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*3.7 切线长定理
教学内容 *3.7 切线长定理 课时 1
1. 了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；
核心素养
2. 在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的
目标
方法解几何题，培养学生的直观想象、逻辑推理方面.
1．理解切线长的定义；
知识目标 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．
教学重点 理解切线长的定义.
教学难点 掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 1. 直线和圆有哪些位置关系？ 设计意图：现温故旧知并
相离、相交、相切. 且提高的目的，同时为
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法) “知新”打下基础.
(1) 数量关系法(证明 d =
r)； l
(2) 判定定理：经过半径的
外端且垂直于这条半径的直 d r
线是圆的切线. O
师生活动：
学生在老师带领下，不仅对上节课的知识点进行
复习，同时对学习过的方法、过程进行自我总结
和升华.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一： 切线长的定义
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P
画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
设计意图：
通过切线长概念的探
究过程，使学生了解切线
长的定义，并能在具体的
图形中把它们识别出来。
学生迅速抢答：过圆外一点可以作一条、两条，
还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求
学生动手操作，教师巡视发现问题.
过圆外一点能画出两条圆的切线.
知识要点
1. 切线长的定义：
经过圆外一点画圆的
切线，这点和切点之间的
线段的长叫作切线长．
此处通过学生思考得出结
论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解
1切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时
引出探索问题：
2. 切线长与切线的区别在哪里？
① 切线是直线，不能度量.
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量．
知识点二： 切线长定理
合作探究
设计意图：
如图，PA、PB 是⊙O 的
对话式的定理教学的方式
两条切线，A，B 是切点. 有利于激发学生的自主探
(1) 这个图形是轴对称图 索，加深对定义的理解。
形吗？如果是，它的对称
轴是什么？
学生分析：是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
(2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你
的理由.
猜想：PA = PB.
学生猜想两条切线长PA与PB的数量关系，并分
组讨论：
证明猜想：
已知：如图， PA，PB 设计意图：
是☉O 的两条切线，A， 学生通过猜想、验证，经
B 为切点. 历了一个自主探究的过
求证：PA = PB. 程，从而激发学生的学习
兴趣，发现切线长定理.
证明定理是为了培养学生
的数学思维能力，“知其
然并知其所以然”.
培养学生合情推理能力、
证明：连接 OA、OB.
语言表达能力.
∵PA，PB 是☉O 的切线，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△POA≌Rt△POB.
∴ PA = PB.
合作探究
思考 图中还有哪些
量？猜想它们之间有什
么关系？
猜想：∠APO = ∠BPO
试题问：如何验证我们
的猜想是否正确？
测量，翻折，
类比上述方法求证.
师生活动：学生在老师的引导下学生对上述过程
2总结，得出切线长定理，口述得到的结论，口述
证明过程.
师生共同总结：切线长定 A
理
过圆外一点可以引圆的两
条切线，它们的切线长相 O P
等.
B
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
合作探究
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，
图中的线段之间有哪些等量关系？
结论：圆的外切四边形的两
组对边的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
师生活动：学生分组讨论，教师巡视并参与到学
生的讨论当中去，对感觉有难度的学生及时进行
点拨、指正. 每组的代表把得到的结论写在黑板
上,统一学生的答案，教师找学生说明理由.
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC =
设计意图：通过探究，使
10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分
学生对切线长定理有了更
别是 D，E，F，求⊙O 的半径. 深刻的理解，同时利用切
线长定理的拓展也提高了
学生分析问题、解决问题
的综合能力.
师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试
着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予
详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程
中，逐渐形成对切线长定理的认识.
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设
OD = r.
在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24，
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，
F，
∴ OD⊥AB ，
设计意图：本节课的例题
OE⊥BC ，
设计紧扣这堂课的知识
OF⊥AC ， BD =
点，通过对例题的解答，
BE， 既巩固了本节课的重点，
AD = AF， 又培养了学生灵活应用切
CE = CF.
3又∵∠C = 90°， 线长定理的能力.
∴ 四边形 OECF
为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，
AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4.
链接中考
1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点
A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
三、当堂
练习，巩
固所学
2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC
是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
P
C
A B
O
三、当堂练习，巩固所学
设计意图：通过两道练习
1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分 题，加强对切线长定理的
别是 A、B，如果 AP = 4， 理解和运用.
∠APB = 40° ，
则 ∠APO = ，
PB= .
2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且
∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC=
.
3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、
E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则
△ABC的周长是 .
44. (湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 设计意图：通过练习，强
BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 化学生主动参与、合作交
若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数. 流的意 识，从中获取知
识，并会举一反三。教师
通过练习，及时发现问
题，评价教学效果。
切线长定理
1．切线长的概念
板书设计
2．切线长定理
3．切线长定理的应用
5课后小结
在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首
先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基
础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发
教学反思 现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过
自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历
一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙
向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.
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