文档内容
第 09 讲 解三角形中的最值及范围问题
（15 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分
【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同
时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
当且仅当 时取等号，其中 叫做正数 ， 的算术平均数，
，
叫做正数 ， 的几何平均数，通常表达为： （积定和最小），应用条件：“一正，
二定，三相等”
基本不等式的推论 重要不等式
（和定积最大）
当且仅当 时取等号
当且仅当 时取等号
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如 ， ，其中 ，
对于 ， 类函数， 叫做振幅，决定函数的值域，值域为
，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角 中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如 。
事实上，由 ，即得。由此对任意锐角
，总有 。
考点一、 面积类最值及范围问题
1．（2024·上海·三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 面积 的最大值．2．（2024·河北·模拟预测）在锐角 中， ， ， 分别是角 的对边， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积 取值范围.
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形 满足 ， 点在 的两侧， ， ，
为正三角形，设 .
(1)当 时，求 ；
(2)当 变化时，求四边形 面积的最大值.
4．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形 中， ， .
(1)求 的值；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.
1．（2024·广东茂名·一模）在 中，内角 的对边分别是 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 是 边的中点，且 ，求 面积的最大值.
2．（2024·江苏·模拟预测）在 中，点 在 边上，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积的最小值.
3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 中， .(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
4．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点D，求 面积的最大值.
5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记
∠BAD=α，∠BCD=β.
(1)求 的值；
(2)若△ABD的面积为 ，△BCD的面积为 ，求 的最大值.
考点二、 周长类最值及范围问题
1．（2024·安徽淮北·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
(1)试判断 的形状；
(2)若 ，求 周长的最大值.2．（2024·四川南充·模拟预测）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
3．（2024·湖南常德·一模）已知 的内角 的对边分别是 ，且 .
(1)判断 的形状；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 周长的最大值.
4．（2024·山西·三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 ．
(1)试判断 的形状；
(2)若 的外接圆半径为2，求 周长的最大值．
1．（2024高三下·全国·专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)设 ，求 周长的最大值．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知向量 满足
， ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在 中，D为BC边的中点，且 ．
(1)若 的面积为 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的周长的最大值．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足
.请回答下列问题:
(1)证明: 为等腰三角形;
(2)若 的外接圆直径为1，试求 周长的取值范围.
5．（2024·云南曲靖·二模）在 中，角 的对边分别为 ，且 .(1)求角 的取值范围；
(2)已知 内切圆的半径等于 ，求 周长的取值范围.
考点三、 边长类最值及范围问题
1．（2024·陕西西安·一模）已知 ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
△
且 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ABC的面积为 ，求c的最小值．
2．（△2024·贵州遵义·一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 为锐角三角形， ，求b的取值范围．
3．（2024·山西晋中·三模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，在边 上（不含端点）存在点 ，使得 ，求 的取值范围．
1．（2024·全国·模拟预测）已知 的三个内角 所对的边分别为 ，满足
．
(1)求角 ．
(2)当 面积的最大值为 时，求 的值．
2．（2024·四川·三模）三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 边上的中线长为2，求 的最小值.3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 的大小．
(2)若 的面积为 ，求 的取值范围．
考点 四 、 边长和差类最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，且 ，求 的最小值．
8．8．2．（2024·上海嘉定·二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
．
(1)求角 ，并计算 的值；
(2)若 ，且 是锐角三角形，求 的最大值．
3．（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
1．（2024·湖北·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b， ，
．
(1)求A；
(2)者 ， ，求 的取值范围．
2．（2024·江西·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，且
．(1)若 ，求 的大小．
(2)若 ，求 的取值范围．
3．（2024·山西吕梁·一模）设 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)设 的角平分线交 于点 ，求 的最小值．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）记 的内角 所对的边分别为 ，已知__________.
在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个填在
上面的横线上，并解答问题.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
考点 五 、 边长积商类最值及范围问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角 的三内角 的对边分别是 ，且
，
(1)求角 的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为 ，求 的取值范围．
2．（2024·宁夏固原·一模）在锐角 中，内角 的对边分别是 ，且
．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足
．
(1)若 ，求 的大小；
(2)求 的取值范围．1．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
3．（2024·山西朔州·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
考点 六 、 中线最值及范围问题
1．（2024·四川·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)设 为边 的中点， ，求线段 长度的最大值.
3．（2024·湖北·模拟预测）在 中，已知 ，D为 的中点.
(1)求A；(2)当 时，求 的最大值.
1．（2024·四川南充·二模）在① ；②
；③ ；这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足______.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
2．（2024·河北·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的最大值.
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 是线段 上靠近点 的三等分点， ，求 的最大值．
考点 七 、 角平分线最值及范围问题
1．（2023·浙江·二模）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，满足
，且 .
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ，
，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，求 的取值范围．1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知 内角 的对边分别为 ，
．
(1)求A；
(2)A的平分线 交 于 点， ，求 的最大值．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角A的大小；
(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求 的最小值．
3．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求证： ；
(2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围．
考点 八 、 高线最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求角 ；
(2)设 是 的高，求 的最大值．
2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若
．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 边上的高的取值范围．1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 在 上单调递增，在 上单
调递减，设 为曲线 的对称中心．
(1)求 ；
(2)记 的角 对应的边分别为 ，若 ，求 边上的高 长的最大值．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角 中，设边 所对的角分别为
，且 ．
(1)求角 的取值范围；
(2)若 ，求 中 边上的高 的取值范围．
3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 中， ， ．
(1)求 ．
(2)求 边上的高的取值范围．
考点 九 、 其他线段类最值及范围问题
1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）在 中，角 的对边分别为
．
(1)求角 ；
(2)若 为边 上一点， ，求 的最大值．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，连接 ，求 的值．
3．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围．
4．（2024·广东广州·三模）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．(1)求A；
(2)若D是边 上一点（不包括端点），且 ，求 的取值范围．
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知在 中， ，
(1)求A；
(2)若点D是边BC上一点， ， ABC的面积为 ，求AD的最小值.
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习△）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
(1)求 的大小；
(2)若 ，D是边AB上的一点，且 ，求线段CD的最大值．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，点F为 的垂心， ，求 的取值范围.
4．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为 ，若 为
边上一点，满足 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
考点 十 、 外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
1．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，且
.
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
2．（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ，求 的最小值．
2．
1．（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径取值范围．
2．（2024·全国·模拟预测）在“① ；② ；③ ”这三
个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在 中，角 所对的边分别为 ，且______．
(1)求角 的大小；
(2)若 表示 内切圆的半径，求 的最大值．
考点 十一 、 角度类最值及范围问题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 ，若 成等比
数列，则角 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东菏泽·二模）已知在 中， 的面积为 ．
(1)求角 的度数；
(2)若 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ．当 取到最小值时，求 的
值．1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果 的三边 、 、 满足 ，则角 的取值范围为
．
2．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形 的三个角对应的边分别为 、 、
(1)求证：存在以 为三边的三角形；
(2)若以 为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形 的最小角．
考点 十二 、 正余弦类最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 所对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
2．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别是 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)求 的最大值．
4．（2023·全国·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ．
(1)求角 的大小；
(2)求 的最小值．
5．（23-24高三上·江苏南京·期中）在 中， 所对的边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．1．（2024·陕西宝鸡·二模） 中， 为 边的中点， .
(1)若 的面积为 ，且 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）在 中，角 所对的边分别为 .若
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
3．（2024·河南·一模） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
73．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ．
(1)判断 的形状，并证明；
(2)求 的最小值．
4．（2024·辽宁·一模）在 中，内角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的最大值．
5．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ， ．(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
考点 十三 、 正切类最值及范围问题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .已知
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 ，求 的最大值.
1．（2024·云南·二模） 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是 与 的等差中项.
(1)若 ，判断 的形状;
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
考点 十四 、 向量类最值及范围问题
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的 ，若 分别是 的对边，且
，则 的取值范围为 ．
2．（23-24高三上·北京·阶段练习）在 中， ．
(1)求C；
(2)若 ，求 的最小值．
3．（2024·湖南邵阳·一模）在 中，内角 满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最大值.1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在 中， ，满足 .
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)点 是线段 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，求 的最小值.
2．（2024·重庆·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 ，求AP的最小值．
考点 十五 、 参数类最值及范围问题
1．（2023·陕西榆林·统考一模） 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围．1．（2023·全国·模拟预测）已知在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围.
2．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ， .
(1)证明： 外接圆的半径为 ；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
1．（2024·陕西宝鸡·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)求角A；
(2)若 的面积为1，求 的最小值.
2．（21-22高二下·山西·期中）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)若 ， ，求 的取值范围．
3．（23-24高三上·河南·期中）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
4．（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知 为锐角三角形，角 的对边分别为 ，
且 .(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
5．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且 的
面积 .
(1)求 ；
(2)求 的最小值.
6．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的半径为 ，求 的面积最大值．
7．（2024·广西·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三
个正三角形的面积依次为 ， ， .已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
8．（2017·安徽淮北·模拟预测）在 中，角A，B，C的对角分别为a，b，c且
．
(1)求 ；
(2)若D为AC边的中点，且 ，求 面积的最大值．
9．（2023·四川绵阳·模拟预测）在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的最小值．
10．（23-24高三上·山东威海·期末）在 中，角 所对的边分别为 记 的面积为 ，
已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最大值.1．（2024·青海·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 ， 的面积为S．周长为L，求 的最大值．
2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，
.
(1)若 ， ，求 的大小；
(2)若 求四边形ABCD面积的最大值.
3．（2024·河南·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)如图所示， 为平面上一点，与 构成一个四边形 ，且 ，若 ，求 的
最大值.
4．（2024·重庆·三模）已知在数列 中， ．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的前 项和 ；
(2)在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求
面积的最大值．
5．（2024·江西·模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c的等比中项．(1)求B的最大值：
(2)若C为钝角，求 的取值范围．
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角 中.内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
7．（2024·广东江门·模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且满足
．
(1)证明： ；
(2)若 为钝角，求 的取值范围．
8．（2024·四川内江·模拟预测）已知 .
(1)求 的单调增区间和对称中心；
(2)在锐角 中，A，B，C的对边分别是 . .求 的值域.
9．（2024·辽宁·二模）在 中， 为 边上一点， ，且 面积是 面积的2倍．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的取值范围．
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， ， .
(1)写出命题p：“已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， ， .若 ，则
是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；
(2)若 外的点D满足 ， ，求 面积的最大值.
一、单选题
1．（四川·高考真题）在 ABC中， ．则 的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．[ ， ） C．（0， ] D．[ ， ）二、双空题
2．（北京·高考真题）若 的面积为 ,且∠C为钝角，则∠B= ； 的取值范围
是 .
三、解答题
3．（全国·高考真题）设锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
4．（全国·统考高考真题） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
5．（江西·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
6．（浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
