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班级 姓名 学号 分数
第 16 章 二次根式（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟 试卷满分：120分 ）
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1.若二次根式 有意义，则实数 的取值范围是( )
A. . B. . C. . D. .
【答案】 C.
【考点】二次根式有意义的条件
【解答】由题意可知2x+6≥0,解得x≥﹣3.
故答案为：C.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数大于等于0，建立关于x的不等式，解不等式就可求出x的取
值范围.
2.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C.
【考点】最简二次根式
√1 √2 √1
【解答】 解：A、 = ，则 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
2 2 2
B、√4 =2，则√4 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、√6 是最简二次根式，本选项符合题意；
D、√8=2√2 ，则 √8 不是最简二次根式，本选项不符合题意.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因
数
或因式；据此逐一判断即可.
3.下列计算中，正确的是（ ）
A. ； B. ； C.； D.
【答案】 C
【考点】二次根式的乘除法，二次根式的加减法
【解答】解：A、2√3 与3√2 不能合并，所以A选项不符合题意；
B、原式=9√3×2 =9√6 ，所以B选项不符合题意；
C、原式= √27÷3 =3，所以C选项符合题意；
D、原式=√2，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式
的除法法则对C进行判断；利用二次根式的性质对D进行判断．
4．（2022秋•沈丘县校级月考）若最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则m的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2024 D．﹣2024
【答案】B．
【考点】同类二次根式；最简二次根式；
【解答】解：∵最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则√m+2022与√2是同类二次根式，
∴m+2022＝2．
解得m＝﹣2020．
故选：B．
【分析】最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则√m+2022与√2的被开方数相同，即m+2022＝2．
5.已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A. 12 B. 11 C. 8 D. 3
【答案】 B.
【考点】二次根式有意义的条件；
【解答】由题意是正整数所以 ，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程．
6.等式 有意义，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D.
【答案】 C .
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件；
【解答】解：由题意，得x－3≥0且4－x＞0，
解得3≤x＜4．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0以及分母不为0求解即
可．
7.已知： ，求 的值（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】 D .
【考点】平方差公式及应用，二次根式的混合运算
【解答】∵ x=√3+1,y=√3−1 ，
∴ x+ y=√3+1+√3−1=2√3,x−y=√3+1−√3+1=2 ，
则 ．
x2−y2=(x+ y)(x−y)=2√3×2=4√3
故答案为：D．
【分析】先根据x、y的值计算 x+ y 、x−y 的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入
求值即可．
8.已知： ，且 ，则a－b的值为（ ）
A. 1或5 B. 1或﹣5 C. ﹣1或5 D. ﹣1或﹣5
【答案】 D .
【考点】绝对值及有理数的绝对值，代数式求值，二次根式的性质与化简．
【解答】∵|a|=2， ，
√b2=3
∴a=±2，b=±3，
∵|a＋b|=a＋b，
∴a＋b≥0，
∴a=2，b=3或a=﹣2，b=3，∴a﹣b=2﹣3=﹣1或a﹣b=﹣2﹣3=﹣5．
故答案为：D．
【分析】先根据绝对值和算数平方根的定义求出a、b的值，再代入到a﹣b计算即可。
9．（2022秋•保定月考）已知y=√x−8+√8−x+18，则代数式√x−√y的值为（ ）
A．−√2 B．−√3 C．√2 D．√3
【答案】A．
【考点】二次根式有意义的条件、二次根式的性质与化简．
【解答】解：∵√x−8与√8−x有意义，
∴x＝8，
∴y＝18，
故√x−√y=√8−√18
＝2√2−3√2
=−√2．
故选：A．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而代入得出答案．
10．实数a、b在数轴上对应点如图所示，则化简 |a|的结果是（ ）
√b2+√(a−b) 2−
A．2a B．2b C．﹣2b D．﹣2a
【答案】B．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴；
【解答】解：如图所示：b＞0，a﹣b＜0，a＜0，
则 |a|
√b2+√(a−b) 2−
＝b+b﹣a﹣（﹣a）
＝2b．
故选：B．
【分析】利用数轴得出b＞0，a﹣b＜0，a＜0，进而化简得出答案．
二、填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）11.化简： =________； ＝________； ＝_______.
2
【答案】 2√3； 5；
3
【考点】二次根式的性质与化简.
【解答】解： √12=2√3 ； (−√5) 2=5 ；
√4
=
2
9 3
2
故答案为： 2√3 ； 5 ； .
3
【分析】利用二次根式的性质逐个进行化简即可.
12.把 化为最简二次根式 .
【答案】 10√5
【考点】二次根式的性质与化简
【解答】解： √500 = √100×5 = √100 × √5 =10 √5 ．
故答案为：10 √5
【分析】把500化成100×5，再利用二次根式的乘法法则逆运算化简.
13.计算 的结果是 ．
【答案】
【考点】完全平方公式及运用，二次根式的加减法
【解答】解： ．
(√6−√2) 2+√27 =6−2√6×2+2+3√3=6−4√3+2+3√3=8−√3
故答案为： ．
【分析】利用完全平方公式和二次根式的加减法则计算求解即可．
14.若 ,化简 的正确结果是 ．
【答案】 5﹣2x
【考点】相反数及有理数的相反数，整式的加减运算，二次根式的性质与化简．
【解答】解：∵x＜2，
∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；∴ +|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）
√（x−2）2
=﹣x＋2＋3－x＝5－2x．
【分析】先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．
15.已知 ，则 ＝ ．
【答案】 4√2
【考点】二次根式的混合运算
【解答】解：∵a＝3+2 √2 ，b＝3﹣2 √2 ，
∴ab=9－8=1，a－b= 4√2 ，
∴原式=ab（a－b）= 4√2
故答案为： 4√2
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
16.化简二次根式 的结果是________.
【答案】 ；
【考点】二次根式的性质与化简
【解答】根据二次根式的性质可得： ，解得： ，
∴原式 ．
【分析】由于二次根式的被开方数必须大于0，故 ， 根据偶次幂的非负性进而得出
,求解得出a的取值范围，然后根据二次根式的性质将二次根式化简即可得出答案.
17.若x、y都为实数，且 ，则 = .
【答案】 26；
【考点】二次根式的性质与化简 ；
【解答】由题意，x－ 5≥0，5－x≥0，所以x－5=0所以x＝5，y＝1，所以x2 ＋y＝25＋1＝26．【分析】无论式子多么复杂，找出其中二次根式隐含条件，求出x、y值，是一个常用的方法．
18．（2022秋•商水县校级月考）若a+6√7=（m+n√7）2，且a，m，n均为正整数，则√a的值为 ．
【答案】8或4；
【考点】二次根式的混合运算；
【解答】解：∵a+6√7=（m+n√7）2，
∴a+6√7=m2+2√7mn+7n，
∴{a=m2+7n2，
6=2mn
∵a、m、n均为正整数，
{m=1 {m=3
∴ 或 ，
n=3 n=1
当m＝1，n＝3时，a＝12+7×32＝64，则√a=8，
当m＝3，n＝1时，a＝32+7×12＝16，则√a=4，
综上所述，√a的值为8或4．
【分析】由a+6 （m+n ）2，知a+6 m2+2 mn+7n，据此可得{a=m2+7n2，根据a、m、n均
√7= √7 √7= √7
6=2mn
{m=1 {m=3
为正整数，知 或 ，再分别代入计算、求算术平方根即可．
n=3 n=1
三、解答题（共8个小题，共66分）
19.（每小题4分，共16分）计算：
√1 1
√48−6 ÷√3×
（1） （2）（ 3） √2．
（3） （4）【答案】(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
【考点】二次根式的混合运算.
【答案】 （1）解：原式 ；
√3 1 1 √2
（2）解：原式＝（4√3−6× ）÷√3× ＝2√3÷√3× ＝2× =√2；
3 √2 √2 2
（3）解：原式= ；
（4）解：原式= .
【分析】（1）先将二次根式化简，再进行二次根式的加减运算.
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
（3）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可；
（4）按照二次根式的混合运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减进行计算即可.
20.(6分)已知 满足等式 ．
（1）求出 的值分别是多少？
（2）试求 的值．
【考点】二次根式有意义的条件；
【解答】 解：（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0，解得a≥3且a≤3，所以，a=3，b=﹣9；
(2) ﹣ +
√12a √b2 √3 ab
= ﹣ +
√12×3 √(−9) 2 √33×(−9)
=6﹣9﹣3
=﹣6．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求解即可得到a的值，再求出b的值即可；
（2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解．
x+2 x−1 x−4
21．(6分)（2021秋•启东市期末）先化简，再求值：( − )÷ ，其中x=2+√2；
x2−2x x2−4x+4 x【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值；分母有理化．
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x+2 x−1 x
【解答】解：原式＝[ − ]⋅
x(x−2) (x−2) 2 x−4
＝[(x+2)(x−2) x(x−1)] x
− ⋅
x(x−2) 2 x(x−2) 2 x−4
x2−4−x2+x x
= ⋅
x(x−2) 2 x−4
1
=
，
(x−2) 2
当x＝2+√2时，
1 1
= =
原式 ；
(2+√2−2) 2 2
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
22.(6分)已知a、b满足 ，求 的值.
【考点】非负数的性质，算术平方根；二次根式有意义的条件；解一元二次方程组.
【解答】 解：（1）依题意有 解得：
当 时
原式＝
【分析】根据二次根式的非负性列出方程组 ，通过解方程组求出a,b的值，然后将其代
入所求的代数式求值即可.
√2−1 √2+1
23.(8分)（2022秋•武侯区校级月考）已知a= ，b= ，求下列代数式的值：
√2+1 √2−1
b a
（1）a2﹣ab+b2； （2） + ．
a b【考点】二次根式的化简求值；分母有理化；
【解答】解：a √2−1 (√2−1) 2 3﹣2 ，b √2+1 (√2+1) 2 3+2 ，
= = = √2 = = = √2
√2+1 (√2−1)(√2+1) √2−1 (√2+1)(√2−1)
则a+b＝3﹣2√2+3+2√2=6，ab＝（3﹣2√2）（3+2√2）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
b a a2+b2 (a+b) 2−2ab 36−2
（2） + = = = =34．
a b ab ab 1
【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出 a+b，根据二次根式的乘法法则
求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
24.(7分)教师节快到了，为了表示对老师的敬意，小明同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给
老师，其中一张面积为 ，另一张面积为 他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂
亮，他手上现有 长的金色彩带，请你帮助算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长
的金色细彩带？（ ，结果保留整数）
【考点】二次根式的应用.
【解答】 解:镶壁画所用的金色彩带的长为：
（cm）
∵
∴小明的金色丝带不够用.
∴
答：他的金色细彩带不够用，还需买78cm的金色丝带.
【分析】先计算出两个正方形的边，再得到两个正方形的周长，然后与1.2m进行大小比较即可.2
25．（8分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[ ]＝0，[3.14]＝3，[√3]＝1，并且规定一个实
3
数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
（1）[√8（√5−√2）]＝ ，√8（√5−√2）的小数部分为 ；
（2）已知a，b分别是5−√5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值．
【考点】估算无理数的大小；代数式求值；二次根式的混合运算；
【解答】解：（1）√8（√5−√2）
=√8×√5−√8×√2
=√40−4，
∵36＜40＜49，
∴6＜√40＜7，
∴2＜√40−4＜3，
∴原式的整数部分是2，小数部分为√40−4﹣2＝2√10−6，
故答案为：2，2√10−6；
（2）∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴﹣3＜−√5＜−2，
∴2＜5−√5＜3，
∴a＝2，b＝5−√5−2＝3−√5，
∴4ab﹣b2
＝4×2×（3−√5）﹣（3−√5）2
＝8（3−√5）﹣（9﹣6√5+5）
＝24﹣8√5−9+6√5−5
＝10﹣2√5．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算化简，再估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和
小数部分；
（2）估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分，代入求值即可．
26．（9分）（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
1
已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
2+√31 2−√3
∵a= = =2−√3，∴a﹣2=−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
1
（1） = ；
√2+1
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √144+√143
1
（3）若a= ，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
√26−5
【考点】二次根式的化简求值；分母有理化；
1 √2−1
【解答】解：（1） = =√2−1，
√2+1 (√2+1)×(√2−1)
故答案为：√2−1；
1 1 1 1
（2） + + +...+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √144+√143
√2−1+√3−√2+√4−√3+...+√144−√143
=√144−1
＝12﹣1
＝11；
1
（3）∵a= =√26+5，
√26−5
∴a﹣5=√26，
∴（a﹣5）2＝26，即a2﹣10a+25＝26．
∴a2﹣10a＝1，
∴a4﹣10a3+a2﹣20a+5＝a2（a2﹣10a+1）﹣20a+5＝a2×（1+1）﹣20a+5＝2（a2﹣10a）+5＝2+5＝7．
答：a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值为7．
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
