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高中数学第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合
空集的理解错误：如0= ｛0｝、 督書 豐 翳翳體如翱聽豔 定义 某些指定的对象集在一起就构成一个集 識致
写子集时易遗漏空集 合。集合中的每个对象叫集合的元素
容易忽视空集的存在 蠡讨论 仁元素与集 是属于e与不属于（t）的关系 合的关系 些、想流鷺躇識较 列举法把集合中的元素一一列举出来 如（x^^+l.xeR｝与集合元素 前者x€R,后者庐1,是不一样的分 '表示方法, //&述法把集合中的元素公共属性描述出来 不清致鸣 聽豪 AQB<^>AUB=B 集 合 集合语言转化为熟悉的语言 的 概 集合表达方式的转化 IS 念与 表不 集合元素的转换 转换 含参数集合问题，多根据集合元素互异 性处理， 知识 用到分类讨论与数形结合的思想
常常给出两个集合的运算关系求参数
创新题 8
能认清集合的元素
的是集 1 能化简集合的元素 题 心
能对集合的元素实行等价转换」
合素
决问核 集元解 合的 数集运算的最好工具是数蛰
点集运算的最佳途径是图形 甄書農菱杂时 ' 数形 结 数形结合是解决集合问题的常 用方买 合, 不等式解集的集合运算多借助数轴命 一般集合可用韦恩图加以表示 点集的几何意义为函数或方程的曲 : 含"个元素集合的真子集个数是：2" -1
含 " 是数个集子的合集素元个 ： 2"
、<图示法 用一条封闭的曲线表示 分类 集 有限 J含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集 y无限集 合 元素特性 \空集 不含任何元素的集合 确定性 给 中 定 的 一 元 个 素 集 是 合 确 ， 定 集 的 合 梳理 集合里不允许有相 向用I 元素重复出现
集合的关系 \ 声序性 集合里的元素构成
>_____与元素的顺序无关
荐集 不含任何元素的集合。用 “ 0 " 表示
s ng={x|mflxeB)
质性
"0 = 劣 合基 运 A(\B=BOA
■4U4=S 性质 1 U0=/ AViB=B'JA Cu4={x|xeL/且》仁出 C"CM=』
A n （。以） =0
SU(C")=J/
J
高中数学 第一章集合与常用逻辑用语第二节常用逻辑用语
儔备矗 参就航 难的歸联薪釆取綺魯雀案 常用正面叙述主 词及其否定词语
羸濫諏鑼賢 2.判断命题的真假时出错，不能借助原命题与 '逆否命题及逆命题与否命题同真冋墜貝定 3.判断充分性、必要性出错：一个结论成立 鬲充分条件可以不止一个，,必要条彳牛也可以 不止一个
4.证明充要条件时，推理方向把握不准
5 . 反证法或写否命题时易出现命题的否定 不全再
题命种三他其出写题命原知已 写命题
及否定 命题
含逻辑联结词"且""或""非"命题 问题 廿集
全称量词与特称量词的否定
含有一个量词命题的真假判断：而貢德,
直接判断或判断命题的否定 真子集 1.搞清命题的结构 2.弄清构成它的p、q的真质芳为 集的 常用数、 集合相等
3.依真值表判断命题竺 应甩 本算 集及记法 根据含逻辑联结词命题的 正整数集N*整数集Z _ 有理数集 Q 真假，求参数的取值范围一 否命题与命』 自然数集N 实数集R 命题的否定：若p,则F 交换律 SnB=8服，SU8=EUS 全题命定 结合律 ^ n （ Bn c ） = un B ） nc 4 U （ BU C ） =QU B ） U C 全称命題p ： MVx G A,p（X）" 与 运算律 分配律 」 n （ BU c ） = （ sn B ） u （ m c ） —C^Ju 题 否定是一p： （ Bn c ） = （ /U B ） n （ /u c ）
、德.摩根律一 C〃（snB） =C〃G4）UM（B） ' <^C〃（/UB）=C〃（/）nC"（B）
. 容斥原理 card (T4 U B) =card (A) +card (B) -card (^4 D B)
命称 否
正 面 词 等 大 小 都 语 于 于 于 是 是
称 特的
特称命题p： u3xeA,p（X）" 否定是
b： "Vxd-p（止》
- 至 多 有 - 一 一 至 所 少 任 有 有 意 的 个 一 个 - 定 一 否 定 词 语 不 等 于 不 大 于 不 小 于 不 是 不 都 是 至 少 有 两 个 - -- 个 也 没 有 - 一 某 个
命题 简单命题 不含逻辑联结词的命题 一 含 逻 辑 色合命题
联 结 词 離词
的命题 且 P且q,记作pAq 一 或 P或g,记作pVg 一 含逻辑 联 结词 命题 V非 非P,记作F 一 真 、假判 pA 断 g p、g同真为真 / pVq P、g同假为假 某 些 不 定 、 四 命 种 题 原命题：若p,则 P真 g （ （ 假 真 ） ） rp假 一 形式 逆命题：若q,则P 总结 否命题：若非P，则非q 升华 知识 逆否命题：若非 g , 贝归切
梳理 等价命题 互为逆否的两个命题
关系
原命题与逆否命题、
.互为逆否命题逆命题与否命题
反证法
判断原命题的逆否命题的真假 法定 义 判定
充分条件 必要条件
一 判 断 B 是 4 的 条什 件么 ， 断是 判 ” S=>8 “ 或 ''8 或 " 成是 立否
化转行进题命对 ,
全称量词"V ” W有在量词'3" 全称命题％ &, * ）”
假真的题命否逆判改 集合法書着霸帶序矗 充分条件 含一个量词命题的否定 与必要 羅瑟畫籃籍飜籠号凛毓 条件 着Pnq,则p是g成立的充分条件 证明探究 真 立 貯識譯蹒纜雑講謝 有 g=>p , 贝 U p 是 g 成立的必要条件 若qop,则p是g成立的充要条件 聽昌看 讀麗富聽素臂豪龍察龍美系 芝 SUB , 则 p 是 g 的充分条件
应用 gB , 贝 U p 是 g 的必要条件
给出了 “若p,则g” '‘若g,贝Up”的真假 ^A=B,贝収是g的充要条件高中数学 第二章 函数 第二节 函数的基本性质
增函数
高中通 ＞数0 （学海航信第数 y二=f（x章）的最函大值数与最小第值问一题，节再函数及其表示 判断奇偶函数忽视定义域的对称性 星乂/（玖畠4上
利用/（x）AOfi成立， 只需■/'（X）响＞0 ； /（X） 当 为＜改《』，有 / （ xA/QD ＞
转化V技O恒巧成：立通，常只a>需/(/x•)（s£Xa） /(x)恒成立， 须恒成 映身虻妇单5调性 函数的增、减性叫做函数的单调性
/（ 立 石通 ， ）常 须 了在 。 （《 < 功 / X ( )〈 x 存 ) 。 瑚 在。最（值习的-情功况［下«-使以用＜0单调递 单 减 调递增 定 与 义 /( 域 X 理 +1 解 ) 不 混 到 淆 位 为 ： 同 易 一 把 函 / 数 (X) 学习误区 学习误区 单调性 概念 图像特 函 征 数定义 増 函 函 数 数 的 图 增 设像 、 ▲从 减 左8 区 是到 间 右R 叫 上是 做 非 ' 函 ‘空 数 上数 的 升集 单 的， 调 ” 映 区 一射 间 f
知能提升 \A-B叫做集合S到8 上的一个函数。
(p/(x+T) = 满足其一 不鑫淞题单调性 知能提升 知识 记作y=/(x)>xE
- ② /« 火+牛厶 / /(x + T) = /(x-T)/（X）周期为2T 譯 梳理 定发 函 一 数 对 尸 是 多富 一 。 函 类 它数 特 要 殊 求/ （ 的 / 、- 映 x B） 射 非 ， =空 对 /且 （ 应 元 x 关 ）素 系 ,皆 其 有 为中 一 实 / 对 关凱 一 于 、 原 多 点 对 对 称 一 ，无
. 的 /（ 周 ， x 期 （ ® ( | | / +X 函 / ( （ a 函 / X + ( 2 ） ） 麴 a a x D 数 + + + ( x x = a = X ) ) ） - ) = 7 / 的 = / = （ 7 ( / T 图 / - （ xf ( * +M 像 a ) 3 b - - ） 关 x x ) ） ， 于 = , 说 / X / （ 明 辺 (2 x / 对 a ） （ - 称 x 的 X ) ） : = 图 2 / 是 . ( 像 区 x 周 ) 的 冋 期 = 对 5 包 g =为 称 帯 謊 含 l 轴 对 a- 为 称 Z＞ 村 雑 l 1. 称 区 轴 间 右 在 边 对 轴对称 / = / （ / （ （ x * a + x ） x r ） 2 ） 周 最 +/ 期 值对 >x 为 讨称 +c 论 C 性 (a>0) 梳 知 理 识 ' 表 核 值 对 示 应 心 域 法 法 是 是 则 对 由 确 应 定 定 义 法 的 则 域 图 ， 与 象 特征 定 列 义 表 域 利 （ 用 別 鱼 奇 韭 数 用 】 函 奇 学奇 图偶 用 更 数 非 等函 象函 表 函 偶 式 u 数 来数 格 数 ＞ 函 来在 表 来 在 图 O 数 表其 示图 表 其 象 自 示对 两象 示 / 对 关 （ 变 两称 个关 两 称 于 - 量 个区 竺于 个 X 区 原 ） 的 变间 量） 变 间 点 * 取 量上 的• 量 上 成 轴 - 值 的的 函 的 / 的 中 成 « 范 函单 数 函 单 心 轴 , 围 数调 关 数 / 调 对 对 （ 关性 系 关 性 称 称 - 系相 的 系 x 相 图 图 ） 的同 方 的 反 形 形 ^ 方 法 方 / （ 法 法 x ）
礬 .偶函数的和、差、积、商（分母不为0 ）仍为偶函数
| | 函 / 1( . 麴 , 对+ ( x称 x ) ) =轴 的 -/在 图 (a区 像 -间 的 X )右 对 = /边 称 (2 中 a 心 7) 为 = - ( / a « , ) 0 = / ) 伽 : +x ) = -/(-* ) 中心对利 三要素 值域奇函数的和、差仍为奇函数
2.对称轴在区间内 岡期 一个偶函数和一个奇函函数数的值积的是取奇值函范数围一
2 /3 4 . （. . 作 定 判 3 1 4 可 3 . . ， 差 断 . 对 整 ） / 成 变 单 ( 称 式 - 对 ） 形 / 调 轴 函 （ = - , 性 誕 在 数 加 也 瑚 区 或 ）） 於 间 奇 的 州 左 次 符 ) 爻 根 号 ， 式 . 则 函 定 数 义 , 域 则 是 定义 g 步 ( 域 " 定 骤 0 且 为 义 的 S 法 R 解 1 集 用定 轴 导 义 动 数 证 区 逐 明 求 三 间 一 函 法 、 定 〜 数 函 ( - 与 的 / 数 7 上/ 的 餐 单 (相x 图 调 I 具 +a 性 仿 区 ) 体 像 ) 间 = 函 的 心 2 数 对 6- 称 / \ ( 中 a 单 - 心 x 调 奇 ) 为 . 性 偶 /( S 一 性 x 0 ) ) 』 定义 解 域 析 性 的 式 质 函 求 应 数 法 用 图像; 韻 S 8 值域与最值 分 关 段 、 系 函 最 数 值 囹 当 像 函 特 数 奇 征 定 （ 义 偶 域 ） 和 数 ^ 对 若 w 、 圜 个 - 应 y 3 则 像 奇 = 值 法 常 f 称 按 函 （ 域 则 数 函 一 数 x 确 对 有 ） 7 数 定 的 V 、 定 于 不 0 / 规 积 , , 值 时 X 自 同 x 都 x 律 为 e 域 ， ） 变 对 D 有 定 重 奇 , 是 函 为 量 应 / 义 — 复 （ - （ 各 数 周 - 关 域 个 x 出 偶 -分 x 段 的 期 的 系 - + 是 厕 现 ） 段 T - 值 值 函 不 的 ） _ - 各 函 _ 函- 域 域 数 同 _ 函 段 - 数 _ 数 = 的 - 也 。 取 _ 数 函 - _ 各 / 并 - 确 7 值 _ （ 数 - • _ 段 集 - 定 为 _ 集 x 定 - _ 对 ） - ， 它 _ 合 义 - — 应 , 则 ， 域 的 最 的 、 图 并 值 像 集 也 ，
1“ 号”增 的求法 确定，因此求函数最值和求函数值域是相通的
" J 正 箜 6'. " 为 数 函 指 正 “ 数 “y= 负 ^ 导* ^ ) ” 叩 数r 减 的 乂 ” 定 的 1 义 定 域 义 是 域是 f( “ ｛ x) 同 x * 増 | 0 异 的 减 解 ” 图 的 像 原 法 则 应用/ 周期 综合 应 代入 作 法 图 已 方共知 法地/( 是步X) 将骤,求 g.(…/ x ［ ). 关 代.g. 键 ( 替.X. ： ) / ］ ( 描 对 的 出 中 解 关 的 析 键 X 式 点 ， ，如零 求法 函 图 数 像 墓太函題三 最 丿 大 通 (小 过 ) 图 值 像 ： 的 r( 性 X) 质 的 直 定 接 义 求 域 解 为r, J I
求参数取值范围等 ■ 解不等式一比较大小 已知点/、(X|)|的 （函变数换类型 1 最，值要点求、的 与 丝雨中蚤 玄 点莉等 壮 (1函) 数\/单xe调A,性3M法eR ，确使定 函/(数x)在«M定(&义M)域 ⑵(或版其或子集)上的单调
利 7 域 ( 用 . 即 8 有 若 是 .奇 求 实 意 解 使利 偶 各 际 义 析 各用 函 部 问 且 式 部定 数 分 题 符 由 分义 对 的 中 合 几 式判 称 交 函 实 个 子断 特 集 数 际 部 都或 点 ) 的 的 分 有证 求定 实 的 意明 函义 数 数 义函 数域 集 学 的数 解是 合 式 实的 析使 子 数奇 式变 构 集偶 、量 成 性 函 ， 都 或 数 求 值 则 参 、 定 数 解 义 值 不砂 侍 配 疋 凑 糸 法 识 致 图 法从而确定 I \巳 从 用 I 作 其 知 f 囹 g 系 l ( / g x ( 数 M 解 ) g ］ 来 ( 析 平 对 x 的 表 ) 式 移 称 ］ 解 示 时 变 变 的 析 ， ， 换 换 -解 式 再 一 可 / / 析 中 用 伸 旋 . 根 一式 拼 缩 转 X 据 ， 代 凑 变 变 类 要 替 出 换 换 型 求 即 " 设 g / 可 ( ( 其 x X ) ) 解 “ 时 析 ， ， 即 可 图 作 旳 实 配 、 根 方 土 ， 法 判 I 别 把 式 V 最 函 I /值 数驻 N 使 O、 转图 , / 适 从与 化 ( 形 X 合 而坐 成 0 知 ) 二 求 = 竺 关 求 道 M 次 得 , 竺 于 出 繇 则 ( 原變 函 的 型 X X 函 的 勁 数x 定 ) ) 函 数 二 值g 义 = 数 的 次 域_ 域 / 值 方 3 、 ) 域 程 = 贏 M 八 F W 或 ( ］ 滿x , / y 丕 U ( ) x 等 对 ) = m 直 称 i„ O = , 達 性 / 通 U | 、 ) 过 利 = 奇 W 方 用 偶程 基 性| 本 、尹 不 > 周些 等 期導 式 性 卫 有 | 、
1 方 2 . . 法 已 已 是 知 知 令 / / ［奇 ( " x W g偶 ) g ( 利的 ( x性 x ) 用定 ) ］与 契 周义 的周 ， 期域 定期 解 性为 义性 出 求［ 域是 函 x " 为函 为 ］数 皿数 所 ,值求 可的 求 、/ ，重 ［解 求要 g析( ,性 x ( 式) X质 ］ ) 等 的， 的 定应 定 义用 义 域非 域 .常 , 广泛， 二者 、 、程 换 用组 元 图法 法 像求单调区已 可间知 用、/( g 适 奇对 (x 用 偶与 )代 于 性/［ 替 已 、g 两 知 最(x 边值) f J l 所、 g 满 M 有零 l 足 的 的 点的 表 X等关 , 达 得 系 式 到 式 的 关 ， 情 于 要 况 / 求 (X / ) ( 对 与 时 丿 , . 反 换 函 元 数 法 法 根利 函据用 数需代要数合和理三选角用换识元图，的将结所论给函数转化为易求值 a 域的
方法:由/常［结gC合O］在中一的起"考WX察W3.,对求定出义g(、x)图的像范特围点，和 即性质 熟练、活用 思想分类一讨._论.，特 别是二 lg(x)］的方程组，解之即可求出/(X) — 1 利用反函数的定义域与原函数值域的关系
为 3 域 得 . / 已 到 ' 方 ( 知 / x 法 1 / 沖 方 ［ : 是 转 X 3 g 解 ) ( 化 的 啲 x 决 ) 为 范 定 ］ 此围 2 义 的 类 与 域 定 问 1 义 , 题 由 域 的 2 为 关 求 ［ 键 出 a, / 句 G) ， 的 求 定 / 义 回 对 域 ］ ， 的 再 定 由 义 1 方法二 分 次 离 函 变 次 数 论 数 量 方 是 图 法 程 象 否 法 二 为 次 0 的 项 讨 系 特殊值法 通 题 题 过 具 注 某 体 ： 些 化 以 特 、 上 殊 简 方 值 单 法 代 化 求 入 ， 函 题 从 数 设 中 解 __ 中 找 析 __ 的 到 式 __ 等 规 时 __ 式 律 _ 一 _ ， , _ 定 _ _ 可 解 要 _1 决 考 使 问 虑 问 并确定 婺 自 形 结 ' 导 ■ 合 数 变 法 法 所 像 利 端 给 求 用 点 函 函 导 值 数 数 数 的 有 的 求 大 较 值 函 小 明 域 数 显 的 的 极 几 值 何 点 意 ， 义 比 ， 较 可 极 借 值 助 点 函 与 数 闭 招 | 区 图 间 的
导数法 量x的取值范围，所求函数式必须注明定义域高中数学 第二章 函数 第三节基本初等函数
|若0»1且》6,），则x叫做a的”次方根, 定义 函数 X （狈且 *1 ） 称为指数函数 |
1.忽视<产（a>0且M1 ）本身大于0致 |记力响,式子伍叫做根式，"叫根畔，"叫被开方数 根式
误 加 5 5 注｛當 性质 图像
2.忽视真数的取值范围致误
瘟正整数指数幕：■一汴 零指 整数慕
3.把反比例函数误认为单调函数致误. 数慕：。°=1（。部）” 负 有理指数寫 定义域R值域0,
整数指数幕方 （时
。） 调性就耍是増函数；（X“，在心是减函数
求出定义域、化简函数式、作函数图像这 是解 正分数指数幕:仍=侦MN*且为互质 负分数指数 无理指数
初等函 抽 数 象 的首要问 特 题 抽 象 特 ' 抽 例 象函数及 、 特 学 幕 习 : 误 ； 区 伫企（4°回 a" 、 是 I " 一 WN 个 t *且 确 为 定 互 的 质 实 甄 数 a" ， ・ ” a" 为 =a 无 "* 理 " 数 ( a、“ER ) 指 指 数 数 函 对 与 ? 数与 定 中 义 洲 | 的 若 底 且 数 狎 一 ， 1 测 ） 当 i 的 0 , < 真 a 则 a > < 数 1 r 1 叫 时 时 做 ， ， 以 *> X 0 a > 少 0 为 , > 0 底 1 〈 ; A 》 NV 的 1 〈 ； 对 0 X , 数 < 0 0 〈 ， , * * > < 尸 1 < 记條 飕 /v , 其
f'M=M 7 知识 对数函数 性质 .零和负数没有对数
梳理 • lo^=1；瞄1=0 （a>0且*1
知能提升 在 算法）则 |o、b、M ~
幕函数 ②式
对数恒等丄切、N>0且aX1） 下^^。段喋 I"
以io为底的对数，简记作igN
对数函数 We为底的对数，简记作InN
定义
函数叩 1 阀、（ a> 0 且 *1 ）称为对数函数 |
8
8 （1）"是偶数，函数为偶函数
（2）林"均为奇数，函数为奇函数
⑶，”是偶数，，，是奇数， 定义域 (0, +8 )
函数为非奇非偶函数，图像
对 （ 数 1） 式的化简方法： 真数的积、商、幕、方根运 性质应用 指 对 数 数 函 函 数 数 与 的关系 在第一象限 x 当 当 =1 a 0 , > < * 1 a = < 0 时 1 ， 时 0 ， 0 x ; > 1 x , > 1 y , > 0 *<0
用对数的运算 法则将它们化为对数的和、差、 化简求值
积、商； 函数K" (m e N*,” e z)性质
（2） 对数的和、差、积、商运用
对数的运算法 则将它们化为真数的积、商、幕、 反函数 1 . 图像都过点（ 0, o ） , （ 1, iT |
解不等式 . . 在第一象限内为増函数
3.在第一象限，a>1时，图像靠近 ，
轴；0性质” 这条主线来学习
指数函数、对数函数互为反 函
数，其图像关于戶x对称一 指
数幕的运算：先算括号， 后指
数运算，附加条件的求 值问题，
注意"整体代入"
比较大小 运用化归转化的思想 一 解不等式'一
---------'扌譏（碾、幕）函数与其他 定义域 函数构成复合
函数；求
定义:当一个函数是一一映射时，可以把这个函 数的因变量作
为一个新函数的自变量，而把这个 函数的自变量作为新函数的
因变量，则称这两个 函数互为反函数.高中数学 第三章 三角函数 第一节任意角与弧度制
_ 度_与弧 度_单位不 _统一使 、计算致 误 > 平面内一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
学习误区 任意角
象高限角、中轴线数角、区学间角第二章 函数第四节函数的应用 旋转开始时的射线叫做角的始边
锐角与 第 - 象 限角丄 C理解上的错色/ 二_旋转终止时的射线叫做角的终边
{al g 指 程号将 或,问 对*e题 方z}转 程终化 进边为 行在对 讨坐方 论标程 使轴( 问上组 题的)的 获角认 得的识 解集， 决合 通 n 过 匚 解方 构 题 造 时 函 ， 数 所 研 构 究 造 方 的特 程 函殊 、 数角 不 的图 等 集像 合 式 不知 问 易育S 变 提 形 升 不等价导致失误 解应用问题的一般步骤 射线的端点叫做角的顶点
{ { a « | l a 指 形 数 使 对 就 决 = a 第 第 第 * = 变 用 式 的 问 函 于 n h 一 二 三 + r 成 联 把 概 题 数 函 乎 - 象 象 象 i 二 系 问 念 得 问 数 ， , 限 限 限 * 元 变 题 、 以 题 当 沱 e { { { z a a a 方 化 中 图 解 戶 } Z | | | 终 } 程 的 的 像 决 终 0 * * k 边 3 3 3 观 数 、 时 y 边 6 6 6 - 在 0 0 0 点 量 性 / 就 在 ° ° ° ( 第 分 关 质 x 转 第 < + + ) 二 a 9 1 析 系 等 = 化 一 < 0 8 o 、 《 ° 0 问 表 对 , 为 、 ° 可 四 3 < 题 示 问 方 三 6 a < 象 0 < a ， 出 题 用 程 象 ° k < 限 3 $ 通 来 加 方 ； 限 + 6 3 角 9 0 6 过 ， 以 程 角 0 ° 0 平 把 ° ° 函 运 思 平 + 研 分 它 , 1 + 数 想 分 8 2 用 究 线 k 移0 7 来 线 E ° 0 的 函 ， 上 项 Z ° 解 上 , 的 } , 的 k 角 C * 角 Z G 的 \ Z 的 集 I 集 合 画會出致误 2程思想 学习误 总 区 结升华 反 知 一 二 比 次 次 例 识 型 型 型 梳理 函数 常 模 见 型 的函 象 数 限 模 角和轴线角 角 角 这 的 的 个 分 终 角 类 如 边 是图 落 第 — : 在 几/ 点 《 \ ( 第 象 零 < 负 c > 几 限 角 e ) 正 角 ( / 象 的 a ( 角 , * 限 角 / ) > < ， ) 。 , 就 使 ， _ 当 / 则 说_ ( 按 按 _ 一 c 屋 肘 _ ) 逆 顺 _ 条 = 少 ， _ 0 时 时 _ 射 o 存 称 _ 针 针 _ 线 在 它 _ 方 方 _ 没 形 __ 向 向 有 _ 成 _ 旋 旋 作 _ 了 _ 转 转 任 _ 一 _ 形 形 何 _ 个 _ 成 成 旋 _ 零 _ 的 的 转 _ 角 _ 角 角 _ — __
方程/3) = 0的根，可看成是函数>，=/(*韵图 函数思想 知能提升 知识 及其应用 角的终边落在坐标
像 对 第 = 与四 g( x象 对 轴限 , 的 是 {a交 函 \ 点 数 *-的 y 3 6横 = 0 0坐+ " 2 ( 标7 x 0 ) ;0 与 <把a , <它 ， *-移 = 3 g 6项 ( 0 x 0变 ) + 图 3形6 像 0成° 的 , 交 風 kE Z. I 密 互 切 相 相 转 关 化 方 函 程 数 思 思想 IS 梳理 轴上的角叫做轴线角
点 是 的 数 横 形 坐 结 标 合 . (与 可 a|分 用 a=类 函 *-讨 数 36论 思 0°的 想 ,完 来 *G美 解 Z}展 决 亲 方程问 非 题 负半轴 终边函相数同的角 的 函 零 数 点 定义 有共同始边与终边的角
应用于{a实|a际=*的36核0°心+和18关0°键,是*e：Z}面对实际问 非 轴题 正 半 的材 、终边在曲 轴线 求 角 方 程 的 的近似解 与方程 表示 求法{叩 代=a数+A法?3函60数。的,耗零 点Z 就}是方程/(*)=0的实数根
料，如何进行联想,以构造恰当的函数模在 型X轴或方 f \ 表示
程模型，以便(简«|捷a=地A-解18决0°问,题*eZ} 上>
首o先+9要0°确 ( , a 定j | t « 方e = Z A 程} -3 有 60 几 个根,可结合函数的 非 轴单 负 调 半 性来判断 学法指导 角度制 二分法I 弧长 周 等 角 于 的 半 血 径 为 长 1几° 的 何的 圆 法角 弧所对函的数圆y心=/角(对/J的 叫图做像1与x轴的交点
其 最 时 若 丄 方 两 函 次 后 业. 正 的 其 紊所 同 一 终 若 的 k 函 塑 程 相 数 { 确 用 近e 角 顶 不 个 边 a 函 零 Z 数 的 / 邻 图 | 定 二 似] 、 玄 同 角 落 ( a 数 点 ( / 零 » 零 像 = 根 分 值 a 负 都 的 是 在 ( = » / 爲 | W 点 。 点 通 3 零 所 ( 法 就 a 角 存 是 第 第 的 6 x 麦 = 称 有 之 ( 过 0 角 在 ) 求 是 A 是 原 终 几 几 图 a ° 的 号 - 为 实 间 | 零 是 的 解 所 1 以 占 遍 象 象 根 像 a 图 零 8 不 数 函 = 点 + 射 大 ， 求 0 射 . 的 限 限 本 与 < 2 像 丄 o 始 变 解 数 t 时 + 7 线 致 当 的 线 选 角 区 - 9 0 x 与 〉 边 号 值 9 ， 0 o ° 没 区 区 近 绕 择 ， 轴 别 0 ° 为 函 零 X 保 ° 函 , 有 间 间 似 端 方 关 相 在 , 轴 数 点 X 持 数 * k 作 ， 的 解 点 向 键 切 于 e 相 £ 铀 > 同 值 Z Z 任 区 两 的 不 是 = ， 范 } 交 } 的 / 号 变 何 间 个 旋 看 ( 围 ， 对 号 旋 长 端 转 这 不 / 与 ， 转 度 点 方 个 电 少 曲 越 的 向 / 丿 时 非 轴 在 上 有 小 坐 定 角 相 正 、 / 交 L越 标 义 的 轴 关 半 点 好 差 定 终 - 。 精 般 义 边 一 确 性 在 般 到 、 坐 \ “ x “ 控 正 T 要 终 标 小 第 几 制 角 求 边 轴 于 一 个 在 、 “ 的 在 上 象 9 等 两 负 锐 精 0 限 V 。 价 个 角 角 轴 ^ 确 的 关 整 、 ” < / 度 角 系 数 零 1 t " 丿 之 角 1 间 零 角 点 的 判 理 断 解 零 终 的 点 边 角 理 相 解 同 程 函 5 它 1 2 3 3 .思 . . * 6 4 跡 终 们 ( a 3 0 , ^ 6 。 终 相 为 想边 的 | 0 J 。 2 边 等 任 g 相 差 可 = 与 相 的 意 « 同 是 以 + 同 角 角 a j 的 3 看 t 之 的 的 6 3 角 0 做 6 间 角 终 。 0 有 上 ° 用 不 边 的 无 , 指" 3 一 一 整 ^ + 6 学 数 e ” 0 定 定 数 Z 。 多 导 | 连 相 相 倍 法 + 个 接 等 同 ( ， ， ， - a 》 ) 常见 弧 函 度制 数模 解 弧 型 决 度 的 实 数 特 际 点 问题 角 间 的 弧 度 的 的 制 半 度 与 转 度 步 径 正 负 的 弧 化 零 叫 为 角 角 1 骤 角 度 角 做 ， 的 的 ， 的. 孤 之 • 二 弧 弧 直 用 弧 的 度 分 度 度 线 y 对 间 进 弧 度 圆 = 制 法 数 数 模 f 于 一 而 度 数 ， M 。 求 是 是 型 , 区 分 得 作 是 圆 通 / 正 负 间 为 到 为 「 心 ( 0 过 同 数 数 二 零 单 角 爵 不 卫 = ， 点 位 0 a 断 的1 近 使 近 所 ± 地 V 单 3 4 似 区 似 q 増 过对 • 6 5 把 位连 0 2 解 间 值 来 长 图弧 。 r 函 符 , 续 a 的 两 的 度 读 特 形长 = d 数 号， 2 步 个 方 量 做 点 可为 ” I / 是且 骤 ( 端 法 角 “ 是 直/ r r " “ , / a a 的 点 的 弧 直 观那 ( d d I r« , = 零 逐 大 a 度 线 地么 ) ( d/ 1 禦 ， 步 小 ” ” 上 认角 < ° * ) & 逼 升 识 ) 。 a 所 < = 的 到 0 商 = 在 近 5 的 ( 7 零 灯 r . 函 的 a 3 点 d 0 0 数 区 。 ) ， = , 0 = . 5 通 0 7 1 ° 7 18，
k " " " 弧 e 0 A Z ° - 在 度 " 3 若 式 < 6 定 制 a 0 都 函 子 < ° 义 与 9 是 数 等 0 < 域 角 ° a 度 的 于 < 上 度 * ■ 解 零 - 连 制 3 角 析 求 6 续 都 0 的 式 方 o 的 与 + 制 是 程 9 单 圆 0 度 代 的 ° 调 的 它 数 根 , 函 半 们 式 数 . 径 的 ， 至 无 范 直 多 关 围 接 有 分 一 令 别 个 是 零点 几 代 何 数 法 法 相同点 3.进位制不同 一 合 下 元 二 结 二 次 论 次 函 不方 数 同程 f 点 (x a ) x 2 = + 构 a i 造 x x 2 与 + + 函 C b 2 = 不 x . 数 O + 度 等 c 解 ( 最 蜘 式 ( 京 单 方 )的 位 程 0 , 实 ) 6 1 不 2 . - 根 图 定 同 4a 分 像 义 cS 布 可 不 >0 ， 得 同 到 结 如狙喚'角“ 给 求 的度 疋 函 步” 精 数 骤 度 变号 E， 零 用 点 二 近 分 似 法 值 弧长公 弧 式 与 度 及 实 制 扇 数 下 形 的 角 面 关 冲把 积 系 弧 公 度物 式 数写理 3 成 . 兀 对 的 数 貯 芸 用 若 函 的 弧 干 数 集 富度 倍 模 合常 为 的 型 与称 单 形體 实为 位 式 増 的 数" 表 指 长 増 集 囂示 数 特 大 R 角 爆 之 点 ， 时 炸 I 曩 间 是 函 ， " = 建 随 数 常 \ 立 着 值a 鬣常 \ 一 自 増-r 一 变 大 驚 对 量 的 应 关 篇 系
都 立 能 起 在 一 角 一 的 对 集 应 律 函合 的 化 数与 关 为 图实 系 两 像数 个 的集 容 交R 易 点之 作 间 瑚 建 角 十 度 进 制 制 中 ， 的 弧 度 度 、 制 分 是 、 十 秒 进 是 制 六 顓 勒。i ' 生 度 弧 混 中 度 淆 的 制 的 “ 中 情 ° 用 况 弧 " 下 不 度 ， 可 表 “ 省 示 r 略 角 ad 的 "可 大 以 小 省 ， 略 在 ， 不 丨 ［ I( 可 ( - 但2 3 (I ) ) 1发 角求 计 ) ) 确 区 算 定 间 /( 区 何 *) 间 ， ,① ［ 川可 。 若 )的< , / 中 可 G 0 ) 点 , = 验 o, 证 则 ， x, ( 就 。 是 ) 函数的零 务 点 幕 就 函 ， 数模型 速 最 度 常 S= 越 见 -^ 来 的 lr 越 是 = 慢 二 — ( 次 底 \ 函 a 数 \ 数 - 。 r 2 >1 ) »
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X»>)=0 (4)判断是否达到精度e：即若la顼0 )或向右 把横坐标变为原来的
在精度要求不高时，常常釆用 " 五点法 " 一 2.化简三角函数 (0<0)平移I初个单位 '1/<»倍得
■ 4. 判 4 若 叫 断 0 做 三 l ，叫相位，们叫初相 变奇形偶技性巧 判断方式法 g.证明三 . 法 1 角 .定 恒 义 等式 长度^y=sin(x+> 为 =s 原 in 来 (< 的 ux S +j 倍 >) 得
估 判把 平算 断函 移求 角 * S |值 所i 个 g在s 单 i的n 位 象x ， 图限 得 像 到 上 戶 所 s 有 in 点 ( 向 x+ 左 s ( ) ” 的 0 图 ) 像 或向右( 负 2 ， . 角 1 弦 的 化 切 代 正 互 换 角 化 、 '1 大 1 由= . s 角 由 简in 化 户 单2a 小 到 s + i c 角 复 n o s 、 杂 x %= 化 得 y 、s = e 异 至 < 由c 4 % 为s 特 l - i J t 同n 殊 W a ( s n ；a 到 i & w n = 常+ 一 ( c p < s 用 般 o c ) x & 诱 的 + - Q c 导 思 ) o 的 t 公 想& 过 = 式 t 程 a n N 体 切 于 现了
奇 三 三 变 符 号 把 戶 2 把 的 1 偶 . 角 角 指 号. 函 估 函 / s 判 是 函 函 正 是 ! i 数 计 数 倍 n 定 指 数 数 、 把 戶 各 户 ， t 各 整 值 中 余 o a 三 得 s x 角 s 看 数 大 的 弦 i i 的 角 到 n 所 n 做 * 小 不 互 图 为 函 汽 x 在 x 锐 的 等 变 图 像 奇 图 数 的 4 角 比 式 ， s 像 数 像 值 象 i 时 较 证 正 n 上 或 上 的 限 ， 明 、 x 所 偶 所 大 原 的 余 有 数 有 致 函 图 切 点 点 范 数 像 互 的 的 围 的 变 横 纵 符 坐 坐 标 标 变 伸 为 长 原 为 来 原 的 来 — 倍 ' ， 判 基 蹄 断 本 周 三 程 期 角 序 变 齐 函 换 数 得 值 至 大 I］ 小的 a 函 .并 数 整 周 为 奂 为 周 非 都 数 期 其 周 期 所 有 ) 函 周 期 通 为 有 最 数 期 ， 常 周 的 小 ， 指 期 r 周 正 T < = 非 ， 0 期 周 2 . n 零 如 期 , 三 k 常 户 T 4 种 教 ; S E r 基 i n 为 k .2 本 x . 为 ( 周 最 题 xs 期 小 型 d) - 正 2 即 * 周 期 利 来 用 确 即 或 . 解 ' . 角 或 来 . 角 角 有 图 定 验 专 合 的 用 表 的 的 一 像 其 证 奇 理 三 另 示 象 象 解 1 的 奇 / = 选. 角 一 这 t ' ± 限 限 或 一 对 偶 ( 择函 函 个 个 - 1 或 或 两 般 称 性 X 公数 是数 角 三 ) 终 终 解 情 性 ± 式式 否值 的 角 边 边 况 / ，进 成含 三 函 ( 已 需 下 x 一行 立有 角 数 ) 知 要 ， 般化 字 函 = ， 判 需 0 思简 母 数 只 断 先路 有 , 是 一 按 " 倒 技 最 、奇 称 值 平偶 \ 轴 、 X 性 s . ' 倒 i 消 可 n 对 、 a 元 求 ± 称 商 和 其 c 中 、 o 降 他 s 心 倒 a 次 两 、 ： 当 ” 2 系 个 . s 对 』 的 S 数i 式 ^ n 称 > 顺 s 变a 子0 i c 轴 & 序 时 n 为o 。 = e ( s 过 血 =很 ， « 正a 它 f x 最 + 三 a容 最 + 的 隐 言 f r > 值 个 易 大 ， ) 含 ( ( 中 点 疋 式 *求 值 然 一 e 的 ， 子 z解 Z 为 后 个 ) 对 中 s 时 ) 进 条4 v 时 称 ， O 为 最 行 件 , 为 中 已 可 奇 小 变 ： 偶 心 知 先 函 值 换 弦 函 过 其 用 数 为的 数 函 中 诱 平 数 一 导 方 的 个 公 和 零 式 式 为 点 子 也 1 ， 前的
4 用 3 三 . . 把 诱 对 角 这 导 于 函 些 公 大 数 同 式 致 值 名 化 范 化 且 为 围 为 不 同 相 同 在 一 同 名 同 单 的 的 一 调 三 三 单 区 角 角 对 函 阴 方 调 间 函 函 角 数 影 和 区 上 数 数 线 等 三 等 间 的 值 直 上 于 角 于 上 ，两 与 形 底 的 把函 其 ， 角 三 不数 相 顶 函 角 同之 邻 角 数 函 名积 的 的 的 数 的为 两 两 平 ， 个 个 方 1; 函 函 任 数 一 数 角 的 的 积 平 的 ; 正 正 b 期 切 . 一 弦 若 、 般 、 涉 余 a a 角 a 都为 看 是 余 及 切 ， 是任 做 第 弦 周 。 加 指 意 锐 二 期 7 = + 函 = 高 a 角 角 象 ， 备 是 数 〜 ， ， 限 如 _ 第 的 为 则 角 不 a三 最 . 记 - 特 结 a 象 小忆 别 是 论限 正方 说 第 宪角 周便 明 四 ， ， ， 象 . 把 7 限 t- 3.常用方法 证明题型 目 值 三 在 的 角 3 关 函 开 是 . 恒 依 于 数 平 简 等 据 原 的 2 方 化 式 . 函 点 奇 求 时 运 数 对 偶 函 ， 算 的 称 性 数 应 ， 定 的 的 注 要 义 点 定 意 求 域 集 义 " 项 主 是 ， 域 数 " 否 判 的 尽 为 断 取 量 舍 少 ， ， 有 次 时 数 需 尽 单 要 量 调 分 低 性 类 ， 问 讨 尽 题 论 量不含 2 减 1 . 分. 复 ” 正母 合 、， 函 余尽 数 弦量 的 函不 单 数带 调 的根 性 单号 法 调， 则 性 尽 “ ( 量a 同 >化x 増 + 为p 异 看数做是一个整体 )
5.利用三角函数的单调性比较大小 作 确 出 定 函 其 数 最 的 小 图 正 像 周 来 期 b.图像法 已知三角函数值求角 4 法 .若定义域不能判断，再用定义法等方
Ax+T)=f[x) c.定义验证法 、实 际上是求解最简单的三角方程，若所求角的范围不限定在某个单调区间内，则得出的解不是唯一的高中数学 第三章三角函数第四节三角恒等变换
公式的变形错用致误 麗豔角 半角公式sin \ l+cosa
学习误区
c 虹 os Z 壹的角a为任意角，tan岩中的角a要求a尹（2*+1 ） n, 7不能正确理解半角致 万能公式 2
1+tan2-2- 1+tan2-2-
要注意半角相对性,
知能提升
和差化积
和差化积与积化和差 转化思想 知识梳理
万能公式可实现代数、三角的转换
正 余 余 余 余 正 正 正 符 符 号 号 同 异 两 两 角 角 和 和 （ （ 差 差 ） ） 的 的 正 余 弦 弦 公式巧记口诀 积化和差 s 州 in > ac a o c s o s &= 8 = — — [si n [ S c + o ^ s + ( s a i + M j a S - ) s f c 项 i f o n ) s ) - ] a c a s o s i s i n ( n a f - i ^ — = ) - ] [ - s ! i - n ( [ a c + o ( s 8 ( ) a - + s ； in(a
已知正在先，正差正后迁，余和一色余，余差翻了 和差化积 两角和 与 +cos(a-^)] asin a+bcos a= y/a2 + j2sin ( a+申) (其中 tan p=—)
天 交 反 积正相连，正前正中间，同积余相连，正在前中 积化和差 差 余 的 弦 正弦 、 / s 辅 in 助 (a 角 ± 公 0= 式 si 丿 n - a - c - o - s - - c - o - s - - a - s - i - n :- 戶 - - 和 -- 角 -- 与 -- 差 -- 角 -- 公 -- 式 - 丄, tan a±tan B
弦、余 和 在 用 式 弦 差 余 a 倍 换 角 弦 角 的 的 2 公 a 正 倍 , 式 可 弦 角 中 得 、 公 将 半 余 式 分 角 弦 中 母 公 通 ， “ 过 1 相 ” 加 刁 减 换 可 成 得 " 到 角 弦 公 的 式 平 中 方 令 和 ” a 积 = 可 / 化 / 得 得 和 到 到 差 万 倍 公 能 角 式 公 公 夷 式 在正 公式推导 氧恒等変換 正 三 切 角函数的求值、 升 二 幕 倍 降 角 幕 公 公 式 c 式 ° 化 s( 简 a 与 ± 证 ^ 繭 )= 、 cos s c = a i o 1 1 1 c c n s o o + - s 2 2 s c c 2 a a n o o = = = F s s 2 c 1 s o s + 2 2 i s i co a « n n s = = 2 a n 2 s a - a c i c s - s o n o i 2 i s 2 s n s n a & i a a n 夕 - f t - t a - n - t ( s 副 - a a i - n n - 2 土 2 2 - « ° a - = - B - 1 = ) 1 + < 吉 i 1 = c - T - - o 并 t -c s - a 8o 2 2 - n S s a a - - 2 a - atan
< 将 p= 积 a- 化 P, 和 则 差 可 公 得 式 到 逆用，且令Sa+0, 和差化积公式 _ 学法指导 角的代换 将 法 未知角用已知角表示出来，使之能 a 直 =2 接 co 运 s2a 用 -1 公式的代换方 (a+户)+ (a-8)
应用技巧 常见角的代换
asin x+bcos x=y/a2 + J2 sin (x+p ) *_»口 —. (P+a ) - (fi-a
公式应用 )
用三角函数公式将其化为戶dsin&x+pg》的形式
半角公式升次，倍角公式降次 降次与升次 证明问题 an号s 1 i n + .t c < o _ s= l a -cpg s o in a 一 是 _ _ 将 _ _ 角 _ _ 岩 _ _ 化为角a =
要根据函数式的结构特点确定方法 求值问题 2.半角公式的 结构 擇将正切函数化为弦函数
无理式应化为 次 有 数 理 相 式 对 ， 较 分 低 式 ， 应 顽 化 薮 为 较 整 少 式 、 . 化简原则 利用二倍角公式和平方关系求值 特点 ［co 半 s 角 a表 公 示 式 冲 中 今 不 、 含 s 有 in 根 今 式 、 ， f 称 an 半 与 角 可 公 以 式 看 有 做 理 是 式 倍角
给角求值 （ 在不查表的前提下求值） / 逆用和角公式求值 ［公式 的变形 丄 < , 2
能求出具体值时 分 ， 母 一 不 定 含 要 三 求 角 出 函 数 数 值 1 来 \ 角度成等差、等比数列求值 利用 、 和 、 角 7 — 公 拆 式 角 及 与 二 并 倍 角 角 求 公 值 式 求值一 瘤 、 " 倍 3.正 选 负 取 号 速 当 ］ 芳 断 终 出 边 角 位 置 号 不 的 明 终 确 边 时 位 ， 置 则在根号前要保留正负号
减少角的种类 思考方向 与半 " 的相对性 三角恒等式的证明实质由一种结构形式转化为另一种结构形式
减少函数的种类 三角齐次式的求值
改变函数式的运算结构 用万能公式求值 基本思路
化弦法 与和角公式结合求值 条件等式的证明一是将条件代入求证式，把问题转化为恒等式的证明
异 复 化 角 角 切 化 化 法 同 单 角 角 给值求角 本思路'‘ 欲 角 韓 求 的 角 角 范 的 ， 围 名 先 讨 称 求 论 值 " 为 殊 特 角 殊 的 角 三 的 角 三 函 角 数 函 值 数 消 值 去 ，或将 非特 ，亠…rk - e “， 逐 g 、 步 I 地 . 推 出 求 证 式 二 遇 是 切 从 割 条 ， 件 想 式 化 出 弦 发 ； ,作 遇 以 多 求 元 证 ， 式 想 为 消 目 元 标的变形
异次化同次 给值求和 育合冋题：米用"六遇六想"{gk 想联系；遇高次，想降幕
需
解
要综合利用所学知识，掌握必要的技能才能顺利求 XU遇特角，想求值；遇和式，想收缩高中数学第三章三角函数第五节三角函数模型的简单应用与最值
由解析式作出图像，并研究性质
如sinx+7k?7型三角函数求最值问题， 当 利用基本不等式求函数 的最值， 三角函数模型的简单应用
sinx>0,a>l,不能用均值不等式求最值, 适合 不注意等号成 立的条件陷入误 由图像探求三角函数模型的解析式
区
用函数在区间内的单调性来求解 学习误区 利用三角函数模型解决最值问题
变角：根据角与角之间的和差倍半、互补、互余等关系， 化异角 建立三角函数模型求临界值
为 升 同 降 角 冨 ， ： 化 对 复 次 角 数 为 高 单 的 角 三 ， 角 使 函 已 数 知 式 角 一 与 般 所 釆 求 用 角 降 互 冨 相 处 沟 理 通 , 对 技巧 综合 知能提升 j^asin x+b(或acosx+/>)型 利 对 用 字 函 母 数 。 的 符 有 号 界 的 性 讨 ， 论 须注意
化简根式问题釆用升幕的方法 应用 利用辅助角公式将函数转化为
*=asin x+bcos x+c y=Va2 + b2 sin(x+°)+c的形式,
常数巧变：将常数值转化为三角函数值，能起到特殊效果 型 再用有界性求得值域
3. y=asinW/>sin x+c 配方后求二次函数的最值,
变名称：变不同名称函数为同名函数，通常是切化弦或弦化弦 型 asin x+b 应注意 Isinxlw 1
csin x+d 反解出sinx,化归为Isinxl W1解决
平方：若给出的两式是两单角形式，而所求的是两角和或差, 可考 15. y=a(sin x ± cos
虑两式平方后相加减 方法 x)+Z>sin, 令 为 七 二次 si 函 n 数 x 在 ± 闭 c 区 os 间 X 上 后 的 转 * 化 值问题
消元：考察题目的结构，如果题设部分含有的角 在 数模擊 圈蓮 三角函数与其他知识的综合问题
结论中没有出现，可考虑用消元法 脸 ■吏其他函数、向量、数列等知识的综合
用与龍
配方：根据给出式的结构，若平方项较多，可用配方法
配方法 函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数， 且它
们的最高次数是2时，通过配方或换元 将给定的
一般可由图像上的最高点、最低点来确定141 函数化归为二次函数的最值问题处理
指导 最值求法 引入辅助角法 此类问题为戶asin2x+i>sinx ■ cos x+ccos2x
2.0：往往通过求周期球确定co. 的 三角函数求最值问题，它可通过降次化简整
可通过巳知曲线与x轴的交点从而确定r, 即相邻的 主要用'‘五点法" 理为戶asin x+Zicos x型求解
两个最高点与最低点之间的距离为f, 相邻的两个最 来确定其中的系数 已知户Ssin (cox+与|z6|=同l,向z^时|z，|2a=-|bz=| 2=|aa2|+|Zf>r2| ； 当。
向量与的三模角与形两法向则量夹角的余弦的乘积，其符号由 夹慕角、的余 丿 对实数，使得a或巧+%弓，我们把气 e?叫做这 与6反向时，a%=-同同；
弦值来决定 复数减亲
在运按用向数量量的积减公法式进解行题，时满，足一三定角要形注法意则两向量夹角的\ 范围 一平面内所有向量的一组基底 数量积 特别地，a-a= |«|§5：|0|=^/^7.
是[0表,示复数对应的点到原点的距离 的定义 (4)若。为a, 6的夹角，则cos气W]
在书写向量的数量积时，中间的点不能省略 复数形 (5)|展|w |O||D|
虚 i4 数 n I =c 是 ol i ”, "不i - =能 "i s ~ w 比 l = L较 i 可 大 , 以 小 i 解 的 " 决 2 , 可 而 = 有 -以 实关 l解 数长 ,决 可度 有 以的 关 ，问 角 这题 度 一数 的 点量 问 必积 =题 须的 - 牢性 i 牢质记住 A / \ 点 。 ， 为 4、 任 B 意 、 点 C ， 三 4 点 、 在 B、 一 C 条 为 直 平 线 面 上 内三 | z z j | . = 忸 |己 作 习 I 知 C = M — 两| = > -个 z a 非 , | =零 O 府 B — 向 =b > 量 ,则 ka 和 £ • A 。 O B ，Z = 2 0 | = |
€ — Z 同 ) i可 以"+解i决 取有+关i垂 *直+的i 问g度=0 (M i的帯的周期性 i有关的计夏 次 d D OC=aOA+fiOB,且a+左 1 复 性 数 质 模 的 | z z J " + | | z = 2 ( | 0|°z |W" OW|1|80z°j- )|叫z2做|向|量w|“z与i "土的夹Z2角|w|
① = a I - ( 1 b a 1 \ 1 1 W ) ； 2 ^ =W 1 2 W ® 1 Z= ( W f ; l± 护 ^ — = ) 1 2 = = i « ； 2 ± — 平 2« 行 6 条 + 件 b 垂= 2 — 直 ； 条i ③ 在 1 ] ’ a 数 + 夹 b 量 ) 角 积 关 规, 公坐 于 色 式 ( 标 f 1 _运 l士- 亀 A i )的 运算 |a|cose(|6|cos°)叫做向量"在6方向上(6在。方向上)的投影 设 们 OW 的 O a W 、 方 JT 6 , 向 那 是 夹 么 任 角 数 意 为| 量 两 z仇 l| 个 + a z | 非 2| - 2 | 零 + f | t 向 z |lc - 量 o z s2 ， |2 = 它 2(|zlf2+^|2)
"+wT+wn+2=0 («€ VT "的长度与8在a方向上的投影的乘积数量积的几何意义 蛔"与3的数量积，记作高中数学 第五章 算法初步 第一节算法与程序框图、基本算法语句
槪念 用一些通用图形符号构成一张图来表示算法
(1)赋值语句左边只能是变量名字，不能是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含 变量的运 由基本运算规律和顺序， 构成
算式。如：2十是错误的 完整的解题步骤或计 算序列， — 终端框(起止 表示一个算法的起始与结
(2)赋值号的左右两边不能对换，如x=5是对的，5=x是错的;』+B=C是错的，CX4+8是对的 且能解决一类问题 框) 束
赋值语句中 输入、输岀 表示一个算法输入和输出的信
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算。如错误：y = (E)(x-1)*-1 常见的错误 框 息
(4)赋值号与数学中的“=”意义是不同的。如数学中式子/N+1—般是错误的，但在赋值 语句中是将 学习误区 □ 处理框 框 ( ) 执行 赋值、计算
当 "' 判断某一条件是否成立，成立
理垂图中有两个及以上的条件分支时，易造成分支顺序混乱致误 O 判断框 时 ； 在 不 出 成 口 立 处 时 标 标 明 明 “ “ 是 否 ” ” 或“Y”
或“N”
WHIL E 语句首先要对表达式进行判断，适用于任何循环语句 程序框图 门
在循环结构中要“知头知尾知规律” 知能提升 流程线 连接程序框
循环框 重复操作与运算
顺序结构一输入、输出语句和赋值语句
条件结构 f 条件语句语句 与结构的对应 O 连结点 连接程序框图的两部分
循环结构 f 循环语 句丿 / 总结升华 知识梳理 —-n 注释框 帮助理解
①有穷性：步骤有限 画程序框图的规则
②确定性：解决一类问题，重复 使吃 、 顺序结构 Q足条衫危］
③逻辑性：顺序、 分步、 \
④不唯一性：算法不 二、实 誕 ~⑤普遍 语句 1 | 语句 2
性:应用广泛丿/ 算法的 条件分支结构 |
三种逻
①解决一类问题，重复使用 、辑 结构
② 算法尽量简单，步骤尽量少 基 本
③ 算法正确，计算机能够执行 : 算 法 循环结构
④一步步执行，有限步后能得出结果一 语句
不需要分情况讨论时，选择顺序结构 学法指导
要分若干种情况讨论时，引入条件结构
结构的选择
要进行许多重复的步骤，且步骤间有相同的规律时, 须引
入变量，应用循环结构
判断的结果不只两种情况时,釆用条件结构“嵌入” 条件 程序框医 定义 用来表明赋给某一个变量一个 具
结构的办法 体的确定的语句
INPUT "提示内容”：变尊 格式 赋值语句 格式 变量名=表达式
除判断框外，大多数程 框 序 图 框 一 图 般 只 按 有 从 使 一 左 用 个 到 标 进 右 准 入 、 的 点 从 框 和 上 图 一 到 符 个 下 号 退 的 出 方 点 向 、 画 y "是”与“ 画 否 图 ” 规 两 则 分 实现算法输入 输入语包 功能 把“=”右边的值赋给左边
支的判断，有且仅有两个 在 可 图 能 形 结 符 果 号 ； 内 多 描 分 述 ， 的 语 支 言 的 要 判 简 断 练 ， 清 可 楚 能 丿 要 有 熟 几 悉 种 格 不 式 同 基 的 本 结 算 果 法 语 丿 句 ! 算法语句 处理条 实 件 现 分 算 支 法 逻 中 辑 的 结 条 构 件 的 结 算 构 法语句 定 功 义 能 飾出语句 例 格 如 式 P P R R I I N N T T " " 提 S= 示 " 内 ； 容 S ”：表达式
明确要求
直 当 到 型 型 循 循 环 环 是 是 “ “ 先 先 判 循 断 环 ， ， 后 后 循 判 环 断 ， ， 条 条 件 件 满 满 足 足 时 时 执 终 行 止 循 循 环 杪 ” ” E 7 L ? S ~ E ~ ~ 语 T E H 句 N E D N 体 I 语 F 2 句体1 格式1 条件语句 循环语句 、VJ 当 HE 型 头 .( 现 WH 异 IL ■ E) 法 语 制 句 W 循 W H E I 环 N L D E 体 条 件
两种循环的区别 到型(UNTIL型)语
两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反 条件 THEN 语句 句 循环依
虽然引入不同的计数变量可得到不同的程序框图，但本质是一样的 体 格式2 实现算法中的循环结构 L 条 OO 件 P UNTIL高中数高学中 数第学五第章六 算章法立初体步几 何第第二一节节算空法间案几例何体的结构、三视图与直观图
的 的 围 公 两 成 先 再 先 的共 个 多 两将 按 用 乘点 顶 面 个* 照 积 k 进 叫 点 体 连 面 十 的 制 做 的 的 续 的 进 形 数 多 线 各 去 公 制 式 写 面 段 个 除 共 的 成 体 ~ 多 + 边 运 进 各 的 叫 边 叫 算 制 位 顶 做 形 做 规 数 上 点 多 叫 多 则 或 的 多 面 做 面 计 所 数 面 体 多 体 算 有 字 体 的 面 的 出 的 与 的 体 棱 结 商 《 顶 的 _ 果 , _的 点 面 乏 直 嘉 多 d 连 多 面 接 面 多 体 不 体 面 的 在 的 体 棱 同 面 的 一 棱 对 面 和 角 上 棱 线 觥 礴 十 制 制 进 转 数 制 化 之 转 由 为 间 化 若 十 的 为 干 进 转 *进 个 制 化 制 平 顶 面 点 多边形围成 进 的 - - 位 - j 几 - 制 -- 何 - 转 -- 体 化致错 投影 光 这 是 种 直 现 线 象 传 思 叫 播 定想 投 的 义 影 ， 光 。 由 由 兰 其 于 一 影 中 光 点 线 用， 的 向 交 较把 照 外 于 大光 射 散 一 的线 ， 射 点 数叫 在 形 除做 不 成 以 继 投 透 的 较 续 影 明 投 小 做 线 的 影 的 上 ， 物数 面 把 体， 的 留 后所 除 下 面得 法 物 较 的的 ， 体 小 屏余 直 影 的 幕数 到 子 数 上和 大 的 就 可较 数 屏 是 以 a 小 被 幕 这 留的 小 叫 两 下数 数 投 当个 这构 除 影 投数 个成 尽 面 影的 物新 方最 体的 向大 的一 垂公 影对 直约 子数 于数 ， 投影 面
- 表 关 凸 都 面 - - 面 系 多 ， 一 计 主 再 然 即 到 - 相 经 式 面 - 先 算 ， 转 后 为 商 等 果 - 过 ： 一 - 转 上 计 化 把 碱 为 ， 其 - 连 ■ - 化 辗 算 为 各 制y每 正 余 - + 续 - 为 转 次 盈 步 数F个 五 多 的 - - 变 - 十 相 数 制 得 E面 四 面 面 - = 形 - 进 除 上 数 到 2都 面 体 都 - 可 - 制 法 辗 的 有 体 的 位 - 以 - 数 以 转 余 相 、 中 于 - 变 - 除 相 数 同 正 心 这 - 成 - 法 倒 边 六 到 个 - 除 球 - 着 数 面 各 平 - 为 法 体 - 写 的 体 顶 面 - 的 - 出 正 、 点 的 - 多 - ， 多 正 的 同 - 面 - 定 如 计 边 八 距 一 - 体 多 一 算 形 面 离 侧 - - q 面 个 方 ， 底 - 定 相 - 体 多 法 - 义 每 正 等 - 所 面 与 - 个 十 ， 简 有 体 - 顶 二 到 - 单 的 的 点 面 各 定 分 多 棱 任 都 体 面 义 类 面 和 一 有 、 的 体 所 个 相 正 距 的 編 面 同 二 离 顶 二 而 识 秦 多 能 多 棱 也 点 面 範 图 项 九 项 正 数 相 正 数 角 平 不 式 韶 式 确 的 等 多 / 清 改 、 算 值 地 面 致 写 法 将 时 体 误 ， 计 所 不 算 给 多面体相关定义 多面 学 例 习误区 求 公 两 约 个 数 正 的 整 算 数 法 最大 辗 构 转 成 定 三 相 义 要 除 素 法 投影 . 影 一 方 束 向 平 、 行 ■ 投 光 _ 影 ^ 线 源 灘 平 下 成 距 面 形 的 离 、 算 成 影 被 物 法 的 子 投 体 步 投 越 影 骤 越 大 物 近 体 ( ( ( ( 1 2 3 4 《 ) 直 ' 耳 军 平 质 ) 把 ) ) 九 值 “ 平 输 如 输 线 线 行 行 投 巾 章 给 可 行 入 果 出 （ 与 于 且 射 + 算 " 半 直 两 ” 最 斜 E ，线 线 投 等 面 0 术 者 线 个 的 大 投 , 转段 外 射 长 平 那 》 半 的 正 余 公 影 到 ） 一 面 行 么 中 之 平 整 数 约 第的 点 的 的 把 的 ， 行 数 赋 数 (平 、 线 平 〃 " 2 不 投 巾 值 〃 更 )行 两 段 面 赋 步 可 时 影 、 给 当 面 相 投 点 ， 图 值 ； 半 所 是 n ， 投 时 减 影 它 形 给 否 者 得 平 • 影 所 损 是 的 ， . ” 则 ， 的 行 方 得 术 直 投 它 ， 转 副 平 或 向 的 ” 线 影 的 ， 到 置 行 重 不 平 ： （ 与 投 把 第 分 投 合 垂 行 线 这 影 ， ( 母 影 的 直 投 4段 条 成 • ) 、 直 于 影 赋 步） 线 ― 线 投 .或 ' 段 一 影 点 _
一 面 计 个 数 辗 以 更 差 算 多 分 相 相 转 相 次 面 别 等 除 相 减 数 体 叫 得 余 除 损 相 至 做 到 数 对 法 术 开 少 四 为 较 始 有 面 体 则 0 少 四 体 现 以 时 个 、 结 减 得 面 五 果 数 到 ， 面 ， 与 是 多 体 面 雀 体 " v< 结 按 f= 果 照 次 a« 形 数 它 v 式 不 n 的 = 不 同 vk 同 - 善面 性 凸 凹 数 多 多 电 分 面 面 / 类 体 体一 辗 减 转 损 相 术 关 除 的 键 法 区 秦 是 与 别 九 理 更 韶 解 相 算 递 法 推 的 公式 ＞宾间几何体的结 知 梅 能 / — 提升@ — □ r 识 三 与 视 直 图 观 、 图总 升 结 华 更相减 相 损 关概 法 念 、 影 正 图俯 来 图 侧 视 冬 历 视 图 即 ： 图 ： 光 ： 光 线 线 光 从 从 线 几 何 从 第 一 是 何 体 几 二 步 ， 个 在 影 体 子 的 步 何 是 执 图 同 的 的 之 上 以 体 否 行 形 一 比 前 数 画 较 任 的 都 第 全 直 等 面 ， 向 大 意 左 是 二 等 线 于 向 以 也 下 的 给 面 偶 步 或 这 后 少 ， 画 数 定 向 数 平 两 面 减 以 正 减 两 右 。 行 条 正 多 等 以 去 个 面 若 直 线 投 ， 数 鬓 较 正 正 是 线 段 影 更 约 ， 小 整 投 ， 上 的 ， 相 之 色 的 数 影 用 ， 比 得 减 。 到 数 ， ， 两 2到 损 ” 的 ， 判 约 得 条 的 ， 善 接 断 简 到 线 投 求 鬓 着 它 ； 的 段 影 其 囹 们 投 平 把 若 等 一 行 所 第 不 ^ 投
/输入m：/的值/ \x+an-k , 梳理 得的差与较小的数比较，并 、 以
知识 大数减小数。继续这个操作，
MOD ( ( 1 2 ) ) 输 把 入 成 两 ” 个 的 正 余 整 数 数 赋 ， 值 ， 给r 旋转 算 体 法步骤 梳理 秦九韶算法定 概 义 念:用来表示空间 \ 图形的 \ \ _平 直 数 的面 到 ( 乘 等 图 所 积 数 得 就 ) 的 或 是 数 这 所 相 个 求 等 数 的 为 与 最 止 约 大 ， 简 公 则 的 约 这 数 数 个
IE ( 3 转 )如 到 果 第二 K0 步 ,那 ； 么 否 把 则 " 转 赋 到 值 第 给 四 ， 步 "，把，•赋值给〃, 辗转相除法 空间几何体 的 直 转 形 观 换 图 变 的 形 画 原 法 则 ： 1 . 富 之 有 间 立 的 体 位 把 求 感 置 " ” 次； 和个 多 数一 项 量次 式 关多 求 系项 2值 ； . 式 正问 3的 . 确题 虚值 表转 实的 达化 分问 各为 明题 主 要元素
(4)输出最大公约数〃 直观图 方法：1.斜二测画法;2.正等测画法
程序框图 立体f图(x形)=的 a直nx观n+ 图+的 …画法+ 0X+ a0 画底面，画轴，擦去辅
圆柱 圆锥 ( ( 3 2 ( ) ) 1 把 若 )输 巾 m 圆 * 入 - ” 台” 两 , 的 则 个 差 执 正 赋 行 整 给 第 数 r ( ， 3) ” 步 、 ， " 否 3> 则 " 执行第(5)步 更相减损法步骤 学 法 平 投 学 指行 影 投 的 法 导影 区 与 别 中 和 心 联系 '进 平 出 平 影 行 行 对 投 投 物 影 影 体 的 对 投 投 物 影 射 体 后 线 投 已 得 都 影 知 到 互 后 三 的 = 相 得( 视 是 ( 平 到。 图 比 行 的/ 画 原 " ， 是 + - 直 物 2 % 中 与 + 观x 体 心 物。 " 图 大 - 投 体“ 、 2 影 等一 形 + 的 大/ 状 " . 投 小- . 与 3 射 . 、+ 原 线 等 + 助 物 … 《 都 形 线 体 ) 由 +状 x a 的 同 2的) + 正 a x 一 投 0 + 投 a 个 影x 影 ) 点 ，x 相 + 发 中a 似 0 心 的 投 投
搞不清正视、侧视、俯视的方向，不⑷清如楚果物er体,则由把”赋值给巾，把，•赋值给"; 指导 位 影中心投影和平行投影=都(-是--空((间a„图x+形a„的.i基)x本+a画„.法2)。x+平 -行+a投^x影+a包<,括斜二侧画
于 咋 看 的邮 放 不 咻 置 清 斷 的 简 W 位 E 单 置 组 不 合 同 体 ， 是 所 由 画 哪 的 几 三 个 视 基 图 本 ( 可否 5 元 ) 能则 输 素 畦 不把 出 组 同， 最顷 成 赋 大,宇 值 公晒 给 约稣数 m 澄 执 " 行 J卢 第 * ( 区 2) 简 步 单 一 几何体的三视图 Q 制 法 强 递 和 ， 推 三 看 公 视 起 式 图 来 ， 旦 中 夔 心 觉 投 效 影 果 后 一 的 致 图 ， V 形 最 o= 与 像 原 原 a„ 图 来 , 形 的 相 物 比 体 虽然改变较多，但直观性
通过一次式的反复计算，
画
用
实
平
际
行
效
投
果
影
图
法
时，一般用中心投v影*=法 ；5 画+立 做体几。何=1中,的2图,)形时，一般
俯 应 球 视 理 中 图 解 一 不 为 般 能 在 作 简 物 过 单 体 球 地 的 心 理 正 的 解 前 截 为 方 面 从 从 上 上 往 往第 下 下 旋 一 逐观 观 转 步 步察 察 体最 ， 得图 图 中高 输 到形 电 的次 入 高， 轴项 多 次 截的 项 多 面系 式 项 数 次 式 和 数 的 x 〃 值 的 ， 值 思想 常见的几种截面 秦九韶 知 算 能 法 提升 2 1 寸 . . 把 在 ， 物 三 侧 体 视 视 左 图 图 右 中 反 方 ， 映 向 正 物 的 视 体 尺 图 的 寸 反 前 称 映 后 为 物 和 长 体 上 ， 的 下 进前 上 尺 位后 下 寸 制方 和 向 左 的 右 尺 尺 寸为 寸这 称了 ，个 为计 俯步 宽数 视骤 ，和 图反 上运 反复 下算 映执 方方 物行 向便 体， 的而 的可 尺约 前用 寸定 后循 称的 和环 为计 左结 高数 右构 ，系 尺表 则统 示 正视
过棱柱、棱椎、棱台的两条侧棱的一截第面二 步平，行将于v底的面值的初截始亙化为％, 图 和俯视图都反映概了念物体的长度，正视图和侧视图都反映了物体的高度，俯视图和侧视图都
正 视 正 俯 利 想截 体视 图 视 视 用 面 图 为 图 图 截 可 和 圆 和 是 面 以 侧 侧 圆 研 把 程视 视 和 究 几 序图 图 圆 几 何 框都 都 心 何 体 图是 是 体 的 矩 三 ， 性 形 角 体 质 ， 形 现 、 面 ， 了 画 £ 布 空 法 ）第 第 瓦第 间 及 四 三 俯 〉五 问 证 步 步 步 若 题 明 ， ， ， 是 平 、 v 输 判 , 面 计 = 则 v 入 将 断 化 算 x 返 + ， ， ， 的 融 a 回 i 次 • • 思 为 , 的 是 第 项一 / 值 否 三 = 的 常 / 初 大 歩 - 系 见 ! 始 于 数 几 化 或 " 何 , 为 等体 " 于 T 的(三)，视图 截面的作 〈进制的特点 两 三 的 个 应 非 视十 + 用 十 进 图进 进 制 制 制 数 转 数 转 换 的 换 为 转 成 非 化 硼 画 十 ： 斜 制 法 进 二 的 先规 制 測 算 将则 回 法 〃 ： 进 三 “ 制 视 除 转 1 登 . 图 《 换 。 取 成 ; = 余 十 三 9 0 法 进 个 。 " 制 要 ， ， 求 且 O 转 , 0 化 K 在 9 方 0 一 等已 。 法 长 反 图 4 线 知 3 边. . 对 映 高 画 图 三 正 平 三 形 个 了 ， 视 物 所 物 齐 高 图 体 在 体 ， 平 应 的 的 的 俯 齐 注 三 空 宽 视 ， 意 视 间 度 图 宽 把 图 中 ， 与 相 挡 的 取 因 侧 住 排 水 而 视 的 列 平 三 图 轮 顺 平 视 宽 廓 序 面 图 线 是 ， 之 画 ： 间 作 为 俯 比 存 互 虚 视 进 在 相 图 制 下 垂 放 的 述 直 在 特 关 硼 的 正 点 系 制 轴 视 ： O 图 正 x 、 的 视 Q 下 图 i ， 面 与 ， ， 由 俯 侧 再低 视 具 视 作位 图 有 图 。到 长 4 放 : 高 对 个 轴 在 位 正 数 ， 正 ， ； 字 使 视 “ 正 妫 符 图 逢 视 基 号 的 砒 图 数 右 一 与 ” 侧视
三视图 具 位都 有 到是 * 高 个 圆位 数 按 字 “ 符 逢 号 砒 ， 一 它 ” 们 的 是 规 0 则 ,1 进 ,2 行 ,3 计 , 数 0-1), 知 系 推由 据 及 断低 三 图 出 视 中 原 图 一 几 的 些 何 形 线 图 状 段 形 及 的 中 图 长 的 中 度 点 所 ， 、 涉 用 线 及 以 、 的 解 面 线 决 之 段 有 间 长 关 的 度 问 关 ， 题 * 为 进 再 如 制 将 ・ 转 + “ 进 换 0 制 成 。 转 + 0 进 « 换 > 制 = 成 " ： " 觥 +如 制 贮+…+" + % 2 厶 . 平 5 . 已 . • 行 画 ' 知 。 于 完 图 ' 图 X * 形 轴 9 后 0 中 和 ° ， 平 • 擦 : ■ 轴 去 行 的 辅 . 线 画 于 助 段 理 线 直 ， 、 ， 观 在 . 被 图 r 直 遮 时 轴 观 部 ， 、 图 分 把 . 獻 ： 中 用 O 制 轴 x 长 虚 Q的 的 y 度 线 .表 ■ O 保 表 z 示 线 持 示 的 段 不 ， 对 青 变 就 应 直 ， 得 轴 观 平 到 a 画 图 ^行 了 为 z 中 于 空 „ 。 分 .， 间 ， 1 别 -轴 图 ' a 画 ， 的 形1a 成 。 线 0 于 ( 段 3 J * ) ( 0 长 。 O 于 度 ？ < • 为a ' ? ， ' „原 理 < 使 来A 、 厶 ： 上 的 y • ' 大 一 , 轴 ' 。 于 半 、 , ' _a 1 轴 ＞ x , , 的 ，k a e 线 ° 'z= 段 < 4 k 5 ) ° ,高中数学第六章 立体几何第二节空间几何体的表面积与体积
% 兩 体 2 = 方 $方 ■柱= 柱体 侧 =n( 面 r' 积 2 S + 例 r2 = n + ( r r + ' r l ' ) + / r l 表 ) 面积 S裏 侧 表 面 面 积 积& S 側 = = 2 2 n n r r ( l r + /)1 展 形 开 侧 图 面 一 积 ＞ 一 矩
直棱柱
%体=?方(S+河+ S')
侧面积S
,台=板方 3 + "' + "2) 圆柱、圆锥、圆台 表面积=nr[r +1}
的展开图与表面积 展开图T全箸的三角形
侧面积—*$= —ch'
柱、锥、台体的体积
S= 4nR2 表面积
咏的表面积和球的体积
知识
展开图一＞全铮的等腰梯形
梳理 侧面积-*S=§（C+C，）扩
组合体的表面积和体积 陵柱、棱锥、棱台的
展开图与表面积 正棱台
多面体和旋转体表面 上的最短
距离问题 表面积
侧面积与底面积之和
关键是找到其特征几何图形
如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形及侧面展开图 它们是
联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式 小的未知量与
将 为 表 平 面 面 展 内 开 两 为 点 平 连 面 线 图 的 形 最 ， 短 从 长 而 度 把 问 它 题 转 化 学习误区 知能提升 学 指 法 导 求解有关多面 分割求和 条 法 件中已知几何元 把 素 不 的 规 联 则 系 的图形分割成规则的图形，然后进行体积求和
体表面积的问题 把不规则形体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其体积
求几何体表面上的最
不能正确画出待求问题所在平面 短距离问题易错点 将正四面体补成正方体
将对棱相等的三棱锥补成竺生
常见的补形技巧， 将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体
把空间问题平面化
不会利用展开医 体积的求法 堕三賛墜成三棱柱或平行六面体
将三棱柱补成平行六面体
然后利用“两点之间距离最短"的 性 将台体补成锥体
质求解 等积法也称为等积变形或等积转化，它是一种通过选择 合适
等积法 的底面来求图形体积
一种是内切，一种是外接
. 认真分析图形 '~
若不是指定的两点间的某种特殊路径，其 表面 与球有关的组合问题 -明确切点和接点的位置
上两点间的距离应是按各种可能的方 式展开在
平面图形上以后，各自所得距萬 中的最小者 通过作截面图，将立体几何问题转化为 平 将不规则的几何体分割为若干个规则的 几何 确定有关元素间的数量关系
面几何问题，是立体几何的重要思想 方法 体，然后求出这些规则几何体的体 积，这是 解题时做到 作出合适的截面图
之一 求几何体体积的一种常用思想 方法 -还要弄清几何体之间的相互关系，主要是指 特
殊的点、线、面之间的关系，然后把相关 的元素
放到这些关系中解决高中数学第六章立体几何第三节点、直线、平面的位置关系
不同在任何一个平面内的两直线 一定义
两直线相交
以 辅 助 平 面 衬 托 画 法 异面直线 共面 两直线平行 直线在平面内 直线与平面相交
allb,bllc =aHc 公理4 有无豐挡丿有且只有-个公秘
没有公共点
ABHAiBi , ACIIA\C\^> ZBAC=Z.B\AXCX （同向） 或 等角定理 直线与平面 的位
it -Z8i&G（异向）一 置关系 两平面平行，
平面是一个只描述而不加定义的原始概念，平面 是 没有公共点
平 空 的 间 ， 中 平 一 面 个 无 平 厚 面 度 可 ， 将 平 空 面 间 是 分 无 成 限 两 延 部 展 分 的、无边 界的， 概念 直线与直线 平面与平面的位置关系 ［ g 面相交 ,有一条公共字史
地位置关系
表示方邕 公理1 一、判定直线在平面内 即如果直线上两点在平面内，点
平面的基本知识 二、判定点在平面内 在直线上，则点在平面内
公理2 — 一 ' 确定平面
平 或 如 面 用 平 一 表 面 般 示 1C 用 平 一 行 个 四 希 边 腊 形 字 的 母 对角 a、 顶 / 点 ?、 的 y 字 来 母 表 示 来 丿 ， 表 示， 平面 ' 梳 知 理 识 三 的 个 作 公 用 理 / 一 三 、 、 判 可 两 定 用 个 平 其 平 面 证 面 相 明 的 交 点 公 、 共 线 点 共 ， 面 线 即 问 是 问 题 这 " 两 点 个 是 平 什 么 判 点 定 ， 点 线 在 是 直 什 线 么 上 线 一 " 面 ， 的 点 交 是 线 某 ，
通常画平行四边形来表示平面 平面的基本性质 则这个点在这条直线上一.
A.Bel' 公理1 Ji 它是两个平面相交时画交线的依据
一般根据公理3,证明这些点都在两个平面的交
A Bea . 宀._一皿4 线上，再证明第三个点既在第一个平面内，也 证明仝间三点共
公理2 线 在第二个平面内,当然必在两个平面的交线上
推 推 论 论 1 2 A 一 il a , = > A 3 、 P 4 B u — a a h , / A / e 唯 a, — l — ea a 唯 , 公理3 有 问 关 题 证 明 证 一 明 般 全 根 间 据 二 公 线 理 共 1 点 和 公 理 3 后 ,把 再 其 证 中 明 一 两 条 条 直 直 线 线 作 的 为 交 点 宀 条 在 ・ 直 此 一 线 直 3 的 口 线 两 上 上 个 分 平 别 面 通 的 过 交 其 线 余 ， 两 然
推论3 4、■/ 可根据公理2,先取三点（不共线的三点）确定 明空间点共面一个平面，再证
学习误区 明其他各点都在这个平面内一
唯一l=a Ap, A^l 一般根据公理2及其推论，先取两条（相交或平
异面直线定为 的 平面和平面 的位 行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个 证明空间直线丑面
理解致误/ 置关莞 空 定 间 理 等 角 ’、.若干 平 个 面 平 内 面 ， ,再 或 者 确 在 定 这 这 些 些 直 平 线 面 中 重 取 合 适 一 当的两条确定
" 不 行 不 具 也 同 备 不 在 确 相 任 定 交 何 平 一 一 面 注 个 的 意 平 条 把 面 件 握 内 ， 异 " 因 面 ， 此 直 指 ， 的 线 异 是 的 面 这 不 两 直 共 条 线 面 既 直 不 线 平 永 知能提升」 直 关 线 系 和 分 平 类 面的 位置 用 理 于 在 证 空 明 间 空 中 间 的 两 推 个 广 角相等的判定定理，它是平面几何中的等 角定
不能把异面直线误解为：分别在不同 平 异面直线 它解决了角在空间中经过平移后大小不变的问题，为两条异 面直
面内的两条直线为异面直线 按 . 个 公 鼻 共 ？ 点 •学 - - - - 直 - - 线 - 和 - - 平 ----------- 没 -- 有 -- 公 - 共 -- 点 -- \ ---- 两判定方法 线 依 所成角及后面将要学习到的二面角的平面角的定义提 供了理论
平行公理反映了从平面几何向立体几何平行关系的过 渡。 . 直线在平面内 在空间中若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补
这种平行关系的传递，不受直线条数的限迎＞ ［面示 平行 .
学习本节，在掌握基本性质的同时，还应掌握数学语荀 的表 按是否在平面内分类 、直线和平面相交 - 有一个公共点 一 \ 萼在 如 直 果 线 两 所 条 成 相 的 交 锐 直 角 线 （ 和 或 另 直 两 角 条 ） 相 相 交 等 直线分别平行，那么这 两组 一
达和应用，能准确地掌握数学语言和图形语言之/ 间的转化 平面内七 須 线和平 面平 / 等角定理是证明不共面的角相等的方法之一
丿 两个平面相交 有一条公共直线 直线不在平面内 ［线和平面相交 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线，是异面直线
本节体现的主要思想方法是转化。把立体几何问题转化为平面几何 问题 戸种 两个平 面平行 理i法 没有公共点 - 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内 不经
处理，特别指出的是两个三角形，在满足平面几何全等三角形 的条件后 项 I 个平行平面的画法把表示两个平面的平行四边形画成对应边分别平行 两个相 过该点的直线是异面直线 七'
不论这两个三角形是否在同一平面内，它们总是全等的 交平面的画法 画出交线，被遮挡的部分画成虚线 反证法（排除法） 若两条直线不是共面直线,则它们是异面直线高中数学第六章立体几何第四节直线、平面平行的判定及其性质
a、b u a, aC\b=A, a//&, b//p => allp
l IHa
IHa，/u们 aC\P = a => IHa证明直线与平面没有公共点，直接证明这一点是困难的，用反证法来证明
用定义
aaa,aHb,b ua,Wl a"a
平行线的传递性 性质定理
利用判定定理 使用定理时，一定要说明"平面外的一条直线和平面内的一条
直线平行"，若不注明和平面内的直线平行，证明过程不完备
平面几何、立体几何中的相关定理判定定亳
学过平面与平面平行后，
还可以用面面平行的性质
来证明
IS
利用线面平行的判定定理易忽视直线在 平
面外这个条件 直线与平面早 行的判 线线平行的定义 证明线线共面且无公共点
定方法
证明线面平行，可先证线线平行，不注意一条 线在 线线平行的 三线平行公理 证明两线同时平行于第三条直线
面外、一条线在面内致误 ,
三种证明方法
证明面面平行时，证一平面内两直线与另一平面/J 平行，忽视两直线相交致误 ■ —一曾 能提升 \炯吋瞄色讓囂噩滯酔伍
直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理经常交替使用 1\ /利用正方体或长方体等特殊的几何模型中已有的平行关系
平行证明中
'、的转换方法
构造判定定理成立的条件
线线、线面、面面之间平行关系的判定和性质，常常是 重点掌握 面面平行的性质定理给出了证明线
通 达 过 的 线 。 线 因 关 此 系 在 、 证 线 明 面 有 关 关 系 问 、 题 面 中 面 ， 关 应 系 抓 的 住 “ 相 转 互 化 转 " 化 这 来 种 表 思 线 种 平 方 行 法 的 ， 一 而 线线、线面、面面 产行的
想方法来达到论证的目的 通过线线平 转换关系
行的证 明可
以实现线面平行、面面平行的判定，可见空间
证明线与线、线与面的平行关系的一般思考规律 中的平行关系可以相互转化
是 说 ： "发 "见 现 了 已 已 知 知 ， 想 转 性 化 质 结 ， 论 见 ， 了 沟 求 通 证 已 想 知 判 和 定 未 " 知 。 的 也 关 就 系 是 "。这 I 性质定理
是分析问题和解决问题的一 般思维方法，而作辅助线
和 讲 辅 上 助 述 面 几 往 种 往 方 是 法 沟 均 通 可 已 以 知 用 和 于 未 证 知 明 的 线 有 线 效 平 手 行 段 的 问 从 题 理 ， 论 但 上 究 甘平行< 判定定理 线面平行 判 <-- 定 -- 定 -- 理 ----- 、 --- 面向平
竟选择什么方法作为依据 最优，还要具体问题具体分 -------------------- 判定定理 行
析。已知线面平行必能推出线线平行，即可过直线作平 > 性质定理 .
面的交 线，从而得到线线平行这种方法比较直接，应 性质定理高中数学第六章 立体几何第五节直线、平面垂直的判定及其性质
己知两条异面直线。、b,过空间任意一点。 一条直线和一个平面内任何一条直线垂直，就说直线和平面垂直 定义 定义中的"任何一条直线"与"所有直线”是同义语
定义为 aua , 3ua , " " " a H b 、 a 丄 / 丄 a = a > , l / 丄 丄 / 丄 E a 判 性 定 质 定 定 理 坦 匸义要注意 直线 理 垂 与 解 直 线 的 面 定 ,妲 线面 定 垂 义 直 给 是 出 线 了 直 面 另 于 相 一 这 交 层 个 的 含 平 一 义 面 种 ： 内 特 若 的 殊 直 任 情 线 意 况 与 一 平 条 面 直 垂 线 直，则它垂
如果所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直定义 平面垂直 两个重要结论只有一条直线与已知平面垂皂
平面的一条斜线和它在平面上 的 判定定理
射影所成的锐角 定义为 a 丄 0 , 花 n# = ： , au a , a T / n a 顼 . _ a n 》 =/, a 丄 y , 少丄 y - 直 - - 要 -- 证 -- 明 -- 一 -- 条 -< 直 Zb 线 . 过 垂 一 直 点 于 有 平 且 面 只 ， 有 转 一 化 个 为 平 证 面 明 与 直 已 线 知 垂 直 直 线 于 垂 求
=> / 丄 y ' 质定理 j 定义 面内的任何一条直线
f alb 若一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条 .
从一条直线出发的两个半平 面 二面角定义 Ul a . 丄c 平面与 r 线面垂直 判 的 定 性 定 质 理 直 两 线 平 就 行 和 线 这 中 个 的 平 一 面 条 垂 垂 直 直 。 于 即 某 “ 个 线 平 线 面 垂 ， 直 则 ， 另 线 一 面 条 垂 也 直 垂 ” 直于 _
所组成的图形叫二面角 平面内的一条直线把平面分成两 个 平面垂道 这个平面
M 如 在 OB 图 半 叫 ， 平 做 在 面 二 二 a 面 和 面 角 " 角 、 的 的 平 内 棱 面 分 Lt 角 别 任 作 取 垂 一 直 & 于 点 棱 。 /的 ， 射 二 以 线 面 点 角 C 。 M 的 、 为 O 平 垂 B, 面 足 \ 角 ， 则 - 部 - 分 -- ， -- 这 -- 两 -- 个 -- 部 - 空 - 分 - 间 - 叫 的 — 做 角 半 - 平面 半平 ________ 直 、 两 的 个 性 平 质 面 定 垂 理 如 .的 果 直 两 线 个 垂 平 直 面 于 垂 另 直 一 ， 个 那 平 么 面 在一个平面内垂直于它们交线'
知识 L 面面平行的性质定理 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一
k梳理 < 面面垂直的性质 若两相交平面同时垂直于第三个平面，则两平面的交线
1 是 或 2 . . " 要 关 判 平 判 定 键 两 直 到 过 两 面 定 定 词 个 线 平 直 条 内 一 理 ， 平 和 面 线 异 的 条 条 不 行 平 的 上 面 两 已 能 件 平 面 距 一 直 条 知 中 改 面 平 离 点 线 直 直 的 为 的 行 作 公 线 线 " " 公 ， 平 垂 ” 平 平 和 垂 直 面 线 面 面 一 线 线 的 段 内 内 个 段 上 垂 的 两 两 平 的 任 线 长 条 条 面 长 一 段 度 相 平 是 度 点 的 交 否 行 " 长 直 垂 直 度 线 线 直 直 ” ” 线 ， 平 点 异 和 行 到 面 平 学 定 平 平 直 面 习 定 面 面 线 的 直 理 的 的 的 距 线 要 距 距 距 皂 和 注 离 离 二 平 意 — 面 两 / 垂 点 直 , 的 空 判 间距离 判 垂 用 定 直 , 线 方 的 法 面 常 / 聽嚣 向量法 三 求 种 -— 法 类 常 ： 釆 定 平 用 义 移 " 包 的 平 取 证 括 方 移 值 明 三 法 垂 线 范 直 种 一 直 段 围 线 情 般 于 法 （ 的 况 有 第 " 0 ， 方 下 , 三 钊 向 一 个向平量面与平 a b （ 移 c 角 面 . . . a 斜， 线 . 补 的 利 线通 段 形 法 用 和常 的 平 向 图 平放 端 量 移 中 面在 点 平 , 已 所 计 三 或 行 有 成 算 角 中 的 的形 异 平 点 角 利 中 面 行 ） 进 直 用 线 作 行 线 平 平 特 所 移 行 成 殊 线 的 平 点
取决于在这个平面内能否找到两条电 交的直线 b.垂线和平面所成的角
与已知直线垂直 立体几何中计算 秘值范 围 ［ o, m C.与平面平行或在平面内
（ 1 ）作图 ; （ 2 ）证明；（ 3 ） 计算一 问题的一般步骤 关于线线角、 作 角 出 形 晶 的 在 问 平 题 面内的射的影直,找线到与线平面面所所成成角的，角转化 为解三
立体几何中除了用定理判定垂直，还可以通过"算”， 定量 知能提升 线面角的两个结论
地证得"直角”来达到目的
必要时注意添加辅助平面，从而构成判定定理的条件 （1 ）已知R4与P8分别是平面a的垂线和斜线，在平面a内过斜足8任意引一直线BC, i&/-
解决与概念有关的问题时，必须牢记概念或定理的条件，同 时用 PBA=0l, Z_4BC=，2，*BC=0,则有cos。=cos 0|COS 免；
具体的空间模型来判断，并结合反例进行推证 丿 （2）经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那 么斜线
在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线
定义法 异面直线的距离 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面
转 离 化 等 为 线面距离、面面 距 转化法 二面角的平面角的性质 从 线 二 ， 面 垂 角 足 的 必 平 在 面 平 角 面 的 角 一 的 边 另 上 一 任 边 一 （ 点 或 （ 其 异 反 于 向 角 延 的 长 顶 线 点 ） ） 上 作另一 面的垂
等体积法 定义法 平行平面 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直
建立起两端点分别在 两 用定义 “一作（找）、二证、三计算”
异面直线上的线段 长的 最值法 ///转化为线面距离、— 匹 ic e 兩丿 P点面距离 S为二面角一个平面内图形的面积，S*是这个
函数，然后求出 函数的 11 利用面 积投影定理 c°sa=2‘ 求靄欵在另 - 个面内投影图形的面积， a 为二面
最小值______________- 丿 / \线线距萬或点面、转化法/
丿 如 一 点 点 是 果 个 及 到 两 两 面 一 这 异 条 内 条 条 面 异 的 直 直 直 面 射 线 线 线 直 影 ， 的 的 线 是 那 距 距 在 一 么 离 离 同 个 这 就 公式法 / / 1 1 将 解 作 线 _线线 三 辅 距 直 段面 角 助 离 接 长距 形 垂 求 利 为离 或 直 解 用 距转 体 平 定 离化 积 面 义 ，为 法 ， 求 然点 求 将 证 后面 解 线 （ 运距 面 或 用离 距 连 解， 离 ， 三然 转 或 角后 化 作 形运 为 ） 计 某 用 点 算 直 面 线 的 与 距 平 离 直 段 体 范 n］ 接 所 积 围 /血 利 在 法 ： / 求 用 的 ［ /二 法 定 三 0, 面 丿 义 角 角 求 形 （ 解 先 之 找 ） 两 对 或 的 A 作 E 距 ~ = ， m 离 7 再 , 公 抓 A 式 ' F 求 线 =n , 可 A 求 'A 时 =d ， 转 , 利 知 二 由 化 用 点 面 公 法 两 到 角 式 ： 平 两 将 a E 面 平 - F 点 = 互 面 0 面 « 相 交 2 距 垂 线 + 离 直 的 ” 转 的 距 2 化 性 离 + 为 次 质 就 （ _ ： 是 平 2 若 所 n 行 w 已 求 c ） o 知 的 s 直 e 点 点 就 线 在 面 可 与 已 距 的 ， 以 平 知 离 于 大 解 面 平 / 小 出 的 ， 面 为 ° 距 的 利 们 离 垂 戶 则 来 面 异 当 求 上 面 EF 直 , 线 则 上 已高高中中数数学学第 第六六章章立 体立几体何几第何六第节七空节间立向体量几及何其中运的算向量方法
异面直线夹角是通 异 过 向 面 两 量 直 向 夹 线 量 角 夹 夹 范 角 角 围 范 求 是数 围 出 ［量 是 的 0积 ( , 0 时公 ,专 式 ］ a-i= a a a | • a b | • • = | b * ( ( • | A 3 a - A + c ) c o = ) s 2 = ( a ( a « • 联 区, • b * 系 别 b + ) ) b • 两a I[线 a 向 a I +的 b 量1 )夹 = + 夹 c角 ) = 角 a错+ 与 (认b 异 +相c 面 )等 直 M | 3 N | | = 0 M | A " | 平+ | A W 面B | + a 的B + C 6 法+ | C W 向D | t a 量D | N +| 定义 直线/丄平 两 面 点 a, 间 取共 表 距 / 则 的线 示 离这 方向 空 些 向量 间 向 向定 向 量 量义 量 叫 ” 的 共 ， 有 线 则 向 向 称 线 量 " 段 为 或 所 平 平 在 面 行 的 向 a 直 的 量 线 法 用 互 向 两 相用 量 点 重向 间 合量 距 ，的 离 模 公 去 式 求 去求
c a • a=lal2 运算律 共面向量的
二 no 面 s叫 角 向 有 量 可 “ 能 、 是 。 锐 的 角 夹 ， 角 也 ， 可 能 记 是钝角或特殊角 求 w 二面角时不 * a 进 < • 行 • b=角 " 0的 > 判 喘 断±致 误b '学习首 闭 尾 图 误相 形 区接 ， 的 则 若 它 干 们 向 的 量 和 构 为 成 0 一个 封 利用向 间 量 距 方 离 法 求空 二本工H点面距离 平 共 行 面 于 向 同 量 一 定 平 义 面 \ 的向量叫做共面向 3 量 平面内的任一点)
空 若 若
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若 间 〈 已
(
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a
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,
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b
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量 距 = 点
(
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离 0 坐
a
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,
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间 化 模 间 向 为 来 的 空 量 点 求夹 距 间 的 点 解角 离 向 数 距 公 量 积 离 式 的、 求 减点法线距离、 求 点 空 I空 面 间 4间 距 向 I*中 离 量 I线 ， 的 段 其 数
l«
几 的 中 量 何 长 点 积
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义 时 距 离 知 空间 能 向 提要 量 几 结升 及 个 论 重 空 知 梳 间向 识 理 定 量 理 的 基本 空 基 间 本 向 定 量 理 的 a z , e 异
b
R \
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b , 面 a , ,
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® 直 p c b
线
= 线 , 不 x
，
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平点 来行线 求四距 解边离 _形_ 最 _法_ 终 _则_ 都 _、_ 可 _三_ 以 _角_ 转 _形_ 化 _法_ 为 _则_ 空 _空_ 间 _间_ 向 _向_ 量 _量_ 的 _的_ 模 _加_ 来 _法_ 求 __ 解 __ ， __ 而 __ 点 __ 面 __ 距 __ 离 __ 则 __ 可 __ _ 由 _ 线 _ 平 _ 性 _ 面 _ 运 _ 的 _ 算 __ 法 _ 向 — 量 , 其基本运算 知 识 、两平行平面的距离 一个平面的距离
向 是 量 数 法 形 解 结 决 合 立 思 体 想 几 与 何 等 问 价 题 转 的 化 ' 思 ‘ 想 三 的 步 运 曲 用 "可 ， 以 按 简 照 记 “ 为 形 " - 化 -数 归 - - - 空- 形 运间 " 算 的 向- 量- 转 翻的 化 译概 链 "念， 进 行 它 两 实 次 质 等 上 梳理 空间平行关系 设 都 共 存 面 Q 在 时 k A, 直唯 ， B 线 x 一 . + 和 y 的 C + 与 是 z 有 = 它 不 1 序 线平 共 实 线行 面 数 - 平 - 平 的 组 - 行 - 面 四 - x 一 - ,的 点 - - y距 ， 设 - , 要 离 则 直 z 证 , 对 线 使 明 空 / O I / P I / = . 磐 x 1 在 h O 2 只 意 A 直 的 + 需 点 y 线 离方 O 证 B 上P 向 + , z 取 a 向 O " C 一 _量 , _ ^ 点 _分 P _ , ， _别 _ A 求 _为 , _ 此 _。 B _ , _ 点 ， __ C 到 _ 四 _ _ 面 点 _ 的距
价转化 在空间，具有大小和方向 的 ― 线面平行
量叫做向量。方向相同 且长 判断平面的法向量与直线的方向向量垂直
1 .转化为求两平面法向 度 向 量 相 量 的 等 或 夹 的 相 角 有 等 向 的 线 向 转段 量 换表为 示两同直一线方向向量所成角 坐 空 异标 间 面运直 直 算线 角 所成的角 向 垂 量 直 法 关 空 判 系 间 定 向 空的 量 加间 加 、的 、 减 减 法 法 法 法 则 线 面则 的 线 面是 推 垂 平平 广 直 行面 向量 加法 减证 证 运 法明 明 用 两 两 三 直 平 角 线 面 形 的 的 法 方 法 则 向 向 运 或 向 量 用 平 量 平 三 行 互 行 角 四 相形 边 垂法 形 直则 法则
已 a± 知 83 2 =. a. (两 =注 X ( |异 x 意 , ±面 观, 乂直 察y 2线 ,后 况 所 ,取 古 成 z角 力 , 的 ) 事 角 b = 可 土 (x 以 2 (通 , 2 过 y ) 2 这扁 , 两= z S 2 条 ) , ， 人 直 则 凹 ， (1 止 ) ) 二面角 公式的理解 空间向量平 线 一行 面 面的 垂 面定 直 垂义直、共线向量 证 定判 明 理断 直 等两 线 是平 的 平面 方 面法 向 向向 向 量量 量 知垂 与 识直 平 的 面 推 的 广 法向 | 量 ^c 平 - 行 BD|
线的方向向量的夹角来求得，但二 者不完
全相等，当两方向向量的夹角 是钝角时， 8 空间两点间距离公式是异向面量直模线长/1公C、式B的D所推成广的角
应取其补角作为两异面直 线所成的角 向量法求夹角
(4 业 ) 聾 0 所 =夕 成 ； 的 + 角 出 是 + 皿 z 3 ； 〉=” 学习基误本区公,式一 8 S 向 空 量 间 法 角 求 直 所 线 成 空 进和 的 间 行平 角 向 分面 量 解 基 时 本 ，转 定 时化 理 常为 与 进直 平 行线 面 三与 向 个平 量 方面 基 向法 本 的向 定 分量 理 解夹 相 角 比 的 较 余 ， 角 只 是 球 多了一维， 在
转化为求平面的法向量与直线的 方 直线与平面所成的角 '知能提升 S 向量坐标运算 =冲*= ( 叵 2) 二 2 1a a ± =( b l = X ( | x , l 切 ± ,如 x2 ) ,yl ±y2,Z\ ±z2)
向向量所成锐角的余角 线性运算
空间角转化成向量夹角求解时,要注意角的范围的变仏 求二面角 a •b=xix1 + "P2+Z1Z2
1.需证明两向量共线 利用向量的坐标运算证明线线平行 两平面a、的法向量分别是为、〃2
利 需 ( 另 2 用 证 ) 一 证 向 明 个 2 另明 . 量 两 向 证 一其 的 向 量 明 个中 坐 量 所 其 向一 标 共 在 中 量个 运 线 的 一 所向 算 ； 直 个 在量 证 线 向 的所 明 上 量 直在 线 所 线直 线 在 上线 平 直 上 行 线 的 时 上 一 ： 的 点 一 ( 1 不 点 ) 在 不在 建 角 立 坐 恰 标 当 系 的 是 空 关 间 键 直 / 向 距 量 离 法 问 求 题 用坐标法解决立体几何问题步骤 芝角 模 公 J 长 式 2 . 进 丄 1 行 ( . 5 建 向 ) c 立 ( 量o 4 s 合 ) 的 〈 \ 适 坐 a a \ 的 标 M = 〉 J 空 运 x = ] 间 算 I + 坐 ： y 务 ] 标 研 傘 系 + 究 z + ， ? ；点 用 捐、 坐 +线 板 标 、二 表 面 ) 示 之 图 间 形 的 中 关 的 系 各个点
选 C 是择 £＞ 。恰 是 、当 异 力的 面 上向 直 的量 线 任作意为 a、 两基 6 点底 的 ，， 公 ”用 垂 与基 线 向a 段 、 / 量 ，向 3表 A 均 量. 示 垂 法B 直相 分 关 别 说明 求空间向量问 异面直线距离 数 的 量 应 积 用 平面法向量的求法 怏行、垂直条件 3.回归 (6 几 ) 何 尹 问 0 题 )= ： X| 把 = 运 X 算 x2 结 ,y 果 t = " 翻 Ay 译 2, ” Z| 成 = 相 2^ 应的几何意义
向量1.后先进求行与向直量线运"、算，，都再垂以直图的形向为量指" 导对有关 题的两种方法 求点到平面的探距求离点的坐标、位置 (7) 1.设出^平Xi面Xj的-t法^i向j2+量Z|”Z2==(0x, y, z)
向量进行分解
2.在衣6上各取一特殊点/I、B
/
求
坐
出
标
其
法
向量
I、面面距离 平面向量的多边形
求
〜
点
距
到
离
平
的
面
歩
的
骤 冗 《 2
.
.
I
找
. 求 出证出 从明该 该线平 点线面 出垂的 发直一
的
个
平
法
面
向
的
量
条 斜线段对应的
证
向
明
量
两
扣
直
健
线
立
方
关
向
于
向
x
量
,y
的
, z
数2
方
.量找
程
积出
组
为平
：
0面
"
内
• 《
两
=
不
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共
,
线
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的
•
已
。
知
= 0
向量a、3的坐标
建立3.空按间公直式角求坐标系，利用坐标运算来解 决。 芦则在空间也成立 证明线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行
空 的 间 基 向 础 量的坐标、空间 转 点 化 的 为 坐 求 标 点 是 面 向 距 萬 量 进 运 行 算 求解 求 3 量 . 异 求 的面 出 模直 法 ，线 向 即的 量 可夹 与 求角 斜 出 线 点 段 到 向 平 量 面 的 的 数 距 量 离 积的 两 绝 条 对 异 值 面 ， 直 再 线 除 的 ( 方 4. 向 解 向 方 、量 程 所 组 成 求 的 〃 ( 0 以 ° 法 ,9 向 0。]的角高中数学第七章 数列第一节 数列的概念与简单表示法
「自如夜
1 要 .分 充 式 分 形 借 式 助 的 分 数 子 列 和 ， 分 分 母 子 的 、 关 分 系 母分别找 通项， 函 I 1要 数 福 从 列 奇 以 的 兀 下 一 折 几 个 , 个 - 通 盲 方 项 由 面 公 ; 来 式 考 ， 虑 主 I I a 表 ” 示 与 数 的 列 区 a 别 s, ： … a , ” a” 表示数列的第"项， ｛ a» ｝ 数列的定义 按 列 照 中 一 的 定 每 的 一 顺 个 序 数 排 叫 列 做 的 数 一 列 列 的 数 项 叫 ， 做 记 数 作 列， 数
顺序对于数列来讲十分重要，有几个不同的数， 由于它
2.符号用（_1 ）"或（-1 ） "+1来调节, 因 们的排列顺序不同，构成的数列就不是 同一数列，显然 项数有限的数列叫有穷数列 地些胡玲蜘
为〃和"+1奇偶交错 写数细一个通 项公 数列与数集有本质区别
3.对于比较复杂 列 的 、 通 等 项 比 公 数 式 列 ， 和 要 其 借 他 助 方 于 法 等 来 差 解 数 决 式的方法 不 的 是 数 所 列 有 ， 的 其 数 表 列 达 都 式 有 也 通 不 项 唯 公 一 式；有通 项公式 数列的分类 按项的大小 有界数列
无界数列
4.写通项虽无固定模式，但也有规律 可循， 数列的项与项数是不同的概念，数列的项是 指这个数
主要靠观察（观察规律）、比 列中的某一个确定的数，即/（〃）， 而项数是指这 递増数列
较（比较己知的数列）、归纳、转化 （转化 个数在数列中的位置序号 按项的増减性厶递减数列.
为等差或等比数列）等方法 数列的单调性要与函数的单调性区别开来， 数列的 — 幻常数数列 各项均相等的数列
单调性只需比较相邻两项的大小。 摆动数列与常数
复杂的数列一般都是由简单的数列 组成的， 列认为不具有单调性 知识梳理 - 摆动 一 数 、 列 惑 第 不 二 小 项 于 起 前 有 面 小 的 于 项 前面
因此要把基本的等 差、等比数列掌握好 列举法
数列的 简记为
表示方法 图象法 数列的图像是一些孤立的点
数列是特殊的函数，特殊在定义域是 自然数集
或由1为首数的有限个连续自 然数组成的集合. 总结升华 解析法 用通项公式表示
其图像是无限个 或有限个孤立的点
递推法 用递推公式表示
通项公式 数列的第〃项a”与项数"的关系
求最小项则满足 f an^an.\ — »—可以用_个公式来表示
最大项与最 关公 通 式 项有 a« 与 Sn s S , ” 〃 - = S l ”-
求最大项则满足 f I a a n ^a 匠 n. \ a* 小项的求法 学法指导 求通项时要看清已知条件 前〃项和 指 S” 的是at+a2+ i … ， + " a N ” 2 ,记作
数列的单调性体现在图像上是一群孤立的点 （从左到 已知数列｛%>｝的第1项（或前几项），且
右是向上或向下的） 递推 任一项a”与它的前一项（或前几项）
公式 间的关系可以用一个公式表示，此公式叫
一递推公式
数列最大项、最小项、数列有界性 问题均 由&求时，要分”=1和"N2两种情况
可借助数列的单调性来解决
数列单调，匡
已知数列前几项，求一个通项公式，先观 察各项的特
（1 ）求差法 通项公式求法 点，然后归纳出其通项公式， 要注意项与项数的关系
及项与前后项的关系
（2 ）求商法 判断单调性 的
常用方法
（3）函数图象法 由递推公式求通项
（4 ）函数单调性法高中数学 第七章数列 第二节等差数列
的图像均 % 是 = 对 g 应 （ 函数 " 图 ） 像 ， 上一 § 群孤 =• 立 / 的 （ 点 "） 形如\an~ a =px= a a n+g（p.幷0）递推公式求通项。 定义 a„+i-a=d, ”eN*或 atl-an l=d,n>2,neN*
利用a”=S"-S妇时要注意"N2,在求 知能提升 一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常
数，这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做这个等差数列的公
出。”时，要验证"=1时是否成立，否则 学习误区 变形：竺' =—+-^x化为如+l%+g（M）求解 差，用6/表示 累加法
'S,〃=l 推导
要表示为分段函数a“=< 归纳法
通项公式 公式 %=q+("T)4
总结 知识梳理
S=Arfi+Bn —前〃项和法 升华
通项公式法 广变形
an=An+B (J,5GR) 、
2。"=。〃+1+。”-1 (〃N2) 等差中项法 > 等差中项 如果三个数a、4、b成等差数列，
。"-a〃_i=dg2) J 把/叫做。与力的等差中项
若 和， s”是等差数列a”的前"项 则｛岑｝也是 定 等 义 差 法 数 列 舞 单调性 心 列； 0 d 为 = 递 0 增 为 数 常 列 数 ； 列 d<0为 递减数
项数为2〃-1 \ 推导：倒序相加法
% 广（ 2" 一財 5 时 , 专 =为吒紧
学法指是
前〃项和公式
项数为2”
对称性设未知数 三个数成等差数列，设为a-d,a,a + d
——=—与a”+］是中间两项，的
%-1
四个数成等差数列，设为a —3d,a —】,a + d,a + 3d
等差数列中依次&项的和成等差数列 等差数列基本量 a｛,n,d,S„,an 一般情况下可以知三求二
即Sw-S*, S3k-S2l!, Sw-S3*,…成等差数列，公差为Rd 等差数
k列桂质 a“=a„,+(n m)d = P〃 + q
若｛必、您｝是等差数列，则+ kbn｝也是等差数列 通项公式表示
若m+〃=p+q , Hli]am+an=ap+a9 若 则 a 0 „ = = a (a , „ - a an n . + l i )+ = ( a a » n. + l- X a « n. ) 2)+■■■+ (a2-at)+a,
若s”、7；分别是等差数列｛a”｝、｛如｝的前"项和，则 3 = 注 如 累加法求通项 小〃-1)圳7-2)+ …侦 1 )+0 =言'_/(*)+%
T2n-l高中数学第七章数列第三节等比数列
建数列模型解应用题时，注意涉及的量是还是S” 项数"是多
an=g(n),S„ = f(n)的图像均是 对应函数图像 少，是等比数列还是等差数列，求。〃还是' Sn，不能正确区分
上一群孤立的点
( 注意函数与数列的异同点 ) 致i
如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项
殊值性 y 和时 , 不验证 如的赢 ^ 求 意 通 若 项 0 不 ｝ 验 是 证 L 首 数 项 列 是 ， 否 则 为 ｛ 0 *"｝ 定义 的 列 示 比 ， 都 这 等 个 于 常 同 数 一 叫 个 做 常 这 数 个 ， 等 这 比 个 数 数 列 列 的 就 公 叫 比 做 ， 等 用 比 g 数 表
知能提升
(c>0)是等比数@
通项公式
通项公式 an =a{qn-'
归纳法数学归纳法最常用
知识梳理 累积法 一 可用 累积法求通项
将 a"=pa.+q 与 a^pam+q 相减得: 总结升华 等比中项
如果G是a与厶福比中反_
a«+\-On=p(qn-an. i)得 则 G2 = ab
{a"+i-a”}是等比数列，求a” 前〃项和公式
等比数列求和分g=l和这两种情况来考虑 3, 4 不 只 能 能 作 作 证 判 匪 断, 错位相减法
证明数列是等比数列，除了an+x=anq(q^,还须a^O 等比数列中项公式 公式应用 1 .等比中项法
G= 土应，要注意数列中项的关系 判定方法 2 . 定义法一 = q (*,“eN*)
等比数列中有五个量ai，n,q,a”S” 一般知三求二
寻.通项法 an =cqn (c^O,q ^Q,ne N*)
若三个数成等比数列则可以设为言，a,
a a ------------------- 等比数列中 学法指号 4.前"项和法 Sn =c-cq" (c * 0,^ 0,n e N*)
若四个数成等比数列则可以设为号5，专,aq, aq3(q W戸■、的设项技巧
S S \ " - , S n n = - \ i,〃N2 数列的与&的关系
对于等比数列｛%｝的任意两项a”、a冲有
对于等比数列｛a”｝,若m+"=p+g,则。"。广％
常用性质 %
S„-qS„=at-atq"
错位相减法求和 重要方法 对于等比数列0”｝ ,S”是其前〃项和，垢N*
则&、SZk、SN.成等比数列
a- - n+- - i- - - - = % • - / 1 (")，— % an-=/(n-l),-, —a2=/(1), an 累 法求 项 积 通 既是等差数列，又是等比数列的，必是各项不为零的常数列
则«„+1=^/(1)/(2) •••/(«)高中数学第七章数列 第四节数列的求和与综合应用
1 1
S”和的关系不分清"=1和1两种情况致误
+ + (" + 1)("+ 2)
直接求和 等差数列和等比数列均可直接求和
—j=■―1/ = y Cjn + k-VM) y/n + 直接应用公式求和时，不注意 公式的适
yln+k kv , 用范围和推导过程致误 r分组求和 将数列拆成两个可以直接求和的数列
学习误区 数列求和 /兌项求和
为常数，虹N，） 不注意数列是特殊的函数致误 了真项求和 将数列中的项先合并，后直接求和
将数列先分裂成两项或多项，再求和
求和中裂项 裂项求和不考虑消项的规律致误
相消的技巧 七供位相减 错位相减法是常用的一种方法
序相加 将数列的项倒写，然后相加
《摩次求和 利用公式将次数降低，然后求和
知识梳理
存在性问题
知察数列的特点和规律，在分病' 数列通 总结升华 r 最值问题
项的基础上求和，或者拆 分为基本数列之
后再求和，或转 g 为基本函数求和 丿 知能提升 1，
2”、c9+ci + i
数列的 yi2 + ” + 2
数列是一种特殊的函数，运用 函数 ［综合应用 2"NCg+ CA+ Cj= 2 S2)
与方程的思想，构造辅助 函数解决 应用题应分析属于实际应用的 哪种 （〃一 1） （〃
数列综合问题 类型，然后代入相应公式 N2）
银行储蓄单利计算本金为”,每期利率为p,存期为"，本利和为a（l+p»）
纭也传＞。＞0齐＞0）
:仔细观察问题的特征， a a + w?'
银行储蓄复利计算：本金为 a , 每期利率为 p , 存期为 " ，本利和为切 ）” 实际应用 学法指导 :然后选用不同的技巧：
产值模型：产值基数a,平均增长率为p,时间x的总产值。（1切）:
2(0+1 —4n )<—<2(7n — Vw—
分期付款模型：a为付款总额，p年利率，分"次还款， p
1)
（l+p）"a
X为等额还款数，x应为 构（造1等 切差
：
、）等T比数列模型 一 数列综合
数
常
列
用
求
方
和
法
错位相减法
数
数
歹
列
!
〔
1
a
（
n］ 是
a„
等
bn
差
｝
数
的
列
前
，
”
｛
项 和
bn
可
｝
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是
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等
等
冨
比
差
-
数
数
gS
列
列
”
，
求
公
求
和
比
得
公
是
的
式
方
g
法
,
法
问题彙略 公式法 等比数列求和公式法
體暫蠶麗是，运用相关概念、性质及求和公式进行计亜 做题时仔细观察:*
选择最适合的办法； 12+22+...+/="("+1)(2"+1)
通过归纳一猜想一证明方法探索规律 递推 6
求利］先求通项，再求和
13+23+F=^r
等价转化与分类讨论法的应用高中数学第丿\章不等式第一节不等式的概念、性质及解法
不等式的性质是否具有可逆性把握不准致误 学习误区 总结 依据 a-b G = - Q b > a 0 = b = a>「
同解变形中出现增根、减根的情况致误 升华 比较实数的大小 @-8<0 = a < b 丿
方法 求差法,求商法
解含参数不等式时出现分类讨论时， 分类
标准不准确，有遗漏致误 知识 [. 对称性
核心是同解变形 知 能 梳理 2. 传递性 a >b ,竺 n a> c
分式化整式 不等式解法 提升 不等式的性质 a>Z>Oa+c>8+c
高次化一次 方法 3. 可加性 <— a>b,c>dna+c>b+d
4. 可乘性 呼 *ac>%
无理化有理 a>b,cacZ>>OnaE>”("eN且”>1)
常用基本不等式 6.开方法则 a>b>0=而>^b (〃wN且”>1)
常用技巧
常用的放缩方法 一元一次不等式的解法
求差法：作差-变形一►判断差的符号T结论 求商法：作 不等式的解法 解有理不等式 一元二次不等式的解法
商一变形-判断商与1的大小T结论 父步骤 一元高次不等式的解法
求差法关键是“变形"，向以下方面转化：1 .因式分解； 学法 分式不等式的解法
2.配成完全平方式；3.凑成恒正或恒负的代数式 关键 指导 不等式 欲证只需证
的证明 ①求差法 !:作差一变形一判断符号
若音>1,且B>0,则 求商法关键： 不等式的证明方法主要有： 比较
若普>1,且BvO,则丝' "商与1的大小比吧， 法、综合法、分析电| 1.比较法 空形：变为因式的积或平方和的形式。
序轴标根法：化正、求根、标根、 穿根
(注意奇穿偶回)、 写集(丝逸点值能否取 蜉)求商法/~步骤:作商一变形一判断商与1的大小
到)
一元高次不等式的解法 、 适用范围： 或 适 幕 用 、 两 指 端 数 式 的 子 形 为 式 乘积
不 数 等 为 式 正 左 ， 最 右 高 为 次 0 数 系 化正 2.综合法 〜 ③ 求平方差法
A求根 变 /二元二次不等式的解法/ 3.分析法
x
的
,>
重
x
数
2> ― > x „ , , n )
丿
形
察
类型
3唯芻成｛
求
爲
解
胴
方法 分
式
f
式
已
的
知
性
出
质
发
和
，
有
借
关
助
定
不
理
等
， 经过逐步
数轴上标出各根，从右上开始穿根， 奇重根 * ⑵与/(x)g(x)>0同解 不 变形 逻 [ 后 辑 推 推 出 理 要 ， 证 最 的不等式丿
穿过，偶重根不穿过 等
标根 g(x) 式 计 MJ=/-4ac J>0 J=0 J<0
祭 f / \
g{爲牌{辭胴的 1^y=ax2+bx+c 从需证的不等式出发， 寻找
8 解 的图像 2 OX,=x O 这个不等式成立 的充分条件，
注意端点值能否取到 鑑* g( ) x) (2)Mx)g(x)<0 同解 法 求 解 集 求 出 ： ax2+b 根 x+c o c = c X 0 M ) i 的 x+ ( 不 X S X E 等 | X I 、 > 实 X X x 2 < 数 2 } C| 相 {x 等 l = 实 X x 2 根 ^x 2 t X ] X| X R 无实根 逐步转 化到已知条件 I 或 事 明 实 显 ，
化为贝癸笋>。，依上法求解 大 于 两 取 M c + c f O ec+ { < X X < I X 2( X| 0 0高中数学第丿'章不等式第二节简单的线性规划冋题
二元一次不等式 表示的 』x+切+C>0在直角坐标系中表示直线
解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的， 所以作图应 画图错误 平面区域 4x + 妙 +C= 0 某一侧所有点组成的区域
尽可能精确，图上操作尽可能规范，, 但考虑到作图必然会 学习误区
有误差，假如图上的最优 点并不明显易辨时，不妨将几个 数形结合应用错误 总结 口（初》0
可能是最优点 、的坐标都求出来，然后逐一检查 , 以确定最 升华 ｛如0郷 （1） 1%3小0
优电 最优整数解求解错误 约束条件和 设 若 2习 这 （ 组 X 约 ,〉 束 ） 条 , 件 其 是 中 关 条 于 件 X （ ,* 1 的 ） 一 称 次 为 不 约 等 束 式 条 ， 件 则 。 这
■组约束条件称为线性约束条件，zMx,*）称为
目标函数 目标函数，若Z颈吋）又是X丿的一次式，则称为
解决实际问题的关键在于正确理解题意,将一 般文字语 线性规划的 機性目标函数 丿
言转化为数学语言，进而建立数学模 型，这需要仔细 有关概念
体会建立模型的方法
求线性目标函数在线性约束条件下的最
q 2 . . 明 明 确 确 问 问 题 题 中 中 有 所 待 有 确 的 定 限 的 制 未 条 知 件 量 （ ， 约 并 束 用 条 数 件 学 ） 符 ， 号 并 表 用 示 线 ; 性 ' 方 程或者 建 的 立 一 线 般 性 步 规 骤 划问题的 数学模型 知识 蠶 大 题 行 值 ， 解 或 满 ， 最 足 由 小 线 所 值 性 有 的 约 可 问 束 行 题 条 解 统 件 组 称 的 成 为 解 的 线 （ 集 性 XJ 合 规 ） 叫 划 叫 做 问 做 可 可
线性不等式表示； 梳理 行 域,使目标函数与/（X,*）取得最大值
3. 明确问题的目标,并用线性函数（目标函数）表示，按问 I 题的 或最小 ［值的解称为最优解
1.根据题意，设出变量，建立目标函数， 并
不同 , 求其最大值或最小值
厂谪线:画出不等式所对应的方程表示的直线； （不等式中 2.列出线性约束条件
2.定侧 带 : 等 用 号 取 ， 点 则 分 画 析 成 法 实 或 线 分 ， 离 否 分 则 析 画 法 成 确 虚 定 线 不 ） 等式 所表示的区 画 的 平 步 面 骤 区 域 解线性规划问 3.在平面直角坐标系中作出可行域
域在直线的哪一侧；
3. 求交:各不等式所表示区域的公共部分，为所求 I 平面 4.在可行域内找出最优解所对应的点
区域 5.解方程组求最优解，从而求出 目标
函数的最大值或最小值
1 2 . . 画 移 : : 根 把 据 目 线 标 性 函 约 数 束 所 条 表 件 示 , 的 在 直 直 线 角 O 坐 T+ 标 皈 系 =0 中 平 画 行 出 移 可 动 行 ， 域 最 表 先 示 通 的 过 或 平 面 最 图 后 形 通 ； 过 用 Z= 图 <2 解 X+ 法 如 解 的 决 最 线 优 性 解 目 问 标 题 函 的 数 一 学法 \枣最优解的方青 平移目标函数直线判断
的定点便是所需要的点； 般步骤 一 指导 利用围成可行域的顶点判断
3•求:解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值
利用围成可行域的直线的斜率判断
简单的线性 规 资源一定，收益最大
确定实际问题的最优解，要注意结合所建立的目标 函数的
賃虛西特殊点作为最优解 划的应用
收益一定，成本最小
1.平移找解法:先打网格，描整点, 平
此 I 的 最 法 作 优 应 图 解 充 。 的 分 当 信 利 可 息 用 行 ， 非 域 结 整 是 合 点 有 精 . 确 1 『 移 点 直 便 线 是 " 最 ， 优 最 整 先 数 经 解 过或最后经 过的整 整 通 点 常 最 用 优 两 解 种 的 方 确 法 定, 目标函数中含有参数 & 问 可 里 题 知 的 还 的 参 有 ， 数 另 通 往 外 常 往 一 是 与 个 一 直 特 个 线 点 或 的 ， 无 斜 就 穷 率 是 多 有 其 个 关 最 ， 。 优 因 这 解 此 类 是 解 ）
限区域且整点个数又较 线性规划中 的参 题时可充分利用斜率的特征加以转化 丿
| I I 少 代 選 时 入 求 ， 目 最 可 标 优 逐 函 解 个 数 将 求 整 值 点 ,经 坐 比 标 ， I ） 2.调整优值法:先求最优解及最优值, 再借 数问题 （这类问题意味着约束条件是变动的，、 一1这种变
助不定方程的知识调整最优 解，最后筛选 约束条件中含有参数 动引起了目标函数最值的变化
出整点最优解高高中中数数学学第第^九>章章不直等线式与第方三程节基本不等第式一与节不直等线式的的倾综斜合角应、用 斜率与方程
横坐标 忽 使含 视不 用有 基能 均字 本恰 值母 不当 定， 等地 理易 式选 求漏 成取 最掉 立方 值分 的程 时类 条的 ，讨 件形 若论 (式 等 “， 号 一忘 不 正了 成 "“补 立 二充 ， 定它 则 ”的 要 "不 改 三足 用 相之 单 等处 调 ” 性 )致 求 误 巳 则 线 学 知 判 的 三 断 常 习 点 三 用 误 必 知 方 、 玉 法 区 B , 、 其 C ） 、 共 写 直 点 方程 出 线 B是 / 方 、 否 程 C 适 ， 过 合 再 两 直 检 点 线 的 验 的 这 K-- 条 --- 直 -- 线 --- 上 -- 点的坐 ・ 标 瑚 这 都 这 如 在 个 个 是 果 一 平 方 方 以 这 利 面 程 谚 一 用 直 个 就 曲 个 性 角 叫 方 言 方 质 坐 做 线 程 程 。 标 这 的 - 利 的 条 系 - 解 - 用 直 中 解 - 为 -定 线 ， - ， 坐 义 - 的 对 - 标 这 - 最 方 于 - 的 - 值 程 一 时 - 点 - 问 ， 条 - 都 - 题 这 与 直 - 在 - 条 x - 线 某 直 轴 -- 条 方 线 相 - 直 就 交 程 -- 线 叫 的 - 的 - 上 直 -- 概 , - 线 - 念 且 ，
不等式的应用 把•、轴绕着交点逆时研针究旋函转数到的与性直质线重合时 所转过
两 线 乘 截 方方 距 程法 相 时则 等 ，、 或 斜开 成 率方 倍 是法 数 否则 关 存的 系 在拓 时 等展 ， 要： 容 进若 易 行 a遗 讨 >漏 论 b过>原0点 ,的 〃 情 为 况 正 设 数 直 ，则次址 知能提升』 网+|EC|=|BC| 总 升 直 角 结 华 线 与 的 斜 倾 率 斜 一 直线 和 的 斜 倾 率 斜角 的 合 最 ， 小 称 正 倾 角 斜 叫 角 做 为 直 0, 线 因 的 方此 倾 程倾 斜 的斜 角 实角 。 根范 直 分围 线 布 圜 与 0 x , 汗 轴 ） 平 行或 __ 重 _
实际应用
知能提升
几 — k 兀个 ） , 平 P 均 a 内 — 数 的 的的 关 图扩 系 — 形展 可 ， 0用 为 Xk, 断 ， = 开 T 的 t , a 两 2 n , 部 a 3 分 ， .在… ［ ， 0 ” , S ) …+% 不 +.图.形. + 就 芝习误区 点 而与 B是 充 有 共 向 线 线段花的定比分点 知 ， 识 行 的 件均 垂 要 值定理 a2 +b2 n 2ab
(a,b> 0) - 0 - - a 倾 倾 2 -- 斜 斜 r 角 角 — 的 是 • 取 从 值 几 范 何 + 围 角 ■ 是 度 ［ 理 0 解 ,兀 直 ） 线的方向;斜率是从代数的 数 用 础 形 上 的 结 方 借 合 法 助 是 ， 图 解 在 形 析 理 直 几 解 观 何 斜 地 中 率 作 梳最 的 出 常 墓 判 理
角 每 度 条 必理 直 要解 线 时直 都 画线 有 岀的 倾 示方 斜 意向 角 图 ，但不是每条直线都有斜率 审题 、 _ 区 范 别 围\ 解不等式应用 ■总 断 题 ， 速 明 度 \^题思路，可加快解 0 < ) 0 )
建当立倾不斜等角式a模#9型0°，时即，根斜据率题虹意找ta出na常 ;量与变量间 不等、 Ixl > a <=> x < -a或 x > a
的 当不 a等=9关 0 。系 时，，注斜意率文力字不语存言在、 图形语言、符号语言的转换 建模 的主要步骤 式的 I a>0,
证明 方 |x|< a -a 0),二定(S或P),三相等(R) 比较法一求差法 。 求商法 ° 求平方差法 -
$2
x+j = 5',(xy)max =—(.x = y) 和定积最大 应用 、，、,,> 如)-兩)'>o 在(以) 偈数法要砌x)>g(x)对(a,Z>),上单调递增，只要伽_
如)>0即可 . 转化位 /(x)-g(x)>0 /----------------------------------------- 9 = P,(X +V)min = 2 妒 (X = V ) 积定和最小 学法 \ (ZW-g(x))，<0 ,/(x)- 只 g( 要 x ) / 在 (Z ( > a ) , - b g ( ) f > 单 )> 调 0 递 即 减 可
证明 不等 指导 半II吊1I#S夫使用条件 含两个或两个以上字母的不等式 y I 一边可化为 乡理配组，反复应用°注意"1"的妙用匕芦理拆项使“="成毛 式 0, — 边化为某字母的二次式
比较实数的大小 ［依据 对应的判别式恒大于或小于0的条件
列出有关量的函数关系式或方程是 用 与函数、数列、三角等 知识综合 基本不等式求解或转化的关键 应用 一 变形 反证法 否定求证结论，逻辑推理，找出矛盾
不等式的 /析法 从求证出发看条件是否成立 a+b^\a+b\^yl2(a2+b2) a2+b2>(-a + b)2 ------n >/ab(a,b > 0) a 2 + b 2 + 2 毎)’ 等合法 从已知出发，逻辑推理 (a+Z>)2 & 4ab a1+b2^2\ab\ (a-/ n 0 U> 疽 +b2 >2ab — b1 > a 2 2 a , . - , b . ( . a ^ — 0 + , — b> »a 0 + ) b (a b ,b>Q) a 解法 利用性质进行转化 两个 绝 或 对 两 值 个 不 以 等 上 式 且 用 形 定 式 义 是 求 和 解 差的 b 解含参数的绝对值不等式，要对参数进行分类 a
- b
b >,0 .).
b
—
a
+ —n 2(a
,, K-% , 、 ： a为倾斜角， * = tan a=-i—^-（x, ’电弋心,用皿必） —— ［为直线上亟点
平 直 与 两直线存在斜 率 1』板=& f 且不重合 4 丄 ％ O 林2 = 一1
若4 : Axx + Bxy + Cx =0 (2：
正 且 切 为 函 増 数 函 虹 数； ta « n G a （ 的 9 单 0° 调 性 18 ： 0。 ae ） pT ， BO 有 % 有 农 f 0 c 且 >0 倾 率 斜 的 角 理 与 解 斜 A2X+B2y+C2 = 0 相 交 < = > A 为増函数
y的系数不能同时为0 一般式 知识梳理 I ( & 与 &c # 4 o ) 重合 U>4_=£L=£L 4坊c〔
倾斜角不为90。的直线 斜截式 \ 适用的范围 学法指是
点斜式
倾斜角不为90。的直线
与两条坐标轴平行或重 两点式 直线的 还同形式的直线方程之间的转化 合 过 的 原 直 点 线 及 不 与 能 两 用 坐 标 一 轴 ^- 平 ------------ 截 -- 距 - 式 -- 方向向量 具有某一共同性质的直线的集合定义 直线系 直 方 线 程
行或重合的直线不能句
设方程，根据条件选 y-y0=k(x-x0)或x = x°共点直线系 名 择适当的方程形式 称 方程 几何条件 局限性
如 + 切 + C = 0 的 方 向 向 量 是 （ B , - A 、 J 求 , 待 书 定 写 系 结 数 论 ， ， 解 化 隽 为 3 二 有、 求逐 法向室是（ 4 硏 A 直 x+ 线 By 4 + r C + , E v = + 0 C 表 = 示 0 与 平 巳 行 知 物 平 直 行 线 直 系 线 一 秒 点 斜 式 y-y0=k(.x-x0) 过点（Xo,No）,斜率为k 不 X轴 含 的 垂 直 直 线 于
与已知直线Ax+By+C = 0平行的直线可设为： 斜 截 式 y = kx+b 斜率为妇 纵截距为。 不 X 轴 含 的 垂 直 直 线 于
与 Ax 已 +B 知 y+ 直 Ct 线 =0 A x 或 + A B ( y x + - C x 0 = ) 0 + 垂 B( 直 y 的 - 直 y0) 线 = 可 0 设为: Bx- 直线系方程 B 如 x- + A 8 y v + + C C ^ O = 表 0 示 垂 与 直 已 的 知 讐 系 直 线 垂直 直野 / . 两 点 式 * X 一 — * 1 X ] _ x * 2 2 - — 功 X| X 过 （ i「 两 *2 X 点 ， 2， （ ， y 同 2 i ） ,凹 ， ）， 不 坐 线 含 标 垂 轴的 直于 直 Ay + C,=0 或 B(x Xo)N(y%) =0 构造斜率，解决形如三g的 证 暨 明 鑒 三 、 点共线 斜率公式 应用 设 / 为 2 两 （ : 相 4 0 x X 交 + + & B 直 y 裁 + 线 C + 2 G / ） , = : + 0 A , 4 （ 则 x+ 4 经 4 x y + 过 + B C | 两 ］ >> 直 + = C 线 0 ］ , 交 ） 点 = 的 0 直线 系方程 过 的 两 直 直 线 线 系 交 点 截 距 式 a 3 = b 1 在 别为 x轴 a、 、 b 轴 （ 上 a 的 勾 截 b 距 ） 分 不 于 原 线 包 点 X 括 轴 的 垂 和 直 直 过
证 线 明 系 直 方 线 程 过 的 定 形 点 式 的 或 问 过 题 定 常 点 需 的 要 直 分 线 离 系 参 方 数 程 ， 的 将 形 方 主 程 整 化 壁 为过两直线 定占 交点的直 （不包括4） 一 般 式 A ( x A + . B y 3 不 + 全 C 为 = 0 Q ) 全部 无咼中数学第九章直线与方程第二节直线的交点坐标与距离公式
对称思想是数学中比较
活跃的思想之一。它主要分为中心对 称和轴对称两种。解对称问题要把握对称的实质：两对称点 的中心为对称中心；两对称点的连线被对称轴垂直平分
忽视直线的存在性和两条直线重合的情形
对称 解题中出现不合实际情况的答案 学习误区 直 /,： y = kix + Itt Atx + Bty + Ct =0 对应
点尸（与泓）到X轴的距离为刀=|%| 点到直线的距离公式，涉及绝对值、直 线的 线 bl Z2： y = Z2s A2X + B2y + C2 方程
点 点 到 P 与 （X X o 轴 泓 平 ） 行 到 的 、 直 轴 线 的 y 距 =b 离 的 为 距 d 离 = 为 kJ d 畫线*蓋离 垂直、最小值等基本知识 知 ， 能 易 提 错遗 升 两 的 条 位 直 置 线 关 之 系 间 平 行 k k 邳 2 x x + = 2 b k 2 2 且 4 =0 AiB2 = A2C X 且4C2 * 无 组 解
= |%-f>|
点P（x°,*o）到与*轴平行的直线x = 垂 直 kxk2 =-l A X A2 + B X B2 = 0 解
a 即距离为d = |xo-a|
点久吒少）关于点A/皿泓）的对称点坐标是（ZXO-MD/O-M），匕 相 交 k[ A X B2 — A2B X 丰 0 一解
.点关于
直 点 线 刊 与 ^x 必 +B ) ^ 对 +C 称 = 的 O 直 (i 线 42 方 + 程 B 是 !* O ■ ) ( 关 瓦 于 - 方法：线关于点对称 转 '点对称 总结升华 重 合 虹=*2 且 b[ = AtB2 = A2BlB. AtC2 = A2Ct 无数 解
对+8(2坊-»)+ + 。 2 = B u 0 > + 或 C) « = 4 r 0 +Bv - 化为点关于点对称 对 .的 称 求 问 法 题 两直线的交点 两条直线方程组成的方程组有唯一实数解
/ / , ： (> 普 ;- ， 1 ， ① 牛 1 匕 丿 求 线 点 /的 P 对 关 于 称 点 直 。 两点之间的距离
知识
'求直线 1.在直线"上取点4求出关于/的对称点B 。关于/ 梳理 S到直线的距离
T的对称
2.求出a与/的交点 直线⑶ 学法
3.用两点式写出》的方程 指导
方法一
利用a到/,侄肪的夹角相等，即到角公式 方法二 到角与夹角 闵称问题
方法三 若两直线垂直，称其夹角为*
利用角平分线/上的点到角两边的距 离
相等。即点到直线的距离公丈/
两平行线 若两直线不垂直，夹角范围为 工义
两直线方程分别为：y = kx+b„y=kx+b2 间的距离 则两平行线间的距离为』=拒貝 置系
理
一直线的斜率为0,另
一直线的斜率不存在
设点*（可,凹），写（改, 方），则
|絢=-功2 +3| -*2）' 点玲（吒泓）到直线Ax+By+C = 0
两平行直
线的距离 两平行线4 -Ax+By+C^O 与以如
+By+C2 =o（q*G） a间的距离
d=单二全L
夹角 直线关于 若直线/,的斜率为可,4的斜率为*2 , 且 点关于 直 直线对称 桃*-1,则4到4的夹角。的 正切值为 线对称
位 应 关 解 tan0=|*?_」| 11 + 佑妇 一 公宜 : : 去 到 逆 鱼 角 时 无 有 针 方 方 旋 創 向 转 ： ， :
、'到為
两 且 直 斜 线 率 的 之 斜 积 率 为 都 -1 存 在 两直线垂直 A 与 如 绕 ， 图 交 2 所 点 重 示 按 合 ， 逆 时 范 时 的 围 针 最 是 旋 小 （ 转 正 0, 到 角 70 。 x 对 轴 轴 称 对 标 称点 (a 坐 , 原直线 对称 X轴 轴 f( 对 x, 称 直 -y 线 )=0
交 两 对 点 条 应 是 直 成 两 线 比 相 重 例 交 合 直 即 线 两 的 直 唯 线 一 方 公 程 共 系 点 数 S 若 4 到匕的角为用， 4 到 4 的角为％，则仇 + % ： 公式 x c y N + = = 轴 y O x + - a( - a b ,. a ~ ) - - ) bb c ( )- ) ( . c . - , b , f(x,y)=O x+y+ 严 y c 轴 = x O f( 我 / . ( - - c y y x ) - , , c x ^ = , ) ) 0 = - = 0 x 0 -
斜 斜 率 率 都 都 存 不 在 存 且 在 相等 B 若 角 直 0的 线 正 /, 切 的 值 斜 为 率为 ta 佑 n。 l ， + = k A 虫 t 的 k 二 2 斜 虹 率为k2,且林2 *-1，则 4到的 y x y = = = ~ m » x ( b 2 ) ( m . - ( a a . , — , - - b a 2 6 , ) n > y x y = — = - n x m f f f y ( ( ( ) . . . = - 2 x 0 y m , , - 2 x - ” , x y ) - ) = = 0 O高中数学 第十章 圆与方程 第一节圆的方程
直接由题目提供的条件列出方程 直接法
动直线斜率的最值问题 根据圆、直线等定义列方程 定义法 与 迹方 圆 程 有 求 关 法 的轨 圆 件 的一般方程容易忽视圆成立的条
形如t=ax+b形式的最值问题，可转化为 动 利用圆与圆的几何性质列方程 几何法 圆系方程求过交点的圆，避免求解交点坐标，简化运算，求2易
直线截距的最值问题 找到所求点与已知点的关系，代 代入法 入已知点 错 定义
满足的关系，此外还有 — 平面内与定点的距离等于定长的点的集
3.形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可 转化为动点 交轨法、参数法等 合 尊I迹)是圆。定点为圆心，定长为半
到定成壁的最值问题 径
4.对于圆的最值问题，往往利用圆的参数 ----------------- 最值问题 圆心Cla,b),半径r,方程为：
方程将动点坐标设为(a+rcos 0, i+rsin 0),减少变量的个 数建 标准方程 (x-a)2 + (y-b )2 =r2 倒心(0, 0),半密
立三角函数式，利用正弦函数的有界性求最值 知能提升 程歩对切2=尸2
，—、学习误区 易忽视圆的 直接代入法
利 方 用 程 圆 组 的 求 定 解 义，并结合两点间的距离 公式建立 1.定义 法 圆的方程 的 一几何 误 性质致 求法 待定系数法
_ 2 . 几 何 主要求法 知识 几何性质法
研 标 究 、 圆 半 的 径 几 )， 何 从 性 而 质 求 ， 出 求 方 得 程 圆的基本量 (圆心坐 宣〉 梳理
选择适当方程形式一圆的标准方程或一般方程 3.待定 当。2+/2_4凡0时， 方
程表示点(-£，-号)
4.圆系方
解项出出a关、于Z>或、Dr、或ED、、尸E、的F方的程对组应值，代入圆的方 程'
直 当 D2+£2-4F<0 时，
过两圆：G： x2+y2+z>|X+£iy+F|=0, C2- x2+y2+D^x+E2y+F2= 0 —般方程 x2+y2+Dx+Ey+F= 0 半 不表示任何图形
交点的圆:x2+y2+z>|X+£ly+Fl+2(x2+y2+z)2x+£2y+F2)= 0 / ［片右注
_________________________MeR1 *-1,该方程不包括C2) / ^D2+E2-4F>0 时， 表示圆
过圆C : X2—2+DX+切+F=o和直&il-.Ax+By+C=0的交点的 心为(-y ,-y).
圆的方程为 X2+/+OX + 功 +F+A(4c + 肉 +C) = 0 (，e R,，为参数)，一 半径为如+f _4 尸-的圆
学法
若能据已知条件找出圆心坐标和半径，则直接写出圆的标准方程； 否则，
可通过圆的标准方程或一般方程用待定系数法求解 求圆的方程 指导
圆的标准方程和一般方程都含有三个参变量， 、 因此具备三个独立的条件才能的确基定本思路 圆心C00),半径r
、 圆的参数方程 x = a+rcos。俗是参数) y
求圆的标准方程
解答圆的相关问题时，要注意数形的结合参，数 充方程突 = Z>+rsin0
分利用圆的几何特性以简化运算出过了程 “角"的特点 'x =
先设圆的标准方程，然后 齿 圆心(0, 0),半径/•: rcos0
利用参数式可降低运算量，将圆的参数方程化为普通方程， J 圆的一般方程的优点 待定系数法求解 * = rsin0
只需要利用同角的三角函数的平方关系将参数消去 利用圆心的几何
性质减少计算 抓住圆的性质及问题特点，用定义求出圆心坐标和圆上二^
注意：消去参数后，相应的取值范围不能扩大，也不能缩 圆 圆 心 心 在 在 过 每 切 一 点 条 且 弦 与 的 切 中 线 垂 垂 线 直 上 的直线上， 突出了圆的方程形式上的特点，即缺少冷项的二元二次方程，适合于代数运算
两圆内切或外切时，切点与两圆
、四心三点共线 对于 *2妙 2+QX+砂+F= 0 必须有 Z)2+£2-4F >0高中数学 第十章 圆与方程 第二节直线、圆的位置关系及空间直角坐标系
⑴与圆x2 + >2 = r2相切于点（X, m）的切线方程是X|X+NV =『2 过圆上一点的切线方程 设点M ( m,n ),圆的方程为{x-a)2 + (y-b)2=r2
点与圆 点 M ( ) 在圆上 = (n>-a)2 + (”-8)2 = 产
(2)与圆(x-a)2+ (H>)2 =『2相切于点(X"|)的 切 圆的切线方程
线方程是(X]-a)(x-a) + (」己>)(y-3) = r2
联立直线与圆的方程，消去一 个 一点 A/ ( m ,n ) 在 圆外。 (m-a)2 + (”-6)2 >
（3）与圆x1+y1+Dx+Ey+F=0相切且过切（少,凹）点的切线方程勇 MX 未知数，得到关于另一个未 知数 产
切】+。^-+1 代数法/ 的一元二次方程 '代数法 ，>0 o直线与圆相交
设切点P (M ),解方程组求切点P -a)2 +U -b)2 = r1 直线与圆 』=0=直线与圆相切
---------------------------------[(x, -a)(x0 -a)+(j( -Z»)(y0-b) = r^
几何法
设切线方程为y-ya = k（x-x^}
切线长公式 d>r。直线与圆相离
几何法
值變典通 《R+r
圆 (X 的 )- 直 X 径 )( 4 X 8 2 , - A X ( X ) | , + F i 3 ) 1 、 - B V ( 改 )3 ,^ 厂 )它 V 的 ) 方 =产 程为 圆与圆的位置关系 判定方法 外切：d=R+r
Jg 交 :R -rR+r
线的
只能判断交点个数，不代数法 : R-rJ 线 i 长 + 可 k2 以 | 用 x, 勾 股定理求得 具有某一共 共 同 弦 r 性 长 质 ~ 的 的 求 圆 迭 的 V 集合，叫 、 做 圆 代 几 系 数 何 ， 方 法 法
方程组，通过解的个数判断 \AB\ = 2财（d是弦心距） 它们的方程叫做圆系方程高中数学 第十一章 圆锥曲线 第一节椭圆
椭 大 圆 的 上 点 到 是 中 长 心 轴 距 端 离 点 最 小的点是短轴端点;到中心距离 最 椭圆的焦准距为—-c = —通径为2吵= 第一定义 I I +1珞1= 2a >1 F.F2 1 (a > 0)的点P的
轨迹
髒
椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴端点 椭圆的参数方程是换元的基础
定义
设椭圆的中心为。，焦点为F, £>是短轴的一个 端 椭圆的焦半径问题是椭圆的基础问题，有着独 特的
点，则 | DF \=a, e= cosZOFD 解 及
半
决 椭
径
方 圆
公
法 上
式
， 任
来
在 一
处
解 点
理
题 到 中 焦 有 点 着 的 广 距 泛 离 灵 问 活 题 的 时 运 ， 用 可 。 考 一 虑 般 用 涉 焦 二定义： 函方= e(00)参数方程 ( 为 x ［ = g a s c i o n s 。 0
率的求法 通过寻找a、b、c之间的另一关系 一 步 定 . 要注意 三 参数方程
式消去丄构造关于e的方程求之 丿/ 几何 = l(a>Z>>0)参数方程为'ss?
特征
定点必须在直线外 知识
第二定义
比值必须小于1 的理解 梳理
符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆, 但 标准方 *+g=1 (a>0,b>
它不一定具有标准方程形式 一** 程 (a>0,b>0) 0)
椭圆离心率的两种表示方法 几何性质 F JkpJ2 t
图形
点
当
的
2
轨
a<
迹
\F
木
tF2
存
\B
在
i,动 只
动
有
点
当
的轨
2O
迹
>
才
IF
是
IF
椭
2I
圆
时, 第
的
一
理
定
解
3
当 点 2 的 <7 轨 =0 迹 启 是 1 鱼 时 段 ， F々 动 焦点在X轴设 l(a>/»0) 对称性 y 中心(0,0 ),对称轴：x、
定义的 焦点 (土c, 0) (0,±c)
利用定义求椭圆的标准方程 应用 焦点在*轴设 l(a>Z»O) 顶点 (±(7, 0), (±b, 0),(0,
利 和 用 IP 椭 FJ 圆 +I 上 PF 点 ,l P =2 与 a, 两 解 焦 焦 点 点 的 三 距 角 离 结说 :这里的“标: : 焦点不确定 设A^+By1 砰B) 范围 Ix ( I 0 W , a ± ly b l ) Wb ± Ix a I ) WblylW。
形问题 准”指的是: :中 焦距、
\一P,P2\^
=
x
1
l- x2
凹
\>
-
l
方
uk T
ljl+*
弦
焦
长
点
公
三
式
角形
心 称
:标
轴 在
號
为 原 坐 点 : 」 :对 设
方 程 y
椭
标 2的
圆
准 分
标
方 母
准
程 大
方
中 ，
程
， 则
有
若 焦
两
*2 点
种
分 在
，
母
取
y 大 轴
决
， 上
于
则
焦
焦
点
点
所
在
在
X
的
轴
坐
上
标
；
轴
若
； 两种 离
长 准
心
、 轴 线
率
短 方
|FIF2
长
|=
轴
2C,
长
c
=
^
2
o
a
2-
,
胪
短
,
轴
e=
长
*0
=
<
2
e
3
<1)
标准方程 程 x=±£ *=±£
=j^sin^ = 62tan- = c|j»,| 注意 定位, 两个参数a和Z)确定了椭圆的形状和大小， 焦半径 |PFil=a+ex# \PFs\=a+ey0
cos处也心 2皿 =些_1 皿 焦半径 (见表)
是
满
椭
足
圆
a2
的
=
定
b2
形
+
条
c2
件;a,3,c三者中a最大，且 \PFz\=a-ex0 \PF2\=a-ey0高中数学第十一章 圆锥曲线第二节双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实 轴的
实轴和虚轴长相等的双曲线 定义 双曲线叫做原双曲线的共辄双曲线 ||捋|-|昭||=2。<|鸟旦|
等轴双曲线共箱双曲线 冬一#=i,#-#=-i互为共貌双曲线 第一定义 （«>0）的轨迹
*2 =/顶 *2 =/
相互共貌的双曲线有共同的渐近线 1 第二定义 e（e>l）的点P的轨迹
两条渐近线互相垂直 性质 相互共藐的双曲线的四个焦点共圆
（焦距相同），且有相同的基本矩形
知能提升 1.六点（两焦点、顶点、
离心率为4i 几何 虚轴端点）
性质 交六线 （两对称轴、渐近线、准线） §.两
形（短轴端点、中心、焦点构成 三角形，焦
忽视双曲线定义
中的范围或绝对值 学习误区 点三角形）
总结升华 知识梳理
双曲线的标准方程
有 点所 两 在 种 的 ， 坐 取 标 决 轴 于焦 忽视讨论焦点的位置 标准方程 ^=1 (a>O,Z»O) —g i E=i（。
>。力>。）
求离心率，就是找。、知C
之 间另一等量关系式； :有时还要利用放缩法
求 求 离 。 心 、 率 队 的 C 范 之 围 间 ， 的 就 不 是 等 要 关系 范围萬心率的问题 图形
直线与叉蝉相切
直线与双曲线只
直线平行于双曲线的渐近线 有一个交点的问题 对称性 中心（0,0）,对称轴：X、y
焦点 (土G 0) (0, ±C)
点差法，对交点设而不求 直线与双曲线的交 常见问题 顶点 (±a, 0) (0, 士a)
点弦或中点弦问题
判别式、根与系数关系 学法指导 焦距 范 、 围 离 IxlNa \y\^a
若展反曲线上任意一点「函冗对应准线距离另瓦 到凡对 心率 成冋=2c, c2=/+胪,e专何>1)
应准线距离刁2,则喫=W=e 实、虚轴 实轴长=2a,虚轴长=2b
运用第二定义时,要注意焦点与准线要对应
第二 理解双曲线 第 准线方程 村士g
满足条件的点的轨迹是双曲线，但其轨迹方程不一定是标准形式 定义 渐近线方 y=±炽
一定义
程
焦半径公式推导的关键是利用双曲线的第二定义，不要死记硬背 定 义中常数大于 0 且小于 ”耳脸 一个限制条件十分重要，不可以去掉
标准方
设 是 双 双 曲 曲 线 线 专 上 - 任 § 何 = 一 1 点 的 ， 左 明 、 =± 右 （ 焦 % 点 +" 为 ） 凡 ,鴨 、 = " ± P0 （ , 气 yo - ） 。 J ）4仕左支取- 上 焦半径公式 程求法 定义中的常数改为等于遂煎地墾 以①聲塑点的两条射线 定义中常数为 0 , 则动点的轨迹为线
段 R 月的垂直平分线 ____________________________________________________
定义中的常数改为大于 | 再龙 | , 则此时动点的轨迹根本不存在 定义中差的绝对值中的绝对蓿
竺兰±竺竺哩二碧*如
玉掉，动点的轨迹就只是双曲线的一支
设P为双曲线的任意_点 P 点在右支上，则朋 | - 彤 |= 2 〃 > 0 ）
已知双曲线过两点，一般设为4^+砂2= 1（/B°）共焦点的双曲线设为亠；-一 =l（A0） 范围 对称
质点坐标 y 轴
. 修 (0,0
y = ax2 +bx+c(a * 0)由 y = ax2 平移而来 i yz=2px 。 X=~2 ) x 朋='"豈
y = ax2的标准方程子=-^-y ） 轴
a>0,开口向上，焦点坐标（0,土） "钥 (0,0
a<0,开口向下,焦点坐标 y =ax2 +bx+c（a 学法 )^=-2px xWO ) X 朋=-
'与抛物线标准 J 、方程 轴
它 轴 的 ， 离 一 心 条 率 准 为 线， 1, 没 只 有 有 对 一 称 个 中 焦 心 点 ， ， 因 一 此 个 也 顶 称 点 为 ， 无 一 条 心 圆 对 锥 称 曲 的关系， 指导 (。 (0,0
线，而椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线 ^=2py 囲 )
1—e y>0 N轴 冏|=坊+5
P是焦点 口 尸 越 到 大 准 ； 线 p 越 /的 小 距 ， 离 抛 ， 物 p 线 越 的 大 开 ， 口 抛 越 物 小 线 的开 与 线 椭 相 圆 比 、双 曲 x^=-2py (。 诚 >4 ( ) 0,0 朋=小+号
通过焦点F且垂直于轴的抛物线 的沏B叫 1—- N轴
做抛物线的通径，长为2p 2p及p的 几 何 7 yWO
=小+£ I 几何意义 性质 定点F不在定直线/上，否则动点的轨迹是过定点尸垂直于直线/的一条直线
定义中必须注意
罢义归纳为“一动三定”：动点P、定点（焦点）、定直线（准线）、定值（e=1 ）
常用方法（待定系数 设出适合条件的抛物线的标准方程
法） 用已知条件建立待定系数的方程
|PF|=F 标准方程的求法
求出待定的系数,进而写出方程
若已知对称轴在确定的
坐标轴的某半轴上，则由条件设为标准方程中相应的那一个，从而求解
若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向，可简单设为 x =ay 2 , y =ax 2 , 避免讨论高高中中数数学学第第■■一一章章圆圆锥锥曲曲线线第第四五节节直曲线线与与圆方锥程曲线的位置关系
运数用形点结差合法，与查弦漏长补公缺式出错 当 求平 直 "面计 线 几算 与 弦 圆 长 锥 ， 曲 涉 线 及 题相 弦 中交 长 没涉 的 有及 中 明弦确 点 长条 或 问件 斜 题时 率 时， ， 问 帮常 题 助利 时 列用 ， 式 利 “ 用 设而 点 不 差 曲 方程 线 直的 的 线曲联 方 线立 程 方程 和 曲 都 A （线 在 x A上 曲 + x +的 线 B B y y点 上 + + C的 。 c =坐 那 = O标 么 O t都 方 / 圆 （是 程 锥 x方 就, 曲 y程 叫消） 线 的 做去 / =解 曲* （ o， 线得 x" 以 的 = a 0 方 方r ? 程 程 + 的 ，bx 解 曲+c 为 线 = 坐 就0 标 叫』 的 做= 点 方
直线消与参圆数锥保曲持线范有围一的个等公价共点，要注 法何"作设用而不求" 简化条件式非常方便 判定 程的曲线 胪-4如（研究a = 0）
列 意 式 准 推 利 不 确 直 基 点 理 用 改 理 线 本 差 要 分 变 解 与 的 法 严 类 题 题 圆 方 简 密 讨 意 意 锥 法 化 ， 论 ， ， 曲 是 计 方 和 考 抓 线 解 算 程 数 虑 住 位 方 ， 要 形 多 隐 置 程 等 结 种 含有 关 组 价 合 情 条时 系 况 件 法 还 的 ， 可 判 有 以 定 时 借 ： 也 助 最 用 几 易错学点习误区 知 知 能 能 提 提 升 升 r 法 粗 解 糙 能 决 ， 用 ， 比 解 且 如 方 点 轨 程 差 迹 组 法 问 解 计 题 f 决 向 算 … 中 转 的 量 量 ， 化 问 是 5 小 不 化 题 数 多 能 归 知 ， 形 了 精 比 大 转 ， 确 较 部 化 识 但 找 方 分 的 点 出 便 也 纽 差 变 度 带 可 法 量 以 相 的 用 对 范 点 比 围 差 较 置 题 位 问 系 关 求 的 曲 基 线 本 方 步 程 骤 直线 击 星 r H 列 代 与 玄 丞 式 换 椭 况 y 圆 上 邕 4> 0 。 ~ 粗 4 写 用 < 笠 o 出 坐 建 曲 o 适 标 两 立 线 相 合 表 个 适 上离 条 示 交 a 当 任 v 件 条 思 无 0 的 意 , 件 麦 P 直 一 / 的 彖 P 与 角 点 ( 点 M / 两 坐A ) 与 " , 支 的 标 列 一 = 有 集 系 出 支 两 合 ，Q 方 有 个 阵 设 一 程 两 < 交 { 为= 个 / 个 " > ( 点 P 相 交 x 交 ( 】 M 切 点 点 ) ) } =0
椭 抛 双 圆 物 曲 处 的 在 的 焦 线 线 理 领 处 特 半 上 上 轨 悟 理 点 何 径 离 分 迹 以 轨 选 法 的 准 别 问 及 迹 择 范 线 在 题 解 问 合 围 最 两 成 题 题 适 椭 是 近 个 败 经 时 的 圆 [ 的 分 在 验 一 方 a 上 - 点 支 于 的 定 法 c 两 , 是 上 对 积 要a 点 + 顶 的 各 累 根c 的 ] 点 两 种 ， 据 最 点 方 所 题 大 的 法 以 目 距 最 离 小 是 距 轨 方 2 离 〃 迹 程 是 不 选 与 的 2 能 择 a 轨 区 合 方 迹 别 理 法 学习误区 总总结结 “ 整 升 司解 体 量 升 方 代 华 工程 换 组 " 华 的 ” 解 和 题 “ 思 点 工 想 差 具 复 与 法 ， 习 重 " 要 时 都 要 熟 加 体 技 练 强 现 巧 掌 向 了 握 量 “ 训 设 练 而 匚 不 求 ， 知 识 梳 理 弦 长 问 题 、 4 :王 如 呈 出 弟 槌 何 口 的 线 建 方 茎 - 与 程 辛 - : 线 - 缉线 - 双 方 - 没 - 与程 曲 - 有 除 - 组抛实 - 线 杂 - 有 数 - 条 物 业 - 几 解 漏 件 -若 组 磐 , - 只 已 两 - 实 - 出切 知 条 匚 - 数 现 -两 曲 个 - 解 - 一 - 个 定 线 交 ， - 个 -点 就 点 交 两 - 定 证 -， 没 条 - 点点 明 离常 有 曲 化 ， ， ， 以 交 线 方 没 以 化 这 点 a 就 程 妇 有 = 该 简 交 两 O 有 / 交 , 定. 方 化 点 个 0 几 点 = 点 程 力 ， 定 a 个 ， 为 的 = 直 点 交 0 J 坐 解 线 < 为 的 点 0 标 / U 最 中 ； 〃 是 原 简 x 点 曲 点 形 轴 做 线 式 上点
系 [ L A z x 、 + 八 By + c = O 原联点立，可以得两a定x2点+b所x+在c 直= 线Q为坐标轴
求轨迹方程，求得方程就可 以了，若二次函数 \f(x,y)=O 若 们 已 为 知 坐 两 标 条 轴 互 建 相 立 垂 直 直 角 的 坐 直 标 线 系 ， 常以它
是 还 求 应 轨 该 迹 指 ， 出 仅 方 求 程 得 所 方 表 程 示 式 的 是 曲 不 线 够 类 的 七 ， 丿三角换元 圆 身 锥 的 曲 最 线 值 自 设交点为 S（X| 山若 的）已 垂，知 线8（一 段X定 的2，点 中/和 点）一 为可条 原得定 点X1直 ，+X线 以2,， 点 X常 到1-以 直 定 线 点 的 到 垂 定 线 直 为 线 X
注意代数法和 判别式 代数法 直线融lig幽 X2 则弦长\AB\= Jl轴 +， F建 |立x]直 -角x2\坐标系
几何法的区别 不等式 求轨迹 =® 方 ） 程 [（ 同 + *2 ） 若 2 已 _ 知 4X 定 | 角 工 ， 2 常 ] 以 = 定 Jl 角 + 的 ® 顶点为原点， 、定角
当所求轨迹上的动点P随着曲线f(x,y)=O上向的量动点。的变动而变动， 且。 的常用方法 则弦长\AB 的 \= 角平 待 分 定 线 系 为 数 X轴建立直角坐标系
的坐标(％,%)可用动点P的坐标(x,y)表示， 对 则 称 将 几 表 何 示结果带入动 点几。何的法 取值、'巳 、 + 学 [法指导 法 直接法
曲 " 线 直 方 线 程 与 f 圆 (x 锥 ,y 曲 )= 线 O 相 , 切 化 ” 简即得到 是 动 “ 点 直线 P的 与 轨 圆 迹 锥 性 方 曲 质 程 线只有一个公共点"的充分非必要条件 围问 代 题 入 解 法 法于法于曰寸 将 作 坐标 / 差 ! 之 、 变 间 B 形 的 的 ， 关 坐 求 系 标 斜 式 代 如 入 "与 方 弦 程 的 ，两 中 式 点 椭 、 圆 — 参 /十 数 定糸 法 义■法 = 1=>吗 ― 代 交 入 轨 法 法
联立直线与圆锥曲线的方程，消去一个未知数后， 得到关于 位置关 方程是否是弦曲的线中方 程，曲线 是否 纯粹性 曲线上的点的坐标 - 都 -- 是 -- 这 -- 个 -- 方 -- 程 -- 的 -- 解 ------
如 近 果 线 是 平 双 行 曲线，则说明 待 最 另 该 一 直 定 基 个 若 系 本 未 得 数 的 知 到 根 数 关 法 方， 的 于 此 是 法 方 另 时 程 一 ， ， 个 直 不 未 线 一 知 与 定 数 曲 是 的 线 二 一 的 次 次 位 方 方 置 程 程 关 ， 系 则 并 方 非 设 程 相 曲 只 切 线 有 ， 方 一 而 程 个 是 相 线 交 与双曲线的渐 待定系数法 多判定求 的 曲 常 线 用 万 万 程 法 是方程曲线点，问检题查两个常条用解件法 員 ~ 、 根 差 数 法 美 与 完 ( 萦备 兰 性„ 物 线 V 以 = 方 程 2 p 的 a x , 6 解 曲 _ 胪 为 = £ 坐 - 标- - 的- - 点- -都 - -是 -曲 - -线 - -上 1 的 B o 点
如果是抛物线，则说明该直 线与抛物线的对称轴平行 用待定系数法求解 开放性 动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程
、
， 消去方程中的有关参
—
数
*消
，
兀
即
一
为
•
所
求
求
解
动
X
点
,
的
+x
轨
2,
迹
x1x
方
z—
程
^J >0
用可定先义假法设求条解 件可成先立确，定再曲验线证的结类论型是与否方成程立的，具成体立结则构存形在式，，否再则用不待存定在 系 数 法 求 之 丿 握六妙V 探 ? 究条件 问 交轨法 C 兰雙皆实际也属于参数具法体，问但题它不拘泥 曲 濂 鬱 于 线 弦 段 求 内 的 的 出 点 中 垂 动 点 直 P , 点 平 求 坐 分 以 标 线 P 后 为 消 中 参 点 数 的直线方程
方法：用“假 若 义设 动 吻 应 达 反 点 合 先 式 证 运 ， 求 进 法 动 可 出 行 ” 的 直 结 讨 或 几 接 论 论 “ 何 根 的 ， 假 条 据 表 往 设 件 定 达 往 验 恰 义 式 涉 证 好 建 ， 及 法 与 立 再 参 ” 某 动 针 数 蠶 圆 点 对 的 ' 锥 的 其 讨 讚 曲 轨 表 论 .设 线 迹 的 方2% 定 程待 定系数法列式一求解 J J— 定义法 存 问 在 题 性 参数法 若 (如 解 动 角 题 点 、 时 坐 斜 应 标 率 先 满 、 对 足 比 动 的 值 点 等 等 的 量 ) 形 关 做 成 系 参 过 不 数 程 易 ， 面进 直 根 积行 接 据 分 找 已 析 到 知 ， ， 条 确 可 件 定 选 求 • 吏 参 取 出 称 ] 数 与 动 问 量 ， 动 点 题 式 探 点 的： 求 坐 参改 几 标 数写 何 有 式成 关 密 方坐 系 切 程标 ， 关 ，， 建 系 然再 立 的 后用 参 量 消根 数 参与 方 数系 程 即数得关系表示
定值定点
求两弦曲中线点有的无轨交迹点方，程或，有常几运个用交“点设，而就不是求 ”判的断技方巧，通过中点坐标及曲斜线率 的的交点与 方
■解 处题理涉方及法直线和二次曲线的交点问题时，重视 '‘ 设特而殊不：求求 "定 ，点用，根证与无系关数关系进行整体运算方法策略
代程换组，有达无到实求数轨解迹或方有程几的组目实的数，解也称为'‘点差法”或"设而不求法" 程组的关系 对参数方P程 :化直简接以推后理，T要计重算视T消检去验变工量作，T几确何定转变换量的T从范而围得到定值定点高中数学第十二章计数原理第一、二节排列与组合
分类与分步不清致误 第一、二类方案分别有市、"种 不
分类标准不明确致误，出现重或漏的情况 完成一件事情有两类不同方案二分类 同方法，共有N=/n+"种
不能准确区分"有序"与"无序"
“平均分组"与“平均分配"是不同的 原理
分步 二步分别有力、"种不同方法，共有'=*"种
"不平均分组"与"不平均分配"是相同也 学习误区
计数原理与排列 概念 A；:"个不同元素取力个，按顺序排成一列（/»<«）
应用原则
“分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合"
排列 "个不 回元素 中取出个元素的所有排列的个数
组合数的
抓住公式的结构特征，结合题目的特点，灵活运用 性质解题 公式变 誹列数
形，达到解题的目的 — 比较复 知能提升' 知识梳理 公式
杂的问题 规定:
利用转化和化归思想转化为熟悉的排列、组合t 问题，
可使复杂问题简单化 、总结升 〃个不同元素中取出巾（7WW”）个元素合成一组
分配问题必须遵循先分组后排列的原则 华 组合 从"个不同元素中取出巾（m^n）个元素 定义
元素的组成没有顺序性的是组合； L 0,1 的所有组合的个数
击圭命姐*右順中性S旦址叽-------------- _ 区削
先分类后分步 组合数 公式
先选后排 (/»、”6N*且/MW")
先组合后排列，有限制条件的优先 限 遵循的原则 组合与排 _____________________J
避 制 免 条 重 件 复 多 和 的 遗 优 漏 先 ~~ 列的异同 性质 c：=i, c；=cr
分清分类和分步计 数原笔 分 注意的问题 CC：：==ll,, CC""害害 55
清 否 排 有 列 限 和 制 组 条 合 件 问 一 题 『 不 要 分 重 清 复 是 、 排 的 列 综 、 合 组 问 合 题 学法指导 相同点 从"个元素中任意取出m个元素
遗漏 / 不同点 组 元 合 素 " " 不 按 管 一 元 定 素 的 的 顺 顺 序 序 排 合 成 成 一 一 列 组 " "，排列 要求
特殊元素优先考虑，特殊位置优先 安排一 合
理分类，准确分步 - 解题策略 组合问题 计数原理的应用 联系
正难则反，等价转化 一 的常见类型 A：=g
相邻问题捆绑法 一 / 分类
所选 不 取 相 的 邻 组 问 合 题 中 插 ， 空 “ 处 含 理 ” 与 " 不 含 " 某 个 元 素 丿 组合数的性质 排列应用题 . （ 建 立 恰 明 完 当 确 成 的 完 这 分 成 件 类 一 事 标 件 的 准 事 〃 ， 有 类 做 哪 办 到 些 法 分 办 是 类 法 相 时 ， 互 不 怎 独 重 样 立 不 才 的 漏 能 算完成这件事一
" 注 至 意 多 几 " 或 何 " 问 至 题 少 本 " 问 身 题 的 限制条件几何组合问题 有 排 限 列 制 问 条 题 件 的 无限制条件 的 分步 _ 明 确必 宠 须 成 要 事 经 情 过 分 几 成 步 若 才 干 能 个 完 步 成 骤 这 .缺 件 少 事 哪一步,这件事都不可能完成
排列问题
运用分类思想若干集合中选取元素问题一 一正确分步，逐步去做,步骤完整
非均匀不编号分组
均匀不编号分组分组问题常见形透 非均匀编号分组 / X 反映了组合数的对称性，即从"个元素中取出巾 首先认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题。如果是，然后用排列数公式求解
丿 均匀编号分组 丿 c：=cr 个元素与从"个元素中取出（"-成）个元素是相等 1有特殊元素或特殊位置；’2元素必相邻；3元素不相邻；4元素有序限制
的
遵循先分组，后排列的原分配问题的处理途径 可 个 理 元 解 素 为 中 分 取 类 出 加 巾 法 个 原 元 理 素 的 ， 应 可 用 看 ： 做 从 一 （ 类 ” 含 + 有 1） 某 解题策略 4 9 . . 特 多 殊 元 元 问 素 题 （ ， 位 分 置 类 ） 讨 ， 论 优 ； 先 5 . 考 当 虑 正 ； 面 2 求 . 不 解 相 比 邻 较 问 困 题 难 ， 时 插 ， 空 可 排 以 ； 用 3 " . 间 相 接 邻 法 问 " 题 ， 捆 绑 处 員 ）
一元素，一类不含某一元素 ）
丿高中数学 第十二章 计数原理 第三节二项式定理
""=(：/+*%+. ..+C/"+...+C：矿
注意分清二项式系数与系数的区别，避免出错
所表示的定理叫做二项式定理，等式右边叫做(a+庁的 、二项展开式，其中
运用二项式定理时，不能够忽视展开式中系数的正负号 定理 C ： , C ； , … ， C ； 叫做二项式系数 ,
二项式系数的最大值与系数的最大值的混淆致误
(a-3)"=C：a"-CW%+・“+(-gaW・"+(-l)"C””
要证明一个式子能够被另一个式子整除，只要证明这 个式 二 及 项 相 式 关 定 概 理 念 变形 ------ _
子按二项式定理展开后的各项均能够被另一个式 子整除即
可
知能提升 三项式系数
利用二项式定理进行近似计算时，要根据要求选取展开式 中保 二项展开式的通项公式
留的项，以最后一项小数位超过要求即可 一〉
知识 二项式系 对称性
梳理 .数的性质 在二项式定理中，与首尾两项“等距离” 的两项
的二项式系数相等，即C：=C質
涉及展开式的系数和的问题，一般釆用赋值法
増减性
共有”+1项 项数
二项展开式的特点 最大值
按次为组合数 C ： , C ； , … ， C ： 二项式系数
每一项的次数是一样的，即为"次，展开式 依 则中间两项二项式系数最大C,,
a的降幕排列、3的升幕排列展开 二项式定
利用二项式证明 理的应用 E项式系数的和
巧妙构造二项式 不等式的处理方法
适时运用放缩法 通项
公式 近似计算
利用二项式定理 应用 (1+x)% 1+raxI 时 xl与1相比很小且”不大
要证明一个式子能够被另外一个式子整除， 只 解决整除问题 凶 明有关不等式 巧妙地构造二项式，应注意运用放缩法
要证明这个式子按二项式定理展开后的 各项都
能够被另一个式子整除一
证明整除问题或求余数
方法
誌饗翱式求特定项或特定项的系数
通 某 考 常 数 虑 把 的 后 底 和 面 数 或 几 写 差 项 成 的 就 除 形 可 数 式 以 ( ， 了 或 再 一 与 用 除 二 数 项 密 式 切 弓 相 关 理 的 展 开 数 ， )与 只 ( ( 把 式 1 2 ) ) 底 ， 构 数 再 造 写 用 一 成 二 个 除 项 与 数 式 题 与 定 目 某 理 相 处 个 展 关 理 数 开 的 整 的 ； 二 除 和 项 问 或 式 题 差 ； ， 的 通 形 常
关于组合等式的证 明， (3) 注意余数的范围
构造函数或构造同一问题的两种算法 常用'‘构造法” 釆用“特殊值取代法”，常令字母变量为1高中数学 第十三章概率与统计第一节随机事件的概率
事件间的"互斥"与'‘相互独立"是两个不同的概念，常 因为将 作相同条件S下重复"次试验，观察某一事件S是否出现，
它们弄混而发生错误 赫数与痛庇 '则称在"次试验中事件/出现的次数，”为事件S出现的频|
两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生 必宇 , 办丁 ) = 云为事件 S 出现的频率
事件间的“互斥"
都是描绘两个事件间的关系一 同点 与“相互独立” 概率与频率 概率 对于给定的随机事件4若随着试验次数”的 增加，
事件/发生的频闻 W)稳定在某个常数 上，则把这个
互 发 斥 生 强 与 调 否 不 对 可 另 能 一 同 个 时 事 发 件 生 发 ， 生 相 的 互 概 独 率 立 没 强 有 调 影 一 响 事件 的 不同点 性质 常数记作P”),称为事件/的概率
把频率当概率 错用概率公式 任一事件的概率取值在 ［ 0, 1 ］ 之间
互斥的两个事件可以独立，独立的两个事件也可以互斥 ［必然事件的概率为1
人8互斥时，P(/f+B)=P(/)+P(B) 忽视公式条件 不可能事件的概率为0
I推广：4、&、4、",、4两两互斥，则 加法公式 事件 分类 不可能事件 在一定条件下，不可能发生的事件
| .p(4+&+&+...+4)=P(4)+P(/2)+P(4) + ・ "+P(4 ) 知能提升 在一定条件下，一定发生的事件
若S、8独立，则PC4B)=P(/QP(B) 乘法公式 学习误区 随机事件 在 一定条 件下，可能发生也可能不发生的事件
I 立 推 ， 广 则 :4、&、4、・”、4两两独 总结 梳 知 理 识 关系 L 事件的包含 芝 ?件登 芝匕 4 . 互 坚 七三竺事件
等可能事件 互斥事件 ~~ 独立 1.确定事件的性质 概率问题 升华
事件 一 的解题步骤 概率的加法公式 互斥时，P(A+B}=P(A)+P(B)
〃次独立重复试套 2.判断事件的运算 韻皇狎 定义 如 S 、 果 B 在 互 试 为 验 对 中 立 ， 事 事 件 件 时 4 ， ( " 或 赫 B ( / ) 沪 发 ］ 生与否对事件B(或4)发
立事件率没有影响，秘、溯互独立
3.选用公式
和事件、积事件，即至少有 一个
发生，还是同时发生， 分别运用 4.计算作答 立重 复试验概 时发生的概率 独立，则
相加或相乘原理 部站餐生 念 在同样的条件下，重复做"次试验，各次试验的结果
相互独立，称为"次独立重复
A. B都发生的事件为
A.脾立
A. B都不发生的事件为SB 事件的表示学法
计算 ②各次
1每
试
次
验
试
结
验
果
条
互
件
不
完
影
全
而
相
|
同
次
，
独
事
立
件
重
发
复
生
事
的
件
概
4
率
恰
保
有
持
欣
不
发
变
生
;
的
|
A. B恰有一个发生的事件为屈+巫 関导 常用事件的 概率为 P AIi)=C^g 沪
A. B至尖有厂个下发生 表示与概率 概率的意义
的事件痂应+袂一^ 是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过 程中应有意
识地形成概率意识，并用这种意识来理解现实 世界，主动参与对事件
概率 发生的概率的感受和探索
解题注意事项
频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率值 频率本身
概率问题与我们周围的生活联系密切， 它的 是随机的，在试验前不能确定
计算一般归结为排列、组合的计算 P(AB)=P(A)P(B), 成立的条件： 事件 概率是一个确定的常数，是客绅在南，与试验次数无关
A. 8相互独立
在解有关概率综合题时，首先要分清概率类型, 是单一
的还是混合的，具体计算要分清是排列 还是组合 事件的关系与运算可类比集合的关系与运笔 互斥裏件或立事件都是指两个事件的关系
R/)+RB)=1,成立的条件: 当AS 相同点 指不能同时发生的两个事件
求某些较为复杂的 事 互为对立事件 对立事件与互斥事件 互斥事件是指不能同时发生的两个事件
件的概率的方法 不同点 对立事件除了指不能同时发生的两个事件外，还要求二者必有一个发生 嶄
一是 彼 将 此 所 互 有 斥 求 的 事 事 件 件 的 的 概 概 率 率 化 的 为 和 一些 ，次独立重复试验中某事件恰好发生砍的概率 关系 立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件
二是先求此事件的对立事件的概率， ”是重复试验的次数，/，是一次试验中某事件4发生的概率，
再利用公式求出所求事件的概率 躍〃次独立重复试验中事件＜4发勢)次数高高中中数数学学 第第十十三三章章概概率率与与统统计计第二节古第典三概节型离与散几型何随概机型变量的分布列、 期望与方差
在判断两组数据时，不仅要根据期望进行比较，
随机变量 几 古 件 的 何 典 数 均 如概 概 为 值 果型 型 无 是 与 的 限 一 期古 基 多 - 望典 本 个随 相概 事 机 型 件 等 变 中 数 ，基 为 量 还本 有 的 事 限 必 均 件 个 须发 ， 值 生 几 比 与 具 何 较有 概 样 方等 型 本 可 差 的 平 能 基 再 均 性 本 进； 事 邕 行判断 古 几 典 何 概 概 型 型 的学 与 区习别误区 嚼嬲量 基 随 本 机 事 变量 件 定 特 义 点 一次试表 J 验 示 , 中 ( 随 1离 所 ) 机 任散 有事 何型 可件 两 能结 个 的果 基 结的 本 果变 事 都量 件 是 是 基 1互所 本 斥有 事 的可 件 ；取值按一定的顺序
个常数，而样本的平 (2连 )续任型何事件都可以表示成基本事件的一和一。列 出具的有随这机变量|
均值是一个随机变量 (1)阅读题目，收集信息 分布列 两个特点的概率预模某型一称区为间古内典的概一型切值的随机变量
( ( 在 样 量 的 近 2 3 ) ) 求 本 而 增 于 判 求 几 平 变 加 总 断 出 何 均 化 ， 体 是 基 概 值 的 样 均 否 本 率 的 ， 本 值 是 事 时 变 但 平 等 件 ( ， 化 随 均 可 4 总 ) 如 是 着 值 能 用 数 果 随 样 越 事 公 和 事 样 本 来 件 式 事 件 本 容 越 ， 求 件 / 容 量 接 并 出 所 对 用 概 包 应 字 率 含 的 母 并 的 区 求 求 表 下 结 域 示 结 果 E X不 事 0论 数 可 ) 好 件 和 能处 。 取 ( 值 *) 的 的 古 解 每 关 典 题 一注 键 概 步 。意 是 型 骤 知 提 知 提 能 升 能 光 瓣 知 梳 识 理 古 , 典概型 几离何散 特 型 殊 定随 的 义 分 机 布 变 二 特 量 点 计 征 超 分 / 一 算 几 布 何 般 公 分 公 式 布 式 a.有限性 等 定 可 义 能 ^ S ^ 性 P 包 总 ( 每 A 含 的 质 + 基 个 B 的 基 ) 本 基 = 基 本 P 事 ? 只 本 ( 本 事戶 A 件 有 事 ) 事 件 x 离 的 | 0 + 个 两 „ P 件 P 件 个 x 散 概 | ( ( 数 个 l 小 发 ， B 个 t 数 型 率 ) 有 可 | - 生 = - 数 随 十 - P 1 P 限 能 , 的( , ( 机 x X 2 A 1 结 . 可= , B 小 变 , X " ) 果 且 能i , 量 1 ) 〃 ， 性= X 此 p X ) 取 相＜ 表 有 0 每 等冽 简 ， 2 个 . 表 称 ， 值 P 如 个 X i+ x 下 的 不 P , E ( ： 分 同 “ i= 布 的 + 1 P , 列 取 2 尸 , 值 … L 两
理，可以用对立事件概率公式逆向 思值维及。同相时对要应的概亳/ 概•型的期望与方差一 I qp(x=1)为成功概率
注 切 意 忌 判 想 断 当 基 然 本 ， 事 需 件 要 的 从 等 问 可 题 能 的 性 实 ， 际 这 背 需 景 要 中 严 去 谨 判 思 断 维， 学习误区 特点 结果的无\P限(x = k) = ^^-,k度 =( 面1,积2,或3,体 •积••),成 m正,其比中 ___________________________
性
院事件的个数是无限的
随机变量的方差和标准差一样，都是反映 等可能性
随 与离 机 散 变 程 量 度 X的 。 取 方 值 差越 的 小 稳 ， 定 取 与 值 波 越 动 在集 、 中 集 声、 中 典概意义公式的变形 f 个基本事件出现的可能性相等
分子、稳分定母性标 越准高不、同波，动“性有越序小”。型反计之算亦中然 和“无 公式 构成事件 / 的区域长度 ( 面租或体积 )
序”混同致 D 误 (X)=E(X2)-[E(X)]2 期望 S 试验的全部结果构成区域长度(面积或体积)
“等可能”期与望“是非算等术可平能均”值致的误推广，是概率意义下的平均
IS
常 方 见 差 的几何概型 计 判
"
算 断
用
所 几
公
定 有 何
式
义 基
性
概
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本
质
型
入
事
求
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与 事 一 | I l ：件 般 l | ' 地 1L 北
E
所
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| 含 若 称 ；
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k
, 基 散 X ：
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E区 数 ( T
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. f 域 学 X E
a
) F 的 期
E
= F
(
x 几 望 t 驀 p
X
l何
)
+ *
+
x 分 度
b
2p 做 2量
;
+ 岫 -+ 莉 xllP M n
E 有 件(X 放 概)是 回 率一 抽 的个 样 差实 与 异数 无 不， 放 清由 回 致X 抽 误的 样 分 布 事 列唯一确定。即作为 随机变量 期望的理解 V 性质 £ X 5 、 + X 羽 i ) = 相 £( 互 %) 独 +£ 立 (号 ， ) E ； 0； & )=E
礎可变的，而E(X)是不变的，它描述 X取值的平均状态 型概典古 分使布用列条件 ⑴ ⑵ 确 D(o = ¥ 。 林)试=j验Z)结(X果) 的(3有)。限性和所有结果皿的 y等 ： 可 x)能 ( = X *性 , ［ ) E x ( , X - ) 砍丽 季准差 . 而 ^ )
i (力=财)-［喚2
对 应 概 于 的 率 几 几 .根 何 何 据 概 图 实 型 形 际 的 ， 问 应 利 题 用 用 的 题 几 具 ， 何 体 关 图 键 形 情 是 的 况 构 度 ， 造 合 量 直出 理 来 接随 设 求 给机 置 随 出 参 事 机 了 数 件 事 砒 ， / 件 的对 建 的 求法 思路 几何概型 棊求解器基麟础囂 明确 、 数 ^ 有 蔓 放 放 符 回 回 号 抽 抽 的 样 样 以 一 字 O s k 母 Q = k 4 " / 是 厂 Wk 随 表 , 机 示 等 变 随 都 量 机 表 取 变 示 區 量 由 ， 一 表 些 示 基 某 本 一 事 基 件 本 组 事 成 件 的 。 一 同 般 样 事
立 一 适 对 当 应 的 于 坐 该 标 坐名 系 标称 ， 系 在 的 此 一 基 点 础 ， E X 上 便 ( ) 将 可 试 构 验 造 的 出 每 度 一 量 个 区D( 结 域X) 果一 的求 特 法 常殊 分见 长 布概 度 的型 型 期望 与方差 求法 任何基 理事本 解件概 与』率 计的的 算概古率典概率 J 了妍 总的 包 总 WP 件 含 (的 件E 的 k基个) 基 ,本细P 本 ( |事K又 事 件k是 件 )个等计 个 数表算 魏 示其 “ 事概 | 件率 P 的的 3) 概基 既 率本 是 是方 古 法 典 取 概型的定义，
两点分布 P P(1 ~P) 超几何分布 互斥事件的概率 „值［0,1］上的一个实数
设 落 段 线 在 /在 先 段 线 线 求 / 段 是 段 出 超/ 线 上 Z 几 X 上 段 的 的 何 的 点 分 Z 分 • 相 数 布 的 布 对 与 列 一 位 线 部 置 段 分 无 / ， • ~ ~ n 关 的 N 向 M ， 长 线 则 度 段 成 L 点 正 上 n 落 M 任 在 比I 投 / ，M V上 一 \ / 而N 的 -与 点 n N概 - 线 。 - \率 J 若 为 v-V 面积 若 方 随 法 机 为 体 变 超 积 量 几 型 何 X不 分 服 布 从 给 于 出 特 了 这 殊 类 的 问 分 题 布 的 ， 求解方法， 可 求 是 户 古 ( 典 /) 概 时 型 首 ， 先 步 要 骤 判 为 断是 相 独否 互 立 独 重 立 复 事 试 件 验 的 的 概 概 率 率 2. 1 判 .仔 断 细 试 l 结 而 / 阅 验 = 变 果 K 读 结 + ， 而 h 题 果 也 变 表 目 加 是 是 的 示 ， 深 否 随 随 〃 弄 理 为 机 机 是 清 解 等 变 变 4 题 题 可 量 的 量 目 意 能 线 ， 的 事 性 相 背 件 函 应 景 ， 数 的 材 设 ， 〃 料 出 4 也 ， 是 所随 随 求试 某 事 个 件验 /结 试 果 验
设平E面(X区)域=xg1是p|平+j面y区?2域+.G.的.一+x部 分，向区域 G上任投 设空间区 以 忆域 通 ，V 过 要是 直 在空 接 理间 运 解区 用 的域 公 基啲 式 础一 求 上部 解 记分 ， 忆， 但 向 不 区 能 域 机 r 内 械 地 任 记 投一点， 1.先判断一个变量是否是离散型随机变量，主3 事 .要分 件 看别 个 变求 数 量出 〃 的基 , 取 本 值 事 是 件 否 的 按 总 一 数 定 " 与的 所顺 求序 事 一 件 一 』 列 的 举 出 、 来 基 本
一点»， /若落在区域g上的点数与区域 G的面积成正比， 若落在区域V内的点数与区域啲体积成 正比，而与区域V在 2.明确随机变量X可取哪些值
而 g上 与 概 区 率 域 为 g在 T 区域G上的相对 位置无关，则点落在区域 区域在 以 P 丫 ( 超 根 X 内 = 几 据 m 的 ) 何 公 , 相 从 分 式 对 而 布 ， 位 列 中 求 置 出 ， 出 无 X 只 乂 关 的 要 取 ， 分 知 不 则 布 道 同 点 列 了 ， . 落 一 " X 时 、在 — 的 M区和 概 域" , 率 V 内就的可概率为阵髒 3.求X取一每 4 般 . 一 列 公个 成 式值 分 的 布 概 列 率 表 P 4 ( . A 利 +B 用 )= 公注 P( 式意 A) P: + Q用 P 4 ( )分 B 求 ) 布 - 或 出 P 列 ( 某 事 A 的 B 事 件 ) 两 件 /!条 的 的性 概 概质 率 率来 是 检 否 验 正 所 确 求的分布列高中数学第十三章概率与统计第四节二项分布与正态分布
由于数据过大可能结果算错，或 对茎叶 若 事 在 件 一 恰 次 好 试 发 验 生 中 泌 某 :的 事 概 件 率 发 是 生的概率是P,则在"次>(^=*)=c 竺 i ， 其 1> 中 . 2 独 >… 立 土 重 q 复 =i 试 -p 验 一 中这个 公式 X~B(",p)=Pg)=Cf p%z 图的特点不熟悉致错 E(X)=np 随机变量X的概率分布如表：称随机变量X服从二项分 布。记作X 二项分布的期望与方差 0.682 6,0.954 4,0.997 4这三个数 不能 ~ ( 7 B ］ (n 一 ,p 5 ) L , ； 其 — 中 E " ~ 、 *— P为 FT 参 -^~ 数 I . 分布列 八亠" D(X)=np{\-p) 准确记忆致误
学习误区 正态曲线 /(对•花< 1 x e - Rx 守 7>0)其中n是圆周率，e是自然 对数的 二项分布 底数,X是随机变量的取值，"为正态分布的均值， 。 知识 是正态分布的标准差。正态分布一般记为N5,。'), 若 二 随 项 机 分 变 布 量 的 服 期 从 望 二 、 项 方 分 差 布 公 ， 式 可 求 直 期 接 望 应 和 用 方 梳理 /(X)的图 曲 像 线 为 在 正 x 态 轴 分 的 布 上 密 方 度 ， 曲 与 线 x ， 轴 简 不 称 相 正 交 态 曲线 差 正态分布 曲线关于直线对称 知能提刊 理解正态曲线的形状特征，如对称轴、顶点变 化趋势 正态曲线的性质 /(3)曲线在x=“时位于最高点：善M
等。运用3(7原则，解决正态分布问題一 (4)当x<“时，曲线上升；当X冲时，曲线 下降.并
且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以X轴为渐近
求正态分布的概率,关键在于转化 为标准 线,向它无限靠近
正态分布 一^ (5)当“一定时，曲线的形状由。确定.淑大， 曲线 又称3(7原则 越“矮胖”，表示总体的分布越分散;携 ［小，曲
线越“瘦高"，表示总体的分布越集 中；当L定时，
正态分布有两个重要的参数：平均数(期望、数学期望) 〃和标准差 曲线随“的变化而沿X轴平移
(T,不但要明白“和O■在统计上的意义，还 要对应到正态曲线上的 正态总体在三 个 ： 6 ) 曲线与 x 轴围成的区域面积为 1 曲线几何意义，做到从概率、统 计、曲线、函数这四个方面来把握 特殊区间内 取值 P ( 四 - 。 < XWu+ o ) =0.682 6 和理解，其中后两个 方面是作为数学工具来为前两个方面服务的 的概率 P {/i-2a< ) =0.954 4
Si 标准正态分布 E(X)=“ 30•原则：服从正态分布NQi,子)\ 定义 当“=0、gl时，正季总体称为标准正态总体，其相应的函数表 示
的 Xw(〃-3化 / ) ）> 单率 ),内 调 这可 递 个导 増 式， ； 子 叫 |若 做 ， 函 腳 数 ，则 E（ 函
减 函 值 导 函 数 / 非 ' 函 数 / ( '必 x 数 的 （ ) 要 > 简 充 X 0 ）条 称 分 是 在件 导 非 / 点 " ； 数 必 (X 尸X ， 要 ) 处 在 ( 是 条 x的 对 ) 一 件 <导 应 0 个 是数 区 函 /是 间 ( 数 x一 是 )在个 増 对数 函 应 数 区 的 间 充 是 分 ■ - 一 区别 单调 可 导 区 导 间 数 与 与 值 增 定 恿 与 义均 导数不能区分 学 致 习 误 误区 学习误区 ( ( 1 2 ) 数 若 ) 求 若 就 限 求 " 在 出 物 是 。 = / / ( ~ 尸 体 物 即 6 。 ( ) x 包 运 体 ” 在 3 ) ) 的 / 动 在 啊 ( 内 。 定 路 倒 令 / 3 ' 义 程 / 哽 ) ( + 单 x 域 是 也 产 ) 调 = /这 * s0 - = 递 , 段 如 s则（ 减 时 */ ； = 间 ）处 内 ,)则在 ， 物( 当 a体, & 在3 — )时内 0 刻 时 是/ 常的 平 数瞬 均 时 速 度 速 的 度 极 v
求 求 单 函 调 函 数 区 数 在 间 的 某 易 导 点 忘 函 处 定 数 的 义 ， 导 域 再 数 ， 求 时 它 这 ， 是 点 一 定 的 般 义 导 是 域 函 先 的 数 求 子 值 羿 |出 联系 可 切 导 线 ， 与 不 可 _ 导 定 竺 可 膺 导 厂 ,切线必存在;不 理解致误 一 基本概念 割线 * 的 * 斜 "S 率 B \ £过 当 ?时曲 。( 布细 4沿) =。 据 / 着 （ 驻 林 曲 x ， ） 线 前 & 上 无茬 砌一 限萩 根点 趋豆 < 近 2 丙 乂（ 于反 为 3 P间 , 点 _ ， / 时 （ 列， 对 表割 ） 考线 作 察有 曲 所一 线 划金 的 极 割 限 线 位 P0 置
已知/"(x)eD,据/''(x)=o的根X",，…,x*之间 P\T,则直区线间P内7■y叫(x做)的曲符线号在，P依处"的正切则线増。，金负为则过点 P（由
通 表 常 讨 列 论 利 的 用 定 导 义 数 求 求 出 的 数参 函 大 的数 数 小 范的 在 讨 围值 某 论 ， 点 / 关 处 '( 键 的 X) 是 的 导 先 单 数 利 调 ， 区 用 然 间 导 后 或 数 列 在Z)内确 定参 知能提升 知能提升 知识 利 数 用 单 导 调 数 性 判 的 断 应 函 用 确定单调区怎 一 间） 般 ） 地 ， ， 。 函 代 数 + * 心 证=/ 瓜 明（ + 不x 心 ）等 : & ） 式r= ） x。 割 处 线 的 的 瞬 斜 时 率 变化率是 螭称
正 正 则 变 増 负 ， 极 负 大 则 显 方减 ， 程， 由 求零 负 解求 变 驻 正 点 极 化 小 区 现 间 。 ， 由 、+判断单调性、 梳理 导数的概念 在x=x。处的 求 研 导 函 究 数 数 方 ， 的 程 记 值 它根 为 域 为的 广 函个 （ 数数 知 y（x）
“土"指函/'数(X在)某点处的切线斜率越大，导数就 越大平，极值的口也/ 导数的极概值念与导数 求/（X） 求在参数的值(取值范围 1) . 求函数的増量一
那么函数在这一点附近的增长率 越大，函数在 X=X°处 的导 标值六与 )
这一点附近
y
增长得
y=
越
f(
快
x)
图畛
知识
函数的极值数步骤对X。附近的所有点
方垫极J限\值，六得院皂■竪/•(*)>,(%)
对 判 式 于 断 可 复 一 直 / 合 个 接 X 函 函 求 数 数 导 ， 是 中 初O 间 等 变 函 量 数 应 的 选 标V 择 x准 简 | 符 是 单“ 运 号 初 用 + ” 等 求 I 函 导 “数 公 ，-” 表示■ / V ) 的 梳理 求可导函数 ⑴ ( ( 2 3 求 ) ) 导数/'(X若 对 着 )。函 于 一 数 开 个 区 确 y求 检 = 间 定 f出 查 （ （ 的 方 f x a 导' 程庭 . ( b 数x /区 ） ) ' 广= (间 内 0 x （在 )的 J= 七 , 方 0每 ） 所/ 程 一 » ， 有） 左 个 则 的内 右 确 函 实的 的 定 数 根每 值 的 / 。 的 f 值 ' （符 点 弓 X号 都 都 ）， 可 对 叫 导 应 做 , 区
/(x)>g( 一 x) 类 ,x 是 e( 求 ") 曲 ， 线 转 的 为 切 化 线 证 方 /( 程 x)-g(x)>Oo 如 那函 果 么数 左 /y(= 正 X/)（ 右 在x 负 这） 间， 个& 点 那 根 （ 毛 么 处 a, 处 / 取 3(） 导 x 极 )内 数 在 小 的 的 这 值 导 几 个 ； 函 何 根 如 数 意 处 果义 取 左是 极 右指 大 同曲 值 号线 ； ， 如 那 果 么 左 /( 负 x) 右 在 正 这 ，
运 像 ( ( 根 不 / / 用 与 ( ( 据 能 x x 数 X ) ) 问 直 - - 轴 形 g g二 题 接 ( ( 的 结 x x类 特 求 ) ) 交 合 ) )是 征 导 ' ' 点 思 > v已 ， 时 O O 个 想 , ,知 恰 ， / / 寒 确 ( (曲 当 要 x x / 定 ) )线 选 先 - - 函 g g的 择 适 ( ( 数 x x切 求 当 ) ) 在 在 图 线 导 变 ( (求 公 形 " " ) )参 顶 数 式 上 上数 ， 单 单 究 调 调 方 递 递 程 増 减 ， ， 根 只 只 的 要 要他 个 f( * a > ) 0 -g 即 (a 可 )> . 单 o B 即 n 调 可 利 性 ; 有 类 用 的 关 导 应 霜 导 数 用 覧 数 判 几 断 何 函 意 集 土 等 义 塞 的 数 题目有两 II 导数的运 值 算 与导 求 小 函 函 值 数 数 导数 的 的 数最 步 最 大 骤 大 的值 值 运 常 与 与 算 最见 最 小 极 法 初值 值 个y （ 则 等 = 的 根/ ％ i （ 逆 r 函 - @ 处 ） ( x 向 对 ⑴ ( 的 数 匯 2 思 士 ) 函 求 点 将 的 维 京 数 为 尸 / 问 " 导 值 x 罔 （ ( ) 题 X 不 r 讷 毛 数 ) = 的 是 _ 内 , r 公 丸 各 最 极 ( 的 w 麼 极 大 值 ) 式 极 ± 切 值 值 值 w 线 与 ，( ; x 的 / 最) ' 斜 0 小 ) 率 、 的 ， / 就 0 即 a ( ) 是 ( ( ( a 1 比 x s c 《 *最 " i o = ) 较 ) n s 0 = '小 ' x ( 广 x ， = ) 值 n ) ' = a 其 x ' a 为 ^ = * 中 ' = — l 常 ( c n 最 „ o s a 数 > s i大 0 n x ) ) x 的 就是
今 处 (1 / ) 可 对 导 ( 恒 ) x 先求 于 数 ) 为 M 化导 带 的 0 。 ( 为绑 绝 定 或 的 整' 对 义值 W (式 0 X 值 来已 ) )或 求的 求知 结 出在 导单 构 参某 调 简 数点 性 单 ，可 求 的 n导 参 和 分 的 数 心 式 函 氾 十 函 数 围求' 数 畑， 函 再 卄、 数 求 田初 的 导 等 值检函验数参的 求 值 含 数导 函 的 绝 ，数 数 步含 对 去 极 骤分 值 除可 式 式 直接应用 函数的极值 基本求导方法 求可导 生活中的优化问题 注意事项 l ( f 2 M g ) ( 若 x - ) ［ Y 函 = ( 卿 f 1 数 ' W ) 在 g 考 ( 区 x 虑 ) 间 实 ± 内 际 只 问 有 题 一 的 个 意 点 义 使f ： '(x)=0,且 ( 函 e* 数 ), 在这点处有
复合函数的概念 /由几个函数极复值合，而那成么的这函个数值就是最值
(2 应)求用方三程角/公"'式(x先)=化。为的和所与有差实的羿形式 三角函数式 极值 函数 定 的 义法 函数单 I
( ( 3 4 可 数 ) ) 作 检 先 求 结 查 对 导 论 / 两 的 '' 边 方 (X 取 法 )在 对 缨 方 数 一 程 以 根 后 左 再 右 利 的 用 值 复 的 合 符 函 号 注意 积 对事 、 于项 商 结 、 构 乘 是 方 几 、 个 开 理因 方 解式 的 的 函? 最 求 值 导步骤 调性的 步骤求加的定义域 \ 复合函数 一 导 求 般 思 导 步 路 法 骤 则 求导前 等 于 复 已 合 知 a 问 函 . 函 分 题 数 数 析 的 J 对 W 实 数中 ［ 际 学间 问 模 （ 变 题 型 X 量 中 ， ） " 各 写W ］ （ 量 出x 对 之 实） 自 间 际的 变 的 问导 量 关 题数 x 系 中尤 的 ， 是 导 乘 列 量 数 以 出 之 乂 中 实 间 ， 际 的
y'(x)无意义的点也要讨填 提 间变运量用“复函对合数自函关变数系量的呉求x实的导一导法数则“，，将即复乂合 函=力数矿 的
分 合 析 而 清 成 楚 的 复 ， 合 适 关 当 系 选 是 用 由 中 哪 间 些 变 基 量 本函数 复 求导数 极 极 值 值 点 是 复 局 X合。 部 函是 概 数［ 念 的a ， ,导可 极 数内 大 部 值 的 不 点 一 ， 定 不 比 求 含 极 函 0 小 数 ,3 值 增 。 大 量 ； 与 =« + 免），（ 求 与 函 ） 数 正 f(x 确 )的 理 导数 解 f'(x) 訓"g 问题转化 D 为 求 基 函 本 数 函 的 数 导 的 数 导 ， 数 '(X),解方程/*(x)=0
求 分 求函 步 出数 计 各/ 算 函(X 中 数)在 的 的区 每 导间 一 数( 步 ，") 都 并内 要 把的 明 中极 确 间值 是 变 对 量 哪 转 个 换 变 成 量 自判 求 变单 导 量调的函数 / / 极 (X 大 )在 值 ［ 点 0 、 ,可 极 内 小 有 值 极 点 值 是 ， 交 则 替 在 出 ( 现 ") 的 求内平不均单变调化；率 解不等式/-(x)>0(或尸(x)<0 ) f'M________ 过 率 点 是 （ y 如 = / （ /~ 玉 （ ） x） ）, 在 、,（ 点 c.％ 处 比 的 较+ 瞬 函 数 + 时 数 值 A 变 在x 大 ） 化 区 小 ） 率 间 ， 割端 最 线点 大 的和 ( 斜使 小 / ) ' 者 (x 为 )= 最 0的 大 点 (小 的 ) 函 值
确定/(X)的单调区间
将 点 熟/ 值 悉'( 比 复x) 较 合在 ， 函区 最 数间 大 的(a 的 求,Z 为 导>) 最 后内 大 ，的 值 中极 ， 间值 最 步与 骤端 小 可 以省略 求函数最值的步骤 定义还可表述为 /U＞冋*+辭_«）=
的为最小值高中数学 第十四章 导数及其应用 第三节定积分与微积分基本定理
当对应曲边梯形位于X轴下方时，定积分取负值 |用分点。=与＜为 ＜改＜“・＜毛＜“・＜工“=/＞把区 定积分J%)dx表示由曲线
图形位置 间 ［a, 6］等分成"个小区间 顔以/'(xg与宜
求 先 曲 判 线 断 与 曲 直 线 线 在 所 X轴 围 上 成 方 的 还 图 是 形 下 面 方 积时, 应 不清楚致计算错误 在每个小区间［X,.,, X」上取任；点 函数/(X)在 区间 及南所围成平面曲边梯形的面积
& « =1,2, •••,”),作和式匕=切少 2.求和 ［a, b］上连续
(其中Ax为小区间的长度)
找到被积函数的原函数是解决定积分问题的关键
当”一8,即&CT)时，和式的极限叫 函 3.求极限 1. J：烦(x) dx=*^/(x) dr(* 为常JS);
分段函数求积分问题，要根据条件选择合适形式的被 积表 学习误区 数/(x)在区則a,用上的定积分。记 作 J：
达式，特别要注意分清被积函数的上、下限位置 /(x)dx=网*六Q Ax 2-£[ZW + /i(x)]dx-f71(x)0=0二>03=・“=0=>。
至少有一个（是）一全部不是
至少有一个不是一全部是 使用分析法时书写致误 定义 一 分 般 条 地 件 ， ， 从 直 要 至 证 最 明 后 的 ， 结 把 论 要 出 证 发 明 ， 的 逐 结 步 论 寻 归 找 结 使 为 它 判 成 断 立 某 的 一 充 个
唯------至少有两个 分析法 明显成立的条件（已知条件、定理、定义、 公理等）为
止，这种证明方法叫做分析法
学习误区
一定要严格按格式书写，并且保翩析过程的 每一步都是 草结直接证明 寐 推理过程 Q 用 <= 。 P, 表 示 <= 要 P2< 证 = 明 /> 的 3< 结 =— 论 ， <= 则 P” 分 U 析 P 法可以表示为：
可逆推的，否则可能会出错 （其中P是一个明显成立的条件）
结论以否定形式出现 知识 分析法从"未知”看“需知"，逐步靠拢"已知"
结论以“至多……"、"至少……"等形式出现 反 适 证 宜 法 使 的 用 情况 梳理 区别 .综合法从"已知"看"可知"，逐步推向"未知"
唯一性、存在性命题 逐步推
哩的实质 分析法的实质是步步寻找它成立的充分条件
结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题
综合法的实质是步步寻找它成立的必要条件
已知条件和结论之间的连续不够明显、使用条件 直接，证明
中需要用到哪些知识不够 明确具体时，往往采用分析法
/ 间接证明 反证法
分析法的思维是逆向的，它能増加思维的 发散量， 8 定义 一般地，假设原命题结论不成立，经过正确的推理, ——
克服思维定势的影响，有利于哲 曇术异思维 最后得出矛盾，说明假设错误，从而证明原命题成
立的方法叫做反证法
1 学习反证法时，注意三点 推理过程 肯定条件P,否定结论。，导致逻辑矛盾，说明“既 P又
解答证明题时, 分析法 非。”为假，从而肯定原命题“若P则。”为真
和综合法
=是“否定结论”部分，把握住结论的“反面”是什么
综合法的使用是“由因导果”，分析法证明
问题是“执果索因”，它们是两种思路截然 分析法要汪意叙述的形式：要证只要证
相反的证明方法 明8, 8应是刀成立的充分条件 二是必须从否定结论出发进行推理，即应把结论的反面作 为
条件，且必须依据这一条件进行推理
分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙 述， 三是“导出矛盾”部分，矛盾有时是与已知条件矛盾，有时是 与
因此使用时往往联合使用 多数情况下两者联合使用，可先用分析法探 假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛 盾，因此
寻证题突破口，再用综合法书写证题过程 要弄明白究竟是与什么矛盾 ____________高高中中数数学学 第第十十六五章章推理选与修证系明歹 I第］三第节一数节学几归何纳证法明
1.(AA)两角对应相等的两三角形相似----------
、暨对 比假例设式“确定设三而角不形相用 1” 以致 2.( SAS)两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似三 相似三角形
弦 弍 所 解 对 时 误 的 没 机 没 圆 分 械 有 周 类 角 讨 套 搞 有用 清 两数 从 个，学 A 到 归 * 纳 +1 法 的 中 跨 的 度 两个步骤 3 直 则 . 致 线 所 (S 与 截误 SS 三 三 ) 三 角 角 边 形 形 I I 对 的 与 相 I 应 一 原 似 等 成 边 三 三 于 比 平 角 角 相 例 行 形 形 似 的 , 相 的 比 且 两 似 对 吊 与 三 应 平 三 角 线 方 角 形 段 形 相 的 的 似 比 一 另 等 两 于 |若 边 相 一 相 似 条 交 比 ， ，面 推 积 论 的比 性 判 质 定 定 定 理 理 定义 直 的 角 射 三 影 角 定 形 珥 三角形 对 证 先 然 时 于 明 证 后 命 某 它 明 假 题 些 的 当 设 也 与 正 " 当 成 取 自 确 ” 立 第 推 推 然 性 = . 一 * 论 论 数 ： 个 （ 1” 2 ： k 值: W 有 半 等 的 同 N ” * 关 圆 圆 圆 弧 ， 0 的 (时 中 周 或 5 或 命 ） 命 ， 角 等 直 题 时 题 相 所 弧 径 , 命 成 等 对 所常 ) 题 所立 的 的 对常 成 对； 圆 弦 的釆 立 的 周 是 圆用 ， 圆 角 直 周下 证 周 所 径 角面 明 角 对 相的 当 是 的 等方 直 弧 ;法 ” 同 角 相 = 圆来 * ; 等 + 9 或 1 0。
K Rt ABC,CD 1 AB^C?=AD- 作结论：命题对所有*N"。的自然数成立.
5角 当 互 " 补 从 ， 左 线段 变 积 到 相等 *+ ， 1 确 时 定 ， 四点 左 共 边 圆 增加了几项， A = B B D \ -B学A习误区 BC? 圆这上种一证条明弧方所法对就面叫倫数菁学莓归于纳它法所对的圆心角的一半
跟利 确 归用 定 弦 三 纳切 角 假角 形 设定 相 理 似 进或行切对割线比定，理，先 “凑”再用 善习误区 \ \ 基 证 本 题 思 的 想 圆先心验角证的使度结数论等有于意它义所的对最弧小的的度正数整数%,如果当时，命 题成立，再
用 进 数 行如 学 合图 归 理， 纳 放S8为 法 缩圆 证 ，的 明 实直径 不 在， 等 放CD 式 缩LA 时 难B ， 以 有 直 时 接 需 得 知要 出 能提升 知能提升 # 知 梳 识 理 知 梳 识 理 假 根 出 设 对 据 弦 当 所 这 切有 ” 个 角不 = 假 等 * 小 设 于 （ 于 ， 它 ） ％ 如 所 命 的 能 夹 题 正 推 孤 成 出 所 | 立 整 当 对 （ 数 的 其 ” %圆+ 实 = 1 4 周 , 这 + 1 角 时 时 命 命 题 . 题 . 也 . 是 命 成 否 题 成 立 都 立 ， 成 不 那 立 是 么 确 可 定 以 的 递 ） 推 ，
结论的，可以进一步采用比较法, 分析 圆内接四边形
法等 , 判定、性质定理|(1)4+ZB=/oS、B、C、D四点共圆
1 k直线和圆 ---------------- ］ ⑵ N 恒a 等YB式= 的4 、 证 B明 、 是C 、 高 。考四中 点常共出圆现 一的 问题
用数学归纳法解决平面几何问题时， 题型一：切证明线恒等式、判定定不卑等式 尝过半径的外端用并数且学垂归直纳于法这证条明半不径等的式直是线较是困圆难的的切题歪型， 除
需 析 量 要 几 将 用 何 增 到 元 加 几 素 多 何 从 少 知 * 个 识 变 或 到 借 * 助 +A 射 1( 于 f 影 个=A 定 图 D所A 理 B 形 证, ： C B 来 几 l ( f f 分 = =何 A B D D ・ B D BA, 相交 性 弦 质 定 定 理 理 圆的切线垂直于 运 的 而 过 用 方 达 切 证 法 到 点 明 就 目 的 不 是 标 半 等 放径 式 缩 的 法 几 ， 种 针 基 对 本 目 方 标 法 ， 外 合 ， 理 经 放 常 缩 使 ， 用 从
相交弦定理：PAPB=PCP
题型二：证明整除性问题
找线段所在的三角形，通过 证
明
或
三
等数
角
积学
形相
归
似
纳
证
法
明线
是
段
一
成
种
、
用
. 比
递
例
推方法来证明 与正整
证明问题切线长定理
证明整除性问题的关键是"凑项"， 即釆
数 找 明 割 四 四 线 有 点 点 。 关 所 共 证 在 圆 明 的 的 ， 线 命 四 证 段 题 边 明 成 形 相 比 的 ， 交 例 重 通 弦 或 要 过 或 等 方 证 切 积 法 直接证法 证明 例 等 线 积 段 线 的 段 思 与 路 等比 的类型 割线定理 用 凑 题 增 出 获 项 时 证 、 的 减 情 项 形 、 ， 拆 从 项 而 和 利 因 用 式 归 分 纳 解 假 等 设 手 使 段 问
、切割线定
题型一: 证明恒等式、不等式 间接证法 理 题型三：证明平P面^=几PA何PB问题
要证?=号,若不能直接证明，则可先 用数学归纳法证明几何问题的关键是"找项”， 即几
题型二 证明整除性问题 三角形中位线定理:三角形何的元中素位从线k平个行变于成三G+角1）形个底时边，且所证的几何量 将增加
证戸7；才&再证 等于底多边少的，一这半需要用到几何知识或借助于几 何图形来分
题型三 证明平面几何问题 平行线 推论1:经过三角形一边中点析与，另在一实边在平分行析的不出来的情况下， 将”=上和”=知1
题型四 归纳 四 外 四 一 边 角 点 猜 形 等 与 想 对 于 一 一 角 内 点 证 互 对 距 明 补 角 离 的 , 相 问 等 题 推 ( 结 或 论 论 两 : 1 平 边 :平 行 的 行 于 延 三 长 于 角 线 三 形 ) 角 所 一 形 得 边 的 的 的 一 对 直 边 应 线 ， 线 截 并 段 其 且 成 他 比 和 两 例 其 边 他两边 题 归 型 纳 四 一 ： 猜想一证明的问 推 题 论2: 直 的 经 线 直 过 必 线 梯 经 必 形 m 过 经 一 第 过 腰 t 三 另 的 边 一 中 的 腰 点 中分 然 几 的 ， 点别 后 何 中 且 代 只 问 点 与 入 需 题底 所 稍 的边 证 加 一平 的 说 大行 式 明 技 子 即 巧 ， 可 然 ， 后 这 作 也 差 是 ， 用 即 数 可 学 求 归 出 纳 增 法 加 证 量 明 ，
第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，必须真实码婁 相交的直线所截得的三角形三边与原 三
角形的三边成比例 等分线段定理/ 归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程， 既
第二步称为 线 递 段 推 同 步 侧 骤 所 ， 对 是 两 命 角 题 相 具 等 有后续传递性的保证，必 结 须 论 使 2: 用 三 两 角 条归 形 线纳 的 段假 一 与 个 这歧 内 个 角 角 平 的 分 两 线 边 分 成 对 比 边 例 所成 的 、成苍離理 \AB//CD需 正 //要 确 EF探 性 ,且 。 求与和 它 ，发 引 丄现 导 相 我 结交 们 论，， 在 若 数 又S 学 需OC要 领 E,证 域 则明 中 所 积 得 极 结 探 论 索 的 ，
相交弦定理与割线定理的逆用 结论3:若一条直线截三角形的两边(或其延 长 大 同 胆 时 猜 又 想 要 ， 求 可 我 以 们注 充分 意对 地 发 所 挥 得 我 的 一 们 般 的 AC结 数 C论 学 E 想 作AE 象 严 力 格
两个步骤缺一不可，合起来才叫做数学归纳法 线)所得对应线段成比例，则此直 线与 第 三 三 角 边 形 平 的 行 推论 ABHC的DU数学EF证、明且与/“A相交，则 云石=証_高中数学 第十六章选修系列 第二节矩阵与变换
投影变换是映射，但不是一一映射 由S"个数排成的S行(横的)”列(纵的)的表称为一个矩阵 设＞1是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵B, ^AB=BA=E2,称二阶 矩阵-4是
在伸缩变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段 所有元素都为。的矩阵，即 零矩阵 定义 可逆矩阵,称B是二阶矩阵/的逆矩阵(简称逆阵) , 记作 4 丄
(1 ) x轴上的点是不动点； 变换中的
(2)保持图形面积大小不变，点间的距离和夹角大小可以 切变变换性质 易错点•
改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的，其实质是横 (纵)坐标成比例地运动 —般- M 逆矩阵的性质致误
(1)两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看, 同的行数与列数 生质
它表示的是原来两个矩阵的连续两次变换 驾合律 /(B0=“B)C
(2) 一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，矩阵的乘法运算 学习误区 逆矩阵 分配律 S(B+C)=/1B+/1C,(B+C)/1=R1+C/ ( f 3 g ) W 矩 在 阵 特 对 殊 应 情 的 况 复 下 合 才 变 可 换 以 顺 交 序 换 是 位 先 置 进行矩阵B 对 与 间 变 的 换 内 的 在 复 联 合 系 之 知能提升 梳 知 理 识
应的变换，再进行矩阵4对应的变换，如 果连 续对一个向量实施《次矩阵4对应的变/ 换，可
以记为4的形式 一一对应的平面几何变换都可以
看成伸压、反射、旋转、切变变换
一般的，把一个矩阵分解为几个矩阵的乘积 是 的一次或多次复合，而伸压、反
不唯一的，同样把一个变换分解为几个变 换的 射、切变等变换通常叫做初等变
复合的分解也是不唯一的。 换,对应的矩阵叫做初等变换矩阵
行 +电 短 x 阵 妬 0 ］ ,。胡与列艳阵［：；］的乗法规定:［a„九］［：；卜虹x如 ［-cx+(A-a)^ = 0 写出相应的向量
a„xx„ a + 2, a xax„+ X a J c ' x o ^ l J 求的步骤
矩阵 S »1|XO||+On»2i a„xba+aaxba 的乘法
总 "ajL妇 &a」Lasix*i>+aa*a aaxbn+aaxba
|p(x】)为原坐标，P'K'Q |
S为变换后的坐标，材0
(2) 解 =
0
率⑶
=
矩阵 矩 的加法 阵 矩阵 的乘方
和值征特
特征向量 ］企枣［
常见的
矩阵变换
[ 加 E 阵矩位单阶二 CMB,矩阵4与8的乘积C的第，•行第/列的元素q等于第一个矩阵/ 的
第，行与第二个矩阵B的第/列的对应元素乘积的和者■也
定义 矩阵的加法就是矩阵 对应的元素相加，相
加的矩阵必须具有相
交换律 二阶矩 阵的乘法 乘结合律事 k(AB)=(kA)B=A(kB) 矩阵
的乘法
爵为特征多项式，则Z叫/!的一个特征值，"叫
特征向量
⑴心)= 求解
步 (1)求伽或a,即M的特征值;.和特征向量a
(2)用特征向量a?线性表示向量SPfl=ma,+na2,m,n是常数, 但一般不是4 爲
(3)代XMfl=M (ma,+na^)=mMa,+nMa2，因为Ma,=X,at ,Ma^^a2
mMa,+nMa2= >»A1«l+nA2«2 -----------
⑷ A/,p=m^a, +n^a2
吐彳是一个二阶可逆 矩阵/可逆的充要条件是|別=0 髄球分［細團”聽芸
矩阵 里阵变换'
(1)待定系数法
以原点为中心，旋转角为“的旋转变换'昨
I I 二 可 阶 逆 矩 的 阵 充 « 要 :］ 条件 ( ( 3 2 ) ) 从 公 几 式 何 仓 变换的角 度求 矩阵特征值与特 旋 反 转 射 变 变 扌 换工竺咀 - p: - +舛 - y - 8［ - S - 0； - _ - ］ -- 関 -- 岫 ___ H _ 侦 __ ］ __________ ［/ = xsin . 财邠北］ (4 册 )原点对称
\ 是 A\=ad-bc/0,其 解 矩 二 阵 阶矩阵 乘法的逆 征向量的计算步舞 伸缩变换(1)*坐蔵笔为•保来豹並，纵坐标不变 题］
逆 短阵为6司 (4) 册置3邪如;鷹聽繼類
(1)写出矩阵4= 的特征矩阵 会 方 系 程 数 蛆 矩 有 阵 唯 可 一 逆 解 ， 投影变换 ⑵纵坐标变为原来 (2 的 )关 横 于 坐 〉 -- ， -- 轴 -- 的 -- 正 -- 投 -- 影 -- - ［ -- 邠 -- : - E ----------------
(3)特征方程的根即为矩阵的特征根：义或，或 刼变变换
征多项式/ Q) ="一("1 +ad-l 平行于X轴的切变变换将直角坐标
国等变换 系内的毎一点P
(4 )将A代入齐次方程组 ■ 轴平行的方向平移S单位变为
一 >2.
(2) 4/( A )=0,解特征方程/'(2 )=0 卜别为对应于4 ,处的特征向量 儿 \平P行于y轴的切变
平
变
行
换
的
将
方
直
向
角
平
坐
f 移
标 k系
个
内
单
的
位
每
变
一
为
点
点 一
P高中数学 第十六章 选修系列 第三节坐标系与参数方程
点的极坐标是多值的，非极点的坐标有无限多个 — 过 不 极 过 点 极 、 点 倾 、 角 倾 为 角为 a 的 a 直 的 线 直 ： 线 缶 （ " a 为 ,如 极 t 点 +a 到直线的距离 ）： psi n 直 （ 线 a - 的 空 恐 £W 建立坐标系 任 之 意 ， 一 依 点 据 都 一 要 个 有 点 确 的 定 坐 的 标 坐 就 标 能 与 确 之 定 对 这 应 个 ; 点 反
必须满足的軽 的位置
极坐标系中的点与坐标不是一一对应的，在求解 与极坐标 一 — 过定点、倾角为 a 的直线： Z»i n （ a _。） = sin（a- 直线上的点啓坐标］平面上任意一点P都可以由唯一|
有 的取 关 值 的 范 问 题时，可以化为直角坐标方程 求解，互化时坐标 圆在极坐标下的一般方程 : 角 pco s （ 0-0 o ） + 勇 r为圆的半径 （直线坐标至的有序实数对 （ X J ，） 确定
坐标互化在两坐标系的原点不同时，不进行平移变换致區 、学习误区 （ 1 ） 圆 心 不 在 坐 标 轴 上 ： P = 2 r c o s （ 0 - 吳 瑚■面直角坐标系 伸缩变换
石 圆心在 x 轴正半轴上： P = 2r c • | 积 1>0) |
_ ［ 3 ）圆心在 x 轴负半轴上： p = -2rcos0 一 （ 4 ）圆心 简单图形的 '平面直弁 b'=g>。)
过点P （ X。/ ）的直线的参数方程为｛；［；：；；（'为参 知能提死 在 y 轴正半轴上： P = 2 曲 总U （ 5 ）圆心在 y 轴负半轴 极坐标方程， 坐标秃 定义 pNO,OW0W2jc ,
上： Q = -2rsing _丿 昇走〜 以 极点为 圆心,半径为 r 的圆 与直角坐标pr = 〃8S。
数） 直线上一点。（W ），则岡= ------- 的方知程：识淳 Z 球坐标矜 海的变换公式
梳理
圆的渐开线参数方程化为直角坐标方程为： ' 走坐标系 定义
xcos（—^x2 +y2 - r2）+ *sin（ Jx，+/ _/ .. fx = rsin
0cos^
圆的摆线的参数方程化为直角坐标方程时 方程中 概念 在平面内取一个定点。，引出一条射线Ox,选定一个 单位
含有反三角函数，不便于讨论， 此直接用参数方 长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方 向为正方
程讨论摆线的性质/ 极坐标系 向），这样就建立了一个极坐标系，。点 叫做极点，射线。
四要素 x叫做极轴，M极坐标（〃，0）
-极点—极轴—长度单位―角度单位和它的正方向 更塑竺违磬
图像与y轴的交点是不动点
聽體 （对 0 。）叫做点 M 的极坐極 一
每个点随着坐标的伸缩而移 动， 1.极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
整个图像发生伸缩变换 ' 苗 极 坐 坐 标 标 的 和 互 直 耕 2 亶提条件 2 3 . . 极 两 轴 种 与 坐标 x轴 系 的 中 正 取 半 相 轴 同 重 的 合 单 ； 位长度
—鴨化公式一 JAPCOSO k = psin°
坐标系是刻画点的位置及其变化的参照物 可以找到动点的轨
迹并确定动点运动的轨迹或范围 可以通过数形结合方法，用 参数方程
代数方法解决几何问题 会姉亡铲M蝴今在平面直角坐标系中，若曲线上任一点的坐标X、J，都是某个变 匕挡竺里
坐标互化注 竺A 量/的函数：且对于，的每一个允许值，方程所确定的点M（x, y） / 都在这
意等价性 条曲线上，则方程就叫这条曲线的参数方程 ，若
利用曲线的参数方程可以使有些问题得到简捷的解法 :见参数方程 Ix-rcosO
--------（1）圆/ +/ =己參数方程「二；
球坐标系中的点（財,0）,0为方位角，亨-9为高低角 x-x.）2 +Q-W =戶，掺敷方程° +'8S仙］参数）
以基圆圆心。为原点，一条直径所在的直线 为x - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ______________________-
轴建立直角坐标系，根据动点满足的条 件和向 .ng尽 g叫二;靜哩厂
量的有关性质，得到圆的渐开线的参 数方程为
、 代 加 入 减 消 消 参 参 法 法 参 通 数 方 方 程 程 的 化 方 普 法 片參卄妙,（ （ “ y 为 = 参 r（ 数 s ） ina"8s/） 圆的 数 摆 方 线 勇 的参 ） 抛 双 物 曲 线/ =2捲,参 1 数 ,参 方 数 程 方 F 程 = F=笋枷参 为 数 参 ） 数）
平方和（差）消参法 根据摆线上任意一点的运动轨迹，取定 直线 — ■ ［y = 2所
为X轴，动点的其中一个位置为原 点建立直
整体消参法 三角恒等式 角坐标系，由几何知识可得圆 的摆线的参数
消参法 方 co 程 s^ 为 ） 广=心-SM）奶参数） ly = r（l- （ 程 6 ｛ ）过定点gy°）,倾角为。的直线，参数方高中数学 第十六章 选修系列 第四节不等式
宀艸2泌点W届序（SSS都是正数，”看刑
判断过程必须详细叙述；如果作差以后的 比 号 较 "的 法 方 证 向 明 出 时 错 不明确“变形"、 匚刿 _______«!__&---------------------------------
式子可以整理为关于某一个变量的二次式， +_LwJq 角
驟虑用判别式法证 ________--------- __史__________
综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法 相互 学习误区
转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一 辩证关系，
可以増加解题思路，开扩视墅 均值定理
|x| > a o x < -a或x > a
证 当 明 的 不 证 等 明 式 方 时 法 ， ， 要 要 依 熟 据 悉 题 各 设 种 、 证 题 法 目 中 的 的 特 推 点 理 和 思 内 维 在 ， 联 并 系 掌 ， 握 选 相 择 应 适 的 知能提升 绝对值不等式 解法 a>0, |x| -1 *0," N1
lxl0 ) = -aa ( a>0 ) =x>a^tx<-a £<输金&+上1 = 2(如后I)
零点分段法 定义法 绝对值的 放缩技巧 .1 1 1
不等式两边都是非负数时，两边同时平方 几何意义 1丄1 1 + — + ， — … +■ ， • 1 • . + — 2! 3! ”!
丘T-E f E 数 X 轴 牛 上 0） 到原竺竺衅_ 构造技巧
技巧
la+3IWlal+BI,以\a+b\s lak 1/>1 为边的 三角
形两边之和不小于第三边________________—
UlWla-cl+lc-al，数轴上任意两点砧的 距离不大 换元技巧
于任意一点c与这两点距离的私 （当且仅当c在a、
3间取等号）
x2 +y2 = 1 ->x = cos 0,y = sin 0
]gx+8lMc,lax+/>lmc,利用公式率解 三角换元 缶 Z>-> x= rcos^,^=rsin0,a^r2^b
会解或证明 下
\x-a\+\x-b\^c,利用零点分段法或几何意义求解 列不等式 方法
增量换元
会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形
会用数学归纳法证明贝努利不等式 比较法 q 综合法 O分析法 反证法 。判别式法
会用向量递归方法讨论排序问题 斜率法 向量法 Q函数单调性法 n 导数法 数学归纳法实部，虚部，纯虚数，共範复数
求交点，判上下，套公式 ◎ 两函数 八 飞公式。函数与蓦云 x=a,x=b Q 血 集合间关系 交并补（对应符号）
X+1/X N 2 , x+a/xa2 、 ' a ,当x=a/x时取得最小值 解析式处理 绝对值，根号，平方等
|x*al ±lx+b|xm,分类讨论去绝对值，先交翩•不等式 谁简单，同除以谁°分数形才"厂 集合 条件 ° 充分，必要，充要，既不充分也不必复。 类比 x>3 利 <>5 第k+1项公
a*b=|a||b|8s,平行3=人6 垂直 a*b=O 式
a±b=（x1 ±x2,y1 ±y2）,a*b=x1x2*y1y2 坐标表示 冋里 6求某次项系数，求未知字母
线面关系（比划），三视圏，投影（水平，垂直）
二项展开 排列 有差别，A （5,2） =5x4
球，柱，椎 ◊ 几何体表面租和体租公式 4 解析几何 选点缺，求法向里，為角关系 ° 二面角相关 组合 无差别，C（5,2） =C（5,3）=5x4/2x1
丁 等差，等比数列。 a （ n ）， Sn 谁特殊先排谁，常用逆向思维
复数L复数的模，两复数相等，應数加咸乘除 耍任一！合数列 裂项相消法，逐步側推法
复平面- 横 a, 纵 b , 复数所在象限？
图象 指数，对数，幕函数 高考数学 纯角式 c 、 彳只化和差， si"2A+cosA2A=1
觐和差，倍角半角丄单位圆（诱官公式） = 惭；分类
-线性规划• 「 * 囂字宣 过固定点 , 歟
伸缩变换与平移，单调性，扱值，最值，最小正周期 K 常入函教导枚 ,一：
h
辂二角形 两边各项或分子分母各项都含有边（边化角）
豔鷺 单调性 E 周期性卫 边角式 L 边比较多，且有余弦角（角化边）
用多表少，被求表其他
分层抽样，频窣分布直方图，正态分布
概率统计 上下平移，三点代入
方差，线性回归方程 概率，分布列，数
学期望 极坐标方程,、直线，圆，椭圆，
双曲线，抛物线 ~^致団 7 参数椭 直线，圆，揄圆，戏曲线，抛物线 信息题 本
标准方程，圆心坐标，切线垂直过切点的半径 ° 圆 标准方程，第二定义式，长轴短 「
轴焦点，离心率， L2=aA2-bA2 o 椭圆 标准方程，第二定义式，实袖虚轴焦点，离 身不谁，紧扣条件
圆椎曲线
心率，少 2=a»2+M2, 渐近线 ，：昨曲线 标准方程，第二定义式，焦点，准线 一 抛
物线
程序框图 O 注意递增在前在后
正弦前里，余弦定理，一 ：三角形面 ^S=absinCZ2《思维导图伴你学》 考点思维导图一高中数学（一）
给定一个集合
中
，
元
集
素
确
是
定
确
性
定
合
的
a>b M bb, b〉 c n d >c 2 . 式的 （当且仅当。斗时，取 二项式定
理的应用
是属于"e”与不属于“任”的关系 集 合关是 m 异性的元素重复地出现 ' 传递性 基础 等号） M不等的证明
义 域D,JJj/（x測做奇 a>b<^a+c>b+c 3 可加性 若沥CR,则沥
表示' 方 集合里的元素构成 4.有关组合数的证明
把集合中的元素一一列举出来 冽誣 k
概念 函数, 其图像关于原点 /序性.与元素的顺序无关
法
归 映射 、B 叫 是 做集 R 合 上 / 非 到 空 8 数集， 孑齣宀立 对称 /（-X） =/（ x）, 集 用 合 一 中 条 元 封 素 闭 公 的 共 曲 属 线 性 表 描述出来茵述 一 淀 兀 ,隹若集合U含有我们研究的各个元素， 孳 这个集 Q 〉 b,c>Ona c 〉 b c 4 .可乘 A：=*・l)・・S/n+l) 瑚 雑
上的一个函数。记作EEm 山弑疋乂 x E 定义域 D, 示 含有有限个元素的集 图示法 素 合就可以看做一个全集 nl 蓊
则/（X）叫做偶函数， 合 含 合 有无限个元素的集 有 菟 限 艮 集 分类 特 性 /夕 空 集 集 AQ 不 B- 含 X 任 EA 何 ^X 元 EB 素 隹 的集 思 合。 用 B： “0”表示 性 a>b,c acb>O^>^[a >^b (住N且〃〉1) 6 . 对值的 右引 >0,则 |NM| < mD a-m>xV a+m 排列 n\ pm _ — r\ p n i -m
原 点对称 集 合 AQBS.BQA 开方法贝? 不等式 \x-a\>m x>a+m^x^a 2.所有二项式系数的和等于
利用表格来表示两个 变量的
的 概 集 合 鬲 I关 t系 2”,即
函数关系的方法 列表 原命题 互逆 逆命题 念 § 正整数集N*整数集Z 一元一次不等式（组） 胆数集 Q C?+C：+Ct+…
表示法 对于定义域内的某个区间D +cr'+c；=2"
利用图像来表示两个 ;互否 互否 表不 -元二次不等式 组合
变量的函数关系的方法 图像 上，%!, X 2 ED 若耳<%2苟 :I 自然数集N实数集R 分式不等 组合数性质 3.当二项式的嘉指数
----------------------------- 否命题~\-------------- （组）
（""（%2），丿』/（X） 式
数时,中间两项的二项式系 数
利用数学等式来表示两个 解析 常用数集 简单高次不等
在D上递增；Z）是/⑴的 p 且 g , 记作 pAq 且
頒量的函数关系的竺- 及乜法 式 计数原理 最大，其值为c?、
一个 递增区间 P 或心记作 pVg 、曾辑 联结词
福籠體染 (o+”=C/+CR-% 项式的慕指数〃为偶 数时，
富 荀W（X2）,顺X）在Q 上 非记作 「 P 集合 0与B 定坦力的二 { 小 & 改詞 二项式定理 ++C…理+・・・+c 中间一项的二项式 系数最大
自变量的取值范围 定义域 递减；D是/⑴的一个递 的基 的交集 沙 其值为d
［对应法则确定的I P 本运
减区间
P q PVg 1：真,0：假
M
三要素 p -\p I真值表 A与B 圆锥曲线
1 1 1 1 定乂 ？! UB
的并集 二AUA=A
1 0 0 1 1 o r 性质 椭圆 双曲线 抛物线
在函数f（X）的定义域 两点间的距 I如 l=J(x"+3i 揷
01 常
函数值的取值范围 值域 0 1 0 1 离
函 上 =/ 恒 ■ / 有 ） （ f（ 母 x 0 + n 为 常数）, 0 0 0 0 ! / 用 定义 ［以 ={x|x€U 且 X 。 / } 0 x~ x ^Xx 乃+ 1 如 + — 位 、 || 集 祐 2a 合 | > | | + 耶 |奶 |} |=2。， 一 &| 、 |® 集 |+ 合 "l=2a, 0<2a<| 孔
逻 ［u 色的定 比分点 公式一 2 2 定点刑椭圆的焦点
对 对 于 应 自 关 变 系 量 的函 X 数 的不同取值集合， 定 有 义 不同 数
及
则
T为
/怎
其
）
周
叫
期
做
；
周
T的
期
最
函
小
数， 若 若p n
q
g
w
,
p
则
, 则
p 是
P 是
0 成
0
立
成
的
立
充
的
分
必
条
要
件
条旧 \ 定七 若 gop , 则
辑 性质 an ( （
(
[
温
以 ［
)
) 凶
=
二
[
制
/
© 线段的中点坐标公式 1
X~
+ 2 x
2
^x2
■+乃 广2
定义
二、集合
定点双 F 曲 ?|} 线的焦点 点
F为
集
焦
{P
点
呼
，
=
d
1
为
}
点
分段函数 用 二、 集合 {硏％=快>1} F
p 是 g 成立的充 准线啲距离
分段函数各段对应的图像 图象 其 正值叫做/（X）的最小 若住 语 1 1 d ' 为焦点，d为点阀 相应准
B,则p是g的充分条件
r i
恚 正 周期，简称周期 线/的距离
---------------------、如{血}从集合 若国，则 不等式 IQ-CJ 」
定义域是各段函数定义域的 与鷲 示 函数基本性质 咼的必 理 、8=締］的观点看 若刀=但则p是0的充 F为焦点，d丸觎倒
并集，值域是各段值域的并集 要延$---- 丿 西平行线间的距离d=^= 相应准线/的距离
弟體昨” 集合与
全称命题 “ \ / 废时町 " 斜截式 y=kx+
b
函数昨并叫做幕函数。其中X是自变量，GERQ为常数 定义 特称命题％&,F（XR 常用逻 点斜式 叮日(") 图形 F：
含一个量词命题的否定
两点式 (}LM)(X2F)=(x-xjQ，
辑用语
2-.yJ
1.图像都过点（1, 1 ）、（0, 0）
截距式
号-1
.在第一象限内为增函数 6>0 暮粒吁 a+ b y~l cosa a为直线的倾角，
3.在第一象限，a >1时，图像靠近 幕函数戶对0ER） 函数 參玫式 To+fsm — _ 标准 茂=1（*>。） 长轴长| 泌-"0>。力 v2=2px S°） p为
y轴；0。） 焦点到准线 啲距
直线如+By+C=0 3+店火））的
.图像都通过（1, 1） 性质 基本 :■般式方向向量为法向量为徒仞 方程 短轴长|8四=23 实 虚 轴 轴 长 长 \ | A $ } 的 A2 = \ 2 =2 方 a 离
初等
II
.在第一象限为减函数 函数
A^+B^0,i=l,2 参数
诱导公式 么&奸盼+。2=0
.在第一象限内，向上与v轴无限 =COS"为参数) x=a sec。5斗益粘、
逼近；向右无限逼近 （奇变偶不变，符号看象 位置 垂直的充要条件 竺竺切 方程 y=bsm (p y=atan。砌参教）
任意角的三
限）
关系
角函数定义 £ =贏*"（当，2反。2判时）
平行的充要条件
对数函数y=log“ x（a>0且口 同角三角函数的基本关系
指数函数y=a^a>0且。月）
尹1） 指 数 式 力1=履2 B\=XB2 CI=^C 2 顶点 0)血,0)
0(0,0)
对数 重合的充要条件 （［为非零常数）；' 或十=等=£ (0,如00)
定义域R (0, +oo)
I
函数 （当如盘。时）
函数 戶sin x 戶 COSX y=tan x 过定点（和
值域(0, +co) R : 函 乃） 的直线 /（x-xJ+B（研）=0
图 /a>1 图像 \Joy x V 47 " M t T 数 的 直 万 线 程 系 方平 （/ 程行 为任 于 意 直 常数 线 」 如+册+o厂 的直 . 线 （不 系 + 店 方 判 程 ） mg 隹 /11% / 占 11V c F 焦 - |( = 距 - a c 2 , - 0 | b ) F 2 妁 1 F 2 c | , = 0 2 ) C F 焦 。 ,( 距 2 - = c , " \ 0 + F ) 屏 , l F F, : ( \ c = ,0 2c )
1 1 1 图
像 垂直于直线如+切+c=o
象 与 圆 的直线系方程’ Bx 的或 （ 1 为任 意常理
定义域 R R (iEZ) 性 的 过两直线&x+E』+G=o A I x+B l y+C l +A（A 2 x+B 2 y+C 2 ） 离心率 e=~a (01）
x= 0 =1 X = 1, y = 0 周期性 周期为2n 周期为2丸 周期为7t 程 圆的标准方程（.5+心庁或
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
a >\,y 递增(-00, 0)时,ye (0,1) a > 1 (0, 1)时，低(-8, 0) 在［ -奇 +2kn, * +2左 赤 在［（2 卜 1） 心 解 圆心于半径 (•Wo)* r 准线 l X i = - 4 x=~T ■ / 2 ： '/ 2 :X=4 戶 渐 士 近 糸 线为 X
性 质 x + G c o ( ) 0, +oo)时,yE (1, 址(1,+co)时，低(0, +oo) 单调性 丸 （ ］ k£ 上 Z） 都是增函数 灰Z ］ ） 上 都是增函数 在 都 " 是 *+ 增 知 函 *+ W 上 E 丸 Z ） ） 上 角 原点为圆心、半径为尸的圆的方程ry=r
在［ikitt （2H1） 7i
在［*+2次丸,亨+2刊］上 圆的参数方程 x=rcos 9
0 罚 0,w > 0),.reR 的图像(略"性质 | I _ 1 恒等
I C(bcosA,bsmA) O
I振幅：，频率：f=—相位：CDX+(p初相：(P周期：T = -7-7 I I T 变换 半径 ^JD2+E2-4F
指数运算 对数运算 1^1 1
sm(a±j8)=sinacosj8± cosasin” 圆的一
D-+E~-4F>Q,圆 八-T—
-------性一 当 x>a 时,|FFi | =ex+a,
aN=b O log" =N
cos(a )=cosacosjff =F sinasinjS
8 c,0 般方程 焦半径 |FFJ=e|FE‘|=0+ex \PF2\=ex-a \PF\=x+j
a"*' = X (a >0,。牛 l,x>0) log" = x(a>0,a, 1,x eR)
tan(a土介也
I
*
T tana • tan#
和（差）角公
"+正侦=0,表示一个点，即車
\PF2\=e\PE\=a-ex
当 x<-a 时
(
,
e
|
x +
F
d)
F
,
i | =-
式
a-b2+c-2bccos A
\PF2\=-(ex-a)
b-c2+a-2cacos B D2+E2~4F0,m,nER Af〉O, N〉0,4〉0,a*l，〃eR, b〉 sin(z = 2 l+ - t - a t - a n - n - - r 2 7 y - 7 cos«= 1 i- + ta ta n n 2y 2^ 万能公式 P 半 (P 径 _a ， )( 广 P-b ， )(p ( - a c + ) b + ( c 尸 )) 为△/8C的内切圆 位置关系 J 切 4W 辅助圆 x x 2 2 + + y f - = = b a 2 ~ (/ J ( \ ± ) ) x x 2 2 + + y / 2 = = Z a2 )2
O,b*l《思维导图伴你学》考点思维导图一高中数学（二）
既有大小又有方向的量 定义 A. Bel
公 理
Ay Bea 1
几何表示法：有向线冬 字 表示方法 平面向 表示方法
/、B、c不共线n妇唯一，/、B、cea 公理2
母表示法痣或a二^1 量 平面
向量爲的大小，即向量痣的长度（模），记作岡 向量噂 Aea nim 隹一=an”，AEI 公理 3 平面的基本性质 心
C 两直线平生 直线与直线 长度为 0 的向量 零向亶 长 L 两百线相4共面直线的蟲关索
常 用 向 度等于1个单位长度的向量单位向量 的三
量 异面直线
长度相等且方向相同的向量「相等向 空间点、直 线、
C 方向相同或相反的向量 平行向暈 y 零向量与 L 平面之间 的位
量 任一向量 话乙 一 专/ 求两个向量和的运算 向量 置关系
加法的定义 向量 fa
/
三角形法则与平行四边形法则加法法则 加法 直线与平面相交
直线与平面平行
Q+b,们力模大小的关系
/
体、与
图 何 构图观
几结
视直
f a /
直线在平面内
a+b=b 向量加法运算律 平面与平 +g 线性 面 的位置
\ —
(a+b)+c=a+ AA- 关系
向量
(b+c) 长度相等，方向相反的向量相反向量 求两个 两平面相交 两平面平行
减法
向量差的运算 向量减法的定义
普齬普膏饗臨蠢减法的几何意义 a//b, aVa = > 方丄 /
aus bua , aC\b=A 判定定理
实数久与向量”的积是一个向量，记作加・
鷲愷挪譜聲北量数乘的概念 数乘 直线与平面垂直
\ —
*A- 面 1.1伽)=(人“)。l(2.+fi)a=}.a+/ta
量 3.2(g+3)=Za+及 运算律
向量的加、减法及数乘运算统称向量 的线性运算向量的线性 运算一 向量 基
力与非零向量“共线。有且只有一个实数2,使得或“共线定理 概
^1111 及
向量/的坐标等刊点的坐标
性
若a=（xl,yl）,b=（x2fy2），丿』 算
⑴a+b= &1+V1）+ （x+h）= &1±兀2，凹坎）②向量 坐标
2
运算 弦算 （2）如』毎,乃） _______________________的竺窓
若/ （%i况）,8僞
况）， 则08二 S-
*1，》2-》1）
在屏体投做影 播
间
何
线 的
性质定理 面 面
与 直
积 判定定理 判
仅丄風 P //y^ ＞ 仅丄疗 及
面 空 与 质 几
性 面
a =/, 〃丄 ,, " 丄 '=> / 丄 , 质 直 直
定
=a, aRy =b, =c a 邓, a ly 理 平 平 二> alb,aLcfblc ,”丄？
立体
异面直线所成的
③向量平行 角 几何
的坐标表示 ④数量 直线 * 平面所成的角 、空间的角
积的坐
标运算
若 «=Cx l ,j l ),/»=U 2 ,y 2 ), 二面
则泌力 -紗|=0 一 角 点到平
面
， 的物叫叫体。
传射面个象线物面
线照后这现光下
影 直的体下种把
留投 是光物留这 ， 把舛 光于的以
， 中 ， 幕 :>, 由明 可子其线屏 演 ，
---对应 R(z)=x I(7)=y 当 缨随机 事件时 P（A 篱
复 向量亦 30 点 P(x,y) 数 若 I（z）=O,
z=x+yi 拉 则z为实数;R(z)=0' 则Z为纯虚 当/、B互斥时 P(A+B)=P(A')+P(B)
数
(xjeR) 右' 当/、8相互独立时 P(A • B)=P(A) • P(B)
ZfZ* R(S,)=R(Z2 ) 在〃次独立重复试验中 I
•i(zi)=l(3 z为实数 储好发生"次的概率 P侦）=5（3* z为纯虚数«z+==0
复数相等
随机变量］
R(Z,)=R(Z2 的概率分布 Z|、初共辄＜ )
透上影。影的 投 复数共辘 =） 化 的 分 布
的不幕的影投子 平行投影1平行投影2 I(z ] ) 列） 及其
+I(z)=O
2 性质 g的数学期望（平均数，均值，期望）
性质
EBp+g-w,…,E（ac+b）=aE（C）+b OID 0士Z2=［R（zJ士RG）］+i［I
主视图
（4）±I（zJ］ ，的均方差（方差）
三视 OPX+OP,= OP （平行四边形法则） 应 D（3=（x面¥ • ”伉-OF ^ 2 +-+（x„-W 图 =西_西 •p,••癲毗的标准差，记为的
（三角形法丿』） 脚-同|
直观图 加法
与 邛&2|＜|引+脣| 当且仅当Z2=kzi（k 酒时
画底面，画轴擦去辅助线 （沪睥（沪叩%、、：'、、、
减法 ＞0）时，右边等号成立 当且仅当 I________________________I 、、、［、
知图 方法1.斜二测画産 丿
观 三 Z2*1（肱0）时,左边等号成立 随机变量&服从二项 g 0 1 画 无等测画法 分布，记作知（w） P E c'„pl q"-'
巳视图
直 1.富有立体感 k
(a+bi)(c+d\)=(ac-bd)
原划 2.正确表达各主要元素之 +i(bc+ad) a+bi _ 阪 + bd c"*
间的位置*数量关系
台体（圆台、棱 s 麦面祝 =s（u+s 上 3虚实分明 b 共 c- 辄 ad 复 . 数 c 的 +d 性 i 质 *+* * c2+(F 1 .............. （1 ）简单随机抽样 设一个总体的个体数为
台） +S 下， zz=|z|2=z-z 1三种抽样方法i 通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽 取时各个个
X=（S S i的共同特点是i 体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简 单随机抽样
上+$下+） 上 抽样的客观性 i
柱体（圆柱、棱柱）細应+2$集湖 ，y=Sh 概率统计 ［与公平性i （2）系统抽样当总体中的个体数较多时，可将 总体分
成均衡的几个部分，然后按照预先定的规则，从 每一部分抽取
1个个体，得到所需要的样本，这种抽样 叫做系统抽样 抽样方法
［血 趾個Lhm 也竺住 （3 ）分层抽样当已知总体由差异明显的口部分
x-»xo X-Xp 3go AXa
成时，常将总体分成〃部分，然后按照各部分所占的 比例进 导数 =i四 须 。）
行抽样，这种抽样叫做分层抽样
（1）用样本频率分布估计总体分布，用样本估 计总
体，是研究统计问题的一个基本思想方法，由 于总体分
、平
布通常不易知道，我们往往是用样本的频 率分布去估计
设 «=（%1 , ?1） 0=侷, 过该点的平面的垂线段长度 的距离 判其 线 (n>2 an 'an , A = d d 为常数) 北（）+&顶馬） 几何意义 割线的斜率—反一 总体分布，一般地，样本容量越大， 这种估计就越精确
空间
V 2 ），划 （1 ） a=（x,y）＜
直线和平面平行，直线直线和平
面的
上任一点到平面的距离 面的距离 距离 导数 阮 ＞o+Ax）＞
设们方都是非零向量，e是与昉向 相同 n （ ＞ 如 \a 乃 \= ） 小 ， 品 则 若 忸 /= 剧 （ = 明 & , 1 , -境 而, 2 3 _ = 平行平画 及质 直 o ） 坝线的斜率™ 矿 （ 数字 2 特 ） 征 用 估 样 计 本 总 的 尸 一 众 体 数 的 、 数 中 字 位 特 数 征 、 ， 平 标 均 准 数 差
两个平行平面的公垂线段的长度 的距离
的单位向量,0是0与e的夹角，则 （?1-乃）2 平行
异面直线
（ （ 1 2 ） ） e « ・ 16 n o w a e ・ 二 b 国 二 cos。 0 （ (2 两 ) 点 co 间 s但 的 距 a' 离 b 公式） 两条异面直线公垂线段的长度 的距离 义 导 第 Ay 一 = / 步 （ : x 求 +A 函 x ） 数 』 的 x 增 ） 量 在连 正 续 态 型 总 总 体 体 的 中 概 ， 率 应 密 用 度 最 函 为 数 广 是 泛的是呈正态分布的总体
lal,H 崩
（3） 当。与侗向时，两二|必|; 平面几何' 立体 骤 态体 网嗑苻-矿，作田°〉。
•」.；
SJ ii 第二步：求平均变化率尝项 x+芳
曲一
当。与皈向时，。明二-咖| ; 特别 +寸 』何中的相关定理 判定定理 直线与 的传 式中的实数/成（o＞0）是参数，分别表示总体的平均
曲）
数与 标准差.由于①式由参数"，。睢一确定，正态总体
地w二时或|讪二* (3) alb<^xiX2+yty2=0 匚性质嘉、直建平行 Ax & 正总 常记作 N （“庁），它的密度曲线简称正态曲线
（4） 若 。为a, b的夹角， H /
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