舍五入取整数）
7．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： 的离心率为 ，
直线l与Γ相切，与圆O： 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， .
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存
在，则记此最大值为 .
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 的面积最大时，求 ；
（ⅱ）若 ， 均存在，记两者中的较大者为 .已知 ， ， 均
存在，证明： .
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）一般地，设函数 在区间 上连续，用分点
将区间 分成 个小区间，每个小区间的长度为 ，
在每个小区间 上任取一点 ，作和式 ．如果当
无限接近于0（亦即 时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间
上的定积分，记为 ．当 时，定积分 的几何意义表示由曲线y=f (x)，两直
线 与 轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么
(1)求 ；
(2)设函数 ．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）数列 满足 ，利用定积分的几何意义，证明： ．
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ，
为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该
变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通
常用大写英文字母 ， ，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.10．（2024·辽宁·一模）给定正整数 ，设集合 .对于集
合 中的任意元素 和 ，记 .设 ，且集合
，对于 中任意元素 ，若 ，则称 具有性质
.
(1)是否存在集合 具有性质 ，若存在，请写出 的表达式，若不存在，请说明理由；
(2)判断集合 是否具有性质 ？若具有，求 的值；若不具有，请说明
理由；
(3)是否存在具有性质 的集合 ？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.
11．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知实数集 ，定义：
（ 与 可以相同）．记 为集合 中的元素个数．
(1)若 ，请直接给出 和 ；
(2)若 均为正数，且 ，求 的最小值；
(3)若 ，求证： ．
12．（24-25高三上·河南·期中）在数列 中，设 是数列 的前 项和，并规定
，定义集合 ， 中元素的个数为 .
(1)在数列 中，若 ， ， ， ， ， ， ， ，求
；
(2)若 ，满足 ，
①证明：集合 非空；
②证明：当 ， 时， .
13．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面直角坐标系xOy中，定义 ， 两点间的“直角
距离”为 .
(1)填空：(直接写出结论)
①若 ， 则 ；②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ；
③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图
形的面积的值为 ；
(2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐
标；
(3)对平面上给定的两个不同的点 ， ，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件：
① ；
②
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.
14．（24-25高二上·上海·阶段练习）在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一
起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六
边形 ，而蜂房的"上顶"，由三个全等的菱形 闭合组成（如图2所示），蜂
房的"侧棱" 均垂直于底面 ，且满足关系
.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，定义其"弯曲度"的度量值等于蜂
房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为 减去蜂房多面体在该顶点的各个
面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，
每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 .
(1)求蜂房"上顶"的"曲率"；
(2)若图2所示的蜂房满足 ，求 的余弦值；
(3)若蜂房的底面正六边形边长 ，"侧棱" ，求当蜂房的表面积最小时，顶点 的"曲率"的余弦
值.
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知有穷正项数列 ,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平
方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列 都可围成“HL-Circle”．
(1)设 ,当 时,是否存在 使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若 的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求 的取值集合；
（ii）求证： ．
16．（2024·辽宁·模拟预测）若函数 在区间 上满足 对任意 成立，则称
为 上的“可加函数”.
(1)若在区间 上的“可加函数” 单调递减，证明： ；
(2)若对任意 及满足 的正实数 ，都有 ，则称函数 是区
间 上的“凸函数”. 若对区间 上的“凸函数” 及给定的正整数 ，对任意
及满足 的正实数 ，都有
，证明：对任意 及满足
的正实数 ，都有
；
(3)设随机变量 的可能取值为 ，记 ，则 . 信息熵是信息论中的一个重要
概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量 时提供的信息量为 ，在实际应
用中常取 等. 定义信息熵 为信息量的数学期望，证明：当 时， .
17．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义可导函数p（x）在x处的函数 为p（x）的
“优秀函数”，其中 为p（x）的导函数．若 ，都有 成立，则称p（x）在区间D上具
有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知 ．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程 有两个不同的实数解 、 ．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明： （参考数据： ）．
