文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等差数列基本量的运算
题型二：等差数列的判断与证明
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
角度2：等差数列前n项和的性质
角度3：等差数列的最值问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示．数学语言表示为 (
)(或者 ）， 为常数．
(2)等差中项：若 ， ， 成等差数列，则 叫做 和 的等差中项，且 .
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法： ( )(或者 ）
②等差中项法：
2.等差数列的有关公式
(1)若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则其通项公式为 ，可推广为
( *)．(2)等差数列的前 项和公式 (其中 )．
3.等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
(1)等差数列 中，当 时， ( )．
特别地，若 ，则 ( )．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ， ， ，…仍是等差数列，公差为 (
)．
(3) 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差为 .
(4) ， ， …也成等差数列，公差为 .
（5）若数列 , 均为等差数列且其前 项和分别为 , ,则
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为 的形式．当 时， 是关于 的一次函数；当 时，
数列为递增数列；当 时，数列为递减数列．
(2)等差数列前 项和公式可变形为 .当 时，它是关于 的二次函数，表示为
( ， 为常数)．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列 为等差数列，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
由题意得： ，所以 ，
故
故选：D
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，…，0，…
B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…
D．0，1，3，…， ，…
【答案】D
选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；
选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；
选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；
选项D中， ，不是等差数列，
故选：D．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科
学计算，运载“神十三”的“长征二号” 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后
每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的
时间大约是（ ）
A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒
【答案】D
设每秒钟通过的路程构成数列 ，
则 是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有 ，
解得 ．
故选：D.
4．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列 中 ，则 _______．
【答案】4
设公差为 ，则 ，
解得： ，所以
故答案为：4
5．（2022·全国·高二课时练习）数列 中， ， ，那么这个数列的通项公式是______．
【答案】
数列 中，因 ，即 ，因此，数列 是等差数列，公差d=3，
所以数列 的通项公式是 .
故答案为：第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等差数列基本量的运算
例题1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列 中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列的 前 项和 .
【答案】(1) ；(2) n.
(1)设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
(2) n.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 中， ， ．
(1)求 的值；
(2)2022是否为数列 中的项？若是，则为第几项？
【答案】(1)8082
(2)2022是数列 中的第506项
(1)由题意，设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
由 ， ，即 解得
所以，数列 的通项公式为 ．
所以 ．
(2)令 ，解得 ，所以，2022是数列 中的第506项．
例题3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列 是等比数列， ，
(1)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(2)若 分别为等差数列 的第3项和第5项，求数列 的通项公式及其前 项和 .
【答案】(1) ， .
(2) , .(1)设数列 的公比为 ，则 ，得 ，
所以 .
.
(2)设等差数列 的公差为 ，
, ,
则 ，
所以 ，
.
例题4．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列 的公差 ，且 ， 的前 项和为 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 且 ，
可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
(2)解：由（1）知 ，可得 ， ， ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，整理得 ，
解得 或 ，
又因为 ，所以 .
方法总结：解决等差数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等差数列的基本量为首项 和公差 ,通常利用已知条件及通项公
式或前 项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含 , , , , 五个量,可
“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用 , 表示,寻求两者
间的联系,整体代换即可求解.
题型归类练1．（2022·广西·高二学业考试）已知等差数列 中，前4项为1，3，5，7，则数列 前10项的和
（ ）
A．100 B．23 C．21 D．17
【答案】A
设公差为 ，则 ，则 .
故选：A.
2．（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三
章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次
渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按
照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则
公士出的钱数为（ ）
A．10 B．14 C．23 D．26
【答案】D
解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列 ．
由题意可知，等差数列 中 ，前5项和为100，
设公差为 ，前 项和为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以公士出的钱数为 ，
故选：D．
3．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，
后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
不妨设插入两个正数为 ，即
∵ 成等比数列，则
成等差数列，则
即 ，解得 或 （舍去）
则故选：B．
4．（2022·吉林松原·高二阶段练习）在数列 中，当 时， ，若
__________．
【答案】101
当 时， ①，所以 ②，
②-①，得 ，所以 ，
即 ，所以数列 是等差数列．
当 时， ，所以 ，
所以数列 的公差 ，则 ．
故答案为：101
5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国
人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所
示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为
13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺
【答案】60
因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，
设冬至日晷长13.5尺为 ，则芒种日晷长2.5尺为 ，所以 ，
所以夏至日晷长为1.5尺，
记夏至日晷长1.5尺为 ，小暑为 ，大暑为 ，……，立冬为
则 .
故答案为：60.6．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求正整数m．
【答案】(1)证明见解析(2)7
(1)因为 ，
所以 ，即 ，
则 ．
又 ， ，满足 ，
所以 是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得， ，
则 ．
又 ，
所以 ，
化简得 ，解得m＝7或 （舍）．
所以m的值为7．
题型二：等差数列的判断与证明
例题1．（2022·全国·高二课时练习）对于数列 ，“ ”是“数列 为等差数列”的
（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.
【答案】C
解：若数列 的通项公式为 ，则 ( 为常数)，由等差数列的
定义可得数列 为等差数列；
若数列 为等差数列，设首项为 ，公差为 ，则通项公式为 ，
令 ，则数列 的通项公式可写为 ， 为常数， .
所以对于数列 ，“ ”是“数列 为等差数列”的充要条件.
故选：C.
例题2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知数列 的前 项和公式为 ，则
数列 （ ）A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】A
由题意得： ，
当 时， ，
也适合上式，故 ，
则当 时， ，
即数列 是公差为4的等差数列，A正确，D错误；
由于当 时， 不是常数，故数列 不是等比数列，故B,C错误，
故选：A
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，且 ，则使 的 值
为（ ）
A．22 B．21
C．24 D．23
【答案】D
解：因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，所以 ，即使 的
值为 ；
故选：D．
例题4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 满足 （ 且 ）， 为数
列 的前n项和，且 ，则 ______.
【答案】2
因为数列 满足 （ 且 ），
所以数列 为等差数列，且公差为2.
又因为 ，所以 .
故答案为：2.
例题5．（2022·全国·高二课时练习）在数列 中， ， ，且当 时，有 ，则 ______．
【答案】
∵ ，∴数列 是等差数列，
∵ ， ，∴数列 的公差为 ，首项为2，
∴ ，
∴ ，验证得 时成立，故 ．
故答案为： .
例题6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 满足 ，设 .
(1)证明：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析， (2)
(1)解：因为 ，所以 ，由 ，
所以 ，且 ，
所以数列 以 为首项，以1为公差的等差数列，
所以 ；
例题7．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））设 为数列 的前 项和，且满足 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.
(1)依题意， ，
当 时，有 ，两式相减得： ，
同理可得 ，于是得 ，
即 ，而当 时， ，
所以数列 为等差数列.
证明 定义法 ( )( 或 者
是 等 差 ）数列 等差中项法
判断 的通项关于 的一次函数
是 等 差 的前 项和 （注意没有常数项）
数列
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
例题1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列 满足 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意知， ，
由等差数列的等差中项，得数列 为等差数列，
又 ，所以 ，
则 ，
所以 .
故选：B
例题2．（2022·江西·二模（理））已知等差数列 中， ， ，则
等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
在等差数列 中，由等差中项的定义可得： ， ，
所以 ．
故选：C
例题3．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列 和 的前 项的和分别是
和 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
因为 和 是等差数列,故
故选:C
例题4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 ．
故选：D
例题5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且 ，
所以 .
故选：A
例题6．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
和 为等差数列，14
(a +a )
a +a a +a 2 1 14 S 6×7 42
故 3 12= 1 14 = = 14= = ,
b 1 7 T 3×7+4 25
4 ×2b (b +b ) 7
2 4 2 1 7
故选：D.
角度2：等差数列前n项和的性质
例题1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列 是等差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ，得 ，设 ，则 ，
因为数列 是等差数列，
所以 ，……，是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A
例题2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由等差数列性质知： ， ， 成等差数列，
，即 ，解得： .
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 中，若 ， ，
则 （ ）.
A．110 B．120 C．130 D．140
【答案】C
解：设公差为d，则
，所以 ，所以 .
故选：C
例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ．若
， ，则 _____．
【答案】42
解：在等差数列 中， ， ， 成等差数列，即7，14， 成等差数列，所以
，解得 ．
故答案为：42．
例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，
则 ___________.
【答案】48
因为等差数列 的前 项和为 ，
所以 成等差数列，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为：48
角度3：等差数列的最值问题
例题1．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等差数列的前 项和为 ，且 ，则
使 取得最大值的 为__________．
【答案】7
由题意 ，则 ， ，
故 ，等差数列 ，当 时， 取得最大值
故答案为：7
例题2．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列 的通项公式为 ，则其
前 项和 的最大值为____________.
【答案】
根据题意，
，所以当 时， 有最大值且最大值为： .
故答案为：
例题3．（2022·山东潍坊·高二期中）在数列 中，若 ，前 项和 ，则 的最大
值为______．
【答案】66
由题意， =21 ，解得 ，
，属于二次函数，对称轴为 ，
故当n=5或6时取得最大值， ，
， 的最大值为66；
故答案为：66.
例题4．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））设等差数列 的前 项和为 ，且 ，
则当 ＝___时， 最小．
【答案】2022
根据等差数列的前n项和公式和性质得：
，
，
， ，
前2022项为负，从2023项开始为正，故前2022项和最小.
故答案为：2022.
例题5．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ．若 ，且 ，则满
足 的最大正整数的 的值为________．
【答案】33
因为 ，所以 ，
因为 ，且 ，所以 ， ，
故要使 ，则需 ．
故答案为：33.
例题6．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知数列{ }的前 项和为 ，且满足(1)若数列{ }是等比数列，求 以及 ：
(2)若数列{ }是等差数列，求 的最小值，并求 取得最小值时 的值.
【答案】(1) 或
(2) 的最小值为 ，此时 .
(1)设等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 或 .
当 时， ；
当 时， .
(2)设等差数列 的公差为 ，
则 ，
所以 ，
由 ，
由于 ，所以当 时， 最小，且 的最小值为 .
例题7．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））设等差数列 的前 项和为 ，已知
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)当 为何值时， 最大，并求 的最大值.
【答案】(1) (2)n为6或7；126
(1)解：设等差数列 的公差为d，
因为 .
所以 ，
解得 ，
所以 ；
(2) ，当 或7时， 最大， 的最大值是126.
方法总结求等差数列前 项和 最值的两种方法
题型归类练
1．（2022·山西运城·高二期末）若等差数列 的前 项和为 ，首项 ， ，
，则满足 成立的最大正整数 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∵ ，∴ 和 异号，
又数列 是等差数列，首项 ，∴ 是递减的数列， ，
由 ，所以 ，
，
∴满足 的最大自然数 为4040．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 的前 项和分别为 ，若对于任意的自然
数 ，都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得
.
故选：B3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则下
面结论错误的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最小值
【答案】C
对于A选项，由 可得 ，A选项正确；
对于C选项，由 可得 ，∴ ，C选项错误；
对于D选项，由 可得 ，且 ， ， ，
所以，当 且 时， ，且 ，则 与 均为 的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵ ， ，当 时， ，
所以， ，B选项正确．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a}的前n项和为Sn，且满足S >0，S <0，则 中
n 15 16
最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
：∵等差数列前n项和 ，
由S >0，S <0，得 ，∴ ，
15 16
若视为函数则对称轴在 之间，∵ ，∴Sn最大值是 ，
分析 ，知 为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0， 递减，前8项中 递增，
∴前8项中 最大 最小时 有最大值，∴ 最大．
5．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列 和 ，前n项和分别为 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解：在 为等差数列中，当 ， ， ， 时， ．
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
故选：A．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列 、 的前n项和分别为 和 ，且
，求 的值．
【答案】
等差数列中 ，
可令等差数列 、 的前n项和分别为 ，
则 ，
，
所以 ．
7．（2022·陕西·西安市长安区第十二中学高一阶段练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求当 为何值时， 取最大值.
【答案】(1) (2)
(1)设数列 的公差为 ，
则由题意得
解得
所以(2) .
对称轴为：
又 ，∴当 时， 取得最大值.
8．（2022·广东珠海·高二期末）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题的题设条件中.
问题：等差数列 的公差为 ，满足 ，________?
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 得到最小值时 的值.
【答案】(1)选择条件见解析， (2)
(1)解：设等差数列 的公差为 ，
得 ，
选① ，
得 ，
故 ，
∴ .
选② ，
得 ，得 ，
故 ，
∴ .
选③ ，
，得 ，
故 ，
∴ ；
(2)由（1）知 ， ， ，
∴数列 是递增等差数列.
由 ，得 ，
∴ 时， ，时， ，
∴ 时， 得到最小值.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面
缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对
应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.
2．（2021·北京·高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的
最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ，
所以 .
对于 ， ，
取数列 各项为 ( ， ,
则 ，
所以n的最大值为11．
故选：C．
3．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
