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人教版 2024 七年级数学上册
第六章几何图形初步单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，
则xy的值为（ ）
A．−15 B．10 C．−10 D．−5
2．如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，
1 1 1
则下列说法：①MN=HC；②MH= （AH﹣HB）；③MN= （AC+HB）；④HN=
2 2 2
（HC+HB），其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
3．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原
树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线 D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离4．如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，点N是线段CB的中点，MN=1，
AB=4CM，AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．一艘轮船行驶在点A处时，测得海岛B在轮船的北偏东75°方向，则此时轮船在海岛B
的（ ）
A．北偏东75°方向 B．北偏东15°方向
C．南偏西75°方向 D．南偏西15°方向
6．下列说法正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA表示同一条射线
B．已知A，B，C三个点，若过其中任意两点作直线，则直线共有3条
C．若线段AP=BP，则P是线段AB的中点
D．延长线段AB和反向延长线段BA的含义相同
7．如图，两个直角∠AOB，∠COD有公共顶点O，下列结 论：
①∠AOC=∠BOD；
②∠AOD是∠BOC的补角；
③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；
④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a，c异号，(a+b)为负数，则（ ）
A．(b+c)为负数 B．|b|比|c|小 C．|a|比|b|大 D．abc为负数
9．下列说法：①射线AB与射线BA是同一条射线；②如图所示的四条射线中，表示北偏东60°的是射线OA；
③若a小于b，那么a的倒数大于b的倒数；
1 1
④多项式x2−3kxy−3 y2+ xy−8合并同类项后不含xy项，则k的值是 ．其中正确的个
2 6
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
10．已知线段AB，延长AB至C，使AB＝mBC，反向延长AB至D，使AD＝ BD，若
3
AB：CD＝6：13，则m的值为（ ）
6 4 3 5
A． B． C． D．
5 3 2 3
二、填空题
11．若一个角的大小为46°35'，则这个角的补角的大小为 .
12．如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE
平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分
1
∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为 (∠AOE−∠BOE)．其中正确的是
2
．（只填序号）
13．已知∠α=60°34'，则∠α的余角的度数等于 ．
14．如图是一个正方体表面展开图，这个正方体六个面上各有一个数字，且相对的两个面
上的数字互为相反数，那么xy−a= ．
1
15．如果∠α的余角比它的补角的 大15°，那么∠α= ．
416．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF．将∠BEF对折，
点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，
得折痕EN，若∠MEB=60°，则∠NEA= ．
三、解答题
17．如图，直线l 、l 交于点A，点B在直线l 上.按要求完成下列问题：
1 2 1
(1)在图1中作射线DB；
(2)在图1中作直线BC；
(3)在图1中作线段CD，与直线l 交于点E；
1
(4)如图2，两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7
部分，那么5条直线相交，最多可将平面分成_____部分．
18．如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
(1)若AB=10cm，求线段MN的长；
(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．19．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足
|a+2|+(b+3a) 2=0．
(1)求出点A与点B之间的距离；
(2)若在数轴上存在一点C，且点A到点C的距离是点B到点C的距离的2倍，求点C所表
示的数；
(3)现有动点P从点B以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点P运动到点O时，点
Q从点A以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点P运动的时间为t秒，当t为何值
时，点P与点Q相距1个单位长度？
20．O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，
(1)在图1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数；(用含α的代数式表示)
(2)将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，
①探究∠AOC与∠DOE的度数关系，写出你得结论，并说明理由；
1
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足2∠AOF+∠BOE = (∠AOC−∠AOF)，
3
试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．21．如图，点O是直线AB上一点，∠AOE＝130°，∠EOF＝90°，OP平分∠AOE，OQ平
分∠BOF，求∠POQ的度数．
22．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是
8x yb−10+(a+8)xy−1关于x、y的三次二项式．解答下列问题：
(1)a=________，b=________；
(2)若数轴上有一点C，且3AC=BC，求点C对应的数；
(3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，
点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点.设运动时间为
t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及
PQ+MN的长度．23．【问题背景】
若∠AOB=130°，OD在∠AOB内部，∠COD=80°，OM，ON分别平分∠AOB和
∠COD．
(1)如图1，当OA，OC重合时，则∠MON= °；
【问题一般化】
(2)如图2，在（1）的情形下，如果将∠COD绕点O点顺时针能转n（0°<n<155°），求
∠MON的度数（用含n的式子表示）；
【问题拓展化】
(3)如图3，在（1）的情形下，若∠AOB和∠COD的边OA、OD的位置不变．将OC绕着
O点，以每秒12°的速度沿顺时针方向旋转，同时将OB绕着O点，以每秒15°的速度沿逆
时针方向旋转，设旋转时间为t，当t为何值时，∠MON=90°，请直接写出两个t的值．24．已知两点A、B在数轴上，AB=12，点A表示的数是a，且a与(−1) 2023互为相反数．
(1)写出点B表示的数；
(2)如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相
向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到达点5时，
运动停止．在整个运动过程中，当PQ=3时，求点P、Q所表示的数；
(3)如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运
动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P
立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动
8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当|OM−ON|=3时，求动点P、Q运
动的速度．参考答案：
1．C
【分析】先根据正方体的表面展开图，找出相对的面，然后根据正方体中相对的面上的数
字或代数式互为相反数，列出方程求出x、y的值，即可得出xy的值．
【详解】由正方体的表面展开图，可知：
2x−1
2与−2相对，−3与 相对，(y+2) 2与|x−5|相对，
3
∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，
2x−1
∴−3+ =0，(y+2) 2+|x−5|=0．
3
解得：x=5，y=−2．
∴xy=5×(−2)=−10．
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图及相反数的概念，准确找出正方体中相对的
面上的数字或代数式，再根据相反数的概念列出方程是解题的关键．
2．B
【分析】根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断．
【详解】解：∵H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，
1 1 1
∴AH=CH= AC，AM=BM= AB，BN=CN= BC，
2 2 2
1 1
∴MN=MB+BN= （AB+BC）= AC，
2 2
∴MN=HC，①正确；
1 1
（AH﹣HB）= （AB﹣BH﹣BH）=MB﹣HB=MH，②正确；
2 2
1
MN= AC，③错误；
2
1 1
（HC+HB）= （BC+HB+HB）=BN+HB=HN，④正确，
2 2
故选B．
3．A
【分析】根据两点之间线段最短的性质解答．
【详解】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树
叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：A．
【点睛】此题考查了实际生活中两点之间线段最短的应用，正确理解图形的特点与线段的
性质结合是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了线段中点的性质、线段的和差、一元一次方程的应用等知识点，
掌握数形结合思想是解题的关键．
1 1
根据线段中点的性质可得MB= AB,NM=CN= BC，再根据MN=1求得AC=2、再
2 2
根据AB=4CM变形得到关于AB的方程求解即可．
【详解】解：点M是线段AB的中点，点N是线段CB的中点，
1 1
∴AM=MB= AB,BN=CN= BC．
2 2
∵MN=1，
1 1 1 1
∴MN=AM−BN= AB− BC= (AB−BC)= AC=1，即AC=2，
2 2 2 2
∵AB=4CM，
(1 )
∴AB=4(AM−2)=4 AB−2 ，AB=2AB−8，解得AB=8．
2
故选C．
5．C
【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，理解和掌握方位角的识别是解决本题的关键．
根据方位角即可判定．
【详解】解：根据海岛B在轮船的北偏东75°方向，可知轮船在海岛B的南偏西75°方向，
故选：C．
6．D【分析】本题考查射线定义，直线定义，线段定义，反向延长线定义．根据题意逐一对选
项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A、∵射线表示从一个端点出发另一端无限延长的线，
∴射线AB和射线BA不表示同一条射线，
故A选项不正确；
∵已知A，B，C三个点，若过其中任意两点作直线，
B、∴可做出直线AB,AC,BA,BC,CB,CA，即6条，
故B选项不正确；
C、∵若线段AP=BP，点P可以在线段AB的中点处，也可不在线段上，
故C选项不正确；
D、∵延长线段AB和反向延长线段BA的含义相同，
故D选项正确．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查角度计算，补角定义，角平分线定义等．根据题意逐一对序号进行分析
即可得到本题答案．
【详解】解：∵两个直角∠AOB，∠COD有公共顶点O，
∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOB−∠COB=∠COD−∠COB，
∴∠AOC=∠BOD，
故①正确；
∵∠BOC+∠DOB=90°，∠AOC=∠BOD，
∴∠BOC+∠DOB+∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD是∠BOC的补角，
故②正确；
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∴∠BOD=45°，
∴OB平分∠COD，
故③正确；
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，故④正确．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了数轴，以及绝对值的意义，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
根据有理数a，b，c在数轴上的位置进行判断．
【详解】解：根据题意，a，c异号，(a+b)为负数，
故a<0,c>0，b无法确定，
(b+c)可能为负数也可能为正数，故选项A错误；
当b为负数时，原点离C点很近时，此时|b|比|c|大，故选项B错误；
当b<0时，|a|比|b|大，当b<0时，由于(a+b)为负数，故|a|比|b|大，故选项C正
确；
由于b无法确定，故无法确定abc为负数，故选项D错误．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查的是射线的表示、方向角、合并同类项的知识及数的比较，根据相关知
识分别判断解决问题．
【详解】解：①射线AB与射线BA端点不同，表示的不是同一条射线；
②如图所示的四条射线中，表示北偏东60°的是射线OA，正确；
1 1
③若a小于b，那么a的倒数不一定大于b的倒数，如a=−1,b=2时， < ；
a b
1 1
④多项式x2−3kxy−3 y2+ xy−8合并同类项后不含xy项，则k的值是 ，正确；
2 6
所以，正确的是②④，共2个，
故答案为：B．
10．Cm (3 )
【分析】根据已知条件易求AD＝ BC，再利用线段的和差可得CD＝ m+1 BC，由
2 2
AB：CD＝6：13可得关于m的方程，解方程可求解m值．
【详解】解：如图，
1
∵AD＝ BD，
3
∴AB＝2AD，
1
即AD＝ AB
2
∵AB＝mBC，
m
∴AD＝ BC，
2
m 3
∴CD＝AD＋AB＋BC＝ BC＋mBC＋BC＝（ m＋1）BC，
2 2
∵AB：CD＝6：13，
3
∴mBC：（ m＋1）BC＝6：13，9m＋6＝13m
2
3
解得m＝ ，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，求解CD与BC的关系是解题的关键．
11．133°25'
【分析】根据互为补角的两个角之和为180°，可得出这个角的补角．
【详解】这个角的补角为：180°-46°35′=133°25′．
故答案为：133°25′．
【点睛】本题考查了补角的知识，属于基础题，关键是掌握互为补角的两个角之和为
180°．
12．①②③④
【分析】直接利用角平分线的定义，余角与补角的定义逐个结论分析验证即可．
【详解】解：∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，1 1
∴∠AOD=∠COD= ∠AOC，∠BOE=∠COE= ∠BOC，
2 2
1 1 1
∴∠COE+∠COD= ∠BOC+ ∠AOC= (∠BOC+∠AOC)，
2 2 2
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=90°，故①正确；
∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=∠COE，
∴∠AOE+∠COE=180°，即∠COE与∠AOE互补，故②正确；
若OC平分∠BOD，则∠AOD=∠COD=∠BOC，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，
1
∴∠BOE=∠COE= ∠BOC=30°，
2
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=180°−∠BOE=150°，故③正确；
1 1 1 1
∵ (∠AOE−∠BOE)+∠BOE= ∠AOE+ ∠BOE= (∠AOE+∠BOE)=90°，
2 2 2 2
1
∴∠BOE的余角可表示为 (∠AOE−∠BOE)，故④正确，
2
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及余角与补角，熟练掌握余角与补角的定义是解题
的关键．
13．29°26'
【分析】根据余角的定义进行求解，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简
称互余，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵90°−∠α=90°−60°34'=29°26'，
∴∠α的余角的度数等于29°26'，
故答案为：29°26'．
14．3
【分析】本题考查了灵活运用正方体的相对面解答问题，代数式求值，相反数的概念，解
题的关键是得到a，x，y的值．
【详解】解：∵相对的两个面的两个数字互为相反数，
∴a+3=0，|x|+|y|=0，∴a=−3，x=0，y=0，
∴xy−a=0−(−3)=3．
故答案为3
15．40°/40度
【分析】根据余角与补角的定义列出方程，求解即可．
1
【详解】解：根据题意，可得(90°−∠α)− (180°−∠α)=15°，
4
解得∠α=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了角度的计算，解题的关键是根据余角与补角的定义列出方程．
16．30°/30度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠前后对应角相等得到
∠NEA=∠NEA'，∠MEB=∠MEB'=60°，再根据平角的定义即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得∠NEA=∠NEA'，∠MEB=∠MEB'=60°，
∵∠NEA+∠NEA'+∠MEB+∠MEB'=180°，
∴∠NEA=∠NEA'=30°，
故答案为：30°．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)16
【分析】本题主要考查了画线段、射线、射线、图形规律等知识点，掌握相关定义是解题
的关键．
（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据直线的定义作图即可；
（3）根据线段的定义作图；
（4）根据题意得两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面
分成7部分，……，以此类推即可求解．
【详解】（1）解：如图1：射线DB即为所求（2）解：如图1：直线BC即为所求
（3）解：如图1：线段CD即为所求
（4）解：根据题意得：
2条直线相交，把一个平面分成4部分，
3条直线相交，把一个平面分成4+3=7部分，
4条直线相交，把一个平面分成4+3+4=11部分，
5条直线相交，把一个平面分成4+3+4+5=16部分，
故答案为：16．
18．(1)MN＝5cm
3
(2)PN＝ cm
2
1 1
【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC＝ AC，CN＝ BC．再根据MN＝MC+CN＝
2 2
1 1 1
AC+ BC＝ （AC+BC）代入计算即可得出答案；
2 2 2
（2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，
1
CN＝ CB，再根据PN＝CN﹣CP代入计算即可得出答案．
2
【详解】（1）解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
1 1
∴MC＝ AC，CN＝ BC，
2 2
1 1 1 1 1
∴MN＝MC＋CN＝ AC＋ BC＝ （AC＋BC）＝ AB＝ ×10＝5（cm）.
2 2 2 2 2（2）解：∵AC＝3，CP＝1，
∴AP＝AC＋CP＝4，
∵点P是线段AB的中点，
∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5，
∵点N是线段CB的中点，
1 5
∴CN＝ CB＝ （cm），
2 2
5 3
∴PN＝CN－CP＝ －1＝ （cm）．
2 2
【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是
解决本题的关键．
19．(1)点A与点B之间的距离为8
10
(2)点C表示的数是 或14
3
(3)当t为4或6时，点P与点Q相距1个单位长度
【分析】（1）由|a+2|+(b+3a) 2=0，根据非负数的性质可得a+2=0，b+3a=0，求出
a,b的值，进而得到A，B两点之间的距离；
（2）设点C表示的数为x，根据AC=2BC列出方程|x−(−2)|=2|x−6|，解方程即可；
（3）分当点P在点Q右侧时、当点P在点Q左侧时两种情况进行分类讨论．
【详解】（1）解：∵|a+2|+(b+3a) 2=0，
∴a+2=0，b+3a=0，
∴a=−2，b=6，
∴点A与点B之间的距离为6−(−2)=8；
（2）设点C所表示的数为x，
∵AC=2BC，
∴|x−(−2)|=2|x−6|，
①当点C在点A与点B之间时，x−(−2)=2(6−x)，
10
解得x= ；
3②当点C在点B的右侧时，x−(−2)=2(x−6)，
解得x=14；
10
∴点C表示的数是 或14；
3
（3）点P运动到点O的时间是6÷2=3（秒）；
经过t秒后，点P表示的数是6−2t，点Q表示的数是−2−(t−3)=1−t，
①当点P在点Q右侧时，(6−2t)−(1−t)=1，
解得t=4；
②当点P在点Q左侧时，(1−t)−(6−2t)=1，
解得t=6；
∴当t为4或6时，点P与点Q相距1个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离，有一定
难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
1
20．(1)∠DOE= α
2
(2)①∠AOC=2∠DOE，理由见解析；②7∠AOF−5∠DOE=270°
【分析】此题考查的知识点是角平分线的定义及角的计算；
（1）由已知可求出∠BOC=180°−∠AOC，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出
1
∠DOE的度数，可得出结论∠DOE= ∠AOC，从而用含α的代数式表示出∠DOE的
2
度数；
（2）①由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，则
得∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−2（90°−∠DOE），从而得出
∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
②由①求出的∠AOC和∠DOE的度数之间的关系代入②的算式，再用含有∠DOE的式
子表示∠BOE，化简即可．
1 1
【详解】（1）解：∠DOE=90°−∠COE=90° − ∠BOC=90° − (180°−α)
2 2
1
= α；
21
即∠DOE = α；
2
（2）①设∠BOE=x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=x，
∴∠AOC=180°−2x，
∵∠DOE=90°−x，
∴∠AOC=2∠DOE；
1
②∵2∠AOF+∠BOE = (∠AOC−∠AOF)，
3
∴6∠AOF+3∠BOE=∠AOC−∠AOF，
∴7∠AOF+3∠BOE=∠AOC，
∵∠AOC=180°−2x，∠BOE=x，∠DOE=90°−x，
∴x=90°−∠DOE，
∴7∠AOF+3(90°−∠DOE)=180°−2(90°−∠DOE)
∴7∠AOF=270°+5∠DOE，
∴7∠AOF−5∠DOE=270°．
21．∠POQ＝135°．
【分析】依据角平分线的定义即可得到∠POE的度数，再根据邻补角的定义即可得到
∠BOE的度数，进而得出∠BOF 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BOQ的度
数，最后依据∠POQ＝∠POE+∠BOE+∠BOQ进行计算即可．
【详解】解：∵OP平分∠AOE，
1 1
∴∠POE＝ ∠AOE＝ ×130°＝65°，
2 2
∵∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣50°＝40°，
∵OQ平分∠BOF，
1 1
∴∠BOQ＝ ∠BOF＝ ×40°＝20°，
2 2
∴∠POQ＝∠POE+∠BOE+∠BOQ＝65°+50°+20°＝135°．【点睛】本题主要考查了角的计算，解决问题的关键是利用角平分线的定义以及角的和差
关系进行计算．
22．(1)−8，12
(2)C:−3
(3)m=3，PQ+MN=28
【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，
掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值；
（2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可；
（3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出MN、
PQ,进而确定m的值，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵是8x yb−10+(a+8)xy−1关于x、y的三次二项式，
∴b−10=2,a+8=0，
∴a=−8,b=12．
故答案为：−8，12．
（2）解：设点C对应数为c，
∵点A对应的数记为−8，点B对应的数记为12，3AC=BC，
∴3|−8−c|=|12−c|，
当c≥12时，有−3(−8−c)=c−12，解得：c=−9，不符合题意；
当−8≤c<12时，有−3(−8−c)=12−c，解得：c=−3，符合题意；
当c<−8时，有3(−8−c)=12−c，解得：c=18，不符合题意．
综上，设点C对应数为−3．
（3）解：设运动时间为t秒，则点M表示−mt，点N表示12−3t，
∵P、Q为AM、BN的中点−8−mt 24−3t
∴点P表示 ，点Q表示 ，
2 2
∴ MN=|−mt−12+3t|=|(3−m)t−12|，
|−8−mt 24−3t|
PQ= −
2 2
|−32−mt+3t|
=
2
|(3−m)t−32|
= ，
2
∵ PQ+MN的长度与t无关，
∴ m=3，
|(3−3)t−32|
∴当m=3时，PQ+MN= +|(3−3)t−12|=28．
2
23．(1)25
(2)∠MON=n+25°
130 490
(3) ， （答案不唯一）
27 27
【分析】（1）根据角平分线的定义及角的和差关系求解；
（2）由旋转可得∠AOC=n，用含n的式子表示出∠AON，再根据
∠MON=∠AOM−∠AON即可求解；
（3）根据题意得出OM和ON的旋转角度及方向，当OM和ON的旋转角度之和加上
∠MON的初始角度等于90°的奇数倍时，∠MON=90°．
【详解】（1）解：当OA，OC重合时，
∵ OM，ON分别平分∠AOB和∠COD，
1 1 1 1
∴ ∠AOM= ∠AOB= ×130°=65°，∠AON= ∠COD= ×80°=40°，
2 2 2 2
∴ ∠MON=∠AOM−∠AON=65°−40°=25°，
故答案为：25；
（2）解：将∠COD绕点O点顺时针能转n（0°<n<155°），则∠AOC=n，如图，
∵ OM ON ∠AOB ∠COD
， 分别平分 和 ，
1 1 1 1
∴ ∠AOM= ∠AOB= ×130°=65°，∠CON= ∠COD= ×80°=40°，
2 2 2 2
∴ ∠AON=∠CON−∠AOC=40°−n，
∴ ∠MON=∠AOM−∠AON=65°−(40°−n)=n+25°；
（3）解：∵ OM平分∠AOB，OA的位置不变，OB绕着O点以每秒15°的速度沿逆时针
方向旋转，
15°
∴ OM绕着O点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转，
2
∵ ON平分∠COD，OD的位置不变，将OC绕着O点以每秒12°的速度沿顺时针方向旋
转，
12°
∴ ON绕着O点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，
2
由（1）知，旋转前∠MON=25°，
∴旋转时间为t时，OM和ON的旋转角度之和加上∠MON的初始角度为：
15° 12°
25°+ t+ t=(25+13.5t)°，
2 2
由题意知，当(25+13.5t)°等于90°的奇数倍时，∠MON=90°，
即25+13.5t=90(2n+1)（n为非负整数），
360n+130
解得t= （n为非负整数），
27
130
当n=0时，t= ，
27
490
当n=1时，t= ．
27
【点睛】本题考查角平分线的定义，角的和差关系，解一元一次方程等，第3问有一定难
度，解题的关键是得出OM和ON的旋转角度及方向．24．(1)13或−11
(2)相遇前，点P所表示的数为7，点Q所表示的数为10；相遇后，点P所表示的数为11，
点Q所表示的数为8
9 15
(3)点P的速度为 或 ，点Q速度为1.5
8 8
【分析】（1）先由a与(−1) 2023互为相反数．得出a的值，再分两种情况分别得出点B所表
示的数：①当点A、点B在原点的同侧时；②当点A、点B在原点的异侧时；
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是13，设点Q的运动速度为x，则点P
的速度为2x，根据题意得出关于x的一元一次方程并求解；运动t秒后PQ=3有两种情形：
①相遇前；②相遇后；分别列出关于t的方程，解出t，则易求得点P和点Q所表示的数；
（3）根据题意先列式求出点Q的运动速度，再设点P的运动速度为x，根据
|OM−ON|=3，得到关于x的方程，解出x即可．
【详解】（1）∵a与(−1) 2023互为相反数．(−1) 2023=−1
∴a=1
∵AB=12
∴点B表示的数为13或−11．
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B 表示的数是13
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x，则：
4(x+2x)=12
x=1
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2
运动t秒后PQ=3有两种情形：
①相遇前PQ=3，则：2t+t+3=12 t=3点P所表示的数为：1+2×3=7
点Q所表示的数为：13−1×3=10
②相遇后PQ=3，则：2t+t−3=12 t=5
点P所表示的数为：1+2×5=11
点Q所表示的数为：13−5×1=8
（3）根据题意得P点与Q点在点A处相遇，此时Q点运动8秒，运动了12个单位长度，
∴点Q速度为12÷8=1.5
设点P的速度为x，∵|OM−ON|=3
∴|12+1−(8x+1)|=3
9 15
解得x= 或x=
8 8
9 15
∴点P的速度为 或 ．
8 8
【点睛】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并
正确列出方程是解题的关键．
