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第十九章 二次根式（复习讲义）
1. 了解二次根式有意义（被开方数为非负数）与无意义的条件，体会二次根式“双重非负性”与平方根之
间的整体联系。
2. 能识别最简二次根式，并掌握将二次根式化简为最简二次根式的方法。
3. 理解同类二次根式的概念，能准确判断并正确合并同类二次根式，利用乘法分配律完成运算。
4. 掌握二次根式的乘、除法法则（被开方数相乘除，根指数不变）与加减运算顺序（先化简，再合并同类
项）。
5. 理解二次根式的混合运算顺序与整式运算一致（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能
利用运算法则解决相关计算问题。
一、二次根式
√a
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次
根号．如 都是二次根式.
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学科网（北京）股份有限公司2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即√a有意义⇔a≥0
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即√a无意义a<0.
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （
）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
二、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因
式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）
法分配律，如
三、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则：√a*√b=√ab（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①√a*√b∗√c=√abc（a≥0；b≥0；c≥0）
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学科网（北京）股份有限公司②a√b*c√d=ac√bd（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行
计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用：√ab=√a*√b（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：√abcd=√a*√b*√c*√d（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算
括号里面的（或先去掉括号）
题型一 判断是否为二次根式
【例1】下列是二次根式的是：（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列各式中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】下列式子中，不是二次根式的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
题型二 根据二次根式有意义条件求范围
【例2】要使式子 有意义，则x的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2-1】若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【变式2-3】若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
题型三 根据二次根式有意义求值
【例3】已知x，y为实数，若满足 ，则 的值为 ．
【变式3-1】若 ，求 的值是 ．
【变式3-2】若 、 都是实数，且 ，则 ．
【变式3-3】已知 ，则 ．
题型四 最简二次根式的判断
【例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】下列根式中是最简二次根式的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【变式4-2】下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
题型五 同类二次根式的判断与求参数
【例5】下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】下列二次根式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为
．
【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式 与最简二次根式 是同
类二次根式，则 ．
题型六 二次根式的混合运算
【例6】计算题：
(1) ；
(2) ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式6-1】计算：
(1)
(2)
【变式6-2】计算：
(1) ；
(2) ．
【变式6-3】计算：
(1) ；
(2) ．
题型七 利用二次根式的性质化简
【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知 ，化简： ．
【变式7-1】（25-26八年级下·全国·周测）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为 ，化简：
．
【变式7-2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了 个单位长度到达
点 ，点 表示 ，设点 所表示的数为 ．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有 、 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
【变式7-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条
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学科网（北京）股份有限公司件并回答下面的问题．（本题10分）
化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
题型八 二次根式中的新定义型问题
【例8】定义：已知 ， 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实验数”．
(1)4与_____是关于3的“实验数”， 与 是关于3的“实验数”，则 是_____，表示 的值的点落在
数轴上的位置位于_____．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【变式8-1】定义两种新运算，规定： ， ，其中 ， 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
【变式8-2】定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二次
根式．
(1)若 与 是关于6的美好二次根式，求 的值：
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
【变式8-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算 如下：
如： ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) ______， ______；
(2)若 ，求x的值．
题型九 二次根式中的分母有理化
【例9】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代
数式互为有理化因式．例如： ， ，我们称 和 互为有理化因式，
和 互为有理化因式．
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例： ．
结合上述材料，解决问题：
(1) 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
(2)利用分母有理化化简： ．
【变式9-1】像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根
式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因式”．
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学科网（北京）股份有限公司进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
【变式9-2】观察下列式式子的化简过程：
① ；
② ；
③ ；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求 的值．
【变式9-3】阅读下列分母有理化的过程：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
请完成下列问题：
(1)仿照上述解题过程计算： =__________； =__________；（注意结果化简）
(2)观察上面解题过程，请直接写出 的结果为_________；
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学科网（北京）股份有限公司(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ；
(4)试利用上面所提供的思路，解方程： ．
题型十 二次根式中的规律探究问题
【例10】观察下列各式及其验证过程：
．验证： ．
．验证：
(1)按照上述规律，直接写出 的结果是___________
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【变式10-1】 ；
；
；
(1)写出 _________；
(2)猜想： _________；
(3)由以上规律，计算 的值．
【变式10-2】观察下列等式：
① ，
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学科网（北京）股份有限公司② ，
③ ，
…
解答下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【变式10-3】观察下列各式
① ；② ；③ ……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1) _________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；
(3)用上述规律计算： ．
基础巩固通关测
一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列 的取值中，能使二次根式 在实数范围内有意义的是
（ ）
A． B．0 C．3 D．6
2．（上海市浦东新区几校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列二次根式中，属于最简二
次根式的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（重庆市大渡口区2025-2026学年九年级上学期第一次适应性考试数学试卷）估计 的值
应在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的
结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·上海松江·期末）要使 有意义，则 的取值范围是 ．
7．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为 ．
8．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，则 的值为 ．
9．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知 ，化简 的结果是 ．
10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算 ：对于任意正有理数 ，都有
．
例如： ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
11．（25-26八年级下·全国·周测）计算：
(1) ．
(2) ．
12．（25-26八年级下·全国·周测）实数 ， 对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：
．
13．（25-26八年级上·上海·期末）已知 ，求下列代数式的值．
(1)
(2)
14．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知
，求 的值．经过思考和探索，他的解答如下．
，即
请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：
(1)计算： ．
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的值．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·四川内江·期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A． B． 且
C． D． 且
4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为
（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算： ，故化简：
可得 或 两种不同结果．给出下列说法：
①化简： ，一共有4种不同的形式；
②化简： ，一共有4种不同的结果；
③若 （n为正整数），则当 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简 ．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子 有意义，那么 的取值范围是 ．
8．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）若 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值是
．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为 ，宽为 ．她
又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“ ”：当 时， ；当 时，
，其他运算符号的意义不变．计算： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（25-26八年级上·上海静安·期末）计算
(1)
(2)
13．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算：
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(2)
(3)
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．
在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记
，那么三角形的面积 ．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 ， ， ，你能求出这块
菜地的面积吗（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）？
15．（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式 ， 满足： ，且 是有理数，
则称 与 是关于 的“和谐二次根式”，如 ，则称 与 是关于4的“和谐二次根式”．
(1)若 与 是关于10的“和谐二次根式”，求 的值．
(2)若 与 是关于6的“和谐二次根式”，求 的值．
16．（25-26八年级上·全国·假期作业）观察下列各式及其验证过程：
，
验证： ．
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学科网（北京）股份有限公司，
验证： ．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式．
17．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像
两个含有二次根式的代数式相乘，
积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 与 与
等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．解答下列问题：
(1) 与___________互为有理化因式；
(2)比大小： ___________ （直接填 或 中的一种）；
(3)已知 是正整数， ，求 ．
18．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简 ，我们尝试找到两个数 、 ，
使 且 ，则可将 化为 ，即 ，从而使得 化简．
例如， ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司请仿照上例化简下列根式。
(1) ______；
(2) _______；
(3)计算： ．
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