文档内容
*3.7 切线长定理
1．理解切线长的定义；(重点)
2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)
一、情境导入
如图①，PA为⊙O的一条切线，点A为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，
由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为
点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中 PA与PB、∠APO与
∠BPO有什么关系？
二、合作探究
探究点：切线长定理
【类型一】 利用切线长定理求线段的长
如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果
∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( )
A．10
B．12
C．5
D．10
解析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝PA＝10.故选A.
方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．
【类型二】 利用切线长定理求角的度数
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝
70°，那么∠OPA的度数是________度．解析：如图所示，连接 OA、OB.∵PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－
∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB
＝20°.故答案为20.
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根
据全等的判定，可得到PO平分∠APB.
【类型三】 利用切线长定理求三角形的周长
如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，
⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．
解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥PA.根据勾股定理，得PA＝12，再根
据切线长定理即可求得△PDE的周长．
解：连接OA，则OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得
AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周
长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.
方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，
平分两条切线的夹角．
【类型四】 利用切线长定理解决圆外切四边形的问题
如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、
CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．
解析：直接利用切线长定理解答即可．
解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、
F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC
＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.
方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住
“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．
【类型五】 切线长定理与三角形内切圆的综合
如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别
相切于点D、E、F.(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．
解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即
可得出答案；
(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，进而
得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．
(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，
∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；
(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA
＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则
BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝＝2.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－
r)＋(2－r)＝2，得r＝2－，∴⊙O的半径是2－ .
方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问
题的关键是得出四边形ODAF是正方形．
【类型六】 利用切线长定理解决存在性问题
如图①，已知正方形ABCD的边长为2，点M是AD的中点，P是线段MD上的
一动点(P不与M，D重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点
为E.
(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母
和辅助线)?
(2)求四边形CDPF的周长；
(3)延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF·FG＝CF·OF？如果
存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根据切线长定理，发现该四边形
的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得
∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直
径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．
解：(1)FB＝FE，PE＝PA；
(2)四边形CDPF的周长为FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋
FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝2×3＝6；
(3)假设存在点P，使BF·FG＝CF·OF.∴＝.∵cos∠OFB＝，cos∠GFC＝，∴∠OFB＝
∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝＝＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF·tan∠GFC＝CF·tan60°＝(2－1)×＝6－，∴DG＝CG－CD
＝6－3，∴DP＝DG·tan∠PGD＝DG·tan30°＝2－3，∴AP＝AD－DP＝2－(2－3)＝3.
方法总结：由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性
以后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合
理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．
三、板书设计
切线长定理
1．切线长的概念
2．切线长定理
3．切线长定理的应用
在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要
求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问
题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学
生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生
的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗
糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.
