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专题16.2 二次根式（分层练习）
一、单选题
1．（2023下·浙江丽水·八年级期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·广东汕头·七年级校考期末）已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
3．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·江苏·八年级专题练习）已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．7或1 B． 或 C．7或 D．1或
5．（2022上·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若 ，则 化简后的结
果是（ ）
A．xy B． C． D．
6．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）使式子 有意义的实数 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
7．（2022下·八年级单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）化简 的结果是（ ）A． B． C． D．
9．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）化简结果为 的式子为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知 是 的小数部分，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河北保定·八年级校联考期中）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）使等式 成立的x的取值范围在数轴上
可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）已知 满足 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．0
15．（2023下·湖北黄石·八年级统考阶段练习）已知x是实数，且 ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D． 或 或二、填空题
16．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）已知 ，则
．
17．（2023下·广东江门·八年级校考期中）式子 的意义是 ．
18．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末） 在实数范围内有意义，则a的取值范围是
19．（2023上·海南·九年级期末）已知 ，化简： ．
20．（2020上·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）化简 ＝
21．（2023下·湖南永州·八年级校考期末）若 有意义，则实数 的取值范围是 ．
22．（2023下·七年级课时练习）已知 为有理数，求 的值为 ．
23．（2023上·湖南长沙·八年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）已知
，则 的值为 ．
24．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习） 的算术平方根是 ； ；
；
25．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）已知 有意义，则：
．
26．（2023上·湖北·九年级校考周测）化简： ； ．27．（2023·全国·九年级专题练习）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是
AD上的动点，E是AB边上一点，且AE=2，则线段EF+CF的最小值为 ．
28．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）若关于 的二次根式 有
意义，且 为整数，若关于 的分式方程 的解为正数，则满足条件的所有 的值的积为
29．（2023上·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知
三点，其中m，n满足关系式 ．若在第二象限内有一点
，使四边形 的面积与三角形 的面积之比为 ，则点P的坐标为 ．
30．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知 ， 在数轴上的位置如图所示，则
的化简的结果为 ．
三、解答题
31．（2021下·八年级课时练习）当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．32．（2019下·八年级课时练习）已知二次根式 .
（1）求x的取值范围；
（2）求当x=-2时，二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为零，求x的值.
33．（2021上·湖南怀化·八年级统考期末）已知 +2 =b+8．
（1）求a、b的值； （2）求a2-b2的平方根．
34．（2022上·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：（1）
（2） ．
35．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通
过以下方法求代数式 的最小值．
，且 ，当 时， 有最小值 ．
请根据上述方法， 解答下列问题：
（1）若 ，则 的值是___________．
（2）求证：无论 取何值 都有意义；
（3）若代数式 的最小值为2，求 的值
36．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）已知：a、b、c满足 ．
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角
形，请说明理由．参考答案：
1．D
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如 的式子叫二次根式进行判断．
解： ． 是二次根式，故本选项不符合题意；
B． 是二次根式，故本选项不符合题意；
C． 是二次根式，故本选项不符合题意；
D． 中 ，不是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据 是整数对m的值进行分析讨论．
解：由题意得： ，解得 ，
又因为 是整数，
∴ 是完全平方数，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等
于0的整数是解答本题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0
是解题的关键．
解：∵二次根式 有意义，∴ ，
∴ ，
故选B．
4．A
解：本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简得
，据此代值计算即可得到答案．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
故选：A．
5．D
【分析】根据 ， 有意义可得 ，进而即可求解．
解：∵ ， 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出 是解题的关
键．
6．A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的
条件以及结合分式有意义的条件得出答案．解：使式子 有意义，
则 ，且 ，
解得： ．
故选：A．
7．B
【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程．
解：由题意是正整数所以 ，且n为整数，
∴ ，解得 ，
∴实数n最大值取 ，
故选：B
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意可判断 ，得出 是解
题关键．
解：由题意得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D
9．B
【分析】本题考查了二次根式的性质；根据二次根式的性质化简即可求解．
解：A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；C. ，故该选项不符合题意；
D. 无意义，故该选项不符合题意；
故选：B
10．C
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的概念．
根据二次根式的定义：形如 的式子逐项判断即可．
解：A、被开方数 ，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；
B、 为三次根式，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；
C、 中，条件 ，是二次根式，故本选项符合题意；
D、 ， 不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意．
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和 ．首先根据题意可得
，再根据完全平方公式可得 ，再代入求值即可．
解： 是 的小数部分，
，
．
故选： ．
12．C
【分析】根据二次根式运算法则验证算式的正误即可，掌握二次根式运算法则是解题的关键．解：A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． ，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选：C．
13．B
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．
解：由题意可知： ,
解得： ,
故选： ．
【点拨】题目主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
14．B
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得 ，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
解：由题意得： ，
，
，
，
即 ，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的
被开方数的非负性是解题关键．
15．B【分析】根据二次根式有意义的条件可知 ，即 ，再由 可得x的值，
然后代入计算即可．
解：∵ ，
∴ 且 ，解得： ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解
题的关键．
16．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及负整数指数幂的计算，根据二次根式有意义的条件得
出 是解题关键．
解：由题意得： ，
∴ ，
即：
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．a的算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案．
解：式子 的意义是a的算术平方根，
故答案为：a的算术平方根．
【点拨】本题考查了算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫
做 的算术平方根， 的算术平方根记 ；熟练掌握算术平方根定义是解题关键．
18． 且
【分析】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数，分母不为0，据此即可作答．解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ 且
故答案为： 且
19．8
【分析】本题主要考查二次根式和绝对值的化简，根据二次根式的性质，绝对值的意义化简即可；
解：∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：8．
20．
【分析】将原式化为 ，再利用二次根式的性质化简即可．
解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．21． 且
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为
0”以及二次根式有意义的条件“被开方数不小于0”列不等式组，求解即可．
解：由题意得， ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
22．5
【解析】略
23．
【分析】本题考查解无理方程，利用平方法解方程即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
24． /
【分析】本题考查了对算术平方根和立方根的定义的应用．根据算术平方根和立方根的定义以及绝对
值的性质求出即可．解： ，8的算术平方根是 ；
；
，
故答案为： ， ， ．
25．
【分析】此题主要考查了二次根式有意义及化简，根据 有意义，判断 的取值，再化简
即可．
解： 有意义，
，
，
．
26． / /
【分析】本题利用了二次根式的的性质化简二次根式、完全平方公式，先把最里边的根号里的数化成
完全平方的形式，再用二次根式的性质化简即可．
解： ，
．
故答案为： ； ．
27．2
解：由题意可知当E，F，C在一条直线上时，线段EF+CF的值最小．∵AE=2，AB=4，
∴E为AB的中点．由等边三角形“三线合一”可得CE⊥AB，∴CE= =2 ，
∴线段EF+CF的最小值为2 ．
28．
【分析】根据二次根式 有意义的可得 ，再根据分式的解 为正数，可得 ，
确定 的取值范围，当 时的情形除外，求得所有正数解 ，再求其积即可
解： 二次根式 有意义．
，
，
去分母得， ，
解得 ,
,
,
,
,
∴ ,
综上可知， 且 ，m为整数，
，其和为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以
上知识．
29．【分析】由 ，可得 ，解得 ，即 ，
， ， ， ，由面积比可得， ，计
算求解即可．
解： ，
，
解得 ，
，即 ，
，
，
四边形 的面积与三角形 的面积之比为 ，
，解得 ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，利用平方根的含义解方程，分式有意义的条件，坐标
与图形，掌握相关知识是解题的关键．
30．
【分析】本题主要考查数轴上点表示的数以及大小关系、二次根式的性质与化简，根据数轴上点表示
的数的大小关系，得 ， ，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、二次根式的性质是解题
的关键．
解：根据数轴可知： ， ，
则原式 ，
，，
，
故答案为： ．
31．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）直接利用二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，求出即可；
（2）直接利用二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，求出即可．
解：（1）∵ 在实数范围内有意义，
∴a−1≥0，
解得：a≥1；
（2）∵ 在实数范围内有意义，
∴2a＋3≥0，
解得： ．
（3）∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ．
（4）∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件， 利用（a≥0）得出是解题关键．
32．（1）x≤6 （2）2 （3）x=6
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可求解；
（2）直接把x= -2代入，进而求出答案；
（3）由0的算术平方根是0可得， =0，解方程即可求x的值.
解：（1）根据二次根式有意义的条件可得，
解得x ，
∴x的取值范围是：x ；
（2）当x= -2时，二次根式 = = =2；
（3）由题意可得
=0，
解得x=6 .
故答案为（1）x≤6 （2）2 （3）x=6 .
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简.
33．（1）a=17，b=－8；（2）±15．
【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值，从而得出b的值；
（2）根据（1）的结果即可求得a2-b2的值，然后利用平方根的定义求解．
解：（1） 有意义，
（2）由（1）知，a=17，b=－8，
，
a2-b2的平方根为±15．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根，解题的关键是熟练掌握概念．
34．（1） ；（2）
【分析】（1）被开方数 ，据此即可开方；
（2）首先化简 ，然后代入原式利用相同的方法化简即可．（1）解：原式
；
（2）
则原式
【点拨】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．
35．（1） ；（2）证明过程见解答；（3） 的值为
【分析】本题考查了完全平方公式的应用；
（1）把右边化简，求出 和 的值，进而可求出 的值；
（2）把被开方数配方，即可证明结论成立；
（3）把所给代数式配方，根据代数式 的最小值为 ，得出关于 的方程，然后解方程即可．
（1）解：
故答案为： ；
（2）证明：
无论 取何值， 的值都是正数，
无论 取何值，二次根式 都有意义；
（3）原式 ，
，，
，
．
36．（1） ， ， ；（2）以a、b、c为边能构成三角形，三角形的形状是等腰三角
形
【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据等
腰三角形的概念求解即可．
解：（1）∵
∴ ， ，
∴ ， ， ；
（2）∵ ，
∴ ，即
∴
∴以a、b、c为边能构成三角形，
∵
∴三角形的形状是等腰三角形．
【点拨】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，等腰三角形的概念，
解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．
