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专题 03 二次根式的加减（六大题型）
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【题型2 二次根式的加减】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 二次根式的化简求值】
【题型5 二次根式的实际应用】
【题型6 分母有理化】
【题型1 同类二次根式的相关概念】
1．（2022秋•南关区校级期末）下列各式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、 化简后不能与 合并，不合题意；
B、 化简后不能与 合并，不合题意；
C、 化简后不能与 合并，不合题意；
D、 化简后能与 合并，符合题意；
故选：D．
2．（2022秋•晋江市期末）下列二次根式，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、 ＝2 与2 不能合并，不符合题意；
B、 ＝3 与2 不能合并，不符合题意；C、 ＝ 与2 不能合并，不符合题意；
D、 ＝2 与2 能合并，符合题意．
故选：D．
3．（2023春•顺庆区校级期末）若最简二次根式 3 与﹣5 可以合并，则x的值是（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵最简二次根式3 与﹣5 可以合并，
∴x＝5，
故选：D．
4．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a
＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴﹣2a+1＝7+4a，
∴a＝﹣1，
故选：A．
【题型2 二次根式的加减】
5．（2023春•柳州期中）计算： ．
【答案】2 ．
【解答】解：原式＝ ﹣2 +3
＝2 ．
6．（2023春•确山县期末）计算：
（1） ；（2） ．
【答案】（1）2；
（2）2 ．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3+2
＝2；
（2）原式＝2 +2﹣ ﹣2+
＝2 ．
7．（2023春•临高县期中）计算题
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）﹣12 ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝3 ﹣15
＝﹣12 ；
（2）原式＝2 ﹣ +
＝ ．
8．（2023春•东丽区期末）计算：4 ．
【答案】5 ．
【解答】解：原式＝4 +3 ﹣12×
＝4 +3 ﹣2＝5 ．
9．（2023春•海淀区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝ ；
（2）
＝
＝
＝ ．
10．（2023春•德庆县期末）计算： ．
【答案】6 + ．
【解答】解：原式＝4 +3 +2 ﹣2
＝6 + ．
11．（2023春•定远县期中）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：原式＝
＝ ．【题型3 二次根式的混合运算】
12．（2022秋•蜀山区期末）计算：（ + ）× ﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（2 + ）× ﹣2
＝2 × + × ﹣2
＝4 +3 ﹣2
＝4 + ．
13．（2023秋•永修县期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝ ；
（2）原式＝
＝
＝ ．
14．（2022秋•蓝田县期末）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：原式＝ ．
15．（2022秋•茂南区期末）计算： + × ﹣ ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝ + ﹣2
＝4+ ﹣2
＝4﹣ ．
16．（2023春•合浦县期末）计算： ．
【答案】2．
【解答】解：
＝3 × ﹣ +2﹣
＝3 ﹣2 +2﹣
＝2．
【题型4 二次根式的化简求值】
17．（2023秋•金牛区校级月考）已知 ， ．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2的值．
【答案】（1）2 ；
（2）7．
【解答】解：（1）∵ ＝ ＝ ﹣ ，
＝ ＝ + ，
∴a+b＝ ﹣ + + ＝2 ；
（2）由（1）知，a＝ ﹣ ，b＝ + ，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab＝[（ ﹣ ）﹣（ + ）]2﹣（ ﹣ ）（ + ）
＝（ ﹣ ﹣ ﹣ ）2﹣（3﹣2）
＝（﹣2 ）2﹣1
＝8﹣1
＝7．
18．（2023秋•兴文县期中）已知x＝ +2，y＝ ．
（1）化简y；
（2）求 的值．
【答案】（1） ﹣2；
（2）18．
【解答】解：（1）y＝ ＝ ＝ ﹣2；
（2）∵x＝ +2，y＝ ﹣2，
∴xy＝（ +2）（ ﹣2）＝1，x+y＝ +2+ ﹣2＝2 ，
∴ ＝ ＝ ＝ ﹣2＝ ﹣2＝20﹣2＝18．
19．（2023春•涵江区期中）先化简，后求值： ，其中
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝
＝ ；当 时，
原式＝ ．
20．（2023春•江岸区期中）已知a＝ +2，b＝ ﹣2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝ +2，b＝ ﹣2，
∴a+b＝ +2+ ﹣2＝2 ，
a﹣b＝（ +2）﹣（ ﹣2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝2 ×4
＝8 ．
21．（2023秋•锦江区校级期中）已知 ， ，求x2+xy+y2的值．
【答案】15．
【解答】解：∵x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy；
把 ， 代入（x+y）2﹣xy，
∴＝
＝
＝42﹣1
＝15．
22．（2023秋•东城区校级期中）已知 ， ，求 ．
【答案】62．
【解答】解：∵a＝ ＝ ＝4 ，
b＝ ＝ ＝4﹣ ，
∴a+b＝8，ab＝（4+ ）（4﹣ ）＝16﹣15＝1．
∴原式＝
＝
＝
＝62．
23．（2023秋•秦都区校级期中）已知： ， ．
（1）求ab；
（2）求a2+b2﹣ab．
【答案】（1）1；
（2）13．
【解答】解：（1）
＝4﹣3＝1；
（2）a2+b2﹣ab
＝a2+b2﹣2ab+ab
＝（a﹣b）2+ab
＝
＝12+1
＝13．
24．（2023 秋•兰州期中）先化简，后求值： ，其中
．
【答案】2a﹣5， ．
【解答】解：
＝a2﹣5﹣a2+2a
＝2a﹣5，
将 代入2a﹣5得，
＝2 +2﹣5
＝
【题型5 二次根式的实际应用】
25．（2023秋•红古区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，
则剩下阴影部分的面积为（ ）
A．36 B． C．72 D．【答案】C
【解答】解：∵两个小正方形面积分别为27和48，
∴两个小正方形的边长分别为 ＝3 和 ＝4 ，
∴大正方形的边长为：3 +4 ＝7 ，
∴S阴影 ＝（7 ）2﹣27﹣48＝72．
故选：C．
26．（2023春•阜平县期末）将矩形纸片的长减少 cm，宽不变，就成为一个面积为
48cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的长为（ ）
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
【答案】B
【解答】解：面积为48cm2的正方形纸片的边长为 ＝4 cm，
∴原矩形纸片的长为：4 + ＝5 （cm），
故选：B．
27．（2023秋•衡阳月考）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为
m，宽BC为 ，爷爷准备在空地中划出一块长（ ）m，宽（ ）m的小
长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）长方形ABCD的周长14 m；（2）种植青菜部分的面积为2m2．
【解答】解：（1）2 +2 ＝8 +6 ＝14 （m），
答：长方形ABCD的周长14 m；
（2）（ ）×（ ）＝3﹣1＝2（m2），
答：种植青菜部分的面积为2m2．
28．（2023春•栖霞市期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为
米，宽AB为 米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图
中阴影部分），每个长方形花坛的长为 米，宽为 米．除去修建花
坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完
整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】1680元．
【解答】解：通道面积： × ﹣2×（ +1）×（ ﹣1）
＝8 ×5 ﹣2×（13﹣1）
＝80﹣24
＝56（平方米），
购买地砖需要花费：30×56＝1680（元），
答：购买地砖需要花费1680元．
29．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边
长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ ，求剩余部分的面积．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；
（2）把a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ 代入ab﹣4x2得：
（20+2 ）（20﹣2 ）﹣4×（ ）2
＝400﹣8﹣4×2
＝400﹣8﹣8
＝384．
30．（2023春•长汀县月考）一块长为7dm、宽为5dm的木板，采用如图的方式，能否在
这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？为什么？
【答案】不能在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．理由见解
答．
【解答】解：不能在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．理由
如下：
+ ＝2 +3 ＝5 ，
∵5 ＝ ＞ ＝7，
∴5 ＞7，故不能在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
【题型6 分母有理化】
31．（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如 ， ，
一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：
＝ ；（一）
＝ ＝ ；（二）
＝ ＝ ＝ ；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
＝ ＝ ＝ ；（四）
（1）化简 ＝ ＝
（2）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 ＝ ﹣
②步骤（四）式得 ＝ ﹣
（3）化简：
+ + +…+ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1） ＝ ＝ ， ＝ ＝ ．
故答案为： ， ；（2）①原式＝ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ；
②原式＝ ＝ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ；
（3）原式＝ + + +…+
＝
＝ ．
32．（2022春•闵行区校级期末）计算 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2 ﹣1﹣ +2﹣
＝1．
33．（2022秋•盐湖区期末）阅读下列解题过程：
＝ ＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ＝ ﹣ ．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ＝ ﹣ ；② ＝ ﹣ ；
（2）应用：求 + + + +…+ 的值；（3）拓广： ﹣ + ﹣ ＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）① ＝ ＝ ﹣ ；
② ＝ ＝ ﹣ ；
故答案为： ﹣ ； ﹣ ；
（2） + + + +…+
＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝ ﹣1；
（3） ﹣ + ﹣
＝ ﹣ + ﹣
＝ ﹣ + ﹣
＝
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
34．（2022秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：
＝ ＝ ；
＝ ＝ ﹣ ；＝ ＝ ﹣2．
（二）计算：
（1） ；
（2） （n为正整数）．
（3） + + +…+ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（二）（1）原式＝ ﹣ ；
（2） ﹣ ；
（3）原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ＝ ﹣1＝
9．
