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第十九章 二次根式（复习讲义）
1. 了解二次根式有意义（被开方数为非负数）与无意义的条件，体会二次根式“双重非负性”与平方根之
间的整体联系。
2. 能识别最简二次根式，并掌握将二次根式化简为最简二次根式的方法。
3. 理解同类二次根式的概念，能准确判断并正确合并同类二次根式，利用乘法分配律完成运算。
4. 掌握二次根式的乘、除法法则（被开方数相乘除，根指数不变）与加减运算顺序（先化简，再合并同类
项）。
5. 理解二次根式的混合运算顺序与整式运算一致（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能
利用运算法则解决相关计算问题。
一、二次根式
√a
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次
根号．如 都是二次根式.
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学科网（北京）股份有限公司2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即√a有意义⇔a≥0
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即√a无意义a<0.
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （
）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
二、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因
式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）
法分配律，如
三、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则：√a*√b=√ab（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①√a*√b∗√c=√abc（a≥0；b≥0；c≥0）
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学科网（北京）股份有限公司②a√b*c√d=ac√bd（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行
计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用：√ab=√a*√b（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：√abcd=√a*√b*√c*√d（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算
括号里面的（或先去掉括号）
题型一 判断是否为二次根式
【例1】下列是二次根式的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必是非负数成为解题的关键．
根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可．
【详解】解：A、 无意义，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、 ，当 时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、 ，当 时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、 ，a为任意实数， ，是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式1-1】下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如 的代数式叫做二次根式．当
时， 表示 的算术平方根；当 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，
则无实数根）．
【详解】解：A、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当 时，根式无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】下列各式中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负
数”求解即可．
【详解】解：A、 是二次根式，本选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、 ，故 是二次根式，本选项不符合题意；
C、 ，故 是二次根式，本选项不符合题意；
D、当 时， ，故 不是二次根式，本选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
根据二次根式的概念，形如 的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、 是二次根式，不合题意；
B、 中 ，故不是二次根式，符合题意；
C、 是二次根式，不合题意；
D、 是二次根式，不合题意；
故选：B．
题型二 根据二次根式有意义条件求范围
【例2】要使式子 有意义，则x的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据“ 时，二次根式 有意义”求解即可．
本题考查了二次根式 有意义的条件，对于二次根式 ，当 时有意义，熟练掌握以上知识是解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键．
【详解】解：要使式子 有意义，
则 ，
解得 ．
故选：D．
【变式2-1】若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条
件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义
的条件是分母不为零，列式解答即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【变式2-2】在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，
解一元一次不等式组，即可求解．
【详解】解：根据题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
【变式2-3】若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为
零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解： 代数式 有意义，
， ．
解得∶ 且 ．
故选：D．
题型三 根据二次根式有意义求值
【例3】已知x，y为实数，若满足 ，则 的值为 ．
【答案】5
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】根据形如 的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解： 有意义，
故 ，
解得 ，
故 ，
故 ，
故答案为：5.
【变式3-1】若 ，求 的值是 ．
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解
题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入 中即可解
答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
则 ，
∴ ，
故答案为：2．
【变式3-2】若 、 都是实数，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出 ，求出 ，得到 ，代入 计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
解得： ，
，
，
，
故答案为： ．
【变式3-3】已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出 、 的值是解题的关键，根据
二次根式有意义列出 ，求出 的值，即可求出 的值，然后代入计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意得， ，
解得 ，
，
，
故答案为： ．
题型四 最简二次根式的判断
【例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 是最简二次根式，符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【变式4-1】下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式的判断
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二
次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、 是最简二次根式，故符合题意；
B、 中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意；
C、 中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；
D、 中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；
故选：A．
【变式4-2】下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因
式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、 被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、 满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、 可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、 可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式4-3】下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②
被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决
问题的关键．
【详解】解：A、 中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、 中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，符合题意；
D、 中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
题型五 同类二次根式的判断与求参数
【例5】下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质
进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A． ，能与 合并，不符合题意；
B． ，不能与 合并，符合题意；
C． ，能与 合并，不符合题意；
D． ，能与 合并，不符合题意；
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【变式5-1】下列二次根式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根
式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二
次根式解答．
【详解】解：A． ，不能与 合并，不符合题意；
B． ，不能与 合并，不符合题意；
C． ，不能与 合并，不符合题意；
D． ，能与 合并，符合题意；
故选：D．
【变式5-2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类
二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
当 时， ， ，二者均为最简二次根式，符合题意，
故 ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式 与最简二次根式 是同
类二次根式，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到 的值即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴被开方数相等，即 ，
．
故答案为4．
题型六 二次根式的混合运算
【例6】计算题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质
化简
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：
（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：原式
．
【变式6-1】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可；
（2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式6-2】计算：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键．
（1）直接化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，进而合并即可；
（2）直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式除法运算求出即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式6-3】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答．
（2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解
题型七 利用二次根式的性质化简
【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知 ，化简： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合 ，进行化简求值即可．
【详解】解：原式
．
，
， ，
原式
．
【变式7-1】（25-26八年级下·全国·周测）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为 ，化简：
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学科网（北京）股份有限公司．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及
的化简规则是解题的关键．
先利用三角形三边关系求出第三条边 的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合 的范围判
断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简．
【详解】解：由三角形的三边关系，得 ，
， ，
原式
．
【变式7-2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了 个单位长度到达
点 ，点 表示 ，设点 所表示的数为 ．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有 、 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据两点间的距离公式确定 的值，再代入 ，然后根据绝对值的性质和二
次根式的性质进行计算即可；
（2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于 、 的方程，解方程求出 、 ，继而得到
的值，再根据平方根的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点 表示 ，且一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了 个单位长度到达点 ，点 所表
示的数为 ，
∴ ，
∴
；
（2）∵ 与 互为相反数， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
【变式7-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条
件并回答下面的问题．（本题10分）
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学科网（北京）股份有限公司化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】（1） (2)
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝
对值的化简，是解题的关键．
（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出 的取值范围，再根据范围进行开方和绝对
值的化简即可解答．
（2）由数轴得出 、 、 的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ，
，
，
．
（2）∵实数 在数轴上的位置如图所示，
∴ ， ，
∴原式 ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司题型八 二次根式中的新定义型问题
【例8】定义：已知 ， 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实验数”．
(1)4与_____是关于3的“实验数”， 与 是关于3的“实验数”，则 是_____，表示 的值的点落在
数轴上的位置位于_____．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【答案】(1) ； ；④
(2)是；理由见解析
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算、实数与数轴
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能
理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
（1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与 是关于3的“实验数”；
（2）根据 进行计算，计算 与 的和，根据所求得结果即可判断．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 与 是关于 的“实验数”；
∵ ，
∴ 与 是关于 的“实验数”，即 ；
∵ ，
∴ ，
∴表示 的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④；
（2）解： 与 是关于 的“实验数”．理由如下：
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
，
∴ 与 是关于 的“实验数”．
【变式8-1】定义两种新运算，规定： ， ，其中 ， 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
【答案】(1)4
(2)
【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-2】定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二次
根式．
(1)若 与 是关于6的美好二次根式，求 的值：
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∴ ；
（2）解：由题意可得， ，
整理得， ，
，
∴
∴ ，
∴ ．
【变式8-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算 如下：
如： ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) ______， ______；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1) ，
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一
次）
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）分 和 ，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）当 ，即： 时，则： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∵ ，
∴ （舍去）；
当 ，即： 时，则： ，
∴ 或 （舍去）；
∴ ．
题型九 二次根式中的分母有理化
【例9】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代
数式互为有理化因式．例如： ， ，我们称 和 互为有理化因式，
和 互为有理化因式．
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
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学科网（北京）股份有限公司中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例： ．
结合上述材料，解决问题：
(1) 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
(2)利用分母有理化化简： ．
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）利用分母有理化进行化简即可求得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ，
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
故答案为： ； ；
（2）解：
．
【变式9-1】像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根
式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因式”．
24 / 58
学科网（北京）股份有限公司进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
【答案】(1)① ，②
(2)
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，
二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）①根据 ，再计算求解即可；②根据 ，再计算求解即可；
（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；
（3）由题意得 ，同理：
， ，则 ，进而可得 ．
【详解】（1）解：① ，
故答案为： ；
②解： ，
25 / 58
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
（2）解：
．
（3）解： ；理由如下；
∵ ，
∴ ，
同理： ， ，
∴ ，
∴ ．
【变式9-2】观察下列式式子的化简过程：
① ；
② ；
③ ；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
26 / 58
学科网（北京）股份有限公司(2)求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出 是解
题的关键．
（1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（3））由 将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：第四个等式为 ，
；
（2）∵
∴
．
【变式9-3】阅读下列分母有理化的过程：
27 / 58
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
请完成下列问题：
(1)仿照上述解题过程计算： =__________； =__________；（注意结果化简）
(2)观察上面解题过程，请直接写出 的结果为_________；
(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ；
(4)试利用上面所提供的思路，解方程： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）
(4)
【知识点】分母有理化
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（2）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（3）根据分母有理化的方法即可求解；
（4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解： ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ．
（2）
（3） 可以利用平方差公式进行分母有理化；
相邻①两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数；
②
， 等等.（结论合理、正确就行）
③
故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）．
（4）解：
题型十 二次根式中的规律探究问题
【例10】观察下列各式及其验证过程：
．验证： ．
．验证：
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学科网（北京）股份有限公司(1)按照上述规律，直接写出 的结果是___________
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1)
(2) （n为自然数，且 ），证明见解析
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）根据规律，可得到答案．
（2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解： （n为自然数，且 ），
证明：
【变式10-1】 ；
；
；
(1)写出 _________；
30 / 58
学科网（北京）股份有限公司(2)猜想： _________；
(3)由以上规律，计算 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简
【分析】（ ）观察已知等式找到规律，即可求解；
（ ）根据规律直接得出结果即可；
（ ）利用（ ）中结论及有理数的混合运算进行计算即可；
本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键．
【详解】（1）∵ ；
；
；
；
；
（2） ；
；
；
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学科网（北京）股份有限公司；
；
（3）由（ ）可得 ，
．
【变式10-2】观察下列等式：
① ，
② ，
③ ，
…
解答下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【答案】(1)
32 / 58
学科网（北京）股份有限公司(2) ；证明见解析
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识．
（1）根据 ， ， ，得出第⑤个等式中分母应为 ，根据规律得到答案；
（2）根据 ， ， ， ，得出规律 ，从而得到答案．
【详解】（1）解：由第①个等式 ，得
由第②个等式 ，得
由第③个等式 ，得
∴第⑤个等式应为： ，得 ．
（2）解：第1个等式中分母为 ，
第2个等式中分母为 ，
第3个等式中分母为 ，
第4个等式中分母为 ，
得第 个等式中分母为应为：
∴第 个等式为： ，
∵左边 ，
右边 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴左边 右边．
【变式10-3】观察下列各式
① ；② ；③ ……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1) _________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；
(3)用上述规律计算： ．
【答案】(1) 或 或
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的
关键．
（1）根据所给算式的规律可直接得出答案；
（2）根据所给算式得出一般性规律即可；
（3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算．
【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得
（或 或 ）
（2）解：根据题干所给算式的规律，可得
（3）解：
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学科网（北京）股份有限公司基础巩固通关测
一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列 的取值中，能使二次根式 在实数范围内有意义的是
（ ）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关
键．
根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于 ，列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
选项中只有 符合题意，
故选：D．
2．（上海市浦东新区几校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列二次根式中，属于最简二
次根式的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关
键．
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项．
【详解】解：∵选项A： = = ，含完全平方因数4，不符合题意；
选项B： 被开方数含分母，不符合题意；
选项C： 被开方数7是质数，无完全平方因数且无分母，符合题意；
选项D： = 被开方数含分母，不符合题意；
故选C．
3．（重庆市大渡口区2025-2026学年九年级上学期第一次适应性考试数学试卷）估计 的值
应在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为 ，通过估算 的取值范
围，确定整体值的区间即可．
【详解】解： ，
又 ， ，且 ，
，
，
故选：C．
4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式的减法，根据运算法
则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故原选项计算正确，符合题意；
B、 和 不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
5．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的
结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观
察数轴得 ， ， ，则 ， ，再化简 ，即可作答．
【详解】解：由图知 ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
二、填空题
6．（25-26八年级上·上海松江·期末）要使 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于 列不等式，即可求解．
【详解】解：要使 有意义，
∴被开方数 ，
解不等式得 ，即 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．
先将 化简为 ，被开方数为 ，因此 的被开方数也应为2，即可得出结果．
【详解】解： ，
∴被开方数为2，
∵ 与最简二次根式 能合并，
又∵ 是最简二次根式，
∴ 的被开方数与2相同，
即 ，解得 ，
故答案为：1．
8．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，则 的值为 ．
【答案】2
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件先确定x的值，再求y的值，最后
计算 即可．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
9．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知 ，化简 的结果是 ．
【答案】1
【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，先根据 判断绝对值和根号内表达式的正负，再进行
化简计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：1．
10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算 ：对于任意正有理数 ，都有
．
例如： ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运
算规则列出算式计算即可求解，
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
11．（25-26八年级下·全国·周测）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
12．（25-26八年级下·全国·周测）实数 ， 对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子
的正负，再利用 和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司先从数轴确定 的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简
规则去掉符号，最后合并同类项．
【详解】解：由图可知， ， ，
， ， ，
原式
．
13．（25-26八年级上·上海·期末）已知 ，求下列代数式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)35
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识
是解题关键．
（1）首先计算 的值，进而得到 的值，然后根据 代入计算即可；
（2）根据平方 ，结合 ，再开算术平方根即可．
【详解】（1）解： ，
，
故 ，
，
41 / 58
学科网（北京）股份有限公司；
（2）解： ，
且 ，
．
14．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知
，求 的值．经过思考和探索，他的解答如下．
，即
请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：
(1)计算： ．
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键．
（1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可；
（2）根据阅读材料化简可得 ，将所求代数式变形为含 的式子，代入求值即可．
42 / 58
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
，
，
，
原式
．
（2）解： ，
，
，即 ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司能力提升进阶练
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同．
把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断．
【详解】解：A、 与 被开方数不同，不是同类二次根式；
B、 与 被开方数相同，是同类二次根式；
C、 与 被开方数不同，不是同类二次根式；
D、 与 ，被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B．
2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的运算，根据算术平方根，立方根，二次根式的运算
逐一进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： 、 ，该选项计算错误，不符合题意；
、由 ，则 ，该选项计算错误，不符合题意；
、 ，该选项计算正确，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司、 ，该选项计算错误，不符合题意；
故选： ．
3．（25-26九年级上·四川内江·期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），掌握知
识点是解题的关键。
根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式求解即可.
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ 有意义，要求 ，即 ；
有意义，要求 ，即 .
∴ 且 .
故选B.
4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定 的取值范围为 ，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】∵ 3，4， 为三角形的三边长，
∴ ,即 ，
∴ ， ，
∴ 原式 ，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算： ，故化简：
可得 或 两种不同结果．给出下列说法：
①化简： ，一共有4种不同的形式；
②化简： ，一共有4种不同的结果；
③若 （n为正整数），则当 时， ．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键；
根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出 ，计算当
时， 即可判断．
【详解】解：① ∵ ， ， ，
∴ ，
由于a和b符号组合，有4种结果： ，
故①正确；
② ∵ 要求 ，即 ，
∴原式 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
结果有3种不同结果，故②错误；
③ ∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
当 时， 均为负， 均为正，
，
当 时， ，
故③错误；
综上，①正确；
故选B．
二、填空题
6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
提取根号下的完全平方因子进行化简．
【详解】解： ．
故答案为： ．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子 有意义，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且
二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
47 / 58
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）若 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值是
．
【答案】6
【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式混合运算，先估算 的值，确定整数部分 和小数
部分 ，再代入表达式利用平方差公式计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的整数部分 ，小数部分 ，
则 ， ，
∴ ．
故答案为：6．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为 ，宽为 ．她
又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法
性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系．
先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二
次根式的乘法运算．
【详解】解：①计算长方形的面积：
．
根据二次根式乘法性质可得： ．
②设圆的半径为 ，根据圆的面积公式 ，且 ，则：
，
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学科网（北京）股份有限公司．
∵半径 ，
∴ ．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“ ”：当 时， ；当 时，
，其他运算符号的意义不变．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 。
原式 =
．
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简各式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先将各二次根式化为最简二次根式，然后按照先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序进行计算
即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（25-26八年级上·上海静安·期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
13．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)2
(2)
(3)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再按照二次根式的混合运算法则求解即可；
（3）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的
关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．
在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记
，那么三角形的面积 ．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 ， ， ，你能求出这块
菜地的面积吗（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）？
【答案】能，
【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算．
将题目中的已知量代入到公式中计算即可．
【详解】解： ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
故这块菜地的面积约为 ．
15．（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式 ， 满足： ，且 是有理数，
则称 与 是关于 的“和谐二次根式”，如 ，则称 与 是关于4的“和谐二次根式”．
(1)若 与 是关于10的“和谐二次根式”，求 的值．
(2)若 与 是关于6的“和谐二次根式”，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案；
（2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案；
本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴ ．
（2）解：由题可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．（25-26八年级上·全国·假期作业）观察下列各式及其验证过程：
，
验证： ．
，
验证： ．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式．
【答案】(1) ；证明见解析
(2)
【分析】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件写出 ，再化简二次根式进行验证即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据已知条件总结规律 ，再化简 进行验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
验证： ，
∴正确；
（2）由（1）中的规律可知 ，
∴ ，
验证： ；正确．
17．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像
两个含有二次根式的代数式相乘，
积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 与 与
等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．解答下列问题：
(1) 与___________互为有理化因式；
(2)比大小： ___________ （直接填 或 中的一种）；
(3)已知 是正整数， ，求 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键：
（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；
（2）逆用有理化因式，进行判断即可；
（3）求出 的值，整体代入法，进行求解即可．
【详解】（1）解：
与 互为有理化因式；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
，
又 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解： ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
18．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简 ，我们尝试找到两个数 、 ，
使 且 ，则可将 化为 ，即 ，从而使得 化简．
例如， ，
所以 ．
请仿照上例化简下列根式。
(1) ______；
(2) _______；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等
知识点．
（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解： ，
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：
．
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