文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.3.1 二次根式的加减 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、 ＝ ， 与 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、 ， 与 是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题
的关键．
2．墨迹覆盖了等式 中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．＋ B． C．× D．÷
【答案】A
【分析】根据二次根式的基本性质化简 ，再根据二次根式的运算法则分别计算即可得答案．
【详解】解： ，
A、 ，故此选项符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；D、 ，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
3．下列二次根式合并过程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的加减运算法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，则此项正确，符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．估计 的运算结果应在哪两个整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】B
【分析】先由二次根式的减法算出 ＝ ，再估计 的大致范围，从而可得到问题的答案．
【详解】解： ＝ ，
∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3,
∴2＜ ＜3,
故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次根式的减法，估算无理数的大小，利用夹逼法估算出 的大小是解题的
关键．
5．若两个最简二次根式 与 可以合并，则合并后的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据同类二次根式的定义求出m的值，然后代入合并即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴2m+5=4m-4，
∴m=4.5，
∴ +
= +
= ．
故选D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二
次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
6．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．17 C． D．
【答案】C
【分析】把所给式子先进行因式分解，再整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想
和正确运算的能力．
7．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a的值，代入 ，再根据二次根式的定义列出不
等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵最简根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
使 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：
概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；
性质：被开方数为非负数．
二、填空题：
8．二次根式 ， ， ， 中，与 是同类二次根式的是__________
【答案】
【分析】先把已知的4个二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．【详解】解： ， ， ， ，
所以与 是同类二次根式的是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的化简，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被
开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，明确概念、掌握化简的方法是关键．
9．计算： ______.
【答案】
【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
【详解】解：原式=
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键.
10．计算 的结果是____________．
【答案】
【分析】先化为最简二次根式，再进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查二次根式的计算，二次根式的化简，解决问题的关键是化简二次根式．
11．数轴上A、B两点所表示的数是 和 ，点C是线段 的中点，则点C所表示的数是_________．【答案】
【分析】利用数轴上两点间距离计算即可．
【详解】解：设点C所表示的数是x，
由题意得： ，
解得： ，
所以：点C所表示的数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴以及二次根式的运算，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．
12．如图，要在长 、宽 的矩形木板上截两个面积为 和 的正方形，是否可行？
___________．(填“行”或“不行”)
【答案】行
【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2 和3 ，显然只需比较两个正方形的
边长的和与7.5的大小及3 与5的大小即可．
【详解】解：∵ ，
又∵ ＜1.5，∴5 ＜5×1.5＝7.5，3 ＜3×1.5＝4.5＜5．
故答案为：行．
【点睛】此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小．
13．若最简二次根式 和 能合并，则 ＝__．
【答案】5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的
值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式 和 能合并，
∴最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方
程组，正确得到 是解题的关键．
14．已知 ， ，则 ________．
【答案】
【分析】利用二次根式的加减和乘法运算法则得出即可；
【详解】解：∵a＝2 ，b＝2 ，
∴a+b＝（2 ）+（2 ）＝4，a﹣b＝（2 ）﹣（2 ）＝2 ；
；
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了平方差以及二次根式的计算，正确进行二次根式混合运算是解题关键．
三、解答题：
15．计算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)化成最简二次根式，后合并同类二次根式即可．
（2）分母有理化， ，后合并同类二次根式即可．
（3）化成最简二次根式，后合并同类二次根式即可．
（4）化简 ，后合并同类二次根式即可．
（1）
=
= ．
（2）=
= ．
（3）
=
= ．
（4）
=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减，熟练掌握二次根式化简，分母有理化是解题的关
键．
16．计算：
(1) ； （2）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再分母有理化，最后合并同类二次根式即可得到结论．
（2）考查二次根式混合运算，涉及到二次根式的性质、分母有理化，熟练掌握相关运算法则及运算顺序
是解决问题的关键．
（1）解：．
（2）解：
．
17．己知 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】先把所求代数式变形为 ，再代值计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．一个等腰三角形的两边长分别为3和 ，则这个三角形的周长是（ ）A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】解：当三边是3，3，5时，3+3=6＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是3， ， 时，符合三角形的三边关系，此时周长是 ，
∴这个三角形的周长是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．若 （ 为整数），则 的值可以是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】根据 （n为整数），可得：m的值等于一个整数的平方与2的乘积，据此求解即可．
【详解】∵ （n为整数），
∴m的值等于一个整数的平方与2的乘积，
∵12=22×3，18=32×2，24=22×6，
∴m的值可以是18．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数
a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，
在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可以求出长方形ABCD的长和宽，从而求出长方形ABCD的面积，最后即可求出空
白部分的面积．
【详解】解：由已知可得：
长方形ABCD的长为 ，宽为4，
∴长方形ABCD的面积为
∴空白部分的面积为：
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和长方形、正方形的面积公式是解题关键．
二、填空题：
4．三角形周长为（7 +2 ）cm，已知两边长分别为 cm和 cm，则第三边的长是
__________cm．
【答案】4
【详解】试题解析：三角形周长为（7 +2 ）cm，两边长分别为 cm和 cm，
∴第三边的长是：（7 +2 ）– – =7 +2 –3 –2 =4 （cm）．
故答案为4 ．
5．已知 为实数，化简 =_____．【答案】
【分析】由二次根式的性质进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的性质可知， ，
∴
=
=
= ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行解题．
6．观察下列各式：
…
请利用你发现的规律，计算： 其结果为______．
【答案】
【分析】根据前几个等式发现的变化规律进行求解即可．
【详解】解：∵…
∴ ，
∴
= + + +…+
=9+（ + + +…+ ）
=9+（1－ ）
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查与实数运算有关的规律题、二次根式的加减运算，能发现等式的变化规律并能灵活运用
是解答的关键．
三、解答题：
7．已知 ，x为 的整数部分，y为 的小数部分．求 的值．
【答案】 的值为
【分析】由 ，可得 ，再根据x为 的整数部分，y为 的小数部
分，确定x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∵5＜ ＜6，x为 的整数部分，y为 的小数部分，
∴ ， ，
∴ ，
答： 的值为 ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．
8．我们知道， ， ，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它
们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如 与 互为有理化因式．利
用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，
例如： ， ．
(1) 分母有理化的结果是_________________；
(2) 分母有理化的结果是_________________；
(3) 分母有理化的结果是_________________；
(4)利用以上知识计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】（1）分子分母都乘以 ，再计算即可得到答案；
（2）分子分母都乘以 ，再计算即可得到答案；
（3）分子分母都乘以 ，再计算即可得到答案；
（4）由 ， ， ，再把原式裂
项，再利用分配律进行简便运算即可．
【详解】（1）解： ．
（2） ．
（3） ．
（4） ，
同理得： ， ．
∴原式
【点睛】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握“分母有理化与合并同类二次根式”是解
本题的关键．
