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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减（3个知识点+8大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
考查题型一 同类二次根式
考查题型二 二次根式的加减计算
考查题型三 二次根式的混合运算
考查题型四 分母有理化
考查题型五 已知字母的值，化简求值
考查题型六 已知条件式，化简求值
考查题型七 比较二次根式的大小
考查题型八 二次根式的应用
【知识梳理】
知识点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方
数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）考查题型一 同类二次根式
1．（上海市黄浦区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）下列二次根式中，与 是同类二次根式
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的
被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此先化简二次根式，再根据同类二次根式的定
义判断即可．
【详解】解：A、 与 是同类二次根式，符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）己知 与最简二次根式 是同类二次根式，则a的值
为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念，化简二次根式，先化简二次根式得到 ，再根据
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式得到 ，由此可得答案．【详解】解；∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选B．
3．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）若最简二次根式 和 是同类二次根式，则
．
【答案】
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义即可得到关于a的方程，解方程
即可；同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【详解】解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（2024下·全国·八年级假期作业）下列各式：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，
⑦ ，⑧ ，其中化简后可以与 合并的有 ．（填序号）
【答案】③④⑥
5．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）若最简二次根式 与 可以合并，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可．
【详解】解： 最简二次根式 与 可以合并，
与 是同类二次根式，
，．
考查题型二 二次根式的加减计算
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，算术平方根．熟练掌握二次根式的加减运算、乘法
运算，算术平方根是解题的关键．
根据二次根式的加减运算、乘法运算，算术平方根对各选项进行判断作答即可．
【详解】解： ，A错误，故不符合要求；
，B正确，故符合要求；
，C错误，故不符合要求；
，D错误，故不符合要求；
故选：B．
2．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类二次根式，二次根式的性质，根据合并同类二次根式法则，以及二次根式的性
质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项错误；
B、 ，不能合并，选项错误；C、 ，不能合并，选项错误；
D、 ，正确；
故选：D．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键“将二次根式化为最简二次根式”．
【详解】解：
故答案为： ．
4．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）化简
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行分母有理化后即可求解，掌握二次根式的
分母有理化是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
，
．
5．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）化简(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解
题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
考查题型三 二次根式的混合运算
1．（2024上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）估计 的值应该在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式计算后进行估算即可，将原式进行正确的计算是解题的关键．
【详解】
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式的值在6和7之间，
故选：A．
2．（2023上·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则解题即可．
【详解】解： ． ，原计算错误，故本选项不符合题意；
． ，原计算错误．故本选项不符合题意；
． ，原计算正确，故本选项符合题意；
． ，且 与 不成立，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：（1） ；（2）
；（3） ．【答案】 1 4
4．（2024下·全国·八年级假期作业）若 ， ，则 的值是 ．
【答案】7
5．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）计算
(1)①
②
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)① ；②3
(2) ；
【分析】本题主要查了二次根式的混合运算，分式的化简求值：
（1）①先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；②先计算乘法，再计算加减，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，然后把 代入化简后的结果，即可求解．
【详解】（1）解：①
；
②（2）解：
，
当 时，原式 ．
考查题型四 分母有理化
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）下面运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式意义以及性质等知识，根据二次根式意义以及性质逐项判断即可．
【详解】A． 、 无意义，故选项错误；
B． ，故选项错误；
C． ，故选项错误；
D． ，故选项正确．
故选：D．2．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）甲、乙两位同学对式子 分别作了如下变形：
甲： ．
乙： ．
下列关于甲、乙两位同学作的变形过程，说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及分式化简变形，分式的值不变，分子分母同时乘上
或除以一个不为0的数，分式的值不变，据此即可作答．
【详解】解：甲同学，是先将分式分子分母同时乘上 ，然后再通过平方差公式化简，从而达到
分母有理化，
即
乙同学：先把分式的分子通过平方差公式变形为 ，再与分母约分，
分式的值不变，
即
∴甲、乙都正确
故选：A
3．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）分母有理化： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了分母有理化，把分子分母同时乘以 ，再计算求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为： ．
4．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）在一次探究性学习课中，数学老师给出如下运算，请大家观察：
① ；
② ；
③ ；
……
请利用你发现的规律，计算：
，
其结果为： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，先根据规律 化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：根据① ；② ；
③ ；
，
，
故答案为： ．
5．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我
们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简 ．
(1)参照（二）式得 ______；(2)参照（三）式得 ______．
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算：
（1）参照（二）式的方法解答，即可求解；
（2）参照（三）式的方法解答，即可求解；
（3）先进行分母有理化，再计算，即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为：
（2）解： ；
故答案为：
（3）解：
．考查题型五 已知字母的值，化简求值
1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当 时，求 的值，甲乙两
人的解答如下：
甲的解答为：原式 ；
乙的解答为：原式 ，在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次根式运算，先判断 的正负，再根据 化简 ，最后将 代入计
算即可．
【详解】解：当 时， ，
∴
，
∴乙计算正确．
观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确，
故选B．
2．（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
【答案】D【分析】将代数式化简为 ，然后再代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
3．（2022上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）若 ，则
．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．首先对所求的根式进行化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解： ，
当 时，原式 ．
故答案为： ．
4．（2022下·广东佛山·八年级校考期末）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】根据 、 的值，可以求得 、 和 的值，然后将所求式子变形，再将 、 和
的值代入计算即可．
【详解】故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）当 时，求 的值，如图是小亮和小芳的
解答过程：
(1)______的解法是错误的；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)小亮
(2) ，10
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减．
（1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可；
（2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答解．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴原式
，
∴小亮的解答是错误的．
故答案为：小亮；
（2）解： ，
，；
当 时．原式 ．
考查题型六 已知条件式，化简求值
1．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）若 ，则代数式
的值是（ ）．
A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答本题
的关键．对原式配方再根据已知条件代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∴
．
故选：A．
2．（2024下·全国·八年级假期作业）若 ，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B3．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知 ，
那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于 ”，得到 ，则 ，
由此求出 ，据此即可得到答案．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，即 ，
∴ 是负数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出
是解题的关键．
4．（2023下·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）若 ， ，则 的值为
．
【答案】
【分析】先计算出 ， ， 的值，再通分和利用平方差公式化简 ，然后利用整体代入的方法
计算．
【详解】解： ， ，
， ， ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，通过先计算 ， ， 的值，变形所求代数式，从而使计
算变得简便．
5．（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他
是这样分析与解答的：
∵ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ______；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果；
（3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得 ，
故答案为： ．
（2）解：
．
（3）解：由题意得 ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出 的值和正确变形是解此
题的关键．
考查题型七 比较二次根式的大小
1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）若 ，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集为 ，再求出 ，由此即可得到答案．【详解】解：
解不等式 得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，比较二次根式的大小，正确求出不等式组的解集是解题的关
键．
2、（2021上·八年级校考单元测试）2 、 、15三个数的大小关系是（ ）
A．2 ＜15＜ B． ＜15＜2
C．2 ＜ ＜15 D． ＜2 ＜15
【答案】A
【分析】将 分别化成 ，再进行比较即可．
【详解】 且
即
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．
3．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）比较大小： (填“ ”、“ ”或“
”）
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式都平方，然后比较平方后的数的大小即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）比较大小： ．（填“
”、“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出 ， ，即可求解．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
5．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知 ， ．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；
（2）代入 和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
考查题型八 二次根式的应用
1．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中
较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为 ，则较小的正方形面积为
（ ）
A．4 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据
面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到
一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为 ，
∴一个空白长方形面积为 ，
∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
∴大正方形边长为 ，重叠部分边长1，
∴空白部分的长为 ，
设空白部分宽为x，可得： ，解得： ，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长 ，
∴小正方形面积 ，
故选：C．
2、（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影
响，高空抛物的物体所在高度 （单位：m）和下落的时间 （单位：s）近似满足自由落体公式 ，
其中 ，那么从 高空抛物到落地的时间 与从 高空抛物到落地的时间 之比 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 代入原式求得 ，将 代入原式求得 即可解答．
【详解】解：将 代入原式，可得 ，
解得 （负值舍去）；
将 代入原式，可得 ，解得 （负值舍去）；
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次
根式的概念、性质和运算的方法．
3．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为9和25，
则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的面积，再利用“阴影面积
长方形的面积 两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的
关键．
【详解】解： 图中两个正方形的面积分别为9和25，
图中两个正方形的边长分别为： 和 ．
图中长方形的长为 ，宽为5．
图中阴影部分面积为： ．
故答案为：6．
4．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是： ，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示
三边之长，p表示周长之半，即 ．
请你利用公式解答：在 中，己知 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用以及三角形面积公式，直接利用已知计算公式得出p的值，进而利用面积公式计算得出答案．
【详解】解：∵a，b，c分别表示三边之长，p表示周长的一半，即 ，
，
的面积为： ．
故答案为： ．
5．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，从一张面积为 的正方形纸板的四个角上各剪掉一个
面积为 的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子．
(1)原来大正方形的边长为________ ；剪掉的四个小正方形的边长为________ ．（结果用最简二次根
式表示）
(2)分别求这个长方体盒子的底面边长和体积．（结果精确到0.1，参考数据： ， ，
）
【答案】(1)4 ，
(2)这个长方体盒子的底面边长为4.5cm，体积为
【分析】本题考查二次根式的应用．
（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可；
（2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可．
掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
【详解】（1）解：大正方形的边长为 ；剪掉的四个小正方形的边长为 cm．故答案为：4 ， ；
（2）这个长方体盒子的底面边长为 ，
这个长方体盒子的体积为 ．
答：这个长方体盒子的底面边长为4.5cm，体积为 ．
1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）已知 ， ，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及分母有理化、二次根式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握分
母有理化，根据选项运用二次根式加减乘除混合运算逐个验证是解决问题的关键．
【详解】解： ，
A、 ，该选项错误，不符合题意；
B、 ，该选项错误，不符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）已知 ，则 的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平方根等知识．先根据题意得到 ，再根据一个数的平方根与算术平方根的关系即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故选：D
3．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值
是（ ）
A． B．3 C． D．－3
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定 的整数部分x与小数部分y的值是关键．首先根据
的整数部分，确定 的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴
．
故选：B．
4．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）若 ，则a的值所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，
，由
，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化
简．
5．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为 ， ， ，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把 分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵ ， ， 不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
6．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）比较大小： ； ．
【答案】 ； ．
【分析】（ ）根据两个负数的大小比较方法即可；
（ ）根据实数的大小比较方法即可；
本题考查了两个负数的大小比较方法和实数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数
反而小比较两个负数的大小关系及作商法比较两个数的大小，解题的关键是熟练掌握两个数比较大小的方
法．
【详解】（ ）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
（ ）∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对 分母有理化得到 ，再把
即可求解，正确求出 ，再把所求式子变成 是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
8．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 是实数，且满足 ．
（1） ；
（2） ．【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的加减，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零、
二次根式的加减的运算法则是解此题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件得出 ， ，从而得出 ，即可得解；
（2）将 代入式子，求出 的值，再将 的值代入计算即可．
【详解】解：（1）由题意得： ， ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）由（1）得： ，
，
，
故答案为： ．
9．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，正方形 和 的边长分别为 ，
点 、 分别在边 、 上，若 ， ，则图中阴影部分图形的面积的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用图形和 、 还有 之间的关系，求出
x，y，用面积公式计算即可．解题的关键是正确掌握 、 还有 之间的关系．
【详解】解：∵正方形 和 的边长分别为 ，且 ，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解方程组得 ，
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
10．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）阅读下列材料：我们知道 ，因此将
的分子分母同时乘以 ，分母就变成了4，即 ，从而
可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：
若 ，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，代数式的求值，解题的关键是首先对 这个式子进行分母有理
化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可．【详解】解： ，
，
，
，
原式 ．
故答案为： ．
11．（2024上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，二次根式的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题
的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的四则混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解；原式
；
（2）解：原式．
12．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ，
.
【答案】 ；
【分析】本题主要考查分式的化简求值，把除法转化为乘法，约分化简，再代入求值．
【详解】解：
；
把 ， 代入上式得，
原式 ．
13．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）先阅读，后解答： ，
．像上述解题过程中， 与 相乘、 与
相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分
母有理化．
(1) 的有理化因式是________； 的有理化因式是________．(2)计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理化因式的定义求解即可；
（2）先分母有理化，再算加减即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ．
故答案为： ； ；
（2）
14．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动．
【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如 这样的式子，其分母中含有无理数．
【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简．
【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式 和来解决．
【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简：
．
另一部分同学认为还可以如下方法化简：
．
以上这两种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)选择合适的方法化简： （n为正整数）；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）利用第一种方法即可求解；
（ ）把 提出来，利用第一种方法分母有理化，再进行运算即可求解；
本题考查了分母有理化，二次根式的加法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ，
，
，
，
．15．（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将 化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简： ．
【变式探究】（3）若 ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，
（1）将7看成是 ，则 ，由此求解即可；
（2）将11看成是 ，则 ，由此求解即可；
（3）根据 ，可以得到 ，或 ，
再根据a，m，n均为正整数，则 ， 或 ， ，由此求解即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
∵a，m，n均为正整数，
∴ ，
∴ 或 ．
