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3.6 直线和圆的位置关系
第 2 课时 切线的判定及三角形的内切圆
1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)
2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)
3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)
一、情境导入
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，
水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．
二、合作探究
探究点一：切线的判定
【类型一】 已知直线过圆上的某一个点 ， 证明圆的切线
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝
30°，求证：CD是⊙O的切线．
解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，
则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.
证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．
方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的
外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．
【类型二】 直线与圆的公共点没有确定时 ， 证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O
与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，
再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．
方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到
这条直线的距离等于半径．
【类型三】 切线的性质和判定的综合应用
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，
DE⊥EB.
(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(2)若AD＝2，AE＝6，求EC的长．
解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接
圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得
结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．
(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD
为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE
＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝
∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋2，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋
OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋2)2，解得r＝2.∵OE∥BC，∴＝，即＝，∴CE＝3.
方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切
线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．
探究点二：三角形的内切圆
【类型一】 利用三角形的内心求角的度数
如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝
50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )
A．40°
B．55°
C．65°D．70°
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，
切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝
110°，∴∠EDF＝∠EOF＝55°.故选B.
方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF的度数．
【类型二】 求三角形内切圆半径
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为(
)
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝＝10，∴△ABC的内切圆半径r＝＝2.故选
B.
方法总结：记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为，可以大大简化计
算．
【类型三】 三角形内心的综合应用
如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于
点E.
(1)BE与IE相等吗？请说明理由．
(2)如图②，连接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60°，猜想四边形BECI是何种特殊
四边形，并证明你的猜想．
解析：(1)连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE＝∠1
＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可证出IE＝BE；(2)由三角
形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都
相等，推出四边形是菱形．
解：(1)BE＝IE.理由如下：如图①，连接BI，∵I是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3
＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE，
∴BE＝IE；
(2)四边形BECI是菱形．证明如下：∵∠BED＝∠CED＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝
60°，∴BE＝CE.∵I是△ABC的内心，∴∠4＝∠ABC＝30°，∠ICD＝∠ACB＝30°，∴∠4
＝∠ICD，∴BI＝IC.由(1)证得IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四边形BECI是菱形．
方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．
三、板书设计
切线的判定及三角形的内切圆
1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念
本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的
发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生
为主体的教学原则.
