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专题19.12 一次函数（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一次函数 ，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
2．如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA=4，直线 过点C，则菱形
ABOC的面积是 （ ）
A．4 B． C．8 D．
3．如图函数解析式“ ”，那么“ ”的图像可能是（ ）【设左、下为负】
A． B． C． D．
4．若一次函数 与 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．把直线l： 沿x轴正方向向右平移2个单位得到直线 ，则直线 的解析式为（ ）
A． B． C． D．6．若一次函数 的函数值 随自变量 的减小而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数 的图像过点 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰 如图放置， ， ，点 ，
，在x轴上找一点P，使 最短，则点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，点O为原点， ， （ ），点 在线段 上．将
沿着直线 折叠，点A的对称点是点C．若 ，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数 的图象作如下变换：保留其在x轴及其上方部分的图象，再将x轴下方部分的图象沿
x轴翻折，得到如图所示的“V”形图．已知关于x的一次函数 的图象与“V”形图左、
右两侧分别交于点A、B．有下列说法：
① 是直角三角形；②有且仅有一个实数m，使 ；
③当 时， 是等腰三角形；
④当 时， 的面积是 ．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于 ．
12．一次函数 的图象如图所示，化简 ．
13．已知一次函数 的图像不经过第三象限，则m的范围是 ．
14．若直线l与直线 平行，且l过点 ，则直线l的表达式为 ．
15．如图是函数 的图象，则点 的坐标是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 交x轴于点A，交y轴于点B，若直线 交x
轴于点C，且 ，则直线 的解析式为 ．17．如图，图中的折线 反映了圆圆从家到学校所走的路程 与时间 的函数关系，其
中， 所在直线的表达式为 ， 所在直线的表达式为 ，则
．
18．已知一次函数 与 的图象如图所示，点 在直线 上，过点 作 平行
于x轴交直线 与点 ，过点 作 平行于y轴交直线 于点 ，过点 作 平行于x轴
交直线 与点 ， ，以此类推，则线段 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）画出函数 的图象，根据图象回答下列问题：
（1） 的值随 值的增大而______；
（2）图象与 轴的交点坐标是______与 轴的交点坐标是______；（3）当 ______时， ．
20．（8分）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，直线 的解析式为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求直线 被直线 和y轴所截线段的长．
21．（10分）如图，直线l： 交x轴于点 ，将直线l向下平移4个单位长度，得到的
直线分别交x轴，y轴于点B，C．
（1）求a的值及B，C两点的坐标；
（2）点M为线段 上一点，连接 并延长，交直线l于点N，若 是等腰三角形，求点M的
坐标．22．（10分）如图1，直线 ： 与直线l 交于点 ，直线 与y轴交于点 ，与x轴
2
交于点C．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）点M在直线 上，当 的面积为 面积的 时，求点M坐标；
（3）如图2，已知点 ，点P在直线 上，点Q在直线 上，若 且 ，求点P
坐标．
23．（10分）如图，点 ，点 ， ，且 ，若 与x轴交于点H．
（1）求点C的坐标；
（2）求点H的坐标；
（3）如图2，过A作 轴交 于点M，连 ，试探究 、 和 的数量关系并加以
证明．24．（12分）【基础模型】
如图，等腰直角三角形 中 ， ，直线 经过点 ，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，易证明 ，我们将这个模型称为“ 形图”．
【模型应用】
（1）如图1所示，已知 ， ，连接 ，以 为直角边，点 为直角顶点作等腰直角三
角形 ，点 在第一象限，则点 的坐标为________；
【模型构建】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ， 交 轴
于点 ．①请求出直线 的函数解析式；
② 为 轴上一点，连接 ，若 ，求 坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．根据题意列出方程是解题的关键．
解：当x增加3时，y增加6，
，
即 ，
，
，
故选：C．
2．A
【分析】根据菱形性质求出点C纵坐标，进而求出点C坐标，进而求出BC的长，根据菱形面积公式计
算即可．
解：∵四边形ABOC是菱形，OA=4，
∴AO⊥BC，BE=CE，AE=OE=2，
∴BC∥x轴，
∴C的纵坐标是2，
把y=2代入直线 得：2= ，
解得：x=1，
即C（1，2），
∴B（-1，2），
∴BC=1-（-1）=2，
∴菱形ABOC的面积是 ×AO×BC= ×4×2=4．
故选：A
【点拨】本题考查了一次函数的图象上点的特征及菱形的性质的应用，菱形的面积等于对角线积的一
半，能求出点Ｃ的坐标是解题关键．
3．B【分析】此题考查一次函数的图象与系数之间的关系，一般情况下：一次函数 ，
①当 且 时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当 且 时，函数的图象经过第一、三、
四象限；③当 且 时，函数的图象经过第二、三、四象限；④当 且 时，函数的图象经过
第一、二、四象限；反之亦成立．首先根据一次函数 的图象得 ，进而得 ，由
此可得一次函数 的图象经过第一，三，四象限，据此即可得出答案．
解：∵一次函数 的图象经过第一，二，四象限，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一，三，四象限．
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式等知
识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．首先求得直线 与 轴， 轴的交点坐标，进而
可知直线 经过点 ， ，然后利用待定系数法求解即可．
解：直线 ， 时， ； 时， ，
∴直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，
∴直线 经过点 ， ，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查一次函数图象的平移．根据题意可得直线l上两点坐标： ， ，这两点向
右平移2个单位长度得到的点为 ， ，据此利用待定系数法进一步求解析式即可．
解：由题意可得，直线l上两点坐标： ， ，
这两点向右平移2个单位长度得到的点为 ， ，
设平移后直线 的解析式为 ，则，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象的增减性来确定 的符号即可，
解题的关键是正确理解直线 中，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增
大而减小．
解：∵一次函数 的函数值 随自变量 的减小而增大，
∴ ，解得：
故选： ．
7．A
【分析】根据一次函数的增减性求解即可．
本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数 （k为常数， ），当 时，y随x
的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
解： ，
∴y随x增大而减小，
，
，
即 ，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质．作 轴，垂足
为 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点P，此时 最短，最小值为 的长，证明，求得 ，再求得直线 的解析式，据此求解即可．
解：解；作 轴，垂足为 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点P，此时
最短，最小值为 的长，
∵ ，∴ ，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴点P坐标为 ，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查轴对称性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形、两点坐标距离公式，熟练掌握
一次函数的图象与性质是解答的关键．根据轴对称性质，判断出点C在y轴上，再根据坐标与图形，结合
勾股定理列关于m、n、t的方程，再利用待定系数法求得直线 的解析式，从而得到t与m、n的关系，然后逐项代值求解即可．
解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∵ 沿着直线 折叠，点 的对称点是点C，
∴点C在y轴上，且 ，故选项A正确，不符合题意；
设直线 的表达式为 ，
将 、 代入，得 ，则 ，
∴直线 的表达式为 ，
∵点 在线段 上，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ②，
由①②解得 ，
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∵ ， ， ，
所以 正确，故选项C正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故选项D不正确，符合题意，
故选：D
10．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键．
由题意知，变换后的图象解析式为 ，由 ，可知
的图象经过点 ，如图，由 ， 与 轴的夹角均为 ，可得
，进而可判断①的正误；由题意知 是经过点 且与“V”形图左、
右两侧分别交于点A、B的一系列的直线，则 的线段长度从 连续增大，即有且仅有一个实数m，使
；可判断②的正误；当 时， 是等腰三角形；由题意知， ，进而
可判断③的正误；当 时，令 ，解得， ，则 ，即 ，同理可得，
，由勾股定理得， ， ，则 ，计算求解可判断④的正误．
解：由题意知，变换后的图象解析式为 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ 的图象经过点 ，
如图，
∵ ， 与 轴的夹角均为 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；①正确，故符合要求；
∵ 是经过点 且与“V”形图左、右两侧分别交于点A、B的一系列的直线，
∴ 的线段长度从 连续增大，∴有且仅有一个实数m，使 ；②正确，故符合要求；
∵ ，
∴当 时， 是等腰三角形；
由题意知， ，
∴ 不是等腰三角形；③错误，故不符合要求；
当 时，令 ，解得， ，则 ，即 ，
同理可得， ，
由勾股定理得， ， ，
∴ ，④正确，故符合要求；
故选：C．
11．
【分析】本题考查了一次函数图象，求代数式的值，直接把点 代入函数解析式，即可求出代数式的
值，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
12． /
【分析】先根据一次函数 经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得 ， ，
再由图可知，当 时，一次函数的值大于0，即有当 时，有 ，据此化简即可．
解：∵一次函数 经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，
∴ ， ，
由图可知，当 时，一次函数的值大于0，
∴将 代入 中有 ，
即：，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函
数的图象与性质得出 ， ，是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数 的图象不经过第三象
限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围．
解：∵一次函数 的图象不经过第三象限，
∴ ，
解得， ．
故答案为： ．
14．
【分析】本题主要考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为 ，再把经过的点的坐标代入函
数解析式计算求出b即可解答．
解：∵直线l与直线 平行，
∴设直线l的函数表达式为 ，
把点 代入得： ，解得： ，
∴直线的函数表达式为 ．
故答案为： ．
15．【分析】本题考查分段函数图象，一次函数的性质．由图象获取到点 是函数增减性的转折点是解题
的关键．
根据点 是函数增减性的转折点，则点 的横坐标是4，把 代入函数解析式计算即可求解．
解：由图象可知：点 是函数增减性的转折点，
点 的横坐标是4，
当 时，则
∴ ．
故答案为： ．
16． 或
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，
添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求得 D点的坐
标，然后根据待定系数法求得直线 的解析式．
解：
一次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
设直线 的解析式为 ，
若点 在直线 右侧，
如图1，过点 作 ，交 于点 ，
过点 作 于 ，且 ，
，
，
，
点 ，
直线 过点 ．
，点得 ，
直线 为 ；
若点C在直线 的左侧时，如图2
同理可得 ，
直线 过点 ，
，解得
直线 为 ，
故答案为： 或 ．17．50
【分析】本题了求一次函数解析式．先利用待定系数法求得 、 的值，再求值即可．
解：把 代入 得： ；
把 ， 代入 得：
，
解得 ，
∴ ．
故答案为：50．
18． /
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标规律的探索，先根据题意求出
， ， ，以此类推总结规律便可求出 的长即可．
解：点 在直线 上，过点 作 平行于x轴交直线 与点 ，过点 作 平行
于y轴交直线 于点 ，过点 作 平行于x轴交直线 与点 ，
，
，
，
，
以此类推，则线段 的长为 ，故答案为： ．
19．图见分析；（1）减小；（2） ，（0，3）；（3）
【分析】（1）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案；
（2）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案；
（3）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案．
解：函数y＝3−2x的图象为：
（1）由图象可知：y值随x的增大而减小；
（2）图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点的坐标是（0，3）；
（3）由图象可得：当x 时， ．
【点拨】本题考查了一次函数的图象，属于基础题，关键是正确画出函数的图象再根据图象求解．
20．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点以及勾股定理．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）先求出两条之间的交点C，过点C作 轴于点D，求得 和 ，利用勾股定理求出
即可．
（1）解：由题意，设 为 ，
再将A、B两点代入得∶，
解得： ，
∴直线 的解析式为：
（2）设直线 和直线 的交点为C，
联立两方程： ，
解得： ，
∴ ，
过点C作 轴于点D，如图，
则 ， ， ，
在 中， ，
故直线 被直线 和y轴所截线段的长为 ．
21．（1） ， ；（2）点M的坐标为 或 或【分析】（1）将点 代入 ，求出a的值得到直线l的解析式，及平移后的直线解析式，
再求出与坐标轴交点即可；
（2）分三种情况讨论：若 时， 时， 时，分别求出点M的坐标．
解：（1）将点 代入 ，得
，
∴ ，
∴直线l的解析式为 ，
将直线l向下平移4个单位长度，得到的直线为 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ ；
（2）当 时，则 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
综上，点M的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，平
行线的性质，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键．22．（1） ；（2）M坐标为 或 ；（3）点P坐标为
【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
（1）由直线 ： 与直线l 交于点 ，得 ，利用待定系数法即可解决问题；
2
（2）求出 ，设 ，分两种情况：①点M在 上方，②点M在 下方，根据
的面积为 面积的 ，即可求解；
（3）过点P作y轴的平行线，交x轴于E，过Q作 ，垂足为F，证明 ，
可得 ， ，设 ，可得 ，由点Q在直线 上，可得
，解得 ，即可得点P坐标．
（1）解：（1）∵直线 ： 与直线 交于点 ，
，
，
设直线 的函数表达式为 ，
∵直线 与y轴交于点 ，与直线 交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）（2）∵直线 的解析式为 ，令 ，则 ，解得 ，
，
，
，
，
设 ，
①点M在 上方时，如图，
，
，
∴点M坐标为 ；
②点M在 下方，如图，，
，
∴点M坐标为 ；
综上，点M坐标为 或 ；
（3）如图，过点P作y轴的平行线，交x轴于E，过Q作 ，垂足为F，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，
∵点 ，
， ，，
∴Q ，
∵点Q在直线 上，直线 的解析式为 ，
，解得 ，
∴点P坐标为 ．
23．（1） ；（2） ；（3） ，证明见分析
【分析】（1）设点 ，根据坐标两点间的距离公式，得到 ， ，
，再利用已知条件和勾股定理列方程，求出 、 的值，即可得到点C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，令 ，求出 的值，即可得到点H的坐
标；
（3）先得到 ，再利用待定系数法，求出直线 的解析式为 ，进而得到 ，
再利用坐标两点间的距离公式，得出 ， ，即可得到 、 和 的数量关系．
（1）解：设点 ，
点 ，点 ，
， ， ，
，且 ，
， ，
，整理得： ，
得： ，
，
将 代入②，得： ，
解得： 或 （舍），
，
点C的坐标为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
点 ， ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
与x轴交于点H，
令 ，则 ，解得： ，
点H的坐标为 ；
（3）解： ，证明如下：
点 ，点 ，
，
设直线 的解析式为 ，
点 ， ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，过A作 轴交 于点M，
点 在 上，且横坐标为2，
点M的纵坐标为 ，
，
， ，
，
即 ．
【点拨】本题考查了坐标两点间的距离公式，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的
图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
24．（1） ；（2）① ② 或
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，该模型以等腰直角三角形为几何背景，通过
作垂线构造全等三角形，熟记模型的相关结论是解题关键．
（1）作 轴，证 即可求解；
（2）①由直线 求出点 ， 的坐标，设点 ，根据 求出点 的坐标
即可求解；②分类讨论当点 在 左侧时和当点 在 右侧时两种情况，根据模型结论即可求解．
解：（1）作 轴，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴∴
∴
∴点 的坐标为
故答案为： ；
（2）①∵直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
∴令 ，则 ；
令 ，则 ；
即：
设点
∴ ， ，
∵ ，
∴
即： ，
解得：
∴
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
②当点 在 左侧时：
作 轴，如图所示：则： 为等腰直角三角形，
由模型可得： ，
∴
∴
即：点
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，则 ；
∴
当点 在 右侧时：
作 轴，如图所示：
同理
∴
∴即：点
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，则 ；
∴
综上所述：或
