文档内容
第 09 讲 解三角形中的最值及范围问题
（15 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分
【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同
时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
当且仅当 时取等号，其中 叫做正数 ， 的算术平均数，
，
叫做正数 ， 的几何平均数，通常表达为： （积定和最小），应用条件：“一正，
二定，三相等”
基本不等式的推论 重要不等式
（和定积最大）
当且仅当 时取等号
当且仅当 时取等号
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如 ， ，其中 ，
对于 ， 类函数， 叫做振幅，决定函数的值域，值域为
，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角 中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如 。
事实上，由 ，即得。由此对任意锐角
，总有 。
考点一、 面积类最值及范围问题
1．（2024·上海·三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 面积 的最大值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理即可得 ；
（2）由余弦定理结合重要不等式可得 取值范围，再由三角形的面积公式 可求出面积的
最大值.
【详解】（1）由题意可知， ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 .
（2）由（1）可知 ，
所以 或 .
在 中，由余弦定理得
，
当 时， ，
，
当且仅当 时取等号，即 ，
故 的面积 .
当 时， ，
，
当且仅当 时取等号，即 ，
故 的面积 .
综上所述， 的面积最大值为 .2．（2024·河北·模拟预测）在锐角 中， ， ， 分别是角 的对边， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积 取值范围.
【答案】(1) ;
(2) .
【分析】（1）利用 进行化简，可求 ，进而可求 ；
（2）由正弦定理及三角恒等变换化简可得 ，结合锐角三角形得到 ，根据
正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
根据正弦定理可得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）由正弦定理得 ，
所以 .
所以.
因为 是锐角三角形，
所以 ,即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ,
所以 的面积 取值范围为 .
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形 满足 ， 点在 的两侧， ， ，
为正三角形，设 .
(1)当 时，求 ；
(2)当 变化时，求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，由余弦定理可得 的值；
（2）由余弦定理可得 的表达式，进而求出正三角形 的面积的表达式，进而求出四边形 的
面积的表达式，由辅助角公式及 的范围，可得四边形面积的范围．
【详解】（1）因为 ， ， ，由余弦定理可得： .
（2）由余弦定理可得 ，
因为 为正三角形，所以 ，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故当 时，四边形 面积的最大值为 .
4．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形 中， ， .
(1)求 的值；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 和 中利用余弦定理表示出 ，即可得到方程，解得即可；
（2）利用三角形的面积公式表示出 ，然后结合上一问条件求解.
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，即 .
（2）依题意 ， ，
所以
，
又 ，所以当 时 取最大值 （此时 ，该四边形符合题意），
即 的最大值为 .
1．（2024·广东茂名·一模）在 中，内角 的对边分别是 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 是 边的中点，且 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角形内角与正弦定理边角转化，结合二倍角公式计算即可得；
（2）借助向量线性运算与基本不等式，结合三角形面积公式计算即可得.
【详解】（1） ， ， ，
由正弦定理可得 ，
， ，
， ， ，即 ，即 ；（2）依题意， ，
， ， ，
即 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ， 面积的最大值为 .
2．（2024·江苏·模拟预测）在 中，点 在 边上，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为 ，所以 ，由正弦定理可得 ，则可得
，则得 ；
（2）由 ，化简可得 ，则得 ，
，因为 ，则可得 ，再由基本不等式可得
，即 ，则得到 的面积的最小值.
【详解】（1）
在 中，由正弦定理 ，得 ，
在 中，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，且 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由（1）知 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的面积的最小值为 .
3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 中， .
(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)(2) .
【分析】（1）在 、 中分别利用余弦定理表示出 ，再由四点共圆得到
，即可求出 ；；
（2）由（1）可得 ，再由面积公式得到 ，将两式平方
再相加得到 ，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得：
，
在 中，由余弦定理得：
，
因为 四点共圆，所以 ，因此 ，
上述两式相加得： ，所以 （负值已舍去）.
（2）由（1）得： ，
化简得 ，
则 ①，
四边形 的面积
，
整理得 ，
则 ②
①②相加得： ，
即 ，
由于 ，
所以当且仅当 时， 取得最小值 ，
此时四边形 的面积最大，由 ，解得 ，故四边形 面积的最大值为 .
4．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点D，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到 ，即可
得解；
（2）依题意 ，设 ，由三角形为锐角三角形求出 ，在 中利用正弦
定理表示 ，即可表示出 ，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，得 ，所以 ，即 ，
由 ，解得 ；
（2）由题意 ， ，
所以 ，设 ， ，
，又 ，则 ， ，在 中，由正弦定理可得： .
即 ， ，
，
， ， ，
，即 ，
所以 面积的最大值为 .
5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记
∠BAD=α，∠BCD=β.
(1)求 的值；
(2)若△ABD的面积为 ，△BCD的面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；
（2）根据题意，由（1）知 ，求出 取得最大值，最大值为 .
【详解】（1）在 中，由余弦定理，得 ，在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 ，
.
（2）由题意知 ， ，
所以 ，
由（1）知， ，所以 ，
所以
，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
考点二、 周长类最值及范围问题
1．（2024·安徽淮北·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
(1)试判断 的形状；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1) 是直角三角形
(2)
【分析】（1）根据题意，求得 ，利用余弦定理列出方程，得到 ，即可求解；
（2）由（1）和 ，得到 ，则 周长为 ，结合三角函数的性质，
即可求解.
【详解】（1）解：由 ，可得 ，所以 ，即 ，所以 ，
又由余弦定理得 ，可得 ，所以 ，
所以 是直角三角形
（2）解：由（1）知， 是直角三角形，且 ，可得 ，
所以 周长为 ，
因为 ，可得 ，
所以，当 时，即 为等腰直角三角形，周长有最大值为 .
2．（2024·四川南充·模拟预测）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理 ，
， .
（2）因为 ，
即 ，
，当且仅当 时取等号，
，即 ，又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
周长 ，
即 周长的最大值为
3．（2024·湖南常德·一模）已知 的内角 的对边分别是 ，且 .
(1)判断 的形状；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2)
【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明 ；
（2）先用基本不等式证明 ，然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到
，最后说明等号可以取到，即得结果.
【详解】（1）由正弦定理并结合已知有
.
故 ，从而 .
由于 ，从而 ，故由 可知 ，所以 一定是等腰三角形.
（2）设 的外接圆半径为 .
一方面，我们有
，故 ；
另一方面，当 是边长为 的等边三角形时，有 ， .
此时 ， ，且 .
所以 周长的最大值是 .
【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明 时并不需要使用第1小问得到的 .
若使用该条件，则 可化为 ，然后再利用
亦可得到结果. 但这样并未从本质
上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.
4．（2024·山西·三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 ．
(1)试判断 的形状；
(2)若 的外接圆半径为2，求 周长的最大值．
【答案】(1) 为等腰三角形
(2)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得 ，结合 分析求解；
（2）利用正弦定理可得 周长 ，构建函数 ，利用
导数求最值，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：
，
整理得 ，
且 ，则 ，可知 ，即 ，
所以 为等腰三角形.
（2）由正弦定理 ，可得 ，
则 周长 ，由（1）可知： ，
可得 ，
构建函数 ，
则 ，
因为 ，则 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，
所以当且仅当 为等边三角形时， 周长取到最大值 .
1．（2024高三下·全国·专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)设 ，求 周长的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）将原等式转化为角的正弦的齐次式，再利用正、余弦定理求出角A的余弦值即得.
（2）利用（1）的信息，结合基本不等式求解即得.
【详解】（1）在 中，由 ，
得 ，即 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，又 ，所以 .
（2）由（1）知， ， ，又 ，
则 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，
所以 周长的最大值为 .
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知向量 满足
， ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) 或 .
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用正弦定理求解；
（2）根据 和 ，利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由 求解.
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 .
由正弦定理得 .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ 或 .
（2）∵ ，且三角形 为锐角三角形，
∴ .
∴由正弦定理得 .
∴ ， .
∴ ，，
.
又∵ 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，得 ， .
∴ ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ .
∴ 的周长的取值范围为 .
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在 中，D为BC边的中点，且 ．
(1)若 的面积为 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得 ，由余弦定理，求得 ，再由正弦
定理求得 ，进而求得 的值；
（2）设 ，分别在 和 中，利用余弦定理，列出方程求得 ，结合
，即可求解.
【详解】（1）解：因为 的面积为 ，且 为 的中点，
可得 ，
又因为 ，可得 ，所以
在 中，由余弦定理得
，所以 ，由正弦定理 ，可得 ，
因为 且 ，
可得 ，
即 为钝角，所以 为锐角，所以 .
（2）解：设 ，分别在 和 中，
由余弦定理 ，
即 ，同理可得 ，
所以 ，可得 ，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 周长的最大值为 ．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足
.请回答下列问题:
(1)证明: 为等腰三角形;
(2)若 的外接圆直径为1，试求 周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得 ，因此可证得该三角形为等腰三角形；
（2）由（1）可得角 的范围，由正弦定理可得 ， ， 的表达式，进而求出周长的表达式，利用导数求
周长的取值范围．
【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
在三角形中， ，
所以 ，又因为 均为三角形的内角，即 ，
即证得 为等腰三角形；
（2）由（1）可得 ，由正弦定理可得 ，而 ，
所 ， ， ，
所以 ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在定义域内单调递增，
当 时， ， 在定义域内单调递减．
所以 ，
， ，所以 ．
所以， 周长的取值范围是 ．
5．（2024·云南曲靖·二模）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的取值范围；
(2)已知 内切圆的半径等于 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理可得 ，利用三角恒等变换可得 ，
可求角 的取值范围；
（2）由三角形的面积可求得 ，结合余弦定理可得 ，
计算可得 或 ，进而可求得
的周长 ，设 与圆内切于点 ，
，进而分析可得 的周长的取值范围.
【详解】（1）
由正弦定理得： ，
， ，.
.
， ， ，
角 的取值范围是 .
（2） ，
，即 ，
由余弦定理得： .
，
. ，
（当且仅当 时取等号），
, 或 .
设 与圆内切于点 ，则 .
（当且仅当 时取等号）.
的周长 ，
（当且仅当 时两处都取等号）.
，
，
时， ， ,的周长的取值范围是 .
考点三、 边长类最值及范围问题
1．（2024·陕西西安·一模）已知 ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
△
且 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ABC的面积为 ，求c的最小值．
【答案△】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得 ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；
（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，
因为 ，所以 ，
由△ABC为钝角三角形且 ， 知， 为钝角，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
由余弦定理， ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 的最小值为 ，所以c的最小值为 .
2．（2024·贵州遵义·一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A；(2)若 为锐角三角形， ，求b的取值范围．
【答案】(1) ;
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化简，再利用正切函数的取值范围求解即得.
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，
得 ，
则 ，
即 ，而 ，于是 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）知， ，由正弦定理得 ，
由 为锐角三角形，得 ，解得 ，
则 ， ,则 ，
所以b的取值范围是 .
3．（2024·山西晋中·三模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，在边 上（不含端点）存在点 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用余弦定理求得 ，进而得到 ；（2）思路一：利用正弦定理三角恒等变换得 ，进一步结合正弦定理得
，由 即可求解；思路二：设边 上的高线长为 ，则 长度的取值
范围是 ，从而条件等价于 ，最后用 表示 和 ，即可求出 的范围.
【详解】（1）由余弦定理得 ，所以
.
（2）方法一：因为 ，所以 ，
由（1）知道 ，所以 ，
所以 ，
所以由 ，可得 ，
从而 （因为 ），
所以 ，结合 是三角形内角可知， ，
当 时，在三角形 中，设 ，则 ，
由正弦定理得 ，故 ，
因为 ，
所以 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
故 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 .
方法二：在本小问的解析中，所有“线段 上”均不含端点 和 .
由 知角 是钝角，所以角 都是锐角，
这表明点 在直线 上的投影 在线段 上.
设 ，则由 在线段 上及 可知，
对线段 上的点 ， 长度的取值范围是 ，所以条件等价于 .
而我们有 ，
故 .
由于 ，
故我们又有 .
所以条件等价于 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
1．（2024·全国·模拟预测）已知 的三个内角 所对的边分别为 ，满足
．
(1)求角 ．
(2)当 面积的最大值为 时，求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，然后整理，利用余弦定理得答案；
（2）先利用余弦定理及基本不等式求出 的最值，然后代入面积公式计算即可.
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理，得 ，
所以 ．
由余弦定理，得 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ；
（2）由三角形的面积公式，得 ．
由余弦定理得 ，
当且仅当 时，等号成立，则 的最大值为 ，
所以 ，解得 （负值舍去）．
2．（2024·四川·三模）三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 边上的中线长为2，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化简即可得解；
（2）利用向量化及余弦定理结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
（2）设 的中点为 ，
则 ，
平方得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 的最小值为 ，当且仅当 时取等号.
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 的大小．
(2)若 的面积为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后角化边可得 ，结合余弦定理可得
，可求得 ；
（2）由面积可得 ，结合A的范围以及三角恒等变换可得 的取值范围.【详解】（1）由已知条件可知 ，
则由正弦定理，得 ．
整理，得 ．由余弦定理知 ，
则 ，所以 ．
又 ，所以 ．
（2）由（1）可知， ，则 ．
因为 为锐角三角形，所以 解得 ．
由正弦定理，得 ，所以 ．
因为 的面积为 ，所以 ，
所以 ．易知
．
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
考点 四 、 边长和差类最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．(1)求角 ；
(2)若 ，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）解法一:根据正弦定理，化简得到 ，再利用余弦定理得
，根据角的范围求出即可；解法二：根据正弦定理，化简得到 ，
根据角的范围求出即可；解法三：由题意及正弦定理得， ，化简得到 ，根据
角的范围求出即可
（2）解法一：利用向量 表示 ，根据 列方程，整理得 ，然后利用基本不等式
求最值即可，解法二：设 ，利用余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求最
值即可
【详解】（1）解法一：由题意及正弦定理得， ；
由余弦定理得， ，整理得 ，
所以 ．
又 ，故 ．
解法二：由题设可得， ，
即 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ．又 ，故 ，
解法三：由题意及正弦定理得， ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ．又 ，故 ．（2）解法一：因为 ，则 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，整理得 ．
因为 ，所以 ，即 ．
故 ，
当且仅当 时，等号成立．
故 的最小值是8．
解法二：因为 ，所以设 ．
设 ，
在 中，由余弦定理得 ①；
在 中，由余弦定理得 ，即 ②．
，得 ．因为 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，则 ，代入 整理得 ．
所以 ，即 ．
则 ，
当且仅当 时，等号成立．
故 的最小值是8．
2．（2024·上海嘉定·二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ．
(1)求角 ，并计算 的值；
(2)若 ，且 是锐角三角形，求 的最大值．【答案】(1) 或 ；当 时， ；当 时，
(2)
【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得 ，求出B，进而求出 即可；
（2）由题意可得 ，求出C的范围，根据正弦定理可得 ，利用三角恒等变换化简
计算得 （ ），结合 的范围和正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ，则 ，
又 ，所以 或 .
当 时， ；
当 时， .
（2）若 为锐角三角形，则 ，
有 ，解得 .
由正弦定理，得 ，则 ，
所以
，
其中 ，又 ，所以 ，
则 ，故当 时， 取到最大值1，
所以 的最大值为 .
3．（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得 ，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由 可得： ，所以 ，
所以 ，
，
，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由正弦定理可得 ，
所以 ，
故 ，
又 ，所以 ，
所以
，又 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 .
1．（2024·湖北·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b， ，．
(1)求A；
(2)者 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；
（2）借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得 ，借助三角函数的性质，可
令 ， ，结合余弦定理计算可得 ，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
则 ，
则 ， ， ．
即 或 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ，所以 舍去，即 ；
（2）由 得 ，则 ，
则 ，
则 ，则 ，即 ．
令 ， ，因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
由（1）得 ，则 ，
又因为 ．所以 ，所以 ，
解得 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
令 ，则 ，则 ．因为 ，所以 ，即 ．
2．（2024·江西·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，且
．
(1)若 ，求 的大小．
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得 ，再利用两角和差
的正余弦公式化简，进而可求得 的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出 ，再根据 的关系结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，即 ，
而 ，所以 或 ，
所以 或 （舍去），
又因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以 ，，
则 ，
又由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
3．（2024·山西吕梁·一模）设 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)设 的角平分线交 于点 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）首先根据正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，即可求解；
（2）首先根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，求得 ，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1） .
由正弦定理，得
，即
，即
（2）由题意可得，
即当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）记 的内角 所对的边分别为 ，已知__________.
在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个填在
上面的横线上，并解答问题.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①，由 ，求得 ，即可求解；
若选②：由正弦定理得 ，进而求得 ，即可求解；
若选③：化简求得 ，结合余弦定理，求得 ，即可求解.
（2）由（1）和面积公式，求得 ，结合 ，即可求解.
【详解】（1）解：若选①：由 ，可得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 .
若选②：因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，可得 ，又因为 ，所以 .
若选③：因为 ，可得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 .
考点 五 、 边长积商类最值及范围问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角 的三内角 的对边分别是 ，且
，
(1)求角 的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理将 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；
（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1） ，
由余弦定理可得 ，
化简整理得 ，又 ，
，又 ，
所以 .
（2）因为三角形外接圆半径为 ，所以 ， ，，由（1）得 ，
所以
，
因为 是锐角三角形，且 ，
所以 ， ， ，
，即 .
所以 的取值范围为 .
2．（2024·宁夏固原·一模）在锐角 中，内角 的对边分别是 ，且
．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式与正弦定理的变换边换，结合余弦定理与三角形内角和的关系即可得解；
（2）利用三角函数的和差公式与正弦定理的变换边换，将所求转化为关于角 的表达式，再利用三角函
数的值域即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，又 ，故 ，由 ，
故 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以由正弦定理得
，
又锐角 中，有 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足
．
(1)若 ，求 的大小；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）根据题中已知条件利用正切函数化简或逆用余弦函数两角和差公式从而可求解.
（2）由（1）及正弦定理把边化成角，再利用辅助角公式及函数求导求出范围从而求解.【详解】（1）方法一： ，由 为锐角三角形且 ，所以
．
方法二：
．
由 为锐角三角形且 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，
由正弦定理知：
，
所以 ．令 ，则 ，
所以 ，其中 ．
又由 为锐角三角形， ， ，
，因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，
，所以 在 上单调递减，则 ．
即 的取值范围是 ．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)证明： ；(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形内角和的关系计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后，借助三角函数的值域计算即可得.
【详解】（1）证明：由 ，
得 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
又 ，故 ，由 ，
故 ；
（2）由正弦定理可得：
，
又锐角 中，有 ， ，解得 ，
即 ，即 ，
故 .
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为 ，
再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得 ，根据锐角三角形可得
的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在 中，
，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）由正弦定理知
，
由 为锐角三角形可知 ，而 ，所以 得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
则 的取值范围为 .
3．（2024·山西朔州·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得 ，结合余弦定理可求 ；
（2）利用基本不等式可求最小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 即 ，
故 ，所以 ，
而 为三角形内角，故 .
（2）结合（1）可得： ,
，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 .
考点 六 、 中线最值及范围问题1．（2024·四川·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边化角得 ，则得到 的大小；
（2）利用三角形面积公式得 ，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又 ， ，故 ， ，
所以 ，又 ，故 .
（2） ，又 ，
在 中，由余弦定理 ，
，
当且仅当 时取等号，
的最小值为 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且(1)求 ；
(2)设 为边 的中点， ，求线段 长度的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由题设条件重新组合后将 证明替换成 ，再利用正、余弦定理即可求得；
（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得 ，根据余弦定理和基
本不等式求得 ，代入即可计算得到.
【详解】（1）由 ，
得 (*).
因为 ，所以 ，
由正弦定理，得 ，
代入（*）得， .
由正弦定理，得 ，
由余弦定理的推论，得 .
（2）由余弦定理，得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故得 .
又 ，两边平方可得，
，所以 ，即线段 长度的最大值为 .
3．（2024·湖北·模拟预测）在 中，已知 ，D为 的中点.
(1)求A；
(2)当 时，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.
【详解】（1）
，
，
即 ，
，即 .
或 ，
当 时， ，
由 ， 有 ，即 时 .
当 时， （舍）.
.
（2）
设 ， ，
由（1）及余弦定理有 ，即 .
，即 ，当且仅当 时等号成立.
由D为边 的中点有 ，，
当且仅当 时等号成立.
，当且仅当 时等号成立.
的最大值为 .
1．（2024·四川南充·二模）在① ；②
；③ ；这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足______.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到 ，即可
得解；若选②，根据平方关系及诱导公式得到 ，再利用正弦定理将角化
边，最后由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解；
（2）由面积得 ，结合余弦定理和基本不等式求最值.
【详解】（1）若选择①： ，
由正弦定理可得 ，
又 ， ，故 ， ，
所以 ，又 ，故 .
若选择②： ，
则 ，
由正弦定理可得 ，
故 ，又 ，故 .
若选择③ ；
由正弦定理可得 ，
再由余弦定理得 ，即 ，
， ．
（2） ，又 ，
在 中由余弦定理 ，
，
当且仅当 时取等号，
的最小值为 ．
2．（2024·河北·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解.（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得： ，则 ，
即 ，
由余弦定理可得： ，
因为 ，所以 .
（2）因为 为 的中点，所以 ，
则 ，
又由余弦定理得， ，
即 ，所以 .
由 得， ，
则 ，当且仅当 取等号，
即 ，
所以 ，即中线 长的最大值为 .
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 是线段 上靠近点 的三等分点， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和辅助角公式化简可得 ，即可
求解；
（2）方法一：由余弦定理可得 ①、 ，可分别用3种思路（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用极限思想）求出 的取值范围，进而利用换元
法构造函数，结合导数求解 即可；方法二：
可分别用2种思路（思路1：齐次化不等式处理；思路2：正弦定理函数处理）求出 ；方法三：如图，
则 ，确定当A,O,D三点共线时等号成立，求出 即可.
【详解】（1） ，由正弦定理得
，
又 ，
所以 ，
由 整理得 ，即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，即 ；
（2）由余弦定理 ，得 ①，
由 得 ，即 ，
解得 ．
下面用三种方法求 的取值范围．
思路1：用余弦定理切入．
因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，
将①代入得 ，
同理，由 ，得 ，
故 ．
思路2：用正弦定理切入．
因为 为锐角三角形，所以
解得 ，由正弦定理得 ．
思路3：用极限方法求解．
因为 为锐角三角形，
当 时， ；当 时， ；
故 ．
接下来换元构造函数求最值．
设 ，则 ．
设 ，则 ，
由 得 ，又 ，
所以 ，由 得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故 ．
所以 ．
方法二：思路1，齐次化不等式处理
由 得 ，
两边平方得 ，
令 ，则 ，
则 ，当 即 时等号成立，
故 的最大值为 ．
思路2：正弦定理函数处理
由 ，得 ，
两边平方得 ．又因为 ，则 ，
代入得 ．
又因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
当 即 时， 的最大值为 ，
所以 ．
方法三：设 的中点为 外接圆的圆心为O，则 ，
所以 ，
，所以 ，
，
所以 ，所以 ．
所以 ，当且仅当A,O,D三点共线时等号成立，此时 为锐角三角形．
考点 七 、 角平分线最值及范围问题
1．（2023·浙江·二模）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，满足
，且 .
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得 ，又因为 为锐角三角形且 ，结合三角函数值域可求得线
段 长度的取值范围.
【详解】（1）由题意得 ，由正弦定理得 ，
因为 ，则 ，即 ，可得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，
故 ，整理得 ，
又因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 .
故 ，所以 .
因此线段 长度的取值范围 .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ，
，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得 ，又因为 为锐角三角形且 ，结合三角函数值域可求得线
段 长度的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
又 ，即 ，所以 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，
故 ，
即 ，
整理得 ，
又因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）因为点 在线段 上，且 ，即 平分 ，
又 ，所以 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 .
故 ，所以 .
因此线段 长度的取值范围 .1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知 内角 的对边分别为 ，
．
(1)求A；
(2)A的平分线 交 于 点， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得 ，再结合余弦定理可得 ，即可
得结果；
（2）根据题意结合面积关系可得 ，再利用基本不等式分析求解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，
且 ，所以 .
（2）因为 为A的角平分线，则 ，
由 ，
可得
整理得 ，
又因为 ，可得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角A的大小；
(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到 ，求出 ；
（2）利用余弦定理得到 ，由三角形面积公式和 求出 ，表
达出 ，利用两次基本不等式求出最值.
【详解】（1）由题意知 中， ，
故
即 ，
即 ，
所以 ，
而 ，故 ，
故 ，即 ，
又 ，故 ；
（2）由余弦定理： ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，则 的最小值为 .
3．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求证： ；
(2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化可得 ，即可利用三函数的性质求解，
（2）根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.
【详解】（1）证明：由余弦定理可得 ，
故 ，由正弦定理得 ．
所以在 中， 或 ．
若 ，又 ，故 ，因为 ，所以 ，故 不满足题意，舍去，
所以 ．
（2）在 中，
由正弦定理可得 ，即
所以
因为 是锐角三角形，且 ，
所 得 ，
所以 ．所以线段BD长度的取值范围是 ．
考点 八 、 高线最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求角 ；
(2)设 是 的高，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理将 代换，再结合商数关系求出角；
（2）法一：余弦定理结合基本不等式求出面积最大值，即可确定高的最大值；法二：由正弦定理将面积
表示为角的函数，结合三角恒等变换，求出函数最大值，即可确定高的最大值.
【详解】（1）由 及 ，得 ，
又 ， ，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）解法一 由余弦定理得 ，则 ，
得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
得 ，故 的最大值为 ．解法二 由正弦定理得 ，
故 ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以
，当 时等号成立,
故 ，得 ，
故 的最大值为 .
2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若
．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 边上的高的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.
（2）由（1）可得 ，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】（1）在 中，由正弦定理及 ，得 ，
即有 ，而 ， ，即 ， ，因此 ， ，
所以 ．
（2）令 边 上的高为 ，
由 ，得 ，
由（1）知， ，即 ，则 ，
所以 边上的高的取值范围是 .
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 在 上单调递增，在 上单
调递减，设 为曲线 的对称中心．
(1)求 ；
(2)记 的角 对应的边分别为 ，若 ，求 边上的高 长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求 ；
（2）利用余弦定理得到 ，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 且 ，所以 ，可知 ，
又由 ，可知 ，所以 ，故 ，
由 ，可得 ，即 ．
（2） ，化简得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 ，故 长的最大值为 ．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角 中，设边 所对的角分别为
，且 ．
(1)求角 的取值范围；
(2)若 ，求 中 边上的高 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得 ，然后根据三角形为锐角三角形进而
即得；
（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得 ，然后根据三角恒等变换及正切函数的
性质结合条件即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，整理可得 ，
所以 或 (舍去)，
所以 ，又 为锐角三角形，所以 ，
所以 ；
（2）由题可知 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
即 中 边上的高 的取值范围是 .
3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 中， ， ．
(1)求 ．
(2)求 边上的高的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）设 边上的高为 ，则 ，再利用正弦定理及三角函数求出 的范围，即可得解，注意三角
形为锐角三角形.
【详解】（1）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，因为 ， ，
所以 ，
由正弦定理，得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）设 边上的高为 ，则 ，
由正弦定理，得 ，
由 为锐角三角形，
得 ，得 ，则 ，
所以 ，从而 ，
故 边上的高的取值范围是 ．
考点 九 、 其他线段类最值及范围问题
1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）在 中，角 的对边分别为
．
(1)求角 ；
(2)若 为边 上一点， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角余弦公式化简，再利用正弦定理，余弦定理运算求解；（2）由 ，可得 ，根据余弦定理和基本不等式可求得 的范围，得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理，得 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，且 ，
所以 ，
化简，得 ，解得 ，
由（1），得 ，即 ，
由 ，得 ，
解得 （当且仅当 时取等号），
又 ，所以 ．
而 ，且是关于 的增函数，
所以当 时， ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，连接 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）对已知进行化简，然后利用两角和的正切公式及诱导公式进行计算可得答案；
（2）方法一：根据正弦定理求出 ，再由余弦定理可得答案；方法二：根据正弦定理求出 ，对
两边平方计算可得答案.
【详解】（1）由题意，得 ，
整理，得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ．
又 ，所以 ；
（2）方法一：根据正弦定理，得 ，
所以 ．
由 ，知 是边 的中点，在 中，由余弦定理，
得 ；
方法二：根据正弦定理，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．3．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，则 ，设 ，且 ，分
别求出 ，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，
根据题意可得 ．因为 ，所以 ，
设 ，且 ，
则 ，
同理可得 ，
则，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
4．（2024·广东广州·三模）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若D是边 上一点（不包括端点），且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到 ，进而求得
，即可求解.
（2）设 ，在 中，利用正弦定理，化简得到 ，根
据题意，结合正切函数的性质，即可求解.【详解】（1） ， ，
又 ，可得 ，
，
，又 ， ，
可得 ，所以 ，解得 或 ，
，所以 ，即 .
（2）设 ，则 ，
， ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为 为锐角三角形，所以 且 ，则 ，
所以 ，可得 ，所以 ，所以 .
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知在 中， ，
(1)求A；
(2)若点D是边BC上一点， ， ABC的面积为 ，求AD的最小值.
△
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式，降幂公式，结合三角函数值求出即可；
（2）由向量的加法得到 ，再利用三角形面积公式得到 ，然后由向量的模长计算结
合基本不等式求出结果即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，故 ，
所以 ， ，
（2）因为 ，则 ，
所以 ，故 ，
因为 的面积为 ，所以 ，所以
上式当且仅当 ，即 ， 时取得“ ”号，
所以AD的最小值是 .
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
(1)求 的大小；
(2)若 ，D是边AB上的一点，且 ，求线段CD的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理可得到 ，进而即可求得 的大小；（2）由正弦定理得到 ，由余弦定理得到 ，从而求出
，进而即可求解．
【详解】（1）因为 ，
则由正弦定理得 ，整理得 ，
又由余弦定理有 ，得 ，
又 ，所以 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理得
，
又 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即线段 的最大值为 ．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，点F为 的垂心， ，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得 的值，再由角 的范围，可得角 的大小；
（2）设 ，分别在两个三角形中，由正弦定理可得 ， 的表达式，由辅助角公式可得
的取值范围．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ， ，
可得 ；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ， ，
根据题意可得 ， ，因为 ，所以 ，
设 ， ，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，
同理在 中，可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．4．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为 ，若 为
边上一点，满足 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ，进而求解即可；
（2）在 中由正弦定理可得 ，在 中，可得 ，进而得到
，结合三角恒等变化公式化简可得 ，进而结合正弦函数的图
象及性质求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
由正弦定理得， ，
，
，
， ，
由 ，得 .（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
在 中， ，
，
， ,
，
， ， ，
所以 的取值范围为 .
考点 十 、 外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
1．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，且
.
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可；
（2）根据等面积法可得出 的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.
【详解】（1）由正弦定理可得， ，即 ，
所以 ，
由 可知， ，
所以 ，故 .
（2）因为 的内切圆半径 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
由正弦定理
，
又 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)2【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得 ，由 ，
得到 ，得到 ;
（2）利用余弦定理及基本不等式求得 ，利用等面积法求得 的最大值，利用正弦定理求得 ，
求出
【详解】（1）由 及正弦定理，
得 ，
故 ，
即 ，
即 ．
由 ，则 ，故 ，即 ．
因为 ，所以 ．
（2）由（1）和余弦定理可得， ，
故 ， ，
即 ，当且仅当 时等号成立．
故 ．
由利用等面积法求得 的最大值，易知 ，
故 ，故 ，
利用正弦定理 ，所以 的最小值为2．
1．（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径取值范围．【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据正弦的二倍角公式结合两角和的余弦公式与三角形内角关系求解即可；
（2）根据 化简可得 ，再设 ，根据正弦函数的值域求
解即可.
【详解】（1）由题意 得 ，即 ，
，故 ．
（2）因为 ， 为内切圆半径，
所以 ．
设 ，则 ，
又因为 ， ， ， ，
所以三角形内切圆半径的取值范围为 ．
2．（2024·全国·模拟预测）在“① ；② ；③ ”这三
个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在 中，角 所对的边分别为 ，且______．
(1)求角 的大小；
(2)若 表示 内切圆的半径，求 的最大值．
【答案】(1)任选一条件，都有 ；
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变换化简计算即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理可得 ，利用三角形等面积可得 内切圆的半径
，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）选择①：
由正弦定理，得 ，
所以 ，即 ．
又 ，所以 ，且 ．所以 ．
又 ，所以 ．
选择②：
由正弦定理，得 ．
又 ，所以 ， ．
所以 ．
即 ．
又 ，所以 ．又 ，
所以 ，即 ．
选择③：
由正弦定理，得 ．
所以 ，即 ．
又 ，所以 ．所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理 ，得 ，所以 ．
设 的周长为 ，面积为 ，则 ， ．
所以 内切圆的半径 ．
将 式代入上式，得 ．
因为 ，所以由 式可得 ，即 （当且仅当 时取得等号）．
所以 的最大值为 ．
考点 十一 、 角度类最值及范围问题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 ，若 成等比
数列，则角 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 成等比数列，可得 ，然后利用余弦定理表示出 ，进行化简后利用基本不等式
求出 的最小值，根据 的范围以及余弦函数的单调性，即可求解.
【详解】因为 成等比数列，可得 ，
则 ，（当且仅当 时取等号），
由于在三角形中 ，且 在 上为减函数，
所以角 的取值范围是： .
故选：B.
2．（2024·山东菏泽·二模）已知在 中， 的面积为 ．
(1)求角 的度数；
(2)若 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ．当 取到最小值时，求 的
值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）设 ，则 求解即可；（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到 ，根据角的范围求解即可．
【详解】（1）设 ，则 ，又 ，因此 ，
由 为 的内角，所以 .
（2）由（1）知， ，又 ，则 ，因此 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
，
显然 ，则有 ，因此当 时， 取到最小值，
此时 ，即 ，
所以 的值 .
1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果 的三边 、 、 满足 ，则角 的取值范围为
．
【答案】
【分析】由余弦定理和重要不等式可求 的范围，进而可求角 的取值范围.
【详解】因为 ，所以
由余弦定理得 ，
当且仅当 时取等号，又 ，
所以 .
故答案为：
2．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形 的三个角对应的边分别为 、 、(1)求证：存在以 为三边的三角形；
(2)若以 为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形 的最小角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明；
（2）由题意可得 均为锐角，不妨设 ，则可得 或 ，然后分情况讨论即
可.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
因为三角形 的三个角对应的边分别为 、 、 ，
所以 ， ，
设三角形 的外接圆半径为 ，则由正弦定理得
，
，
，
所以 ， ， ，
所以存在以 为三边的三角形；
（2）因为以 为三边的三角形为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 都为锐角，
不妨设 ，因为 ，
所以 ，或 ，
所以 或 ，
当 时， ，则 ，不合题意，舍去，
当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ，因为，
所以 ，所以 ，所以 ,
所以 ,
所以三角形 的最小角为 .
考点 十二 、 正余弦类最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 所对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；
（2）利用第一问的结果代入 的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）已知 ，
由正弦定理得： ，
整理得： ，
……①
因为 ……②
②代入①有： ，
再由正弦定理得 ．
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
2．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别是 ，已知
．
(1)证明： ；(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理及两角和差公式化简，再利用正弦定理化角为边即可得证；
（2）先根据三角形为锐角三角形结合余弦定理求出 的范围，再利用余弦定理化边为角即可得解.
【详解】（1）因为
，
且 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ；
（2）因为 为锐角三角形，
所以 ，得 ，
由（1）知 ，
故
得
所以 ，由正弦定理知 ，
所以 的取值范围为 ．
3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息结合正弦定理边化角，再利用基本不等式求解即得.
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，由正弦定理得 ，
而 ，因此 ，当且仅当 时取等号，
于是 ，解得 ，
在 中， ，由 ，得 ，
所以当 时， 取得最大值 ．
4．（2023·全国·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ．
(1)求角 的大小；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）法一：利用余弦定理化角为边，进而可得出答案；
法二：利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）解法一： ，
由余弦定理，得 ，
，
又 ，
；
解法二： ，
由正弦定理得 ，
又 ，
，
又 ，
；
（2）由余弦定理，得 ，
由正弦定理，得 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
的最小值为 ．
5．（23-24高三上·江苏南京·期中）在 中， 所对的边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据余弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得 ，即可由三
角函数的性质求解.
【详解】（1）在 中， ，据余弦定理可得 又 ，故
，由于 ，故 ，得 .
（2）在 中，据余弦定理可得 ，
又 ，故 ，
又 ，故
据正弦定理 ，可得 ，
，
，
,
因为 ，所以 ，
则 或 ，
即 或 （舍）
所以 ,
,
因为 是锐角三角形，所以 ，得 ，
,故 ,
故 ,
1．（2024·陕西宝鸡·二模） 中， 为 边的中点， .(1)若 的面积为 ，且 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，利用面积公式求出 ，在 中由余弦定理求出 ，再由正弦定
理求出 ；
（2）设 ， ，分别利用余弦定理表示出 、 ，从而得到
，再由余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 为 边的中点，所以 ，
又 ，即 ，解得 ，
在 中由余弦定理 ，
即 ，所以 ，
在 中由正弦定理 ，即 ，解得 .
（2）设 ， ，
在 中由余弦定理 ，
即 ，
在 中由余弦定理 ，
即 ，
在 中由余弦定理 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）在 中，角 所对的边分别为 .若
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用边化角及三角恒等变换公式整理计算即可;
（2）通过角的转化，借助三角恒等变换公式，得到 ，利用
的范围，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，整理得
，
所以 ，
由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）因为 为锐角三角形， ，所以 ，且 ，
所以 ，
解法，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
解法
，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
3．（2024·河南·一模） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得 ，从而
用等量关系即可得证；
（2）由（1）知，锐角三角形 中 ，利用角 关系求得角 的范围，再把式子
用角 的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值范围即可求解.
【详解】（1）证明：由条件 ，根据正弦定理可得 ，
，即 ，
，
又 中 ，
进行化简得 ，
所以 ，即 或 ，即 （舍去），
所以 .
（2）若 为锐角三角形，根据（1） ，
则 ，得 ，
式子 ， ，
由 得 ，又易知函数 在 内单调递减，
所以 ，
因此 .
73．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ．
(1)判断 的形状，并证明；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) 为钝角三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换可得 ，从而有 ，进而得 ，
， ，即可得结论；（2）结合正弦定理及 ，可得 ，再利用基本不等式
求解即可.
【详解】（1） 为钝角三角形，证明如下：
证明：因为 ，（二倍角公式的应用）
所以 ，
所以 或 （舍去），
（提示：若 ，则 ，则 ，与题意不符）
则 ，
所以 ，
所以 为钝角三角形．
（2）由（1）知 ，
由正弦定理得
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时， 最小，最小值为 ．
4．（2024·辽宁·一模）在 中，内角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的最大值．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件及余弦定理得到 ，再利用正弦定理边转角得到
，借助三角恒等变换公式化简即可得出结果；
（2）利用 为锐角三角形，得到 ，再令 ，将问题转化成求 在
上的最值，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，即 ，由余弦定理 ，
得到 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又 ，得到 或 （舍），所以 ，命题得证.
（2）由（1）知 ，所以 ，
令 ，
又因为 为锐角三角形，所以 ，得到 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以当 时， 取到最大值为 .
5．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ， ．(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理可得 ，再由余弦定理分别得到 ，再由基本不等式代
入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，可得 ，
整理可得 ，
又因为 ，
化简可得 ，
而 ，则 ，又 ，则
（2）在 中，由 可得 ，
在 中，由 可得 ，
所以 ，
设 ，
由余弦定理 ，，
可得 ， ，
因此 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最大值为 ，此时 .
考点 十三 、 正切类最值及范围问题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .已知
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和余弦定理化简已知，可得解；
（2）根据（1）可得 ，利用正弦定理边化角，再借助三角函数恒等变形可得 ，
最后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）根据题意， ，
即 ，
所以 ，
化简得 ，
当 时，得 ，即 为直角三角形；
（2）当 时，根据（1），有 ，根据正弦定理，有 ，
即 ，
根据和差化积公式，得 ，
即 ，化简得 ，
所以 ，
设 则
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即当 时， 取最大值为 .
1．（2024·云南·二模） 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是 与 的等差中项.
(1)若 ，判断 的形状;
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)是以 为斜边的直角三角形.
(2)
【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得 ，再结合已知和余弦定理得 ，即
可判断三角形形状；
（2）先根据锐角三角形性质得 ，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，利用正弦函数性
质求解范围即可.
【详解】（1） 是 与 的等差中项， .
..
由余弦定理得： ，即 ，
化简得 . ，即 .
. ，
是以 为斜边的直角三角形.
（2） 是锐角三角形，
，解得 ，
.
由 得 ， ，
，即 .
的取值范围为 .
考点 十四 、 向量类最值及范围问题
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的 ，若 分别是 的对边，且，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得 ，再根据三角形两边之和大
于第三边结合基本不等式求出 ，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的 ， 分别是 的对边，且 ，
所以
，
令 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
又∵ ，∴ ，∴
故 ，又 在 上递减，
∴ ，
故答案为： .
2．（23-24高三上·北京·阶段练习）在 中， ．
(1)求C；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和正弦余弦公式化简可得 ，再根据诱导公式化简可得；
（2）由余弦定理求出 的取值范围后即可求出.【详解】（1）因为 ，
所以 ，
，
即
即 ，
因为 是 的内角，所以 ，即 ，
所以 .
（2）在 中， ，
得 ，因为 是 的边长
所以 ，所以 ，
即
因为 ，
所以 ，
所以 的最小值为 .
3．（2024·湖南邵阳·一模）在 中，内角 满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式求解；
（2）根据向量的加法法则将 转化为 ，然后结合换元法和基本不
等式求解；
【详解】（1）由已知.
.
（2）
.
又 ，
.
令 ，
.
当且仅当 取等号.
的最大值为 .
1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在 中， ，满足 .(1)若 ，求 的余弦值；
(2)点 是线段 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，在 和 中利用正弦定理，建立等量关系求 的余弦值；
（2）利用C、M、D三点共线，求得 ，再根据三角形的面积求得 ，根据向量数量积求
，展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】（1）由题意可设 ，
在 中 ①
在 中 ②
由①②可得 ，
解得 ，则 ，解得 .
故 .
（2） ，
且C、M、D三点共线，所以 ，，
故 ．
，
当且仅当 时；所以 .
2．（2024·重庆·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 ，求AP的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，可得
又由 知 ，
即 ，得 ，得 ，
得 ，所以 ；
又因为 ，所以 ．
（2）由 ，得 ，
所以，
当且仅当 ，即 时等号成立，故AP的最小值为 ．
考点 十五 、 参数类最值及范围问题
1．（2023·陕西榆林·统考一模） 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦、余弦定理可得 ，结合 即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 .又 ，
所以 .因为 ，
所以 ，故 .
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据正弦定理求解 ,即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解 ，即可
结合特殊角的三角函数值以及不等式的性质求解.【详解】（1）由题意及正弦定理得 ，
， ， ，
．
，
又 ．
（2）在 中， ，由正弦定理得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
，
，
由于 ．
为锐角三角形，
进而 ，
且 ，解得 ．
又 ，
．
又 ，．
1．（2023·全国·模拟预测）已知在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得 的值；
（2）先化简题给条件求得 ，代入题干条件进而求得 ，从而得到 的最小值，再结合条件
求出实数 的取值范围.
【详解】（1）依题意， ，
因为 ，所以 .
由正弦定理，得 ，
故上式可化为 .
因为 ，所以 ，
由正弦定理，得 .
（2）因为 ，
由正弦定理， ，因为 ，故 ，
则 ，
故 ，
因为 ，故 ，又 ，故 ，
代入 中，得 ，即 .
由余弦定理， ，故 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，又 ，
所以实数 的取值范围为 .
2．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ， .
(1)证明： 外接圆的半径为 ；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；
（2）把已知恒成立，参数分离转化为 恒成立，再求出 的最大值可得范围.
【详解】（1）由 ，得 ，
由正弦定理得:
，
化简得 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 外接圆的半径为 .
（2）要使 恒成立，即 恒成立，
即求 的最大值.
由余弦定理得 ，
所以
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围为 .
1．（2024·陕西宝鸡·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)求角A；
(2)若 的面积为1，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.
（2）先根据面积公式求出 ，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】（1）由已知 ， ，
由正弦定理 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，解得 .
（2）由题 ，得 ，
又 （ 时取“=”）
所以，
即 的最小值是 ， 时取等号.
2．（21-22高二下·山西·期中）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)若 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到 ，求得 ，即可求解；
（1）由正弦定理可得 ，化简 ，结合三角函数的性质，
即可求解.
，
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ．
（2）解：因为 ， ，由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以
，由 且 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
3．（23-24高三上·河南·期中）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，利用余弦定理化简求得 ，求得 ，即可求解；
（2）由余弦定理得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由 ，
所以 ，
得 ，
得 ，
因为 为锐角三角形，所以 为锐角，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，可得 ．
（2）解：由余弦定理知 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 周长的最大值为 ．
4．（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知 为锐角三角形，角 的对边分别为 ，
且 .
(1)求角 的大小；(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理化简原式得到 ，结合 即可得到答案；
（2）根据正弦定理和辅助角公式化简 ，结合 与三角函数值域相关知识求解答案即可.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 为锐角三角形，所以 ，所以 .
（2）在 中，由正弦定理得， ，
所以
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
5．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且 的
面积 .
(1)求 ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1) ；(2)3
【分析】（1）根据面积公式求出 ，从而求出 ；
（2）由基本不等式求出 ，进而由余弦定理得到 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 为锐角三角形，所以 ；
（2）由余弦定理可知， ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ，所以 的最小值为3.
6．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的半径为 ，求 的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．
（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.
【详解】（1）由已知可得： ，
∴ ，
∴ ，
根据正弦定理可知： ，
∴ ．
又 ．
（2）∵ 外接圆的半径为 ，∴ ，解得 ．
又由（1）得 ，
故 ，∴ ，当且仅当 时等号成立
∴ ，
∴ 的面积最大值为 ．
7．（2024·广西·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三
个正三角形的面积依次为 ， ， .已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）结合面积公式，要证 ，即证 ，由余弦定理得到证明；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）根据面积公式，可得 ， ，
，
要证 ，即证 .
由 可得 ，
由余弦定理可得 ，
整理可得 ，原式得证.
（2）因为 ，由（1）知 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
所以 ， 的最大值为6.
故 周长的最大值为 .
8．（2017·安徽淮北·模拟预测）在 中，角A，B，C的对角分别为a，b，c且．
(1)求 ；
(2)若D为AC边的中点，且 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可求 ，进而利用同
角三角函数基本关系式可求 的值．
（2）由已知可求 ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求
，由三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】（1） ．
∴由正弦定理可得： ， ．
由 ，则 .
（2）D为AC边的中点，且 ，可得： ，
，
，可得： ，
，
，可得： ，（当且仅当 时等号成立）
．
所以 面积的最大值 .
9．（2023·四川绵阳·模拟预测）在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和化简三角函数方程，即可证明结论；
（2）由正弦定理求出 的表达式，即可得出其最小值.
【详解】（1）由题意证明如下，
在 中， ，
，
，
，
又 为斜三角形，则 ，
，
，
∵ 为 的内角，
.
（2）由题意及（1）得，
在 中， ， ，是等腰三角形，
由正弦定理 ，则 ，
又 ，即 ，
，
，
令 ， ，
又因为 ，即 ，
当 即 时， 取最小值，且 ，
∴ 的最小值为 ．
10．（23-24高三上·山东威海·期末）在 中，角 所对的边分别为 记 的面积为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)24
【分析】（1）根据向量数量积公式及面积公式求出角A即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式求出最值即得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
可得 ， 因为 ，所以 .
（2）由余弦定理可知 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 .
1．（2024·青海·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 ， 的面积为S．周长为L，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理统一为角，再由三角恒等变换化简即可得解；
（2）由余弦定理及三角形的面积公式得 ，再由基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得， ，所以 ,
所以 ，
即 ，
由 ，可知 ，
所以 ，即 ，
由 ，知 .
（2）由余弦定理，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，又 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
即 的最大值为 .
2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，
.
(1)若 ， ，求 的大小；
(2)若 求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）在 中，利用余弦定理可得 ，由等腰三角形可得 ，然后在
中利用正弦定理即可求解；
（2）利用勾股定理求得 ，然后四边形面积分成 即可求解.
【详解】（1）在 中， ， ，所以 ，
由余弦定理可得， ，即 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）在 中， ，所以 ，
所以，四边形ABCD的面积
，
当 时， ，即四边形ABCD面积的最大值为 .
3．（2024·河南·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)如图所示， 为平面上一点，与 构成一个四边形 ，且 ，若 ，求 的
最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，将 中的边化为角，再得用两角和的正弦公式和诱导公式，得到 ，求出角A即可；
（2）由（1）和条件 知四边形ABCD对角互补，所以A、B、C、D四点共圆， 的最大值为
该圆的直径，利用正弦定理即可求出该圆直径.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理得，
，
因为 ，
所以四边形 存在一个外接圆 ，
所以圆 的直径为 ，
因为 ，即 ，当AD为圆O直径时取等号，
故 的最大值为 .
4．（2024·重庆·三模）已知在数列 中， ．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的前 项和 ；
(2)在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求
面积的最大值．【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，由等差数列的定义写出 的通项公式，进而可得 的通项公式，应
用裂项相消法求前 项和 即可；
（2）根据题设三角恒等式，结合正弦定理得 ，由三角形内角性质求角 ，由余弦定理
及基本不等式求 的范围，应用三角形面积公式，求 面积的最大值.
【详解】（1）由题意， ，即
为等差数列：首项 ，公差 ，
，则 ，
设 ，
（2）
由正弦定理，有 ，．
即 ，又 ，
，即
由 ，
由余弦定理得： ，．
，即 ，当且仅当 时取等号，
，即△ABC面积最大值为 ．
5．（2024·江西·模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c的等比中项．
(1)求B的最大值：(2)若C为钝角，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项及余弦定理得 ，根据基本不等式及余弦函数性质可得结果；
（2）依题意设 ， ，根据三角形三边关系及条件求出 ，利用正弦定
理及两角和正弦公式。诱导公式化简得 ，从而可得结果.
【详解】（1）因为b是a，c的等比中项，所以 ．
由余弦定理可知 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立．
又 ，根据余弦函数的性质且 ，
故B的最大值为 ．
（2）由已知可设 ， ，
则 ，所以 ，解得 ．
，
所以 的取值范围为 ．
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角 中.内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理变形，利用两角和差公式求得 ，然后利用
正弦函数性质即可求得 ；
（2）利用三角恒等变换得 ，由条件求 的范围，结合正弦函数性质求
解范围即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形内角，所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 ；
（2） ，
由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
7．（2024·广东江门·模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且满足
．
(1)证明： ；
(2)若 为钝角，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，得到 ，结合内角和公式，三角恒等变换公式可得 ，结合正弦函数性质，即可证得结论；
（2）由正弦定理边化角，并结合 整理得到 ，由 结合 为钝角得到
，进而得到 ，从而得到 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理 ， 为 的外接圆半径，
得 ．
因为 ，即 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，这与 矛盾，舍去，
若 ，则 ，因为 ，所以 只能取0，
此时 ， .
（2）由（1）得 ，
由正弦定理得
，
又由 ，即 ，解得 ，所以 ，
则 ．
所以 的取值范围为 .
8．（2024·四川内江·模拟预测）已知 .
(1)求 的单调增区间和对称中心；
(2)在锐角 中，A，B，C的对边分别是 . .求 的值域.
【答案】(1) ； ；(2) .
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 解析式，结合正弦函数的图象的递增区间和对称中心易得
函数 的单调增区间和对称中心；
（2）由 求得 ，设 ，由正弦定理将其化成 ，利用锐角三角形求出
，继而利用函数单调性求出 ，最后求 在 上的值域即得.
【详解】（1）由
.
由 解得， ，
即 的单调增区间为 ；
由 解得， ，故 的对称中心为 .
（2）由 可得， ，
因 是锐角三角形，故 则 ，
故 ，解得， ，
由 ，设 ，由正弦定理可得， ,
由 解得， ，则 , ,故有 .
于是， ，
而 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，则 的值域为 .
9．（2024·辽宁·二模）在 中， 为 边上一点， ，且 面积是 面积的2倍．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出 的表达式，最后根据正弦定理求出 的表达式，
利用余弦函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）设 边上的高为 ，垂足为 ，
因为 面积是 面积的2倍，
所以有 ，
设 ，
由余弦定理可知：
，
解得 或 舍去，即 ；
（2）由（1）可知 ，
设 ，由 且 ，
由余弦定理可得：
，，
在 中，因为 ，
所以由正弦定理可知：
，
因为 ，
所以 ，
于是有 ，因此 的取值范围为 .
.
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， ， .
(1)写出命题p：“已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， ， .若 ，则
是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；
(2)若 外的点D满足 ， ，求 面积的最大值.
【答案】(1)逆命题q见解析，假命题；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，结合逆命题的定义即可得解，解直角三角形判断真假.
（2）结合锐角三角函数定义及正弦定理可求出DB，DC，然后结合三角形面积公式，和差角公式，二倍角
公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求．
【详解】（1）逆命题q为：已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， ， ，
若 是直角三角形，则 .
命题q的为假命题，理由如下：
由 为直角三角形，且 ，得 或 ，而 ，当 时， ，当 时， ，
因此逆命题q是假命题.
（2）由于 外的点D满足 ，而 ，则 四点共圆，
由 ，得 ，且 ，设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 外接圆直径 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
则 的面积
，
显然 ， ，因此当 时， ，
所以 面积的最大值为 .
一、单选题
1．（四川·高考真题）在 ABC中， ．则 的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．[ ， ） C．（0， ] D．[ ， ）
【答案】C
【详解】试题分析：由于 ，根据正弦定理可知 ，故 ．又
，则 的范围为 .故本题正确答案为C.
考点：三角形中正余弦定理的运用.
二、双空题
2．（北京·高考真题）若 的面积为 ,且∠C为钝角，则∠B= ； 的取值范围
是 .
【答案】
【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得 ，可求得 ；再利用
，将问题转化为求函数 的取值范围问题.
【详解】 ，
，即 ，
，
则 ，
为钝角， ，
，故 .
故答案为 ， .
【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一
个关键；根据三角形内角 的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含
的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
三、解答题
3．（全国·高考真题）设锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）【详解】（1）由 ，根据正弦定理得
，
所以 ，
由△ABC为锐角的三角形得
（2）
由△ABC为锐角的三角形知，
所以， ，
，
由此有 ，
所以， 的取值范围为
4．（全国·统考高考真题） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得
.
(2)根据三角形面积公式 ，又根据正弦定理和 得到 关于 的函数，由于 是
锐角三角形，所以利用三个内角都小于 来计算 的定义域，最后求解 的值域.【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为 结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得 ，
此时 就变为 ．
由诱导公式得 ，所以 ．
在 中，由正弦定理知 ，
此时就有 ，即 ，
再由二倍角的正弦公式得 ，解得 ．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得 的值可得 的值】
由解法1得 ，
两边平方得 ，即 ．
又 ，即 ，所以 ，
进一步整理得 ，
解得 ，因此 ．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为 求得 的比例关系】
根据题意 ，由正弦定理得 ，
因为 ，故 ，
消去 得 ．
， ，因为故 或者 ，
而根据题意 ，故 不成立，所以 ，
又因为 ，代入得 ，所以 .
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为 是锐角三角形，又 ，所以 ，则
．
因为 ，所以 ，则 ，
从而 ，故 面积的取值范围是 ．
[方法二]【由题意求得边 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知 的面积 ．
因为 为锐角三角形，且 ，
所以 即
又由余弦定理得 ，所以 即 ，
所以 ，故 面积的取值范围是 ．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图1，在 中，过点A作 ，垂足为 ，作 与 交于点 ．
由题设及（1）知 的面积 ，因为 为锐角三角形，且 ，
所以点C位于在线段 上且不含端点，从而 ，
即 ，即 ，所以 ，
故 面积的取值范围是 ．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
5．（江西·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得 ，进而得角 的大小；
（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得 ，再结合三角形边关系求得 的取值范围.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）由余弦定理可知 ，
代入可得 ，
当且仅当 时取等号，∴ ，又 ，
∴ 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.
6．（浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形
为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由 ，得 ，即 .
结合余弦定 ，
∴ ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
∵ 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，
所以 ，
又B为 的一个内角，故 .
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由 ，结合正弦定理可得：为锐角三角形，故 .
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为 ，并利用余弦定理整理得 ，
即 .
结合 ，得 .
由临界状态（不妨取 ）可知 .
而 为锐角三角形，所以 .
由余弦定理得 ，
，代入化简得
故 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，
则 ， .
即 的取值范围是 .
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得
，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接
使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
