文档内容
16.3 二次根式的加减（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过列举实例，引出二次根式的混合计算题，让学生通过观察二次根式的计算类型，归纳总结出二次
根式的加减计算法则，同时在二次根式的混合运算时，需要注意的计算顺序和计算技巧；在对算出的结果
进行总结时需要对其进行化简与合并同类项；
（1）构造典型例题和相关的二次根式混合计算题型，发现二次根式的加减法计算法则和混合计算需
要注意的计算顺序，同时深化理解二次根式中的同类二次根式与最简二次根式的相关概念，如何进行分母
有理化；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
二、【单元知识结构框架】
1．被开方数相同的最简二次根式
2．二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并．
3．二次根式的四则运算
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
4．运用乘法公式和运算律进行计算
在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容重点是二次根式的相关计算题，包含了二次根式的加减计算法则；同时与之前学习的二次根
式的乘除计算，一起构成了我们二次根式的混合计算；掌握二次根式的混合计算，对我们后期的计算有非
常大的帮助，可以加快我们做题的速度；
2.认知障碍
1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；
2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．3．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；
4．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时
教学重点： 会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；熟练进行二次根式的加
减运算，并运用其解决问题；
教学难点： 会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；正确地运用二次根
式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入】
问题1：
小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不
同颜色的地砖，问能否截出？
问题2：如果梯形的上、下底边长分别为2cm，4cm，高为cm，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：(2＋4)×＝(＋2)×＝×＋2×＝＋2＝2＋6(cm2)．
他的做法正确吗？
16.13.1 二次根式的加减
问题1：（被开方数相同的最简二次根式）已知最简二次根式与能够合并同类项，求a＋b的值．
【破解方法】根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或
方程组求解．
【解析】∵最简二次根式与能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋
b＝3＋(－1)＝2.
问题2：（二次根式的加减）计算：－－()2＋|2－|.
【破解方法】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式
进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【解析】原式＝2－－2＋2－＝＝.
问题3：（二次根式的化简求值）先化简，再求值：÷，其中a＝2＋，b＝2－.
【破解方法】化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少
必要的步骤易造成错解．
【解析】原式＝÷＝·＝.当a＝2＋，b＝2－时，原式＝＝＝.
问题4：（二次根式的加减运算在实际生活中的应用）母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号
同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他
想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他
的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(≈1.414，结果保留整数)?
【破解方法】利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
【解析】镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(＋)＝4×(20＋15)＝140≈197.96(cm)．因为1.2m＝
120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细
彩带．
16.3.2 二次根式混合运算
问题5：（二次根式的四则运算）计算：
(1)×9÷；
(2)÷2＋；
(3)－(＋2)÷.
【破解方法】二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．
【解析】(1)原式＝×9×＝×9×＝；
(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5；
(3)原式＝－(＋2)÷＝－＝－1－.
问题6：（利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算）计算：
(1)(＋－)(－＋)；
(2)(－1)2＋2(－)(＋)；
(3)×(－2)．【破解方法】利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合
运算中，整式乘法的运算律同样适用．
【解析】(1)原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝2－(9－2)＝2－9＋6＝－7＋6；
(2)原式＝2－2＋1＋2×(3－2)＝2－2＋1＋2＝3；
(3)原式＝×(－2)＝－×(－2)＝8.
问题 7：（二次根式混合运算的综合运用）对于任意的正数 m、n定义运算※为 m※n＝计算
(3※2)×(8※12)的结果为( )
A．2－4 B．2 C．2 D．20
【破解方法】弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．
【解析】∵3＞2，∴3※2＝－.∵8＜12，∴8※12＝＋＝2(＋)，∴(3※2)×(8※12)＝(－)×2(＋)＝
2.故选B.
问题8：（二次根式运算的拓展应用）请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～
1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的
一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵
(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实
际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理
数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【破解方法】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关
键．
【解析】分别把n＝1、2代入式子化简即可．
解：第1个数，当n＝1时，＝[－]＝×＝1；
第2个数，当n＝2时，＝＝＝×1×＝1.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）下列二次根式：① ，② ，③ ，④ ，其中与
是同类二次根式的是（ ）
A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及同类二次根式的定义，先化为最简二次根式，再观察被开方
数是否相等，若相等，则为同类二次根式，即可作答．
【详解】解：① ，与 是同类二次根式；
② ，与 不是同类二次根式；
③ ，与 不是同类二次根式；
④ ，与 是同类二次根式；
故选：B
2．（2024下·全国·七年级假期作业）计算 的值为（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】C
3．（2023上·上海徐汇·八年级校考期中） 的有理化因式是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不
含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答．
【详解】解：∵，
∴ 的有理化因式是 ，
故答案为： ．
4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 ， ，则 等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的计算，直接代入计算即可作答．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：
（1）先算开方，化简二次根式，再合并计算；
（2）先将括号展开，再合并计算．
【详解】（1）解：
；
（2）．
6．（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）如果 和最简二次根式 是同类二次根式，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式．先将 化为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式是同
类二次根式，列出等式进行求解即可．
【详解】解：∵ 和最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．（2023上·河北秦皇岛·八年级校考阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则
（ ）
A．2 B．3 C．0 D．4
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了同类二
次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴
解得： ，
故选：A．
2．（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次根式的计算，解题的关键是根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二
次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【详解】解：A、原式 ，故错误，不合题意；
B、 与 不能合并，故错误，不合题意；
C、原式 ，故正确，符合题意；
D、原式 ，故错误，不合题意；
故选：C．
3．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）已知 与最简二次根式 是同类二次根式，
则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，熟记“二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式为同类
二次根式”是解题关键．
【详解】解： 与最简二次根式 是同类二次根式，
，
解得： ．
故答案为： ．
4．（2022上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）化简： ；
．
【答案】
【分析】本题考查立方根，分母有理化，利用立方根的定义及分母有理化的步骤即可求得答案．
【详解】解： ，
，故答案为： ； ．
5．（2022下·湖北黄冈·八年级校考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，注意计算的准确性即可．
（1）将二次根式化为最简二次根式后，利用加减混合运算法则即可求解；
（2）利用二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
6．（2023上·湖南娄底·九年级校联考期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式，
将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式；
当 时，
原式 ．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法
法则，计算即可判定，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．
【详解】 、 与 不能合并，错误，不合题意；
、 与 不能合并，错误，不合题意；
、 ，错误，不合题意；
、 ，正确，符合题意；
故选： ．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的加减法，判断 ， ， ，都不符合题意，根据二次根式的乘法法则，判断 选项，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
、 ，本选项不正确，故不符合题意；
、 ，本选项不正确，故不符合题意；
、 ，本选项正确，故符合题意；
、 ，本选项不正确，故不符合题意，
故选： ．
3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）计算 的结果是 .
【答案】
【分析】根据二次根式的性质先化简，再结合二次根式的加减运算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为： ．
4．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式的逆用，先利用平方差公式得到 ，再代入求值即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
5．（2024上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）计算：(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式，熟记运算顺序及运算法则是解题的关键．
（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（3）先利用全平方公式计算，再计算二次根式的乘法，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
6．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： ，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个
的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
(1) 的有理化因式是_______，将 分母有理化得________；
(2)已知 ， ，则 ________；
(3)利用上面所提供的解法．请化简 ；
【答案】(1) ；
(2)10
(3)9
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果．
（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【详解】（1）∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
；
故答案为： ； ；
（2）∵ ， ，∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10；
（3）
．
七、【教学反思】
