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专题18.23 正方形（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022下·湖北恩施·八年级校考阶段练习）正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．四角相等
2．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）周长为4的正方形的对角线长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．（2023下·上海·八年级专题练习）已知在四边形 中， 与 相交于点O，那么下列条件
中能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
4．（2023下·湖南娄底·八年级统考期末）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，菱形
的边长 ，根据实际需要可以调节 间的距离，若 间的距离调节到 ，此时 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020下·山东东营·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形
BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
6．（2019·河北·一模）如图，在等腰直角 中， ，以B为圆心，小于 的长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作
射线 交 于点O，在射线 上作 ，连接 ， .下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若四边形 的周长为16，则
7．（2022下·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点
F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．72°
8．（2022下·福建三明·八年级统考阶段练习）顺次连结四边形各边中点所得的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．以上都不对
9．（2023·河南南阳·统考一模）在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学
编的题目是：“已知正方形 （边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形 各顶
点的坐标”．同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标．若在
魏华同学建立的平面直角坐标系中，正方形 关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为
，则点C的坐标为（ ）A． B． C． D．
10．（2022上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，正方形 的面积为a，E，F，G，H分别是它的
四条边上的点，且 ，四边形 面积为b，它的对角线所在直线与正方形边所在直
线分别相交，组成的阴影部分面积记为c．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，
且 ．则 的度数为 ．
12．（2023下·新疆吐鲁番·八年级统考阶段练习）正方形的面积是4，则它的对角线长是
13．（2023上·江苏南京·九年级统考期末） 如图，正方形 的边长为 ，点 是边 的中点，
点 是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，当 最小时， 的长是．
14．（2023下·吉林·八年级校考期中）如图，在 中， ， 于点D，
于点E，连接 ．若不增加任何字母与辅助线，使四边形 是正方形，则还需增加的
一个条件是 ．
15．（2023上·广东珠海·九年级校考开学考试）如图，在矩形纸片 中， ， ，先将
矩形纸片 沿过点B的直线折叠，使点A落在边 上的点E处，折痕为 ，再沿过点F的直线折叠，
使点D落在 上的点M处，折痕为 ，则 两点间的距离为 .
16．（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）如图在矩形 中， ， ， 为
的中点，动点 从点 出发，以每秒 的速度沿 运动，最终到达点 ，若点 运动的时间为
秒，则当 的面积为 时， 值为 ．17．（2018上·安徽淮南·八年级统考期末）把长方形OABC放在如图所示的平面直角坐标系中，点
F、E分别在边OA和AB上，若点F （0，3），点C （9，0），且∠FEC＝90°，EF＝EC，则点E的坐标
为 ．
18．（2024上·浙江绍兴·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图所示，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形
，过点D作 的垂线交小正方形对角线 的延长线于点G，连结 ，延长 交 于点H．若
，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022下·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）已知在平面直角坐标系中，
，
（1）当a、b满足什么关系时，四边形 为菱形；
（2）若四边形 为正方形，且面积为8，求A、B、C、D四个顶点坐标，并画出示意图．20．（8分）（2022·陕西西安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且
AC=BD，请你从①AC⊥BD、②AB=BC、③BD平分∠ABC中任选一个作为添加条件，另两个中的一个作
为结论，组成一个真命题，并证明．
（1）添加条件：______，结论：______；（填序号）
（2）根据你所选择的条件和结论，写出证明过程．
21．（10分）（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）已知如图，四边形 中， 与 相交于点
O， ， ，
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）把线段 绕点O顺时针旋转，使 ，这时四边形是什么四边形?简要说明理由；
（3）在（2）中，当 后，又分别延长 到 ，使 ，这时四边形
是什么四边形？简要说明理由．
22．（10分）（2022下·河北保定·八年级统考期末）如图，正方形 的周长是40．点P是正方形
对角线 上一动点，过P点分别作 、 的垂线，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形 是矩形．
（2）请你猜想 与 的数量关系，并给出证明．
（3）在P点运动过程中， 的长也随之变化，求 的最小值．
23．（10分）（2022下·福建福州·七年级福建省福州格致中学校考期中）如图①所示，以正方形
的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段 在y轴上，线段 在x轴上，其中正方形
的周长为16．
（1）直接写出B、C两点坐标；
（2）如图②，连接 ，若点P在y轴上，且 ，求P点坐标．
（3）如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接 ．则 ， ，
三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．24．（12分）（2021下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在正方形ABCD中，点E是直线AB上（不与
点A、B重合）的动点，连接DB，DE，过点D作 交直线BC于点E．
（1）如图1，若点E在边AB上，点F在BC的延长线上，
①求证： ；
②线段BE、BF、BD有怎样的数量关系？请直接写出结论．
（2）如图2，若点E、F分别在BA、CB的延长线上，线段BE、BF、BD有怎样的数量关系？写出结
论并给出证明．
（3）若 ， ，请直接写出线段BF的长．参考答案：
1．A
【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，根据正方形、矩形的性质即可判断．
解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相
平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的周长计算公式求出正方形的边长，
再利用勾股定理求出正方形的对角线的长即可．
解：∵正方形的周长为4，
∴该正方形的边长为1，
∴该正方形的对角线长为 ，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查正方形的判定，根据判别一个四边形为正方形的方法逐一进行判定即可．
解：A、不能，对角线互相平分且一组邻边相等的四边形可判定为菱形，故本选项不符合题意．
B、能，对角线互相平分且相等且一组邻边相等的四边形是正方形，可判定该四边形是正方形．故本选项符合题意．
C、不能，根据平行线的性质和一组对角相等的四边形是平行四边形，可判定该四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意．
D、不能，一组对边平行且相等，对角线相等可判定为矩形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】连接 ，交于点 ，根据题意可得 ，进而勾股定理求得
的长，根据菱形的性质求得 ，可得 ，进而判断四边形 是正方形，即可求解．
解：如图所示，连接 ，交于点
在菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴菱形 是正方形，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正方形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．A
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得
BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进
行计算即可得解．解：在正方形ABCD中，∠ADB= ∠ADC= ×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的
性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性
质是解题的关键．
6．D
【分析】根据作图过程可以得出四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质逐项判断即可.
解：由作法可知 平分 ，
∴ .
∵ 为等腰直角三角形，
∴ .
∴ ， .
又∵ ，
∴四边形 是菱形.
又∵ ，
∴四边形 是正方形.
∴ ， .
∵四边形 的周长为16，
∴ .
∴ .
故选D.
【点拨】本题考查了尺规作图，正方形的判定和性质，关键是由作图过程得出判定的条件.
错因分析 中等题.失分的原因是：1.没有掌握基本的尺规作图；2.不能根据角平分线性质，等腰直角三
角形性质推导出四边形 为正方形.
7．C
【分析】由“ ”可证 ，可得 ，即可求解．解： 四边形 是正方形，
， ， ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等．
8．A
【分析】利用中位线定理和平行四边形的判定，可推出四边形为平行四边形．
解：如图， 点 ， ， ， 分别是四边形四条边 ， ， ， 的中点，
， 分别是 ， 的中位线，
， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，解决本题的关键是应用三角形中位线
定理得到判定平行四边形的条件．
9．D
【分析】先根据“正方形 关于x轴对称”确定x轴的位置，再根据点A的坐标确定原点的位置，
进而确定y轴的位置，从而写出点C的坐标．解：∵正方形 关于x轴对称，
∴x轴经过 中点E、F，
∴连接 ，即为x轴，
∵点A的坐标为 ，
∴点A到y轴距离为3，
则将 四等分，其中等分点O使得 ，以点O为原点，建立平面直角坐标系，如图：
∵正方形 关于x轴对称，点A的坐标为 ，
∴点B坐标为 ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，正方形的性质，根据所给条件确定坐标系是解题的关
键．
10．C
【分析】设 ， ，根据正方形的性质及面积法可得答案．
解：设 ， ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】此题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．11．
【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；
根据正方形的性质得到线段相等和 ，再根据三角形的内角和即可求解．
解： 四边形 是正方形．
， ，
，
，
，
故答案为：
12．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理质、二次根式的性质．熟练掌握正方形的性质是解答本
题的关键．根据正方形的性质可求得其边长，再根据勾股定理可求得其对角线的长．
解：∵正方形的面积是4，
∴它的边长是 ，
根据勾股定理得到则它的对角线长 ．
故答案为： ．
13． /
【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知 ，得点 在以
为圆心， 为半径的圆上运动，可知当点 、 、 三点共线时， 最小，再利用勾股定理可得 的
长，继而解题．
解：∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，∴当点 、 、 三点共线时， 最小，
由勾股定理得， ,
∴ ，
故答案为： ．
14． （答案不唯一）
【分析】要使四边形 是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以 是矩形，使
，即可满足题意．
解：∵ 于点D， 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵要使四边形 是正方形，
∴需增加一个条件是： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】此题主要考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．
15．
【分析】判定四边形 是正方形，即可得到 ，再根据 ，即
可利用勾股定理求得 的长．
解：如图所示，连接 ，
由折叠可得， ，
又 ，
∴四边形 是矩形，又 ，
∴四边形 是正方形，
，
又 ，
，
由折叠可得， ，
中， ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．6或11/11或6
【分析】分 在 上、 在 上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
解：①当 在 上时，
的面积等于 ，
，
解得： ；
②当 在 上时，
的面积等于 ，
，
，
解得： ；
综上所述， 的值为6或11，
故答案为：6或11．
【点拨】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题
的关键．
17．（6，6）
【分析】根据矩形的性质得到AB＝OC＝9，∠FAE＝∠B＝90°，根据余角的性质得到∠AFE＝
∠CEB，根据全等三角形的性质得到AF＝BE，AE＝BC，设AF＝BE＝x，列方程即可得到结论．解：∵点F （0，3），点C （9，0），
∴OF＝3，OC＝9，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC＝9，∠FAE＝∠B＝90°，
∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠AFE＝∠CEB，
∵EF＝EC，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，AE＝BC，
设AF＝BE＝x，
∴AO＝BC＝AE＝x+3，
∴x+3+x＝9，
∴x＝3，
∴AE＝BC＝6，
∴点E的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形性质，证全等三角形是本题
的关键，也是本题的难点.
18．
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的判定以及性质和勾股定理，过点G作 交 的延长
线于点T，设 与 交于点M， 交 的延长线于点N，设 ，则 ，由 ，
可得四边形 是矩形，由 证得四边形 是正方形，从而 ，
，由勾股定理求得 和 ，即可求出答案．
解：过点G作 交 的延长线于点T，设 与 交于点M， 交 的延长线于点N，
如图所示∶设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ， ，
根据勾股定理，得
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
19．（1）当 时，四边形 为菱形；（2）点A（0，3），点B（2，1），点C（0，-
1），点D（-2，1），图见分析
【分析】（1）连接BD，与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，1），根据菱形的性质得 ，
根据 得 ，即可得；（2）根据正方形的性质得 ， ， ，根据勾股定理得 ，
解得 ，即可得点A的坐标为（0，3），根据 ，即可得点B，C，D的坐标．
（1）解：连接BD，与y轴交于点E，
则点E的坐标为（0，1），
∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即当 时，四边形 为菱形．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，且面积为8，
∴ ，
∵正方形的对角线相等且垂直，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
即 ，
∴ ，
∴点A的坐标为（0，3），
∵ ，
∴点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（0，-1），点D的坐标为（-2，1），即点A（0，3），点B（2，1），点C（0，-1），点D（-2，1）．
【点拨】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
20．（1）②，①③；（2）见分析
（1）解：添加条件：AB=BC，结论：AC⊥BD，BD平分∠ABC；
故答案为：②，①③；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∵AB=BC，∴AB=BC=CD，
在 ABC和 BCD中， ，
△ △
∴ ABC≌ BCD，
∴△∠ABC=∠△BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴平行四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，
21．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）根据已知条件，可知要证四边形 为平行四边形，只需再证 ，只需证
即可；
（2）根据已知条件，可知要证四边形 是菱形，只需证 即可；（3）要证四边形 是正方形，只需证 即可．
解：（1）证明： 在 和 中，
，
，
，
，
∴四边形 为平行四边形；
（2）证明：四边形 是菱形，
理由如下：
，
平行四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
（3）证明：四边形 是正方形，
理由如下：
， ，
，
，
菱形 是正方形（对角线相等的菱形是正方形）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，以及它们
之间的联系，熟练掌握相关知识是解题关键．
22．（1）见分析；（2） ，证明见分析；（3）
【分析】（1）根据由三个角为直角的四边形为矩形，即可求证；
（2）根据矩形的性质可得 ，再证明△ADP≌△ABP，即可求证；
（3）根据 可得 的最小值，即 的最小值，再由垂线段最短，可得当 时，
取得最小值，求出AC，即可求解．解：（1）证明：∵ ，
∴
又∵ 是正方形
∴
∴四边形四边形 是矩形
（2）解： ，证明如下：
连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
又∵四边形 是正方形，P为 上任意一点，
∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，
∵AP=AP，
∴△ADP≌△ABP，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（2）得 ，则 的最小值，即 的最小值，
当 时， 取得最小值，
∵正方形ABCD的周长为40，
∴AD=CD=10
∵AD=CD，∠ADC=90°，
，
∵ ，
∴∴ 的最小值是 ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌
握正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
23．（1）点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）；（2）点P坐标为（0,8）或（0，-8）；（3）
【分析】（1）根据题意可知正方形边长为4，可求坐标；
（2）求出 ，根据题意可知 ，可以求出点P的纵坐标；
（3）过点P作 交BC于点Q，根据平行线的性质可求解；
（1）解：∵正方形ABCO的周长为16
∴正方形边长为4，
∴点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）．
（2）解：由题意可知OA=OB=4，
∴ ，
则
，
设点P的坐标为（0，m），
则OP= ，
，
解得 ，
∴m=8或m=-8，
∴点P坐标为（0,8）或（0，-8）．
（3）解： ，理由如下：
如图，过点P作 交BC于点Q，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积以及平行线的性质，掌握平行线性质和三角形
面积的求法是解题的关键．
24．（1）①见分析；② BE＋BF ＝ BD；（2）② BE－BF ＝ BD，证明见分析；（3）4或
8．
【分析】（1）①利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠ADC＝∠A＝∠3＝90°，再由DF⊥DE，可得
∠1＝∠2，即可求证；②根据①，得：AE=CF，从而得到BE+BF= 2AB，再由勾股定理，可得
，即可求解；
（2）可先证△ADE≌△CDF，可得到AE＝CF ，再由正方形的性质和勾股定理，即可求解；
（3）利用正方形的性质和勾股定理，可得BC=3，然后分两种情况：若点E在边AB上，点F在BC的
延长线上；若点E、F分别在AB、CB的延长线上，即可求解．
解：（1）证明①：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠A＝∠3＝90°，∵DF⊥DE，
∴∠2＋∠EDC＝ 而∠1＋∠EDC＝ ，
∴∠1＝∠2，
∴△ADE≌△CDF ，
②BE＋BF ＝ BD ，理由如下：
由①，得：AE=CF，
∴BE+BF=BE+BC+CF=AB+BC=2AB，
在 中， ，
∴ ,即 ，
∴ ，
∴BE＋BF ＝ BD ；
（2）BE－BF ＝ BD，理由如下：
如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝ ，
∵DF⊥DE ，
∴∠EDA＋∠ADF＝ 而∠FDC＋∠ADF＝ ，
∴∠EDA＝∠FDC，∴△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF ，
∴BE－BF＝（AB＋AE）－（CF－BC）＝AB+BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD， 是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：BD＝ ，
∴BE－BF＝AB＋BC＝2 BC＝ ；
（3）由（1）得：CF=AE，BF=BC+CF， ，
∵ ，
∴BC= ，
如图，若点E在边AB上，点F在BC的延长线上，
∵BE=2，
∴CF=AE=AB-BE=3-2=1，
∴BF=BC+CF=3+1=4；
如图，若点E、F分别在AB、CB的延长线上，∵∠ADC=∠BDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠A=∠DCF=90°，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AB=BC=3，BE=2，
∴CF=AE=AB+BE=3+2=5，
∴BF=BC+CF=5+3=8，
∴线段BF的长4或8．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能得到两个三角形全
等，并会利用分类讨论的思想是解题的关键．
