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专题18.24 正方形（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·重庆荣昌·八年级统考期末）下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2024上·重庆万州·九年级统考期末）如图，在正方形 中， 为 上一点，连接
于点 ，连接 ，设 ，若 ，则 一定等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024下·全国·八年级专题练习）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），
测得对角线 ，将正方形学具变形为菱形（如图2）， ，则图2中对角线 的长
为（ ）A． B． C． D．
4．（2021下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考阶段练习）如图，把一张矩形纸片 按如下
方法进行两次折叠：第一次将 边折叠到 边上得到 ，折痕为 ，连接 ，第二次将
沿着 折叠， 边恰好落在 边上．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图， 中， ， 平分 交
于点D，按下列步骤作图．
步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线 ，分别交 ， 于点E，F；
步骤3：连接 ， ．
若 ， ，则线段 的长为（ ）A． B． C． D．
7．（2023下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，矩形 的面积为288， 分别
是边 的三等分点，若 ，则阴影四边形的周长为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
8．（2024下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，延长
至E，使 ，连接 平分 交 于点F，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，在正方形 中，点E是 上一点，过点E作
交 于点F，连接 ， ，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
10．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）正方形 ， 如图放置， ， ， 相交
于点P，Q为 边上一点，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， ，直线l经过点
且与x轴平行， 是直线l上一动点 ，以AD为边向右作正方形ABCD．
（1）点C的坐标是 （用含m的式子表示）．
（2）当 时， ．
12．（2022下·吉林松原·八年级校考期末）如图，CD BE，且 ，点 为 的中点，若四边形 为正方形，则 ．
13．（2022下·八年级单元测试）如图， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点．要使
四边形 是正方形， 、 应满足的条件是 ．
14．（2020上·八年级校考课时练习）如图，四边形 中 ， ．则
．
15．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）点A坐标为 ，点 在 轴的负半轴上沿
负方向运动时，作 ，其中 ．直线 与 轴交于 ，当 点的运动过程中，
的值为 ．
16．（2023上·福建漳州·九年级福建省长泰县第一中学校考期中）如图，在正方形 中，点E，F分别是 的中点， 相交于点M，G为 上一动点（不与端点B，C重合），N为 的中点．
现有以下结论：
①四边形 一定是矩形；
②四边形 可能是菱形；
③连接 ，四边形 不可能是正方形；
④当G为 中点时， 是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
17．（2023·山东枣庄·统考二模）如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边延长线上一点，
， 是 边上一点，将 沿 翻折，使点 的对应点 落在 边上，连接 交折痕
于点 ，则 的长是 ．
18．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，正方形 边长为12，P
为边 上一个动点，以 为直角边作等腰 ，当点P沿 边从B点运动至点C时，线段 中
点Q所经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）如图，正方形 中，点 、 分别是边 、
上的点，点 是直线 上的点．（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ，设直线 、 相交所成的角为 ， ________
（直接写答案）．
20．（8分）（2023上·山东青岛·九年级校考期中）已知：正方形 ，点E是 上一点，以点E
为圆心作圆，分别交 ， 于点F，G．作 ， ，交于H．延长 ．作 于
P．
（1）求证：四边形 是菱形
（2）求证： （注：尽可能用数字表示角）21．（10分）（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图， 是等腰直角
三角形， ， 与 关于 对称， 为边 上一点，连接 并延长交 于点 ，作
交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）探究：当 为何值时，点 与点 关于 对称．
22．（10分）（2024上·浙江温州·八年级统考期末）如图，已知正方形 的边长为1，点 在
延长线上，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数表达式．
（3）当 时，求 的值．23．（10分）（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图1，在正方形 中，
，过D点作 分别交线段 、 于E、F两点
（1）若 ，求证： ．
（2）如图2， ，请探究线段 、 、 的数量关系
（3）在（2）的条件下， ，则 的值是 ．
24．（12分）（2023下·湖南·八年级校考阶段练习）如图，将正方形 放在平面直角坐标系中，
顶点 为原点，顶点 ， 分别在 轴和 轴上， 点坐标为 ，动点 在 边上（不与端点重合），
将 沿 翻折，点 的对称点为 点．
（1）如图①，当 平分 时， 的度数为______；
（2）如图②，过点 作 轴交 于点 ，交 于点 ．当 为等腰直角三角形时，求
点的坐标；
（3）如图③，延长 交 于点 ，当点 在边 上移动时， 的周长是否发生变化？如果
是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．参考答案：
1．A
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解： 对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有 个，
故选A．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等．
2．A
【分析】本题考查正方形性质及全等三角形判定与性质等知识点，过点C作 于G，由四边形
是正方形，利用 证得 ，得出 ，结合 ，推出
，即 是等腰直角三角形， ，再运用三角形外角性质即可得出答案，解题的关
键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
解：过点C作 于G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
故选：A．
3．C
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题关
键．由正方形的性质可求出 ，当四边形 为菱形，且 时，连接 交
于 ，可得 是等边三角形，则 ，进而得到 ，由勾股定理可求出 ，
进而可求出 ．
解：如图1， 四边形 是正方形， ，
，
在图2中，连接 交 于 ，
， ，
是等边三角形，则 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
故选：C．
4．D
【分析】分别取 的中点为 ，连接 ，利用中点四边形的性质可以推出，再根据 ，可以推导出四边形 是正方形即可
求解．
解：分别取 的中点为 ，连接 ，
分别是 的中点，
，
又 ，
，
四边形 是正方形，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利
用题意证明出四边形 是正方形．
5．B
【分析】由第一次折叠可知 ， ，则四边 为正方形，
， ，由第二次折叠可知 ，利用平行线的性质得
，于是可得 ，由等边对等角得 ，以此即可求解．
解： 四边形 为矩形，
．
由第一次折叠可知， ，
四边形 为正方形，
，．
由第二次折叠可知， ，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，
熟练掌握折叠的性质是解题关键．
6．D
【分析】由作图可知，四边形 是正方形，根据 ，可得
，由此即可解决问题．
解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
由作图可知， 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故选：D．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面
积法构建方程解决问题．
7．A
【分析】证明四边形 是菱形，根据矩形 的面积为288，得出 ，根据 ，
设 ，则 ，得出 ，求出 ，负值舍去，得出 ， ，根据勾股定
理得出 ，得出 ，求出菱形的周长即可．
解：连接 ，如图所示：
∵矩形 ，
∴
∵ 分别是边 的三等分点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
同理可证： ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵
，即 ，
同理可证 ，∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵矩形 的面积为288，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的周长为 ，
即阴影部分的周长为20．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质的应用，菱形的周长，熟练掌握平行
四边形的特殊平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的
应用等，解题的关键是构造正方形 ．
作 ， 构造正方形 ，设 ，易证 ，由此列出比例式可求
解a的值，然后在 中，利用勾股定理即可求得 的长度．
解：过点F作 于点M，作 于点N，如图所示．∵四边形 为正方形， ，
∴
∵ ，
∴四边形 为矩形．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴四边形 为正方形．
∴ ，
设 ，则
∵ ，
∴
即 ，
解得：
在 中， ，
由勾股定理，得
故选：C．
9．C【分析】过点 作 于 ， 于 ，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证
得 ，得到 ，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案.
解：过点 作 于 ， 于 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选: ．
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解
决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
10．B
【分析】如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，利
用等腰直角三角形性质可得 ，由 ，可得 ， ，利用勾股定
理可得 ，再由三角形中位线定理可得 ，再证得 ，进而得出 是
的中线，即 ，由 ，即可求得答案．
解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，
∵四边形 、 是正方形， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即Q是 的中点，
又∵点O是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键．
11． （m+5，8-m）， 2
【分析】（1）过点D作DM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，交直线l于F，证明△ADM≌△CDF
（AAS），根据全等三角形的性质即可求解；
（2）连接AC，先分别表示CN=8-m， AN=m+2，再利用勾股定理即可求解．
解：（1）过点D作DM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，交直线l于F，
∵直线l经过点（0，5）且与x轴平行，
∴CF⊥直线l，DM=NF=5，MN=DF，DM⊥直线l，
∴∠AMD=∠MDF=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADC-∠ADF=∠MDF-∠ADF=90°-∠ADF，
∴∠CDF=∠ADM，
∵D（m，5），A（3，0），
∴OM=m，AM=3-m，
在△ADM和△CDF中，
∴△ADM≌△CDF（AAS），
∴CF=AM=3-m，DF=DM=5，
∴MN=DF=5，
∴ON=OM+MN=m+5，CN=NF+CF=5+3-m=8-m，
∴点C的坐标是（m+5，8-m），
故答案为：（m+5，8-m）；（2）连接AC，过点D作DM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，交直线l于F，
∵ON=m+5，CN=8-m，
∴AN=m+5-3=m+2，
Rt△ANC中，AN2+CN2=AC2，
∴
∴m=2或4，
∵0＜m＜3，
∴m=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的乘法运算，熟
练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键．
12． /45度
【分析】首先根据点 为 的中点，可证得 ，即可证得四边形 为平行四边形，
，再根据正方形的性质，即可求得．
解： 点 为 的中点，
，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为正方形，，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握和运用特殊四边形的判定与
性质是解决本题的关键．
13． 且
【分析】依据条件先判定四边形 为平行四边形，再根据又 ， ，得出四边形
为菱形，再根据 ，即可得到菱形 是正方形．
解：应满足的条件是： 且 ，
理由： 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
在 中， 是 的中位线，
， ，
同理 ， ，
同理， ，
则 且 ，
四边形 为平行四边形，
又 ，
，
四边形 为菱形，
， ，
，
，
，
，
菱形 为正方形，
故答案为： 且 ．
【点拨】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线
平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．45°【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据
∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，
即可解题．
解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，
∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，
∵∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AECF为正方形，
∴∠ACB＝45°；
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟
练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．
【分析】过点A作 轴于点D，过点A作 轴于点D，证明形 是正方形，则
， ，再证明 ，得到 ，由 和
得到 ，则 ， ，则 ，即可得到 的值．
解：过点A作 轴于点D，过点A作 轴于点D，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵点A坐标为 ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】此题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识，证明
是解题的关键．
16．①③④
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，可得四边形 是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得 ，再由在 中， ，可得 ，从而判断②；根据三
角形中位线定理可得 ，从而得到 不平行 ，从而判断③；证明 ，可得
，从而判断④，即可．
解：如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵点E，F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，故①正确；
∵四边形 是矩形，
∴点M是 的中点，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴四边形 不可能是菱形，故②错误；
如图，连接 ，∵四边形 是矩形，
∴点M是 的中点，
∵N为 的中点，
∴ ，
∵G为 上一动点（不与端点B，C重合），
∴点D，F，G不可能共线，
∴ 不平行 ，
即四边形 不可能是正方形，故③正确；
如图，连接 ，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵G为 中点，点E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④
【点拨】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形
的判定是解题的关键．
17． /
【分析】此题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度；由正方形
的性质得 ， ，则 ，由翻折得 ，则
，所以 ， ，则 ，因为
垂直平分 ，所以 ，由勾股定理，求得 ，即可根据等面积法，求得 ，于
是得到问题的答案．
解： 四边形 是边长为 的正方形，
， ，
，
由翻折得 ，
，
， ，
，
点 与点 关于直线 对称，
垂直平分 ，
，
，且 ，
，
解得 ，
，
，解得 ，
故答案为： ．
18．
【分析】连接 相交于点O，连接 ，过点E作 交 的延长线于T．根据正方形的
性质，全等三角形的判定定理和性质可确定 ，根据线段的和差关系和等边对等角确定
，根据平行线的判定定理可确定 ，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定
，进而可确定点Q的运动轨迹是 ，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出 的长度．
解：如下图所示，连接 相交于点O，连接 ，过点E作 交 的延长线于T，
∵ 是等腰直角三角形，
．
∴ ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
，
∵四边形 是正方形，
，
，
∴ ，
，
∴ ，∵正方形 中， 相交于点O，
∴O是 的中点， ，
∴ ，
，
∵Q是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴点Q在直线 上，
∵点P在BC边上移动，
∴点Q的运动轨迹是 ，
∵正方形 的边长是12，且 相交于点O，
∴ ，O是 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定
定理，勾股定理，正确确定点Q的运动轨迹是解题关键．
19．（1）见分析；（2） 或
【分析】（1）过点G作 于点H，首先根据正方形的性质得到 ，
，然后证明出四边形 是矩形，然后证明出 ，进而求解即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，分别证明出 ，然后利用全等三角形的性质和
三角形外角的性质求解即可．
解：（1）如图所示，过点G作 于点H，∵四边形 是正方形
∴ ， ，
∴四边形 是矩形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴在 和 中
∴
∴ ；
（2）如图所示，过点G作 于点H， 与 交于点O，
∵四边形 是正方形
∴ ， ，
∴四边形 是矩形
∴
∴
∴在 和 中
∴∴
∵
∴
∴
∴
∴ ；
如图所示，
同理可得，
∴
∵
∴
∴
∴
综上所述， 或 ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关
键是熟练掌握以上知识点．
20．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）先根据 ， ，判定四边形 为平行四边形，再根据 判定
四边形为菱形即可；
（2）过点E作 ，根据 证明 ，得出 即可．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵以点E为圆心作圆，分别交 ， 于点F，G，
∴ ，
∴四边形 是菱形；（2）证明：过点E作 ，如图所示：
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的性质，三角形全等的判定
和性质，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是作出辅助线，证明 ．
21．（1）见分析；（2）当 时，点 与点 关于 对称．
【分析】（1）先证明四边形 是正方形，利用等角的余角相等，得到 ，推出，即可证明 ；
（2）证明当点 与点 关于 对称时， ，由 ，推出 ，利用等腰
直角三角形的性质及勾股定理即可求解．
（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ， 与 关于 对称，
∴ ，且 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 与 关于 对称，又点 与点 关于 对称，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等
三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）见分析；（2） ；（3）
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，准确识图，熟练掌握
正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据正方形的性质得出 ， ，再根据 得出
，进而得出 ，证明 ，即可得出结论；（2）由（1）得 ，从而得出 ，再根据 ，
计算即可得出答案；
（3）先证明 得出 ，再根据 得出 ，代入进行计
算即可得出答案．
解：（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵四边形 为正方形，边长为 ，
， ， ，
，
由（1）得 ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（3）解：当 时，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．23．（1）见详解；（2） ，理由见详解；（3）2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）先证明 ，再证明 ，问题得解；
（2）延长 至点W，使得 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，
问题随之得解；
（3）根据 ， ，可得 ， ，即可得
，进而可得 ，则有 ．
解：（1）在正方形 中， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由见详解
延长 至点W，使得 ，连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵在正方形 中， ，，
∴ ，
如图，
在（2）已证明： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．（1） ；（2） ；（3）不变，见分析
【分析】（1）由折叠的性质， 平分 ，可得 ，由
，可得 ，则 ，根
据 ，计算求解即可；
（2）由 轴， 为等腰直角三角形，可得 ，，如图②，连接 ，则 三点共线， 是等腰直角三角形，设
，则 ， ，由勾股定理得， ，即 ，计
算求解然后作答即可；
（3）如图③，连接 ，由折叠、正方形的性质可知， ， ，证明
，则 ，即
，然后作答即可．
（1）解：由折叠的性质可知， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 轴， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
如图②，连接 ，∵正方形 ， 点坐标为 ，
∴ ， ，
∴ 三点共线，
∴ 是等腰直角三角形，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得， ，即 ，解得 ，
∴ ；
（3）解：不变，理由如下：
如图③，连接 ，
由折叠、正方形的性质可知， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长不变．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，
等腰三角形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
