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专题 03 二次根式的加减（六大题型）
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【题型2 二次根式的加减】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 二次根式的化简求值】
【题型5 二次根式的实际应用】
【题型6 分母有理化】
【题型1 同类二次根式的相关概念】
1.（23-24八年级上·河南漯河·期末）下列各式中与❑√2是同类二次根式的是（ ）
√1
A．❑√20 B．❑ C．❑√24 D．❑√0.2
2
√ 1 √ 1
2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在❑√27，❑ ，❑1 中与❑√3可以合并的个数
12 2
有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2022八年级上·四川成都·专题练习）下列二次根式能与4❑√3合并的是（ ）
A．❑√12 B．❑√18 C．❑√24 D．❑√32
5．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式❑√3x−4和❑√16−x是同类二次根式，则
x= ．
6．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如果最简二次根式❑√2a−7与❑√12是同类二次根式，
那么a的值是 ．
【题型2 二次根式的加减】
√3
7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：2❑ −❑√24＝ ．
2
8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：2❑√32−3❑√20−4❑√200+5❑√2000．√1
9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：2❑√12−12❑ +3❑√48．
3
10．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：
(1)
4❑√5+6(2−❑√3)−5(❑√5−2❑√3)
(2)
|❑√5−2)+❑√25+❑√(−2) 2+√3−27
11．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：
(1)❑√2−❑√8+❑√32；
(2) ．
(❑√2−2❑√3+1)(1+2❑√3−❑√2)
1 √1
12．（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）计算：❑√48+ ❑√75−3❑ ；
5 3
13．（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：❑√8+2❑√3−(❑√27+❑√2)．
【题型3 二次根式的混合运算】
14．（24-25八年级上·全国·期末）计算．
√1
(1)❑√27+√3−8+❑ −❑√12；
3
❑√2
(2)2❑√3× −❑√48÷❑√3+(2−❑√6)(2+❑√6)．
415．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算：
√1 √1
(1)❑√48÷❑√3−❑ ×❑√14+❑√28 (2)❑√75−6❑ +|2−❑√3)
2 3
16．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算：
(1) ❑√48+❑√3−❑ √1 ×❑√12+❑√24 (2) ❑√81+√3−27+❑ √ ( − 2) 2．
2 3
17．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）解下列各题：
√3
(1)❑√18−❑√12×❑ ； (2)(❑√5−2)(❑√5+2)−(❑√27−2❑√6)÷❑√3．
2
18．（24-25八年级上·全国·期末）计算：
√3
(1)42+10÷(−1)+❑√8+|❑√2−3| (2)❑√27−❑ ×❑√8
2
19．（24-25九年级上·四川内江·期中）计算：
√1
(1)4❑√3−❑√20+❑√5−❑√27 (2)(❑√a+❑√2)(❑√a−❑√2)−❑√a2b⋅❑
b20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）计算：
√1
(1)❑√32−❑√18+❑√2−√38； (2)(❑√12−❑√24)÷❑√6−2❑ ；
2
(3) (π−❑√10) 0 −❑√12+|−2❑√3|+❑√(−3) 2 ；(4) (❑√5−❑√7)(❑√5+❑√7)−(2❑√3+1) 2 ．
【题型4 二次根式的化简求值】
21．（24-25八年级下·全国·期末）设a=−1+❑√5，b=−1−❑√5，求下列各式的值：
b
(1) ；
a
(2)a2−2ab+b2．
√1 √a
22．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：a❑ +❑√4b−❑ +❑√b，其中
a 4
a=8，b=2．
23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：( 2 ) a2+a ，
+1 ÷
a−1 a2−2a+1
其中a=❑√2．
24．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知a=❑√6−2，b=❑√6+2
(1)求ab的值；
(2)求a2+ab+b2的值．a−b a−4❑√ab+4b
25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）先化简，后求值： − ，
❑√a+❑√b 2❑√b−❑√a
1 1
其中a= ,b= ．
2 8
1
（2）已知a= ，求a2−4a+2的值．
2+❑√3
26．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知： ， ．
x =❑√5+1 x =❑√5−1
1 2
(1)求x ⋅x 的值．
1 2
(2)求 的值．
x2+x2
1 2
【题型5 二次根式的实际应用】
27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，
高均为ℎ，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长
方形．
(1)若bc=24,ℎ =❑√3，求甲盒子的侧面积；
(2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为S ，S ，
甲 乙
①S ______S （填“>”“=”“<”）
甲 乙
②说明①的理由．28．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和
18cm2的两个小正方形，
(1)求大正方形的边长；
(2)求留下的阴影部分的面积．
29．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木
板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．
(2)求剩余木料的面积．
30．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：
1
设一个三角形的三边长分别为a，b，c，P= (a+b+c)，则有下列面积公式；
2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c) （海伦公式）． S=❑ √ 1( a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )（秦九韶
4 2公式）．
(1)若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很
快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a=5，b=6，c=7，
1 1
∴p= (a+b+c)= (5+6+7)=______．
2 2
根据海伦公式可得： ______．
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=
(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是❑√5，❑√6，❑√7，
求这个三角形的面积．
31．（23-24八年级下·河南周口·期中）交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行
驶的速度，所依据的经验公式是v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表
示车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得
d=10m，f =1.2．（参考数据：❑√3≈1.73）
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【题型6 分母有理化】
1
32．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知a= ，b=❑√3−2，则有（ ）
❑√3+2
1 1
A．a=b B．a=−b C．a= D．a=−
b b
1
33．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： = ．
2−❑√3
34．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料：1
在解决问题“已知a= ，求3a2−6a−1的值”时，小亮是这样分析与解答的：
❑√2−1
1 ❑√2+1 ， ， ，
∵a= = =❑√2+1 ∴a−1=❑√2 ∴(a−1) 2=2
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
， ， ．
a2−2a+1=2 ∴a2−2a=1 ∴3a2−6a−1=3(a2−2a)−1=3−1=2
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
2
(1)化简： ；
3−❑√7
1
(2)若a= ，求4a2−24a+8的值．
3+2❑√2
1
35．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知a= ，求2a2−8a+1
2+❑√3
的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，
1 2−❑√3 ，
a= = =2−❑√3
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a=2−❑√3，
∴ ， ，
(a−2) 2=3 a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1，
∴ ．
2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
1
(1)若a= ，请将a进行分母有理化；
❑√2−1
(2)在（1）的条件下，求2a3−4a2−1的值．
36．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如
3 2 3 3×❑√5 3❑√5
， 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， = = ，
❑√5 ❑√2−1 ❑√5 ❑√5×❑√5 52 2×(❑√2+1) ，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母
= =2❑√2+2
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
有理化解答下列问题：
2 3
(1)化简： =______； =______；
❑√7 ❑√6+❑√5
(2)矩形的面积为 2+2❑√5，一边长为 ❑√5+2，求这个矩形的周长；
❑√a+❑√b 2❑√b
(3)当a>b>0时，化简： − ．
❑√a−❑√b ❑√a+❑√b
37．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运
3 √2 2
算时，我们有时会碰上如 、❑ 、 一样的式子，其实我们还可以将其进一
❑√5 3 ❑√3+1
步化简：
3 3×❑√5 3
= = ❑√5（Ⅰ）
❑√5 ❑√5×❑√5 5
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = （Ⅱ）
3 3×3 3
2 = 2×(❑√3−1) = 2(❑√3−1) =❑√3−1 （Ⅲ）
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2
还可以用以下方法化简：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1) （Ⅳ）
= = = =❑√3−1
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
(1)请用不同的方法化简
❑√5+❑√3
2
①参照（Ⅲ）式得 = ；
❑√5+❑√3
2
②参照（Ⅳ）式得 = ；
❑√5+❑√3
(2)化简：
