文档内容
专题16.12 二次根式的加减（直通中考）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东临沂·统考中考真题）设 ，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知 ，则与 最接近的整数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
6．（2021·江苏泰州·统考中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
7．（2021·内蒙古·统考中考真题）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．8．（2021·湖北恩施·统考中考真题）从 ， ， 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于
2的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2021·河北·统考中考真题）若 取1.442，计算 的结果是（ ）
A．-100 B．-144．2
C．144.2 D．-0.01442
10．（2020·湖北宜昌·中考真题）对于无理数 ，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算
结果能成为有理数的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）计算： ．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）计算 的结果是 ．
13．（2018·山东烟台·统考中考真题） 与最简二次根式5 是同类二次根式，则a= ．
14．（2023·天津·统考中考真题）计算 的结果为 ．
15．（2020·甘肃武威·统考中考真题）已知 ，当分别取1，2，3，……，2020时，
所对应 值的总和是 ．
16．（2021·湖南怀化·统考中考真题）比较大小： （填写“＞”或“＜”或
“＝”）．
17．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数 ，2， ， ，…， ，按下列方式进行排列：，2， ， ；
， ， ，4；
…
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为 ．
18．（2016·湖北黄石·中考真题）观察下列等式：
第1个等式： ，第2个等式 ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第 个等式： ；
（2） .
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·四川·统考中考真题）计算： ．
20．（8分）（2023·四川·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
， ．
21．（10分）（2023·内蒙古·统考中考真题）先化简，再求值： ，
其中 ， ．22．（10分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
23．（10分）（2014·江苏镇江·统考中考真题）读取表格中的信息，解决问题.
… … … …
求满足 的n可以取得的最小整数．
24．（12分）（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式
子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．
∴ ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝
，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝（ ＋ ）2；
（3）若 ，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
解：A、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 ，与 是同类二次根式，符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最
简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分
母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、 ，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
故选：C
【点拨】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
解： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．4．B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
解：
∵ ，
∴ ,
∴与 最接近的整数为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关
键．
5．B
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
解：
故选：B．
【点拨】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
6．D
【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
解：A、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
C、 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 ， ， 与3 是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次
根式．7．C
【分析】先将代数式 变形为 ，再代入即可求解．
解： ．
故选：C
【点拨】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
8．C
【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
解：由题意得：
，
∴所有积中小于2的有 两个；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
9．B
【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．
解：
故选B．
【点拨】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．
10．D
【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
解：A． 不能再计算了，是无理数，不符合题意；
B． ，是无理数，不符合题意；
C． ，是无理数，不符合题意；D． ，是有理数，正确．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．
11．1
【分析】先化简二次根式，再计算减法．
解： ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
12．
【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
13．2
【分析】先将 化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，
解出即可．
解：∵ 与最简二次根式5 是同类二次根式，且 =2 ，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫
做同类二次根式．
14．1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
解：
故答案为：1【点拨】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15．
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
解：
当 时，
当 时，
则所求的总和为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关
键．
16．＞
【分析】直接用 ，结果大于0，则 大；结果小于0，则 大．
解： ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点拨】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确
理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．
17．
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
解：数字可以化成：
， ， ， ；
， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵ ，28是第14个偶数，而
∴ 的位置记为
故答案为：
【点拨】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
18．
解：（1）观察上面四个式子可得 ；（2）根据所得的规律可得
+ + + +......+ = .
考点：规律探究题.
19．4
【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.
解：
.
【点拨】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的
关键.
20． ；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将
字母的值代入求解．
解：，
当 ， 时，
原式 ．
【点拨】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求
解．
21． ，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
解：原式
．
当 ， 时
原式 ．
【点拨】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方
差公式进行简便运算是解题的关键．
22．
【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入
即可求解．
解：原式 ，
，，
，
当 时，
原式 ，
．
【点拨】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．
23．7
【分析】根据表格中的数据线分别计算 、 、 ，从而找到规律
，然后代入所求的式子，化简整理可得 ，再估算出 ，进
而求解.
解：由 ，
，
，
…
依此类推可得： .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴∵ ，
∴n最小整数是7．
【点拨】本题考查了探索规律（数字的变化类）、二次根式化简以及不等式的应用等知识，正确找到
规律、准确计算是解题的关键．
24．（1） ， ；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】根据题意进行探索即可.
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2（答案不唯一）．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
【点拨】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.
