文档内容
第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
基础篇
一、单选题
1．【2022渭南高级中学】《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不
知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对
角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
【答案】A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股
定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一
般．
2．【2022铁一中第一次检测】如图，为了测量池塘的宽度 ，在池塘周围的平地上选择了 、 、
三点，且 、 、 、 四点在同一条直线上， ，已测得 ， ，
， ，则池塘的宽度 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AC＝ ＝ ＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
3．【2022西安市85中第二周测】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘
米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯
底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖 处的最短距离是（ ）
A． 厘米 B．10厘米 C． 厘米 D．8厘米
【答案】B
【分析】
把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】
把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，
连接PB，
则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题
的关键.
4．【2022陕西第一中学】如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗
杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
【答案】C
【分析】
直接利用勾股定理即可得．
【详解】
由题意得：
则
故选：C．【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．
5．【2022上海市格致中学】如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处
有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
【答案】B
【分析】
由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【详解】
解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，
又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB= （海里）．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关
键．
6．【2022无锡东林中学】如图，某自动感应门的正上方 处装着一个感应器，离地 米，当人体
进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门1.2
米的地方时（ 米），感应门才自动打开，则人头顶离感应器的距离 （ ）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】B
【分析】
作DE⊥AB,算出AE,DE的长度,利用勾股定理算出AD即可．
【详解】
过点D作DE⊥AB交AB于E,则EB=CD=1.6,DE=BC=1.2．
∴AE=AB－EB=2.5－1.6=0.9．
∴AD=
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用,关键在于合理利用辅助线和勾股定理．
7．【2022沈阳南昌中学】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这
个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短
路程是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．15
【答案】D
【分析】
此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点
的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】
解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
提升篇
二、填空题
8．【2022西工大附中】如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯
______m．
【答案】17
【分析】
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】
解：根据勾股定理，楼梯水平长度为 =12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不
大．
9．【2022西安市第一中学】如图，已知ABCD是长方形纸片， ，在CD上存在一点E，沿直线AE
将 折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且 ，则 的面积是________．
【答案】
【分析】
根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】
解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴ ，
∴BF=4，
∴AF= ，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，∴ ，
【点睛】
本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
10．【2022银川市中学】如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆
孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度 （罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是_________
【答案】
【分析】
由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度 为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重
合时，吸管在罐内部分a的长度 为最大，根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度 为最小，即为12，
当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度 为最大，如图所示：
∴ ，
∴在Rt△ABC中， ，
∴吸管在罐内部分a的长度 的范围是 ，
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题
11．【2022育才中学】一架云梯AB斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC＝24米，梯子底端距墙脚的距
离BC＝7米．
（1） 求梯子的长度．
（2） 如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？ 为什么？
【答案】（1）25米；（2）梯子底部在水平方向滑动了8米
【分析】
（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据梯子的顶端下滑了4米可求出CE的长，再由勾股定理求出CD的长，进而可得出AD的长．
【详解】
解：（1）由题意可得：
AC=24米，BC=7米，∠ACB=90°，
∴AB= =25米，
∴梯子的长度为25米；
（2）如图，在Rt△CDE中，
∵CD=AC-4=24-4=20米，DE=25米，
∴CE= =15米，
∴BE=CE-BC=15-7=8（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用
的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12．【2022长春市第八十七中】如图，铁路 和公路 在点 处交汇， ．公路 上处距 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路 上沿
方向以72千米/时的速度行驶时， 处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中， 所
对的直角边是斜边长的一半）
【答案】 处受噪音影响的时间为16秒．
【分析】
首先过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B、D，使AB=AD=200，根据勾股定理
得出BC和CD的长度，即可求出BD，然后计算出时间即可．
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥MN，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米<200米，
在MN上取点B、D，使AB=AD=200，当火车在BD上时A处产生噪音影响，
∵AC=120米，
∴由勾股定理得：BC= 160米，CD= 160米，
即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
答： 处受噪音影响的时间为16秒．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
