文档内容
第16章 二次根式压轴题综合测试卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·山西忻州·期末）对于已知三角形的三条边长分别为a,b,c，求其面积的问题，
中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：
a+b+c
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= ,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ）
2
3 3 3 3
A． ❑√15 B． ❑√15 C． ❑√5 D． ❑√5
4 2 2 4
【答案】A
【分析】根据公式解答即可．
a+b+c 2+3+4 9
【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则p= = =
2 2 2
∴其面积为
√9 9 9 9 √9 5 3 1 3❑√15
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑ ×( −2)×( −3)×( −4)=❑ × × × =
2 2 2 2 2 2 2 2 4
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
√ 2 √5
2．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若❑ +❑ 是整数，则满足条件的有序
m n
数对（m，n）为（ ）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
√ 2 √5
【详解】解：∵❑ +❑ 是整数，m、n是正整数，
m n
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定
的难度．
3．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值
为（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将
2m+❑√2mn+n=2变形为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，配方得到(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，根据
(❑√2m−❑√n) 2 ≥0得到2−3❑√2mn≥0，进而求解即可．
【详解】解：∵m，n均为正实数，
∴2m+❑√2mn+n=2可化为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，
∴(❑√2m) 2 −2❑√2mn+(❑√n) 2=2−3❑√2mn，
即(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，
∵(❑√2m−❑√n) 2 ≥0，
∴2−3❑√2mn≥0，
❑√2
∴❑√mn≤ ，
3
❑√2
∴❑√mn的最大值为 ．
3
故选：B
4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）设S=
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + ，则不大于S的最大整数[S]等于( )
12 22 22 32 32 42 992 1002A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B
√ 1 1 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
【分析】由❑1+ + =1+ − ，代入数值，求出S=❑1+ + +❑1+ + +❑1+ +
n2 (n+1) 2 n n+1 12 22 22 32 32 42
√ 1 1 1
+ …+❑1+ + =99+1- ，由此能求出不大于S的最大整数为99．
992 1002 100
√ 1 1
【详解】∵❑1+ +
n2 (n+1) 2
❑√n2(n+1) 2+n2+(n+1) 2
=
n(n+1)
❑√(1+n+n2) 2
=
n(n+1)
1+n+n2
=
n(n+1)
1 1
=1+ − ，
n n+1
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
∴S=❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + + …+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 992 1002
1 1 1 1 1 1
=1+ − +1+ − +⋯+1+ −
1 2 2 3 99 100
1
=99+1−
100
1
=100- ，
100
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
√ 1 1 1 1
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道❑1+ + =1+ − 是解答本题的基础．
n2 (n+1) 2 n n+1
5．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式的值为（ ）
❑√x2+2xy+ y2+x−y−4
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
【答案】C
【分析】根据已知，得到x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，整体思
想带入求值即可．
【详解】解：∵x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，
∴x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，
∴❑√x2+2xy+ y2+x−y−4=❑√(x+ y) 2+(x−y)−4
=❑√(2❑√2) 2 −2❑√3−4
=❑√8−2❑√3−4
=❑√4−2❑√3
=❑√(❑√3) 2 −2❑√3+1
=❑√(❑√3−1) 2
=❑√3−1．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题
的关键．
6．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．
A．❑√n2−1 B．❑√n2−2 C．❑√n2−3 D．❑√n2−4【答案】C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2
倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方
根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：❑√n2−3
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求
解．
1
7．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则
❑√2024−❑√2023
x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把x=❑√2024+❑√2023代入所
求式子进行化简求值是解题的关键．
先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
1
【详解】解：∵x= ，
❑√2024−❑√2023
1 ❑√2024+❑√2023
∴x= = =❑√2024+❑√2023，
❑√2024−❑√2023 (❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023)
∴x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024+❑√2023−2❑√2023)x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024−❑√2023)x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023)x4−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=x4−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024=(❑√2024+❑√2023−2❑√2024)x2+2x−❑√2024
=(❑√2023−❑√2024)x2+2x−❑√2024
=(❑√2023−❑√2024)(❑√2024+❑√2023)x+2x−❑√2024
=−x+2x−❑√2024
=x−❑√2024
=❑√2024+❑√2023−❑√2024
=❑√2023．
故选：C．
8．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为
2 1
❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数部分，则 − 的值为（ ）
b a
A．❑√6+❑√2−1 B．❑√6−❑√2+1 C．❑√6−❑√2−1 D．❑√6+❑√2+1
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即
可解决问题．
【详解】❑√3+❑√5−❑√3−❑√5
√6+2❑√5 √6-2❑√5
=❑ -❑
2 2
❑√5+1 ❑√5-1
= -
❑√2 ❑√2
=❑√2
∴a的小数部分为❑√2-1，
❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3
√12+6❑√3 √12−6❑√3
=❑ −❑
2 2
❑√3+3 3-❑√3
= -
❑√2 ❑√2
=❑√6
∴b的小数部分为❑√6-2，2 1 2 1
∴ − = - =❑√6+2-❑√2-1=❑√6-❑√2+1，
b a ❑√6-2 ❑√2-1
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分
析、判断、解答．
√ 1 1 √9 3
9．（3分）（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知T =❑1+ + =❑ = ，
1 12 22 4 2
T =❑
√
1+
1
+
1
=❑
√49
=
7
，T =❑
√
1+
1
+
1
=❑
√ (13) 2
=
13
，…，T =❑
√
1+
1
+
1
，其中n为正
2 22 32 36 6 3 32 42 12 12 n n2 (n+1) 2
整数．设S =T +T +T +⋅⋅⋅+T ，则S 值是（ ）
n 1 2 3 n 2024
2024 2024 1 1
A．2024 B．2025 C．2024 D．2025
2025 2025 2024 2024
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．
根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
√ 1 1 3 1
T =❑1+ + = =1+(1− )，
1 12 22 2 2
√ 1 1 7 1 1
T =❑1+ + = =1+( − )，
2 22 32 6 2 3
√ 1 1 13 1 1
T =❑1+ + = =1+( − )，
3 32 42 12 3 4
……
√ 1 1 1 1
T =❑1+ + =1+( − )，
n n2 (n+1) 2 n n+1
∴S =T +T +T +⋯+T
2024 1 2 3 2024
1 1 1 1 1 1 1
=1+(1− )+1+( − )+1+( − )+⋅⋅⋅+1+( − )
2 2 3 3 4 2024 20251 1 1 1 1 1 1
=1×2024+(1− + − + − +⋅⋅⋅+ − )
2 2 3 3 4 2024 2025
1
=2024+(1− )
2025
2024
=2024 ．
2025
故选：A．
10．（3分）（24-25八年级·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如
(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)=(❑√5) 2 −(❑√2) 2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在
进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令A =❑√n（n为非负数），则
n
(A +A )(A −A )=(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)=(❑√m) 2 −(❑√n) 2=m−n；
m n m n
1 1 ❑√m−❑√n ❑√m−❑√n
= = =
．
A +A (❑√m+❑√n) (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) m−n
m n
下列选项中正确的有（ ）个．
2
①若a是A 的小数部分，则 的值为❑√6+2；
6 a
b c
②若 − =4❑√3+4（其中b、c为有理数），则b=3c；
A −A A +A
4 3 3 4
1 1 1 1 ❑√2023
③ + + +⋯+ =1− ．
2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 2023
1 2 2 3 3 4 2022 2023
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
2 2
【分析】由20，y+1>0，
❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1)
∴ −
x(x−2) y(y+1)
x−2 y+1
= −
x(x−2) y(y+1)
1 1
= −
x y
1 1
= −
❑√10+3 ❑√10−3
=❑√10−3−❑√10−3
=−6．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方
法、完全平方公式的变形等知识点．
18．（6分）（24-25八年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭
根式，例如：❑√8与❑√2或❑√3+❑√2与❑√3−❑√2都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a与❑√b也是共轭根式；
1
③若A与B是共轭根式，则A与 也是共轭根式．
B
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
❑√20________；❑
√3b
________；❑√2+1________；(❑√3+❑√2) 2 ________．
2a
（3）试找出❑√3+❑√2+1的一个共轭根式，并验证其正确性．
【答案】（1）②；（2）❑√5；❑√6ab；❑√2−1；5−2❑√6；（3）❑√2−❑√6+2【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可；
（2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式；
（3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证.
【详解】解：（1）①错误，例如根式❑√2，❑√2×❑√8=❑√16=4，❑√2×❑√18=❑√36=6，
∴原命题错误；
②正确，∵❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a×❑√b=❑√ab中，ab为平方数（式），即结果❑√ab不含根式，故
原命题正确；
1 1
③∵若A与B是共轭根式，令A=❑√3+❑√2，B=❑√3−❑√2，则 = =❑√3+❑√2，
B ❑√3−❑√2
1
A⋅ =(❑√3+❑√2) 2=5+2❑√6，故原命题错误；
B
故答案为：②；
（2）❑√20=2❑√5，则共轭根式为：❑√5；
√3b ❑√6ab
❑ = ，则共轭根式为：❑√6ab；
2a 2a
❑√2+1，∵(❑√2+1)(❑√2−1)=1，则共轭根式为：❑√2−1；
(❑√3+❑√2) 2 =5+2❑√6，(5+2❑√6)(5−2❑√6)=1，则共轭根式为：5−2❑√6；
故答案为：❑√5；❑√6ab；❑√2−1；5−2❑√6；
（3）❑√3+❑√2+1的一个共轭根式为：❑√2−❑√6+2，
验证：
(❑√2−❑√6+2)×(❑√3+❑√2+1)
=❑√2×❑√3+❑√2×❑√2+❑√2−❑√6×❑√3−❑√6×❑√2−❑√6+2❑√3+2❑√2+2
=❑√6+2+❑√2−3❑√2−2❑√3−❑√6+2❑√3+2❑√2+2
=4.
故验证正确.
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题
的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答.
19．（8分）（24-25八年级·湖南长沙·期中）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：√ 1 1 1 ＝|1+1+1|．
❑ + +
x2 y2 z2 x y z
√ 1 1 1 √ 1 1 1 1 1 1 19
例如：❑ + + ＝❑ + + ＝| + + |＝ 请解决下列问题：
22 32 52 22 32 (−5) 2 2 3 (−5) 30
√ 1 1 1
（1）求❑ + + 的值．
22 42 62
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
（2）设S＝❑1+ + +❑1+ + +…+❑1+ + ，求S的整数部分．
12 22 22 32 20192 20202
√ 1 1 1 1 1 1
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当❑ + + +| ﹣ ﹣ |取得最小值时，求x的取
x2 y2 z2 x y z
值范围．
7 1
【答案】（1） ；（2）2019；（3）x≥
12 3
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将原式进行化简，再确定整数部分；
1 1 1 1
（3）将原式化简为| +3|+| −3|，再根据| +3|+| −3|取最小值时，确定x的取值范围．
x x x x
√ 1 1 1 √ 1 1 1 1 1 1 7
【详解】解：（1）❑ + + ＝❑ + + ＝| + + |＝ ；
22 42 62 22 42 (−6) 2 2 4 −6 12
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
（2）S＝❑1+ + +❑1+ + +…+❑1+ + ，
12 22 22 32 20192 20202
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
＝❑ + + +❑ + + +…+❑ + + ，
12 12 (−2) 2 12 22 (−3) 2 12 20192 (−2020) 2
1 1 1 1 1
＝|1+1﹣ |+|1+ ﹣ |+…+|1+ ﹣ |，
2 2 3 2019 2020
1 1 1 1 1 1 1
＝1+1﹣ +1+ ﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ﹣ ，
2 2 3 3 4 2019 2020
2019
＝2019+ ，
2020故整数部分为2019；
（3）由题意得，
√ 1 1 1 1 1 1
❑ + + +| ﹣ ﹣ |，
x2 y2 z2 x y z
1 1 1 1 1 1
＝| + + |+| ﹣ ﹣ |，
x y z x y z
1 y+z 1 y+z
＝| + |+| − |，
x yz x yz
又y+z＝3yz，
1 1
原式＝| +3|+| −3|，
x x
1 1
因为| +3|+| −3|取最小值，
x x
1
所以﹣3≤ ≤3，而x＞0，
x
1
因此，x≥ ，
3
1
答：x的取值范围为x≥ ．
3
【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，
准确计算．
20．（8分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值．
❑√2019−1
【答案】(1)
2
(2)m=2
(3)❑√15+x2+❑√26−x2=9
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可；
（3）先得到❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，然后可得
(❑√15+x2+❑√26−x2
)
2 =(❑√15+x2−❑√26−x2
)
2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81，最后由
❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，求出结果
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017
【详解】（1）原式= + + +⋯+
2 2 2 2
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017
=
2
❑√2019−1
= ，
2
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）∵a ，b ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2
∴a+b= =2(2m+1),ab=1，
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
∵2a2+1823ab+2b2=2019，
∴2(a2+b2 )+1823=2019，
∴a2+b2=98，∴4(2m+1) 2=100，
∴2m=±5−1，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由❑√15+x2−❑√26−x2=1得出(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1，
∴❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，
∵(❑√15+x2+❑√26−x2
)
2 =(❑√15+x2−❑√26−x2
)
2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81，
∵❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，
∴❑√15+x2+❑√26−x2=9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
解题途径，往往能事半功倍．
21．（10分）（24-25八年级·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
a+b+c
p= ，则其三角形的面积公式为：
2
①S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式），
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
②S=❑ a2b2− （秦九韶公式）．
4 2
已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a，b，c满足(a−❑√5) 2+|b−❑√5)+❑√c−4=0．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出△ABC的面积；
(3)如图，若CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，求DE的长．【答案】(1)❑√5,❑√5,4
(2)2
(3)2❑√5−4
【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识
点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）根据非负数的性质得到a−❑√5=0,b−❑√5=0,c−4=0，然后解一次方程得到a、b、c的值即可；
（2）选择公式①，先计算出p=❑√5+2，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根
式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可；
1
（3）如图：过E点作EH⊥AC于H点，先利用△ABC为等腰三角形得到AD=BD= c=2，再根据角
2
1 1 1
平分线的性质得到EH=ED，然后利用面积法得到 ×❑√5×EH+ ×2×ED= ，从而可求出ED的长．
2 2 2
【详解】（1）解：∵(a−❑√5) 2+|b−❑√5)+❑√c−4=0，
∴a−❑√5=0,b−❑√5=0,c−4=0．
∴a=❑√5,b=❑√5,c=4．
a+b+c ❑√5+❑√5+4
（2）解：选择公式①：∵p= = =❑√5+2，
2 2
∴S=❑√(❑√5+2)(❑√5+2−❑√5)(❑√5+2−❑√5)(❑√5+2−4)
=❑√(❑√5+2)×2×2×(❑√5−2)
=❑√(5−4)×2×2
=2；
选择公式②：∵a=❑√5,b=❑√5,c=4，
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
∴S=❑ a2b2−
4 2√ 1 [ (❑√5 2+❑√5 2 −42) 2 )
=❑ ❑√5 2 ⋅❑√5 2 −
4 2
=❑
√1[
25−
(5+5−16) 2 )
4 2
√1
=❑ (25−9)
4
√1
=❑ ×16
4
=2．
（3）解：如图：过E点作EH⊥AC于H点，
∵a=b=❑√5，
∴△ABC为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
1
∴AD=BD= c=2，
2
∵AE平分∠BAC，EH⊥AC，ED⊥AB，
∴EH=ED，
1
∵S +S =S = S ，
△ACE △ADE △ACD 2 △ABC
1 1 1
∴ ×❑√5×EH+ ×2×ED= ×2，
2 2 2
❑√5
∴ ED+ED=1，解得：ED=2❑√5−4．
2
22．（10分）（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
1 1 ❑√3−1 1( 1 )
例1 = = = 1− ；
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3
1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )
例2 = = = −
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
任务一：化简．
1
(1)化简：
7❑√5+5❑√7
1
(2)猜想： = ___________________（n为正整数）．
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
任务三：探究
❑√3−1
(4)已知x=
2
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
y= + +⋯+ ，
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
比较x和y的大小，并说明理由．
1( 1 1 )
【答案】(1) −
2 ❑√5 ❑√7
1( 1 )
(2)
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
3
(3)
7
(4)x>y，理由见解析
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
1 1 ❑√7−❑√5 1( 1 1 )
【详解】（1） = = = −
7❑√5+5❑√7 ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√35(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) 2 ❑√5 ❑√7
1
（2）
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
1
=
，
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
❑√2n+1−❑√(2n−1)
=
，
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
1( 1 )
= ，
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
1( 1 )
故答案为： ；
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
1 1 1 1
（3） + + +⋯+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
1 1 1 1
= + + +⋯+
❑√3(❑√3+1) ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√2303(❑√49+❑√47)
❑√3+1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47
= + + +⋯+
2❑√3 2❑√15 2❑√35 2❑√2303
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − ⋯+ −
2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49
1 ( 1)
= × 1−
2 7
3
= ；
7
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
（4）y= + +⋯+
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
1 1 1 1 1 1
= − + − +⋯+ − ，
❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√2023+1 ❑√2025+1
1 1
= −
❑√3+1 ❑√2025+1❑√3−1 1
= −
2 46
❑√3−1
∵ x= ，
2
1
∴ x−y= >0，
46
故x>y．
23．（12分）（24-25八年级·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平
均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
a+b
M= 称为a，b这两个数的算术平均数，
2
N=❑√ab称为a，b这两个数的几何平均数，
√a2+b2
P=❑ 称为a，b这两个数的平方平均数
2
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
5
(1)若a=−2，b=−3，则M=− ；N=________；P=_______；
2
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平
均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为M2，P2的图形：
②借助图形可知，当a，b都是正数时，M,N,P的大小关系是： ___________（把M,N,P从小到大排
列，并用“<”或“≤”号连接）；
③若a+b=5．则P的最小值为________．❑√26
【答案】(1)❑√6；
2
5
(2)①见详解②N≤M≤P③
2
【分析】（1）将a=−2，b=−3分别代入N,P求值即可得；
（2）①分别求出M2，P2，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①
中的所画的图形可得N2≤M2≤P2，由此即可得出结论；③由M≤P，可知当M=P时，P取最小值，此时
5
M2=P2，结合已知条件可得a=b= ，即可确定P的最小值．
2
【详解】（1）解：当a=−2，b=−3时，
N=❑√ab=❑√(−2)×(−3)=❑√6，
√a2+b2 √(−2) 2+(−3) 2 ❑√26
P=❑ =❑ = ．
2 2 2
❑√26
故答案为：❑√6； ；
2
a+b 2 (a+b) 2 (a−b) 2+4ab (a−b) 2
（2）①M2=( ) = = = +ab，
2 4 4 4
则用阴影标出一个面积为M2的图形如下所示：
a2+b2 (a−b) 2+2ab (a−b) 2
P2= = = +ab
2 2 2
，
则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示：②由（2）①可知，N2≤M2≤P2，当且仅当a−b=0，即a=b时，等号成立，
∵a,b都是正数，
∴M,N,P都是正数，
∴N≤M≤P．
故答案为：N≤M≤P；
③∵M≤P，
∴当M=P时，P取最小值，
a+b 2 a2+b2
此时M2=P2，即( ) = ，
2 2
整理，可得(a−b) 2=0，
∴a=b，
∵a+b=5，
5
∴a=b= ，
2
√a2+b2 √2a2 5
此时P=❑ =❑ =❑√a2=a= ，
2 2 2
5
∴P的最小值为 ．
2
5
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公
式进行变形运算是解题关键．
24．（12分）（24-25八年级·上海·阶段练习）材料一：由(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2 −(❑√3) 2=2可以
看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进
行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
1 ❑√3−❑√2
= =❑√3−❑√2；
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
材料二：根式化简
1 1 ❑√3−1 1( 1 )
= = = 1− ；
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√31 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )
= = = − ．
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
根据以上材料，请完成下列问题：
3
(1) =_______；（直接写结果）
3−❑√6
1 1 1 1
(2)计算： + + +…+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
1 1 1 1
(3)计算： + + +…+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
(4)计算： + +…+ ．
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
【答案】(1)3+❑√6
(2)9
3
(3)
7
❑√3 12
(4) −
2 23
【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关
键．
（1）仿照题中例题解过程求解即可；
（2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解；
（3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解；
（4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可．
3 3(3+❑√6) 3(3+❑√6)
【详解】（1）解： = = =3+❑√6，
3−❑√6 (3−❑√6)(3+❑√6) 9−6
故答案为：3+❑√6
1 1 1 1
（2）解： + + +…+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
1×(❑√2−1) 1×(❑√3−❑√2) 1×(❑√4−❑√3) 1×(❑√100−❑√99)
= + + +…+
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99)
❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√4−❑√3 ❑√100−❑√99
= + + +…+
2−1 3−2 4−4 100−99=(❑√2−1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+…+(❑√100−❑√99)
=−1+❑√100
=−1+10
=9；
1 1 1 1
（3）解： + + +…+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
1 1 1 1
= + + +…+
❑√3(❑√3+1) ❑√3×5(❑√5+❑√3) ❑√5×7(❑√7+❑√5) ❑√47×49(❑√49+❑√47)
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47
= + + +…+
❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) ❑√3×5(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) ❑√5×7(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) ❑√47×49(❑√49+❑√47)(❑√49−❑√47)
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47
= + + +…+
2❑√3 2❑√3×5 2❑√5×7 2❑√47×49
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )
= × 1− + − + − +…+ −
2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49
1 ( 1 )
= × 1−
2 ❑√49
1 ( 1)
= × 1−
2 7
3
= ；
7
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
（4）解： + +…+
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
= + +…+
1+❑√3+❑√5+❑√3⋅❑√5 1+❑√5+❑√7+❑√5⋅❑√7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023⋅❑√2025
(❑√5+1)−(❑√3−1) (❑√7+1)−(❑√5+1) (❑√2025+1)−(❑√2023+1)
= + +…+
(❑√3+1)(❑√5+1) (❑√5+1)(❑√7+1) (❑√2025+1)(❑√2023+1)
1 1 1 1 1 1
= − + − +…+ −
❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√1023+1 ❑√2025+1
1 1
= −
❑√3+1 ❑√2025+1❑√3−1 1
= −
(❑√3+1)(❑√3−1) 45+1
❑√3−1 1
= −
2 46
❑√3 12
= − ．
2 23
