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专题16.5 二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即❑√a·❑√b=❑√ab（a≥0，b≥0）
特别提醒
1. a❑√b·c❑√d=ab❑√bd（b≥0，d≥0）；
2.❑√a·❑√b·❑√c=❑√abc（a≥0，b≥0，c≥0）；
【知识点二】二次根式的除法
二次根式的除法法则是❑√a √a（a≥0，b＞0）
=❑
❑√b b
特别提醒
1. 只有当a≥0，b≥时，❑√a·❑√b=❑√ab； ❑√ab=❑√a·❑√b才成立
❑√a √a √a √a
只有当a≥0，b＞0时， =❑ 、❑ ·❑ 才成立
❑√b b b b
2. 格法则中a、b既可以是数，也可以是代数式.
3. 如果被开方数是带分数，应先将带分数化为假分数，再化简
4. 最后结果中被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母.
【知识点三】积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的乘积，即❑√ab=❑√a·❑√b（a≥0，b≥0）
特别解读
积的算术平方根可以推广，即❑√ab·······c=❑√a·❑√b······❑√c（a，b，······c都是非负数）.
【知识点四】商的算术平方根
❑√a √a
商的算数平方根等于被除式的算数平方根，即 =❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
特别解读
m❑√a m √a（a≥0，b＞0，n≠0）
= ❑
n❑√b n b
【知识点五】最简二次根式
定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.把
❑√30
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2❑√2， 都是最简二次根式.
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特别解读
二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或整式.
【考点目录】【考点1】最简二次根式的判断； 【考点2】化简为最简二次根式；
【考点3】由最简二次根式➼求参数； 【考点4】二次根式乘法运算；
【考点5】二次根式除法运算； 【考点6】二次根式混合运算.
【考点1】最简二次根式的判断；
【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是
【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式
定义判断即可得到答案．
（1）解： ，
不是最简二次根式；
（2）解： ，
不是最简二次根式；
（3）解： ，
不是最简二次根式．
【点拨】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键．
【变式1】（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或
因式的二次根式是最简二次根式”进行判断即可．
解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【变式2】（2020上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）在二次根式 中，最简二
次根式是 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可．
解： ，因此 不是最简二次根式；
由于 时，所以 是最简二次根式；
，因此 不是最简二次根式；
，因此 不是最简二次根式，
故答案为： ．【点拨】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键．
【考点2】化简为最简二次根式；
【例2】（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）化简：
（1） （2） （3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
【变式1】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除
法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可．
解： ，运算正确，故A不符合题意；
当 ， 时， 不成立，故B符合题意，，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选B
【变式2】（2023上·上海杨浦·八年级统考期中）已知 ，化简： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取
值范围，然后化简二次根式是解题关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点3】由最简二次根式➼求参数；
【例3】（2018上·九年级单元测试）已知 和 是相等的最简二次根式．
求 ， 的值；
求 的值．
【答案】 的值是 ， 的值是 ；（ ） ．
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【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；
（2）根据算术平方根的概念解答即可．
解： ∵ 和 是相等的最简二次根式，
∴ ．解得， ，
∴ 的值是 ， 的值是 ；
（2） ．
【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.
【变式1】（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若 是最简二次根式，则m，n的值
为（ ）
A．0， B． ，0 C．1， D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．
解：∵ 是最简二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不
含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
．
【变式2】（2023下·山东临沂·八年级统考期中）若两个最简二次根式 与 能合并，则
．
【答案】1
【分析】由最简二次根式 与 能合并可得 ，计算即可.
解： 最简二次根式 与 能合并，
∴ ，
解得 ,
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键.【考点4】二次根式乘法运算；
【例4】（2022下·八年级课时练习）计算：
（1） ． （2） ．· （3） ． （4） ．
【答案】（1）12；（2） ；（3） ；（4）6000
【分析】（1）根据 ，开方计算即可．
（2）根据 ，开方计算即可．
（3）根据 ，开方计算即可．
（4）根据 ，开方计算即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：．
（4）
．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是
解题的关键．
【变式1】（2016上·四川资阳·八年级统考期中）把 根号外的因式移入根号内的结果是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据被开放数不为负数可得出 ，首先将 的负号移出，再将 移入根号内进行计算即可．
解： ， ，
，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的有意义的条
件：被开方数不为负数，是解题的关键．
【变式2】（2022下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）当 时，化简 的结果是 ．
【答案】【分析】根据二次根式乘法公式得到 ，再根据二次根式的性质化简即可得到结
论．
解：
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决
问题的关键．
【考点5】二次根式除法运算；
【例5】（2021上·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】利用二次根式乘除法法则计算即可；
解：（1） ；
（2） ；
（3） ．【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解题．
【变式1】（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）能使等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质得出 ， ，进而求出即可．
解： 成立，
， ，
解得： ．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质求出是解题关键．
【变式2】（2022上·上海·八年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的除法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
【考点6】二次根式混合运算.
【例6】（2022上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先利用乘法公式进行二次根式的计算，然后合并即可；（2）先进行平方差公式的运算，然后合并．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】此题考查乘法公式、立方根以及二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则．
【变式1】（2022下·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）下列各式正确的是 （ ）
A． × ＝9 B．（4 ）2＝8 C． ÷ D． ＝7－4
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可．
解：A． × ＝3 ，故该选项错误；
B．（4 ）2＝32，故该选项错误；
C． ÷ ＝ =3 ，故该选项错误；
D．∵4 ＝ ，7＝ ， < ，即4 <7，
∴ ＝7－4 ，
故选：D
【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键【变式2】（2022下·山东滨州·八年级校考期中）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输
出的值为 时，输入的 ．
【答案】 /
【分析】根据框图得出方程 ，解方程即可．
解：由题意得： ，
两边同时乘以 得： ，
右边计算得： ，
移项得： ，
∴当输出为 时，则输入的 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，二次根式的乘除法，读懂框图，正确列出方程是解答的关键．
