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专题19.13 一次函数（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知 ，则直线 一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．已知点 ， ， ， 四点在直线 的图象上，且
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数 的图象记为 ．若一次函数 的图象与 有交点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
4．若关于 的分式方程 的解为非负数，且 关于 的一次函数 的图
象不经过第二象限，则满足条件的所有整数 的和为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则函数 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC的三个顶点A（a，0）、B（b，0）、C（0，2a）（b＞a＞0），作△ABC关于
直线AC的对称图形△ABC， 若点B 恰好落在y轴上，则 的值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点，若 为 轴
上的一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 的顶点 ， ，点C在y轴的正半轴上， ，将 向右平移得
到 ，若 经过点C，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
9．已知 ， ， 为直线 上的三个点，且 ，则以下判断正
确的是（ ）
A．若 ， 则 B．若 ， 则
C．若 ， 则 D．若 ， 则
10．正方形 ， ， ，…按如图所示的方式放置，点 ， ， ，…和点 ，
， ，…分别在直线 和 轴上，则点 的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为 ．
12．若一次函数 的图象不经过第二象限，则a的取值范围为 ．
13．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 在直线 ： 上，点 在直线 ：上，若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，则点 的坐标为 ．
14．已知函数 的图像过点（0，-1）和（-1,1），且点 和点 都在这个函数图象
上，则 的大小关系是
15．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，将 沿 所
在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．
16．如图，D是 外一点， ， ， ，若 ，则
取最小值时， ．
17．如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ，
两点坐标分别为 ， ，线段 在边 上移动，保持 ，当四边形 的周长最小
时，点 的坐标为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（3，2），点C的坐标（7，4），直
线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的
距离为1．
（1）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；
（2）若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时， 的值最小，直
接写出最小值．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点
在直线 上，直线 经过点 和点 ， 是直线 上一动点．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若 ，求点 的坐标；
（3）若 ，求点 的坐标．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 分别与x轴、y轴交于A、B两
点，过点B作 交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点D为直线 上一点，且 ，求直线 的解析式；
（3）若点 是 轴上一点，连接 ，将 沿着 所在直线折叠，当点 落在 轴上时，求点
的坐标．22．（10分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车
在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续行驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达
各地终点后停止，两车之间的距离y（ ）与慢车行驶的时间x（ ）之间的关系如图．
（1）甲、乙两地之间的距离为______ ；
（2）求快车和慢车的速度，并直接写出点E的坐标；
（3）求 、 对应的函数表达式；
（4）慢车出发多少小时后，两车相距 ？
23．（10分）如图1，平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交x轴、 y轴于点A、B，一
次函数 的图像经过点B，并与x轴交于点 ，点D是直线 上的一个动点．
（1） _______， ______；
（2）如图2，当点D在第一象限时，过点D作y轴的垂线，垂足为点E，交直线 于点F．若，求点D的坐标；
（3）是否存在点D，使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点D的横坐
标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线
相交于点A．
（1）求点A的坐标及 的面积．
（2）在线段 上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线 交于点D，问在y轴上是否存在
点H，使得 是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线 ，垂足为E，在y轴上找点M，使 ，请直接写出点M的
坐标．
参考答案：
1．B
解：（1）当a+b+c=0时，b+c=-a，∴k= =-1，则直线是：y=-x-2，则经过二，三，四象限；
（2）当a+b+c≠0时，k= = ，则直线是：y= x+1，一定经过第一、二、三象限
∴直线y=kx+2k一定经过第二、三象限．故选B．
2．B
【分析】利用点D求出直线解析式，再根据函数的性质依据各点的横坐标的大小关系确定纵坐标的大
小关系即可.
解：将点D代入 中，得2k+4=-1，
∴ ，
∴ ，
∵ <0，
∴y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ，且 ，
∴ ，
故选：B.
【点拨】此题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的增减性，能正确根据k判断增减性是解题的
关键.
3．D
【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；
根据 的非负性得 或 两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出
结论；
解：图象如图所示：设 ,当 时， ，
，
当 时， ，
，
过点 ，当y过 处，即同时过A、B时，
将 代入 得：
解得：
当 时， 的图象与 在第一象限有交点，
时，当 与 平行时， 的图象与 无交点，
，
时， 的图象与 在第二象限有交点，
故选：D
4．C
【分析】利用分式方程的解的情况得到a的一个取值范围，再根据一次函数的图象情况得到a 的另一
个取值范围，最后结合两个取值范围得到a的解集，即可解题.解：解分式方程 ，得到 ，因为解为非负数，所以有 且 ，解得
a≤6且a≠2；
又 关于 的一次函数 的图 象不经过第二象限，故a-1＞0,且a-5≤0，可得到1＜
a≤5；
故a的取值范围为：1＜a≤5且a≠2，故a可取的整数解为3、4、5，故整数和为12，故选C
【点拨】本题主要考查分式方程和一次函数的基本性质，能够解出a 的取值范围是本题解题关键.
5．A
【分析】根据y ,y 的图象判断出k、b的符号以及k+b的值，然后根据k-1、b的符号判断出所求函数
1 2
图象经过的象限即可．
解：根据y ,y 的图象可知，k＜0，b＞0，
1 2
且当x=1时，y =0，即k+b=0.
2
∴对于函数 ，有b＞0，
当x=1时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.
∴符合条件的是A选项.
故选：A.
【点拨】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
6．D
【分析】由B（b，0）、C（0，2a），可得BC= ，△ABC关于直线AC的对称图形
△ABC，且点B 恰好落在y轴上，即可确定B 的坐标,进而确定BB 的中点D的坐标；△ABC关于直线AC
1 1 1 1
的对称图形△ABC，则段BB 的中点D在直线AC上；再由A（a，0）、C（0，2a）确定直线AC的解析式，
1 1
最后将D点坐标代入求解即可．
解：∵B（b，0）、C（0，2a）
∴BC=
∵△ABC关于直线AC的对称图形△ABC，且点B 恰好落在y轴上
1 1
∴B 的坐标为（0, -2a）
1∴BB 的中点D的坐标为（ , ）
1
∵A（a，0）、C（0，2a）
∴直线AC的解析式为：y=-2x+2a
∵△ABC关于直线AC的对称图形△ABC,
1
∴段BB 的中点D在直线AC上
1
∴ ，即
∴ 且 ＞0
解得： =
故答案为D．
【点拨】本题考查了轴对称变换、勾股定理、线段的中点坐标、一次函数解析式等在知识点，考查知
识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
7．D
【分析】先求出点 ，点 坐标，由勾股定理可求 的长，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
，过点 作 于 ，可证 是等边三角形，由直角三角形的性质可得 ，则
，即当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值，即 有最小
值，再利用等积法可求解．解：∵一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，过点 作 于 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴点 ，点 三点共线时， 有最小值 ，即 有最小值，
此时 ， 是等边三角形，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 有最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：D．
【点拨】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
确定点 的位置是解题的关键．
8．C
【分析】过点B作 轴于点G，根据 ，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线
的解析式为： ，把 ， 代入，求出解析式，根据点C在平移的直线 ，即
可得解．
解：过点B作 轴于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴点 ；
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
设 向右平移n个单位长度得到 ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ 向右平移 个单位长度得到 ，
∴点 ，
故选：C．
【点拨】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
9．D
【分析】根据题意可得 ， ，进而根据选项逐项分
析判断，即可求解．
解：∵ ， ， 为直线 上的三个点，
∴ ，
∵ ， ，∴
A. 若 ， 则 ，即 同号，当 时， ，当
时， ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若 ， 则 异号，同理可得 或
C. 若 ， 则 同号，同理可得 或
D. 若 ， 则 异号，只能是 ，则 ，
∴ ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出 、 的纵坐标相同，根据点
， ， ，…在直线 上和正方形性质，推出点 ， ， ， 的坐标，根据坐标找出点的坐标
规律为 的坐标为 ，利用规律表示出 的坐标，即可解题．
解：由题知，四边形 为正方形，
轴，即 、 的纵坐标相同，
当 时， ，即 ，，则 ，
当 时， ，
的坐标为 ，
同理可得 的坐标为 ， 的坐标为 ，
的坐标为 ，
的坐标为 ，
点 的纵坐标是 ，
故选：B．
11．（﹣1，﹣2）．
【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可．
解：由一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3变形为m（x+1）﹣x﹣y﹣3=0，
令 ，
解得 ，
故一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）
【点拨】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，
也可以利用m的两个不同值来确定交点坐标．
12．
【分析】先判断一次函数 经过第一、三、四象限或第一、三象限及原点，再根据一
次函数的性质得到a+2＞0且a-2≤0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：因为一次函数 的图象不经过第二象限，所以经过第一、三、四象限或第一、三
象限及原点，所以 且 ，所以 ．
【点拨】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数y=kx+b，它与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与
y轴交于负半轴．当k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、
四象限；k＜0，b＞0 y=kx+b的⇔图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y=kx+b的⇔图象在二、三、四象限．
⇔ ⇔
13． 或
【分析】如图，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 于点 ，证明 ，设
，根据 ，列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
解：如图，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 于点 ，
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
, ,
依题意，设 ，则 ,
,
，解得
如图，当 点在第二象限时，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 于点 ，
同理可得
则 ,
,
，
解得
或
或
故答案为： 或
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解二元一次方程组，分类讨论是
解题的关键．
14．
解：根据待定系数法可求出函数的解析式为y=-2x-1，所以这个函数的图像过二、三、四象限，y随x增大而减小，所以可根据a＜a+1，得到 .
故答案为
点睛：此题主要考查了一次函数的图像和性质，先利用待定系数法求出函数的解析式，然后根据解析
式得到函数得到图像，再根据图像与性质判断即可，题目灌输了学生的数形结合的思想.
15．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得 ，
，由一次函数可得 ， ，进而由勾股定理得到 ， ，设 ，由
列方程即可求出 ，进而得到点 的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是
解题的关键．
解：由折叠可得 ， ，
∵直线 ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，故答案为： ．
16． /
【分析】延长 交于点 ，得到 ，再通过线段的转换得到 ，过点 作
的垂线段，且使 ，证明 ，根据两点之间线段最短得到 三点
共线时， 取得最小值，以点 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，过点
作 轴的垂线段，交 轴于点 ，求得点 坐标，即可计算 的值，即可解答．
解：如图，延长 交于点 ，
，
，
，
，
根据勾股定理可得 ，
，
，
过点 作 的垂线段，且使 ，
，
，
，
，
取最小值时， 取最小值，即 三点共线时，取得最小值，
以点 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，过点 作 轴的垂线段，交 轴于
点 ，
，
设直线 的解析式为 ，把 代入可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，可得 ，
解得 ，
，
设 的解析式为 ，
把 代入可得 ，
解得 ，
的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ，
，
，
根据勾股定理可得 ，
，
故答案为： ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一次函数及其
交点坐标，坐标与图形，作出正确的辅助线，利用建立直角坐标系的方法求得 的长，是解题的关键．
17．
【分析】在矩形 边 上截取 ，可证四边形 是平行四边形，可得 ，由对
称性可得 ，则四边形 的周长 ，由 和 是定值，则当
有最小值时，四边形 的周长有最小值，即当点 ，点 ，点 共线时， 有最小值，利用
待定系数法可求 解析式，即可求解．
解：在矩形 边 上截取 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，如图
所示：
， ，
四边形 是平行四边形，
，
点 与点 关于 轴对称，
，点 坐标为 ，
四边形 的周长 ，四边形 的周长 ，
和 是定值，
当 有最小值时，四边形 的周长有最小值，
当点 、 、 三点共线时， 有最小值，
点 ， ，
，即点 ，
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性
质等知识，确定点 的位置是解题的关键．
18．8
【分析】先连接AC、BD交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将□ABCD的面积平分，然后计算出
过E且平行于直线y=-x的直线解析式，从而可得直线y=-x要向右平移10个单位，进而可得答案．
解：连接AC、BD，交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将
▱
ABCD的面积平分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE，
∵A（3，2），C（7，4），
∴E（5，3），
∵PE平行于直线y=-x，
∴k=-1，
设PE的解析式为y=-x+b，
∵把E（5，3）代入，得3=-5+b，
∴b=8,
∴PE的解析式为y=-x+8，
直线y=-x要向右平移8个单位，∴时间为8÷1=8（秒），
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图像平移，正确掌握经过平行四边形对角线
交点的直线平分平行四边形的面积是解答本题的关键．
19．（1） ， ；（2）当点P运动到 时， 的值最小，最小为
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值；
（1）分别令 、 求解即可；
（2）点 关于x轴的对称点为 ，连接 交x轴相交，当点P运动到 与x轴的交点
处时，连接BP，此时 的值最小，据此求解即可．
解：（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
∴点C纵坐标为1，
当 时， 解得 ，
∴ ，
当 时， 解得 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）点 关于x轴的对称点为 ，则 ，
连接 交x轴相交，当点P运动到 与x轴的交点处时，
连接BP，此时 的值最小，设直线 的表达式为
将点 和点 分别代入上式，得
解得 ，
∴直线 的表达式为
当 时，解得 ，
∴点P的坐标为
当点P运动到 时， 的值最小，最小值为 ．
20．（1） ；（2） 或 ；（3） 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分以下两种情况讨论：①当点Q在线段 的延长线上时；②当点Q在线段 上时，将点的坐
标代入直线的方程，求解即可；
（3）分两种情况，①当点Q在线段 的延长线上时；②当点Q在线段 上时，构造一线三直角，
证明两个三角形全等，将点的坐标代入直线的方程，求解即可．
（1）解： 点 在直线 上，
，
，点 坐标为 ，
直线 经过点 和点 ，
设 为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
为 ；
（2）解：如图所示，
①当点Q在线段 上时，如图中点 ，
当 时， ，
，
；
，
当 时， ，
，
，，
此时 ，
设 ，
得 ，
解得 ，
，
；
②当点Q在线段 的延长线上时，如图中点 ，
此时 ，
设 ，
得 ，
解得 ，
，
；
综上所述，点Q的坐标为 或 ；（3）解：当点Q在线段 上时，如图中点 ，
作 ，交直线 于点 ，
，
，即 ，
，
即点 也是满足题意的点Q，
作 ，垂足分别为M、N，
， ，
，
，
是直角三角形，其中 ，
，
，
，
，，
，
，
，
设点 ，则 ，
，
可得 ，
解得 ，
，
，
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定的性质、翻折问题、一次函
数与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题，
本题的计算量比较大．
21．（1）点C的坐标为 ；（2） ；（3）点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）设 ， ，由直线 分别交 轴、 轴于点 ， 可得 ，
，利用面积法即可求解；
（2）过点 作 轴于 ，由 得 ，根据等腰三角形的性质得 ，
则 ，点 ，利用待定系数法即可得直线 的解析式；
（3）分点 落在 轴负半轴和 轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即
可．（1）解：设 ， ，
直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，
， ，
， ， ， ， ，
，
，解得 ，
∴点C的坐标为 ；
（2）解：过点 作 轴于 ，
，
，
，
， ，
∴ ，
点 为直线 上一点，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（3）解：设点 的坐标为 ．
将 沿着 所在直线折叠，当点 落在 轴负半轴上时，设点 落在 轴负半轴的点 处，如
图所示：
根据折叠的性质可得： ， ， ，
，
，
在 中， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
将 沿着 所在直线折叠，当点 落在 轴正半轴上时，设点 落在 轴正半轴的点 处，如
图所示：根据折叠的性质可得： ， ， ，
，
，
在 中， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，
折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
22．（1） ；（2）快车和慢车的速度分别为 、 ，点E的坐标为 ；（3）
的函数表达式为 ， 的函数表达式为 ；（4）慢车出发 或 小时后，
两车相距 ．
【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，用待定系数法求一次函数解析式，
读懂函数图象是解题关键．
（1）本题根据 表示两车之间的距离，快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，
当慢车行驶的时间 时， 的取值即为甲、乙两地之间的距离．
（2）本题先根据 段，即两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续行驶往甲地，快车维修
好后按原速继续驶往乙地，算出慢车的速度，根据两车相遇，即 段，算出快车的速度，再根据速度、
时间、路程之间的关系，求出两车到达各地终点所用时间，即可得到点E的坐标．
（3）本题根据 表示快车修好并追上慢车，根据追及问题，算出其所用时间和所跑路程，得出 的坐标，再设出 、 对应的函数表达式，并利用待定系数法求出表达式即可．
（4）本题根据 、 坐标求出 函数表达式，根据两车相距 ，即 、 函数表达式
，根据 算出 ，即可解题．
（1）解：由题意可知，甲、乙两地之间的距离为 ．
故答案为： ．
（2）解：由题可知 段只有慢车在行驶，
则慢车的速度为： （ ），
表示两车从开始到相遇的过程，则两车速度和为： （ ），
所以快车的速度为： （ ），
慢车到达终点所用时间： （ ），
快车到达终点所用时间： （ ），
所以点E的坐标为： ．
（3）解：由题知， 表示快车修好并追上慢车，
（ ）， （ ），
（ ），
，
由图知， ， ， ，
设 的函数表达式为 ，
将 代入 ，有 ，解得 ，
的函数表达式为 ，
设 的函数表达式为 ，
将 、 代入 ，
有 ，解得 ，
的函数表达式为 ．（4）解：设 的函数表达式为 ，
将 、 代入 ，
有 ，解得 ，
的函数表达式为 ．
两车相距 ，
将 代入 中，有 ，
将 代入 中，有 ，
慢车出发 或 小时后，两车相距 ．
23．（1） ，1；（2） ；（3）存在， 或1或 或3
【分析】（1）当 时，可求 ；当 时，可求 ；将 ， 代入 ，
计算求解可得 的值；
（2）由题意知， ，设 ，则 ， ，则
，计算求解，然后作答即可；
（3）设 ，由题意知，如图，分3种情况求解；①当 时，如图 ，则
，进而可求 ；②当 时，如图 ，则 ，计算
求解，然后作答即可；③当 时，如图， ， ，则 ，计算求
解，然后作答即可．
（1）解：当 时， ，即 ；
当 时， ，解得， ，
∴ ；
将 ， 代入 得， ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ，1；
（2）解：由题意知， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
（3）解：设 ，
由题意知，如图，分3种情况求解；①当 时，如图 ，则 ，
∴ ，即 ；
②当 时，如图 ，
∴ ，
解得， 或 ，
∴ ；
③当 时，如图， ， ，
∴ ，
解得， 或 ，
∴ ， ；
综上所述，存在，点D的横坐标为 或1或 或3．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，勾股
定理等知识．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，勾股定
理是解题的关键．
24．（1） ； ；（2）存在， ；（3） 或【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
（1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把 代入 中，求得点B
的坐标，根据三角形的面积公式即可得到 的面积；
（2）设 ，则 ，则 ， ，由等腰 得到 ，即
，求解即可解答；
（3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作 与AM的延长线交于点N．证明
是等腰直角三角形，得到 ．过点N作 轴于点F，过点A作 轴于点G．易证
，得到 ， ，进而得到 ．通过待定系数法求出直线
的解析式，令 ，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解．
解：（1）解方程组 ，得 ．
∴点A的坐标为 ．
把 代入 得 ，
解得： ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）存在．
如图，设 ，则 ．
∴ ．
∵ 轴．
∴ ．
∵ 是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3） 或 ．
分两种情况：
①若点M在点E的下方，
如图，过点B作 与AM的延长线交于点N．
∵ ， 轴，∴ ， ，
∴ ，
∵ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
过点N作 轴于点F，过点A作 轴于点G．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
设直线 解析式为 ，
∵直线 经过点 ， ，
∴ ，解得： ，∴直线 解析式为 ，
令 ，得 ．
∴点M的坐标为 ．
②若点M在点E的上方，
如图，
由对称性可知 ．
综上所述：或．
