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专题16.9 二次根式的加减（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次
根式就叫做同类二次根式.
特别提醒：
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方
数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式
的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
特别提醒：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
【知识点二】二次根式的加减
一般地，二次根式进行加减运算时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方
数相同的二次根式进行合并.
特别提醒
合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因式或因式相加，将更好歪的因数或因式相加，
根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律和逆向运用.
【知识点三】二次根式加减运算方法
将各个二次根式化为最简二次根式，找出化简后被开方数相同的二次根式，将其合并.若
有括号，则先去掉括号再运算.另外，有理数的加法交换律、结合律都适用于二次根式的运算.
【知识点四】二次根式的混合运算
1.内容： 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
2.运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，在乘除，
最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）.
特别提醒
二次根式运算时的注意事项：
（1）结果要化为最简二次根式或整式.
（2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
（3）若分子为多项式，则去分母线时要加括号.【知识点五】与二次根式相关运算方法
二次根式的运算顺序同实数的运算顺序一样，都是从高级到低级进行运算，有括号的先
算括号里的.有时可用一些方法技巧简化运算.
【知识点六】二次根式大小比较方法
1.平方法：若两个二次根式同号，则可先将两个二次根式分别平方，再根据比较实数的
大小方法比较即可.如当a＞0，b＞0时，若a2＞b2，则a＞b.
2.比较被开方数法：先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，在比较
被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
a
3.作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a，b都是正数时，①若 ＞1，则
b
a a
a＞b；若 =1，则a=b；③若 ＜1，则a＜b.
b b
4.倒数法：若（❑√a+❑√b）（❑√a−❑√b）=1则（❑√a+❑√b）与（❑√a−❑√b）为倒数.因此比较大
1
小时，可把（❑√a−❑√b）转化为 ，从而转化为分母大小的比较.
❑√a+❑√b
【考点目录】
【概念理解与巩固】
【考点1】同类二次根式； 【考点2】分母有理化
【运算与化简】
【考点3】二次根式的加减运算； 【考点4】二次根式的求值与化简；
【考点5】二次根式的大小比较；
【应用】
【考点6】二次根式的应用
【概念理解与巩固】
【考点1】同类二次根式；
【例1】（2023下·吉林松原·八年级校联考期中）是否存在实数 ，使最简二次根式 与
是同类二次根式？若存在，求出 的㨁；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在．理由见分析．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出 的值，再把 的值代入原式看是否符合题意即可．
解：不存在．理由如下：
若 与 是同类二次根式，则 ，
解得： ，当 时， ，
与 都不是最简二次根式．
故不存在实数 ，使最简二次根式 与 是同类二次根式．
【点拨】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫
做同类二次根式．
【变式1】（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）下列能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质将各项化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答；
解：A、∵ 是整数，
∴不能与 合并，故A项不符合题意；
B、∵
∴能与 合并，故B项符合题意；
C、∵
∴不能与 合并，故C项不符合题意；
D、∵
∴不能与 合并，故D项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记二次根式的性质是解题的关键．
【变式2】（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）已知最简二次根式 与 是同类二次
根式，则 ．
【答案】0
【分析】根据二次根式的定义化简得 ，由此得到 ，求出a与b的值即可．
解：∵ 是二次根式，
∴
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为0．
【点拨】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，已知字母的值求代
数式的值，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键．
【考点2】分母有理化
【例2】（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开
展探究活动．
【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如 这样的式子，其分母中含有无理数．
【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简．
【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式 和
来解决．
【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简：．
另一部分同学认为还可以如下方法化简：
．
以上这两种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）选择合适的方法化简： （n为正整数）；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（ ）利用第一种方法即可求解；
（ ）把 提出来，利用第一种方法分母有理化，再进行运算即可求解；
本题考查了分母有理化，二次根式的加法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ，
，
，
，
．
【变式1】（2023下·河北邢台·八年级统考开学考试） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据倒数的意义进行判断即可．
解：∵ ，
∴ 的倒数是 ．
故选：B．
【点拨】一个数的倒数，就是1除以这个数，0没有倒数．解题的关键是知晓倒数的定义．
【变式2】（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对 分母有理化得到 ，再把
即可求解，正确求出 ，再把所求式子变成 是解题的关键．
解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
【运算与化简】
【考点3】二次根式的加减运算；
【例3】（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）计算：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计
算．
（1）根据二次根式性质先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1】（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；故选：D．
【变式2】（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简、分母有理化、零指数幂、二次根式的减法，熟练掌握二次根式
的运算法则是解题关键．先化简二次根式和计算零指数幂，再计算二次根式的减法即可得．
解：原式
，
故答案为： ．
【考点4】二次根式的求值与化简；
【例4】（2023上·湖北武汉·八年级期末）设 ， ，求 值.
【答案】31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的
乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把 ， 化简，再把
变形为 代入计算即可．
解：∵ ， ，
∴．
【变式1】（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）若 ，则代数
式 的值是（ ）．
A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答
本题的关键．对原式配方再根据已知条件代入求解即可．
解：∵ ，
∴ ；
∴
．
故选：A．
【变式2】（2024下·全国·八年级假期作业）若 ， ，则 的值是 ．
【答案】7
【解析】略
【考点5】二次根式的大小比较；
【例5】（2020下·安徽滁州·八年级校考期中）比较大小：① _____ ② ___
【答案】①＜；②＜
【分析】①利用作差法比较大小即可；
②利用分子有理化即可比较大小．
解：① －
=
∵
∴ ＜0
∴ ＜
故答案为：＜；
② = =
= =
∵ ＞
∴
∴ ＜
故答案为：＜．
【点拨】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．
【变式1】（2021上·河北邯郸·八年级统考期中）比较大小错误的是（ ）
A． ＜ B． ＋2＜ ﹣1
C． ＞﹣6 D．|1－ |＞ －1【答案】D
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
解：A、由于5<7，则 ＜ ，故正确；
B、由于 ＋2<6+2=8，而8=9-1< －1，则 ＋2＜ ﹣1，故正确；
C、由于 ，则 ，故正确；
D、由于 ，故 错误．
故选：D
【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根
式大小的比较是关键．
【变式2】（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）比较大小： （填“ ”、“
”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式都平方，然后比较平方后的数的大小即
可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【应用】
【考点6】二次根式的应用
【例6】（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含
根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；．
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将 化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简： ．
【变式探究】（3）若 ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，
（1）将7看成是 ，则 ，由此求解即可；
（2）将11看成是 ，则 ，由此求解即可；
（3）根据 ，可以得到 ，或
，再根据a，m，n均为正整数，则 ， 或 ， ，由此求解
即可．
解：（1）
（2）
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
∵a，m，n均为正整数，
∴ ，
∴ 或 ．
【变式1】（2023上·浙江温州·七年级校考期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小
正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为 ，则较小的正
方形面积为（ ）A．4 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可
得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为 ，
∴一个空白长方形面积为 ，
∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
∴大正方形边长为 ，重叠部分边长1，
∴空白部分的长为 ，
设空白部分宽为x，可得： ，解得： ，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长 ，
∴小正方形面积 ，
故选：C．
【变式2】（2021下·安徽亳州·八年级校考期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九
章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，
则该三角形的面积为 ．现已知 的三边长分别为 ， ， ，则 的
面积为 ．
【答案】【分析】根据题中给出的三斜求积公式，把三边长直接带入进行求解即可．
解：根据 ， 的三边长分别为 ， ， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．
