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第16 章 二次根式（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是 的选项是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则 的结果是（ ）
A． B． C．b D．
4．李老师设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数，乘以 后再减去 ，输出
结果．若小刚按程序输入2，则输出的结果应为（ ）
A．2 B． C．﹣ D．3
5．若 ，则化简 （ ）
A．m B．-m C．n D．-n
6．若 ，则a的值所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点P，Q对应的数分别为p，q，则下列说法正确的是（ ）
A．点P向右平移3个单位长度与点Q重合 B．
C． 的相反数的整数部分为2 D．8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知x是实数，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D． 或 或
10．下列说法中，正确的是（ ）
A． 与 互为倒数
B．若 则
C．若 与 是同类二次根式，则 与3不一定相等
D．若 ，则
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若 与 都是二次根式，那么 ．
12．比较大小，① ；② ．
13．已知 ，则 ．
14．从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式 里面的“□”与
“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
15．若两个代数式 与 满足 ，则称这两个代数式为“互为友好因式”，
则 的“互为友好因式”是 ．16．根式 的值是 ．
17．[输入x]→[平方]→[减去 ]→[输出A]
（1）把多项式A分解因式为 ；
（2）当 时，多项式A的值为 ．
18．人们把 叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄
金分割数， ，若 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算
(1) (2) ；
20．（8分）数学的学习要讲究“灵活”，灵活表现在活用公式，表现在洞察数学内
部结构及特征，表现在思维的简捷与优美．以下两题，特别是第（2）题，很少见，请
挑战以下自己，相信你会秒杀本题．
（1）计算： ． （2）计算： ．21．（10分）已知三个实数： ， ， ．
（1）计算： + － ．
（2）在算式“ + □ ”中，□表示“×”、“÷”中的某个运算符号，请通过计算
说明当□表示哪种运算符号时，算式的结果较大．
22．（10分）嘉琪同学计算： ，部分解题步骤如下．
解： ．
（1）在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质 B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则 D．通分
（2）算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
23．（10分）
如图1，从一个大正方形纸板中截去面积分别为8，32的两个小正方形．
（1）求留下的部分（阴影部分）的面积；（2）如图2，用余下部分的长方形纸板A，在它的四个角各切去一个同样的正方形，
然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长
方形，高为a，求盒子的底面积；
（3）用余下部分的长方形纸板B，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四
周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而
且长与宽的比是 ，求这个盒子的容积．
24．（12分）
综合与探究
如图，在数轴上，点 ， ， 所表示的数分别为0，1， ，点 到点 的距离与点
到点 的距离相等，设点 在数轴上表示的数为 （点 在点 的左边）．
（1）求 的值．
（2）在数轴上有两点 ， 表示的数为 ， ，且 ，求
的平方根．
（3）现将点 向左移动5个单位长度得到点 ，设点 表示的数为 ，在数轴上是否
存在一点 所表示的数 ，使得 ．若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放
式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不
为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. 中， 的取值范围是 ，故此项不符合题意；
B. 中， 的取值范围是 ，故此项符合题意；
C. 中， 的取值范围是 ，且 ，故此项不符合题意；
D. 中， 的取值范围是 ，故此项不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握最简二次根式的被开方数的
因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是解题的关键．
根据最简二次根式的定义进行判断作答即可．
【详解】解： 是最简二次根式，故A符合要求；
，不是最简二次根式，故B不符合要求；
，不是最简二次根式，故C不符合要求；
，不是最简二次根式，故D不符合要求；
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，实数的性质等，首先由数轴可得 ，然后利
用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案．【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
4．B
【分析】首先用小刚按程序输入的数乘 ，求出积是多少；然后用所得的积减去 ，求出输出的结果应
为多少即可．
【详解】解： ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的加减法，解答此题的关键是要弄清楚先求什么，再求什么．
5．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
6．D
【分析】由题意知，，由
，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化
简．
7．C
【分析】由图可知 ，进而根据平移、绝对值以及化简二次根式即可得解．
【详解】解：由图可知 ，
∴ ，即点P向右平移3个单位长度不与点Q重合，故A错误；
，
∴ ，故B错误；
∵ ，
∴ ，∴ ，即 的相反数的整数部分为2，故C正确；
∵ ，
∴ ，故D错误．
故选C．
【点拨】本题考查了数轴、平移、绝对值以及化简二次根式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
8．C
【分析】根据绝对值、二次根式的性质化简、负指数幂、去括号合并同类项计算即可．
【详解】当 时， 不成立；当 时， ，
，故该选项错误；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项正确；
D、 ，故该选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查绝对值、二次根式的性质化简、负指数幂、去括号合并同类项，熟记运算法则是关键．
9．B
【分析】根据二次根式有意义的条件可知 ，即 ，再由 可得x的值，然后
代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，解得： ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的
关键．
10．C【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【详解】A. ，不是互为倒数，选项错误；
B.若 ，由于 ，则 ，选项错误；
C.若 与 是同类二次根式，则 与3不一定相等，选项正确；
D.由 可得 ，结合 可得 ， ，则 ，选项错误；
故选：C
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．
11．0
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ 与 都是二次根式，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12． < <
【分析】①对于根式的大小比较，可以两边同时平方，比较平方后的大小即可解决问题；
②两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】解：①左边 ，平方后得到数为：12，
右边 ，平方后得到数为：13，
，
；②左边求倒数为 ，
右边求倒数为 ，
，
．
故答案为：①<；②<．
【点拨】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③
局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对 分母有理化得到 ，再把
即可求解，正确求出 ，再把所求式子变成 是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
14． （或 或 ，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择 和 ，
则．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
15． /
【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．
【详解】解：由题意可得： 的“互为友好因式”为：
，故答案为： ．
【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方
法．
16．16
【分析】本题考查了二次根式的化简，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，将原式的分子 变形为
，即为 ， 变形为 ，即为 ，同理将原式的分母中的两项也变形，变形后分子分母分别提
取公因式后约分，最后开方即可得到结果．
【详解】解：
．
故答案为：16．
17． 4
【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；
（2）把 代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意得 ；
故答案为： ；（2）当 时，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值．
18． /
【分析】根据 ，依次求出 即可解答．
【详解】解：根据 ，可得 ， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．
19．(1)17
(2)
【分析】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：
最后结果必须化成最简二次根式．
【详解】（1）（2）
20．(1)
(2)1
【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；
（2）将被开方数变形为完全平方数，求出算术平方根，再算乘法．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式性质与二次根式的运算法则．
21．(1)
(2)当□表示“÷”时，算式的结果要大，理由见解析【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）把乘与除分别代入计算后，再比较大小可得答案．
【详解】（1）解： + －
=
= ；
（2）当□表示“×”时， + =
当□表示“÷”时， + =
∴当□表示“÷”时，算式的结果要大．
【点拨】本题考查二次根式的加减及二次根式的混合运算，解题关键是掌握二次根式的相关运算法则．
22．(1)BD
(2)
【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；
（2）直接利用乘法分配律把 变形为 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：观察可知把 变为 用到了二次根式的化简，然后把 变为 用到
了通分，
故答案为：BD；
（2）解：．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的
关键．
23．(1)32
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式是解答关
键．
（1）先求得两个小正方形的边长，进而利用长方形的面积公式求解即可；
（2）利用长方形纸板的面积减去四个小正方形的面积即可求得底面积；
（3）设底面长方形的宽为x，长为3x，利用长方体的容积等于长×宽×高求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴留下的部分的面积为 ；
（2）解：由题意，
盒子的底面积为 ；
（3）解：设底面长方形的宽为x，长为3x，
由题意，得 ，∴ ，
∴无盖的长方体盒子的高为 ，
∴无盖的长方体盒子的容积为 ．
24．(1)(2)
(3)存在点 ， 的值为 或
【分析】（1）先求解 ， ，结合条件可得 ，再化简绝对值即可；
（2）根据非负数的性质先求解 ， ，再计算 ，最后求解平方根即可；
（3）先表示点 表示的数 ，求解 ，分两种情况：①当点 在点 的左边时，
，②当点 在点 的右边时， ，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知， ．
∵点 在点 的左边，∴ ．
∵点 到点 的距离与点 到点 的距离相等，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等，∴ ，
∴
（2）∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
∴ 的平方根为 ．
（3）存在 的值为 或 ．
理由：根据题意可知，点 表示的数 ，
∴ ．
分两种情况：①当点 在点 的左边时， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
②当点 在点 的右边时， ．
∵ ，
∴
∴ ，解得 ，
∴存在点 ， 的值为 或 ．
【点拨】本题考查的是数轴上两点之间的距离，平方根的含义，二次根式的加减运算，绝对值的化简，理
解题意，熟练的化简绝对值，利用两点间的距离公式建立方程求解是解本题的关键．
